Модель системы в пространстве состояния характеризуется также уравнением выхода:

(5)

где Y (t) - r - вектор выхода системы; С - (r х п) - матрица отображения динамических сменных Х (t) на выход системы; D - (rхт) - матрица компенсации системы (компенсируется погрешность в исходном сигнале системы).

Запишем уравнения (4) в операторной форме. При не нулевых начальных условиях пользуемся формулой Мелина:

(6)

где L [*] - операция преобразования Лапласа; Х (0) - п - вектор начальных условий.

Согласно с выражением (6) можно построить структурную схему модели в пространстве состояния, которая изображенная на рис.1.

Рис.1. Структурная схема системы в пространстве состояния

Рис.2. Модифицированная структурная схема системы

Значительное количество реальных систем характеризуются одним (скалярным) управляющим влиянием (например, напряжение, которое подается в двигатель U (t)) и одним возмущающим влиянием (статический момент Мc (t)), а также нулевыми начальными условиями: Х (0) = 0. При этом матрицу входа В целесообразно поделить на два п - вектора: Bu и ВM. При таких условиях выражение (6) можно записать в виде

(7)

Тогда структура модели будет иметь вид, приведенный на рис.2.

Математические модели систем в векторно-матричной форме имеют очень важное практическое значение. Они широко используются в современной теории автоматического управления при аналитическом конструировании регуляторов, разработке оптимальных систем управления, и тому подобное. Векторно-матричной описание позволяет формализировать процедуры решения многих сложных задач, что очень важно при их решении с помощью ЭВМ.

Традиционно объекты управления или системы описывают с помощью передаточных функций и поэтому, возникает задача перехода к математической модели в форме векторно-матричных дифференциальных уравнений. Такой переход от передаточных функций к пространству состояния неоднозначный, в зависимости от вектора фазовых координат. Приведем некоторые с методов такого перехода.

Составление математической модели системы автоматического управления

2. Метод последовательного интегрирования (аналогового моделирования).

Этот метод целесообразно использовать при наличии операторов Лапласа в числителе передаточной функции. Процедуру определения фазовых координат пространству состояния рассмотрим на примере аналогового моделирования.

Объект задан передаточною функцией

Для упрощения берем a₄ = 1 и записываем операторное уравнение:

Из этого выражения получаем:

Последнее уравнение приводим к машинной форме, то есть:

Согласно полученного уравнения, строим структурную схему аналоговой модели, для которой необходимо использовать три интегратора, четыре сумматоры и несколько усилителей.

Структура аналоговой модели

За фазовые координаты пространству состояния берем исходные координаты интеграторов. Тогда, соответственно структурной схеме составляем дифференциальные уравнения первого порядка:

Учитывая, что y = х_1, получаем:

Это уравнения в векторно-матричной и форме имеет вид:

3. Метод декомпозиции структурной схемы объекта до уровня интеграторов.

Рассмотренный класс математических моделей имеет определенные недостатки. Прежде всего, это трудности физической интерпретации результатов расчетов и исследований. Поэтому во время проведения анализа и синтеза (при проектировании системы) векторно-матричная форма математического описания объединяется с математической моделью в пространстве "вход-выход" (в форме передаточных функций и структурных схем). Это осуществляется путем декомпозиции структуры к уровню интеграторов (к так званой декомпозированной структурной схеме (ДСС), что и есть графической интерпретацией векторно-матричного описания). Таким образом, переход от ДСС к векторно-матричному описанию и, наоборот, построении ДСС за известным векторно-матричным описанием, как правило, не вызывает трудности.

В общем виде:

Моделирование и получение переходной характеристики системы в пакете программы simulink

Смоделируем систему в векторно-матричной форме, и подадим на вход единичный импульс:

в результате получим следующую переходную характеристику системы:

Смоделируем систему по переходной характеристике, и подадим на вход единичный импульс:

в результате получим следующую переходную характеристику системы:

переходная характеристика похожа как в векторно-матричном методе.

Смоделируем систему по структурной схеме:

переходная характеристика:

Оценка устойчивости системы. рекомендации по применению системы

Определение устойчивости системы и ее стабилизации являются первой проблемой, решаемой при создании автоматических систем. Второй, не менее важной проблемой, является обеспечение заданного качества процесса управления.

По характеру затухания переходной процесс является колебательным.

Быстродействие системы определяется временем переходного процесса. Учитывая, что переходной процесс заканчивается в тот момент времени, начиная с которого отклонение управляемой переменной отличается от нового установившегося значения не более чем на 5%, на пятой секунде кривая переходного процесса достигает времени первого согласования.

Колебания, возникающие в системе, приводят к износу механизмов и часто оказываются нежелательными по техническим соображениям. В связи с этим понятие о степени колебательности, которая характеризуется числом колебаний, возникающих в системе за время переходного процесса, можно сказать что оно не очень велико, соответствует пяти колебаниям.

Размещено на Allbest.ru