Условие

На швейной фабрике «Шанель» для изготовления четырех видов изделий может быть использована ткань трех артикулов. Нормы расхода тканей всех артикулов на пошив одного изделия приведены в таблице. Там же указаны имеющееся в распоряжении фабрики общее количество тканей каждого артикула и цена одного изделия данного вида. Определить, сколько изделий каждого вида должна произвести фабрика, чтобы стоимость изготовленной продукции была максимальной.

Решение

1. Выберем элементы решения.

За элементы решения примем xi- количество i-го товара (элементов решений 4) i =

2. Составление системы ограничений

bj ,j = имеем 3 ограничения

3. Запишем целевую функцию.

L= max

4. Опираясь на условие задания и на перечисленные выше пункты, запишем математическую модель задачи.

L = 9*x1+6*x2+4*x3+7*x4 max

Приведем нашу математическую модель к виду ОЗЛП с помощью добавочных неотрицательных переменных, число которых равно числу неравенств. Так как имеем неравенство вида меньше/ равно, тодобавочные переменные вводим в левую часть со знаком “+”. Получаем следующее:

ОЗЛП

L = 9*x1+6*x2+4*x3+7*x4 max

Теперь определимся с существованием решения найденной ОЗЛП. Подсчитаем число уравнений(m) и число переменных(n), найдем их разность(k) и сделаем вывод. Итак, m=3, n=7, k=n-m=4. Так как число линейно независимых уравнений(m) меньше числа переменных(n),то система совместна и у нее существует бесчисленное множество решений. При этом (n-m) переменным мы можем придавать произвольные значения (свободные) и остальные m переменных (базисные) будем выражать через свободные.

Свободные: x1, x2, x3, x4

Базисные: x5, x6, x7

L = 9*x1+6*x2+4*x3+7*x4 max

опорное решение

Так как в L коэффициент при x1 больше 0 и больше всех остальных коэффициентов при переменных, то переменную x1 будем увеличивать. Определим границу увеличения x1 следующим образом: возьмем два уравнения из системы ограничений;

x5 = -x1-2x3-x4+180

x7=-4x1-2x2-4x4+800

Определим значения x1, при которых каждая из переменных x5 , x7 обратится в 0.

x5 =0

x7=0

Увеличивать x1 можно до наименьшего из найденных значений необходимо поменять местами переменные x1 и x5.

Новое решение будет следующим:

Свободные: x2, x3, x4, x5 =0

Базисные: x1, x6, x7

L=9*(180-2*x3-x4-x5)+6*x2+4*x3+7*x4=1620-18*x3-9*x4-9*x5+6*x2+4*x3+7*x4 =1620+6*x2-14*x3-2*x4-9*x5max

L = 1620+6*x2-14*x3-2*x4-9*x5max

Так как в L коэффициент при x2 больше 0, то переменную x2 будем увеличивать. Определим границу увеличения x2 по уже описанной выше схеме.

x6 = 210-x2-3x3-2x4

x7 = 80-2x2+8x3+4x5

x6 =0

x7=0

необходимо поменять местами переменные x2 и x7.

Новое решение будет следующим:

Свободные: x7, x3, x4, x5 =0

Базисные: x1, x6, x2

L = 1620+6*(40-0,5*x7+4*x3+2*x5)-14*x3-2*x4-9*x5= 1620+240-3*x7+24* x3+12*x5-14*x3-2*x4-9*x5= 1860+10* x3-2*x4+3* x5-3*x7

L = 1860+10* x3-2*x4+3* x5-3*x7

Так как в L коэффициент при x3 больше 0, то переменную x3 будем увеличивать. Определим границу увеличения x3 по уже описанной выше схеме.

x6=170-2x4-7x3-2x5+0.5x7

x2=40-0.5x7+4x3+2x5

x6 =0

x2=0

необходимо поменять местами переменные x3 и x2.

Новое решение будет следующим:

Свободные: x7, x2, x4, x5 =0

Базисные: x1, x6, x3

Видно, что получается отрицательная базисная переменная х3, поэтому очевидно, что x3 увеличивать нельзя. Поработаем с х5.

x1=180-2x3-x4-x5

x6=170-7x3-2x4-2x5+0.5x7

x2=40+4x3+2x5-0.5x7

x1 =0

x6=0

x2=0

Видим, что необходимо поменять местами х2 и х5

Новое решение будет следующим:

Свободные: x7, x3, x4, x2 =0

Базисные: x1, x6, x5

x6=170-7x3-2x4-2x5+0.5x7 x5= -40+x2-4x3+0.5x7

Видно, что получается отрицательная базисная переменная х5, поэтому очевидно, что x5 и х2 менять нельзя. Поменяем х5 с х6.

L=1860+10x3-2x4+3(85-3.5x3-x4-0.5x6+0.25x7)-3x7=2115-0.5x3-5x4-1.5x6-2.25x7

5. Симплекс-таблицы.

L = 9*x1+6*x2+4*x3+7*x4 L = 0 - (-9*x1-6*x2-4*x3-7*x4)

L = 0- (-1620+9x5-6x2+14x3+2x4)

Ответ

Если фабрика произведет 95 штук первого изделия, 210 штук второго изделия, то стоимость произведенной продукции будет максимальной и будет равна 2115 единиц.

ЗАДАНИЕ N2