Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера в Excel
Роль операционной системы Windows для решения инженерных задач. Исследование и анализ аналитических выражений, реализующих численный метод Эйлера в табличном редакторе Excel. Оценка эффективности методики построения таблиц расчетов переходных процессов.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.10.2013 |
| Размер файла | 105,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера в Excel
В связи с интенсивным внедрением достаточно хороших персональных компьютеров с развитыми операционными системами возникла необходимость разработки методик применения универсальных приложений для решения практических задач. Семейство операционных систем Windows завоевало рынок операционных систем для персональных компьютеров. В состав Windows входит стандартный набор приложений, которые методически грамотный пользователь может приспособить для решения любой инженерной задачи. Все приложения Windows требуют от пользователя однотипных сенсомоторных и умственных навыков. Это дает возможность пользователю с наименьшими затратами осваивать новые средства и создавать методики для решения задач выбранного класса с помощью стандартных приложений. Для моделирования и исследования систем и технических объектов табличный редактор Excel имеет все необходимые средства для быстрого создания модели и получения наглядных результатов моделирования. Это создание табличных моделей с минимальными затратами времени за счет применения различных способов копирования и заполнения таблиц. Представление результатов решений в виде диаграммы. Работа с базами данных. Создание наглядных динамических моделей за счет «оживления» модели с помощью макросов. Внедрение и связывание таблиц с текстовыми документами, что упрощает ведение и написание отчетов.
Известны методики для решения экономических задач и задач статической оптимизации, а также для реализации некоторого набора численных методов [1,2]. Однако, фактически нет публикации о применении Excel для исследования технологических процессов. Технологические процессы, как правило, необходимо рассматривать как взаимодействие динамических объектов. Динамические объекты - это объекты, для которых нельзя пренебречь изменением состояния во времени - t. Динамические объекты описываются дифференциальными уравнениями. Для исследования и моделирования динамических объектов применяются известные численные методы: метод Эйлера и его модификации, методы Рунге-Кутта и Адамса [3].
Пусть требуется найти закон движения объекта y(t) на отрезке [t0, tk], которому принадлежит t. Заданно дифференциальное уравнение
= ѓ (t, у, u(t)), (1)
начальные условия у(t0) = у0, (2)
функция управления u(t).
Допущение, принятое в вычислительной модели метода Эйлера, заключается в том, что на некотором достаточно малом интервале времени h предполагается допустимым пренебречь изменением производной . Задача решается в дискретном времени. Множество равноотстоящих моментов времени T = (t0, t1, t2,…, tk) и множество значений функции в эти моменты времени определяют закон движения объекта. На основании (1) и (2) организуются рекуррентные вычисления (табл. 1), где h= ti - ti-1, i =1..k.
Таблица. Формулы метода Эйлера (объект 1-го порядка)
|
0 |
|||||
|
1 |
|||||
|
2 |
|||||
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
k |
Перенос формул табл. на лист книги Excel с учетом правил ввода формул позволяет получить табличную модель процесса движения. Начальный момент времени () и начальные условия () вводятся как числовые константы. Формула вводится только в верхнюю ячейку каждого столбца. Остальные ячейки заполняются путем копирования с помощью перетаскивания маркера заполнения вниз по столбцу.
Метод Эйлера может быть применен к решению дифференциальных уравнений высоких порядков, а также к решению систем дифференциальных уравнений. При этом математическое описание объекта должно быть приведено к системе N дифференциальных уравнений первого порядка, где N - порядок исходного дифференциального уравнения или системы уравнений. Схемы приведения можно найти в [4].
Для дифференциального уравнения N-го порядка рекуррентные формулы будут иметь следующий вид
yi,q = уi-1,q + ?уi-1,q, где ?уi-1,q = hѓl (ti-1,q, yi-1,q zi-1,q), i = 0,1,2,…, k;
q=1,2,…, N. (6)
В табл. нужно добавить столбцы для представления всех переменных состояния yq, их производных уqЧ, и приращений значения функций ?уq на интервале h.
