Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
Модифицированный метод Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления. Вычисления корня уравнения при помощи программы. Построения графика зависимости приближений двух координат, при котором задаются промежутки и константы.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.01.2009 |
| Размер файла | 14,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
5
Решение систем нелинейных алгебраических уравнений методом Ньютона
РЕФЕРАТ
Пояснительная записка: 44 с., 14 рис, 2 таблицы, 3 источника, 4 прил.
Данный продукт представляет собой программу, позволяющую решать СНАУ:
F1(X1, X2, X3)=0,5arctg(X1+X2)+0,2ln(1+X21+ X22+X23)-0,05(X1X2-X1X3-X2X3)+85X1-20X2+35X3-99;
F2(X1, X2, X3)=5arctg(X1+X2+X3)-25,5X1+19,5X2-15,5X3+15;
F3(X1, X2, X3)=-0,3cos(X1-2X2+X3)+0,5exp(-0,25(X21+X22+X23-3))-44,75X1 +20,25X2+5,25X3+18.
Модифицированным методом Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления. Кроме вычисления корня уравнения, существует возможность построения графика зависимости приближений двух координат решения. При построении графика задаются промежутки и константы. Программа может использоваться как наглядное пособие для студентов высших учебных заведений.
В программе реализуются:
1) работа с BGI графикой;
2) работа с файлами.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Постановка задачи
1.1. Цель создания программного продукта
1.2. Постановка задачи
2. Математическая модель
3. Описание и обоснование выбора метода решения
4. Обоснование выбора языка программирования
5. Описание программной реализации
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1.1 Цель создания программного продукта
Главной целью работы является разработка программы способной решать СНАУ трёх переменных модифицированным методом Ньютона, что должно являться пособием для студентов высших учебных заведений в снижении ненужной нагрузки, связанной с многочисленными массивами вычислений.
1.2 Постановка задачи
В данном программном продукте необходимо реализовать решение СНАУ:
0,5arctg(X1+X2)+0,2ln(1+X21+ X22+X23)-0,05(X1X2-X1X3-X2X3)+85X1-
-20X2+35X3-99;
5arctg(X1+X2+X3)-25,5X1+19,5X2-15,5X3+15;
-0,3cos(X1-2X2+X3)+0,5exp(-0,25(X21+X22+X23-3))-44,75X1+20,25X2+
+5,25X3+18.
Начальным приближением (X0) должны служить X1,0=0, X2,0=0, X3,0=0. Необходимо ввести точность (о) вычисления корня системы уравнений, ограниченную размером (не менее 0,00001). После вычислений с заданной погрешностью возникает множество приближений к корню, последнее из которых будет считаться корнем. После нахождения корня СНАУ и приближений к нему, необходимо построить график зависимости двух любых компонент решения (например, X1 и X3). Для этого третья компонента решения (X3) принимает значение константы. Необходимо указать какая функция будет участвовать в построении графика (например, F1), а также определить промежутки изменения обеих компонент решения (например, [X1min; X1max] и [X3min; X3max]).
2 МАТЕМЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Общий вид решения системы нелинейных арифметических уравнений имеет вид:
F1(X1,…,Xn)=0
…
Fn(X1,…,Xn)=0
, где Fi - функция n переменных.
Решением СНАУ является вектор X=(X1,…,Xn), при подстановке компонент которого в систему каждое её уравнение обращается в верное равенство.
При n=3 - точка пересечения трёх поверхностей.
Модифицированный метод Ньютона - один из методов, применяющихся для нахождения корня СНАУ. Модифицированный метод Ньютона предполагает наличие начального приближения X0. Суть метода заключается в построении последовательности точек X0, …, Xn, сходящихся к решению.
Рекуррентная формула имеет вид:
Xk+1=Xk+W(X0)-1F(Xk), где W(X0)-1 - обратная матрица частных производных уравнений системы уравнений (якобиан I-1) от начального приближения X0, а F(Xk) - вектор значений функций СНАУ вектора приближения к корню X, высчитанном, на предыдущем шаге.
Условием окончания выполнения приближений является шаг, на котором k-норма (в данном случае), т.е vF22(Xn+1)+ F22(Xn+1)+ F22(Xn+1), меньше определённой погрешности (о):
vF22(Xn+1)+ F22(Xn+1)+ F22(Xn+1) < о.
3 ОПИСАНИЕ И ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА МЕТОДА РЕШЕНИЯ
Для решения СНАУ был выбран один из численных методов, который называется модифицированным методом Ньютона.
По сравнению с методом Ньютона модифицированный метод Ньютона сходится дольше, но имеет более простой алгоритм реализации, следовательно, проще реализуем программно на языке программирования.
4 ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ЯЗЫКА ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Реализация поставленной задачи совершается на языке программирования Borland C++ version 3.1.
Система программирования Borland C++, разработанная американской корпорацией Borland, остаётся одной из самых популярных систем программирования в мире. Этому способствует простота лежащая в основе языка программирования C, а также поддержка графического и текстового режимов, что делает Borland C удачным выбором для реализации практически любого программного продукта.
Подобные документы
Изучение методов решения нелинейных уравнений таких как: метод Ньютона, модифицированный метод Ньютона, метод Хорд, метод простых Итераций. Реализация программы для персонального компьютера, которая находит решение нелинейного уравнения разными способами.
практическая работа [321,9 K], добавлен 24.06.2012Решение уравнения методом половинного деления. Программа в Matlab для уравнения (x-2)cos(x)=1. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона. Интерполяция заданной функции. Решение системы линейных алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 15.08.2012Решение нелинейного уравнения шаговым методом, методом половинного деления, методом Ньютона и простой итерации с помощью программы Mathcad. Разбиение промежутка на число n интервалов. Условия сходимости корня. Составление программы для решения на С++.
лабораторная работа [207,5 K], добавлен 10.05.2012Особенности решения уравнений с одной переменной методом половинного деления. Оценка погрешности метода простой итерации. Суть решения уравнений в пакете Mathcad. Векторная запись нелинейных систем. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 12.12.2013Численные методы решения нелинейных уравнений, используемых в прикладных задачах. Составление логической схемы алгоритма, таблицы индентификаторов и программы нахождения корня уравнения методом дихотомии и методом Ньютона. Ввод программы в компьютер.
курсовая работа [220,0 K], добавлен 19.12.2009Интерполяция функции с равноотстоящими узлами - прогнозирование в Exel. Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона. Решение систем уравнений в Exel методом обратной матрицы и простых итераций.
контрольная работа [34,0 K], добавлен 19.03.2008Методы решения нелинейных уравнений: прямые и итерационные. Методы решения трансцендентных, алгебраических уравнений. Метод деления отрезка пополам, Ньютона, простой итерации. Поиск корня уравнения методом простой итерации с помощью электронных таблиц.
контрольная работа [2,4 M], добавлен 16.12.2011Рассмотрение процесса разработки системы нахождения нулей функции. Изучение вычисления корня уравнения методом Ньютона или касательных. Основы проектирования графического интерфейса пользователя и описание алгоритма, тестирование готовой программы.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 23.02.2014Вычисления по формулам с циклическими ссылками (на примере нахождения корня уравнения методом Ньютона). Использование команды "Подбор параметра". Задачи, которые можно решать с помощью сервиса "Поиск решения" и способы сохранения параметров поиска.
учебное пособие [993,0 K], добавлен 06.02.2009Математический алгоритм вычисления корней нелинейного уравнения и его решение методом касательных. Особенности программной реализации решения таких уравнений. Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ, характеристика алгоритма и структуры программы.
курсовая работа [96,6 K], добавлен 02.06.2012
