Методы штрафных функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

I. МЕТОД ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ

1. Описание метода штрафных функций

2. Сходимость метода

II. МЕТОД ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

III. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ

IV. ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

В области нелинейного программирования методы штрафных функций представлены в различных вариантах, которые, однако, имеют одну общую черту: во всех этих методах осуществляется преобразование задачи нелинейного программирования при наличии ограничений либо в одну (эквивалентную исходной) задачу без ограничений, либо в эквивалентную последовательность задач без ограничений.

Методы штрафных функций можно разделить на два класса: 1) параметрические методы и 2) непараметрические методы.

Параметрические методы характеризуются наличием одного или нескольких надлежащим образом подобранных параметров, входящих в структуру штрафной функции (которая строится с помощью функций-ограничений) в качестве весовых коэффициентов. К числу типичных параметрических методов относится метод последовательной безусловной минимизации (МПБМ), предложенный Фиакко и Мак-Кормиком, а также метод Зангвилла. С другой стороны, в непараметрических методах, таких как "метод центров" Гуарда и предложенный Фиакко и Мак-Кормиком непараметрический МПБМ, целевая функция рассматривается как функция, задающая дополнительное искусственное ограничение, постепенно "уплотняемое" по мере получения информации в ходе решения задачи.

Параметрические методы распадаются на три категории:

1) методы внутренней точки;

2) методы внешней точки;

3) комбинированные методы.

При использовании методов внутренней точки уровень целевой функции удерживается в отдалении от границ допустимой области с помощью штрафных функций. Метод внешней точки и метод Фиакко и Мак-Кормика, наоборот, генерируют последовательность точек, которые выходят за пределы допустимой области.

В комбинированных методах (использование которых особенно необходимо в случае, когда ограничение имеют вид равенств) в ходе минимизации одни из ограничивающих условий удовлетворяются , а другие не удовлетворяются; однако все условия в пределах заданного допуска оказываются удовлетворенными при достижении исходного решения.

I. МЕТОД ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ

1. Описание метода штрафных функций

Метод штрафных функций является одним из наиболее простых и широко применяемых методов решения задач минимизации. Основная идея метода заключается в сведении исходной задачи

J(u)->inf; uU (1)

к последовательности задач минимизации

_k(u)->inf; u U₀, k=0,1,…, (2)

где _k(u) - некоторая вспомогательная функция, а множество U₀ содержит U.При этом функция _k(u) подбирается так, чтобы она с ростом номера k мало отличалась от исходной функции J(u) на множестве U и быстро возрастала на множестве U₀\U.Можно ожидать, что быстрый рост функции _k(u) вне U приведет к тому, что при больших k нижняя грань этой функции на U₀ будет достигаться в точках, близких ко множеству U, и решение задачи (2) будет приближаться к решению задачи (1). Кроме того, как увидим ниже, и меняться достаточно широкий произвол в выборе функций _k(u) и множества U₀ для задач (2), и можно надеяться на то , что задачи (2) удастся составить более простыми по сравнению с задачей (1) и допускающими применение несложных методов минимизации. Определение 1: Последовательность функций {Р_k(u), k=0,1,..}, определенных и не отрицательных на множестве U₀, содержащем множество U, называют штрафом или штрафной функцией множества U на множестве U₀, если



Из этого определения видно, что при больших номерах k за нарушение условия uU приходится "платить" большой штраф, в то время как приu

U штрафная функция представляет собой бесконечно малую величину при k->. Для любого множества UЕⁿ можно указать сколько угодно различных штрафных функций. Например, если {А_k} - какая-либо положительная последовательность, А_k, то можно взять

Р_k(u)= А_k(u,U), uEⁿU₀, k=0,1,…

(здесь U предполагается замкнутым) или

здесь (u,U)=|u-v| - расстояние от точки до множества U, а - какая либо точка из U. Другие примеры штрафных функций будут приведены ниже. Допустим, что некоторое множество U, содержащее U,а также штрафная функция {Р(u)} множества U на U₀ уже выбраны . Предполагая, что функция J(u) определена на U₀, введем функции

(u)=J(u)+P(u), uU₀, k=0,1,... (3)