В качестве примера на рис. представлены расчеты свободного движения объекта 2-го порядка. Закон движения объекта определяется параметрами: коэффициентом передачи K, постоянной времени T и коэффициентом затухания r. Точность расчетов определяется выбранным шагом дискретизации времени. Эти данные для выбранного объекта вводятся в 4 первых ячейки шестой строки листа. Для примера выбран приведенный объект, коэффициент передачи которого и постоянная времени равны 1.
Стандартная форма дифференциального уравнения:
, (3)
, (4)
Начальные условия и задающая функция:
. (5)
Рис. Результаты расчетов
В диапазоне ячеек J19:L19 вычисляются дискриминант и корни характеристического уравнения. Для исследования погрешности метода вычисляется Y1ф по формуле свободной составляющей переходного процесса.
Правые части (3) и (4) уравнений обозначены в таблице соответственно F1 и F2, используются для вычисления производных переменных состояния y1 и y2.
Предложенная методика легко распространяется на исследования движения объектов любых порядков, как линейных, так и нелинейных. Задающее воздействие u(t) может быть описано формулами либо представлено таблично. Для расчета переходных процессов в сложных системах следует применить прием, принятый в теории регулирования. Представить систему в виде структурного соединения типовых динамических звеньев. В таблице организовать расчеты переходных процессов типовых динамических звеньев, соединенных в соответствии со структурной схемой объекта. При этом ячейки, вычисляющие выходной сигнал первого звена, будут соответствовать входному сигналу второго. От пользователя не требуется умений использования специализированных программных систем. Предложенную методику рекомендуется использовать в учебном процессе в дисциплинах, освещающих переходные процессы в электрических цепях и системах управления, а также в дисциплинах, представляющих численные методы решения инженерных задач.
Библиографический список
Ларсен Р.У. Инженерные расчеты в Excel. - М: Издательский дом «Вильямс», 2002. - 544 с.
Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. - М.: «Наука», 1987. - 712 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.
курсовая работа [580,1 K], добавлен 18.01.2011Основные этапы математического моделирования. Метод Эйлера как наиболее простой численный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Написание компьютерной программы, которая позволит изучать графики системы дифференциальных уравнений.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 05.01.2013Принцип и значение метода Эйлера для расчета дифференциальных уравнений. Анализ его геометрического смысла. Улучшение метода за счет аппроксимации производной. Разработка блок-схем и программы на языке Turbo Pascal для проверки методов интегрирования.
курсовая работа [385,7 K], добавлен 15.06.2013Решение системы дифференциальных уравнений переходных процессов в RLC-цепи численным методом. Анализ графиков в Excel. Расчет переходного процесса в математическом пакете MathCad по точным формулам. Разработка программы на языке программирования Pascal.
курсовая работа [777,3 K], добавлен 22.10.2012Численный метод для решения однородного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера. Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутта. Решение краевой задачи. Уравнения параболического типа, а также Лапласа и Пуассона.
курсовая работа [163,5 K], добавлен 27.05.2013Математическая постановка задачи. Алгоритм решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера. Параметры программы, ее логическая структура и функциональное назначение. Анализ входных и выходных данных. Описание тестовых задач.
курсовая работа [38,0 K], добавлен 26.04.2011Численное и графическое моделирование динамических процессов в механической системе вибрационного типа. Обработка исходных данных и получение необходимых значений в MathCAD Professional. Решение задачи Коши модифицированным методом Эйлера в Excel.
курсовая работа [3,7 M], добавлен 27.08.2012Решение системы дифференциальных уравнений, заданной в нормальной форме Коши. Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы с использованием преобразования Лапласа. Численный метод решения системы c помощью Mathcad.
практическая работа [657,1 K], добавлен 05.12.2009Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов.
курсовая работа [532,9 K], добавлен 14.01.2014По структурной схеме системы автоматического управления составлена система дифференциальных уравнений, описывающих её функционирование. Разработана программа на языке Pascal для решения системы методом Эйлера и построен график переходных процессов.
курсовая работа [153,5 K], добавлен 26.12.2008