и рассмотрим последовательность задач (2) с функциями (3). Будем считать, что =(u)>-, k=0,1,… может и не достигаться. Поэтому будем считать, что при каждом k=0,1,… с помощью какого-либо метода минимизации найдена точка u_k, определяемая условиями:

u_kU_0, (u_k) (6),

где - некоторая заданная последовательность, , k=0,1,…, (если u_k удовлетворяет условиям (5), то в (6) допускается возможность =0). Отметим, что, вообще говоря, u_kU. Метод штрафных функций описан. Подчеркнем, что дальнейшее изложение не зависит от того, каким конкретным методом будет найдена точка u_k из (6). Поэтому мы здесь можем ограничиться предположением, что имеется достаточно эффективный метод определения такой точки.

2. Сходимость метода

Перейдем к исследованию сходимости метода штрафных функций. Т.к. при uU₀\U, то можно ожидать, что для широкого класса задача (1) последовательность {u_k}, определяемая условиями (6), будет приближаться ко множеству U и будут справедливы равенства:

)=0

Мы здесь ограничимся рассмотрением задачи (1) для случая, когда множество U имеет вид

U= , (7)

Где U₀- заданное множество из Еⁿ (например, U₀=Eⁿ), функции J(u),g_i(u) (i=1,…s),определены на U₀ . В качестве штрафной функции множества (7) возьмем

P_k(u)=A_kP(u),

P(u)=, uU₀ , (8)

Где А_k>0 (K=0,1,…),, a p1 - фиксированное число.

Очевидно, если функции g_i(u) r раз непрерывно дифференцируемы на множестве U₀, то при любом p>r функция (8) также будет rраз непрерывно дифференцируема на U₀. Если в (8) p=1 , то из непрерывности g_i(u) (i=1,…,s) следует непрерывность P_k(u) на U₀ , но гладкости P_k(u) в этом случае ожидать не приходится. Полезно также заметить, что если U₀ - выпуклое множество функции g_i(u) при i=1,…,m выпуклы на U₀ ,g_i(u)=<a_i,u> - bⁱ - линейные функции при i=m+1,..,s, то функция (8) выпукла на U₀.

Если для краткости ввести обозначения

max{g_i(u);0} i=1,…,m,

g(u)= (9)

|g_i(u)|, i=m+1,…,s.

то функцию (8) можно записать в виде

P_k(u)=A_kP(u), P(u)=, uU₀.

Функцию P(u) мы иногда также будем называть штрафной функцией множества (7), подразумевая при этом, что после умножения на A_k>0, , она превратится в штрафную функцию в смысле определения 1.

Величины А_k из (8) будем называть штрафными коэффициентами.

Заметим, что существуют и другие штрафные функции множества (7). Например, вместо (8) можно взять

P_k(u)=ⁱ, uU₀, k=0,1,…,

где p_i, A_ki>0, (i=1,…,s); здесь каждое ограничение из (7) имеет свой штрафной коэффициент. Весьма широкий класс штрафных функций множества (7) дает следующая конструкция:

P_k(u)=ⁱ, uU₀, k=0,1,…,

Где - произвольная функция, определенная при g0 такая, что при g>0, i=1,…,s. При необходимости можно выбрать функции так, чтобы штрафная функция P_k(u) обладала различными полезными свойствами, такими, как, например, непрерывность, гладкость, выпуклость, простота вычисления значения функции и нужных производных и т. п. Возможны и другие конструкции штрафных функций множества (7). Приведем еще два конкретных примера штрафной функции

штрафной функция программирование нелинейный

P_k(u)=(1+)^A-1, p_i,

P_k(u)=A(),

где A_k>0, (k=0,1,…), .

Теорема 1.

Пусть функции J(u), g_i(u) (I=1,…,s), определены на множестве U₀ , а последовательность {u_k} определена условиями (3), (6), (8). Тогда

J(u_k) Ф_k(u_k)= Ф_k*(u_k)J_*. (10)

Если, кроме того , J_**=,то

P(u_k)==О(А), k=0,1,…, (11)

g_i(u_k)0, i=1,…,m; g_i(u_k)=0, i=m+1,…,s. (12)

Доказательство. Так как P(u),то из (3), (6), (8) имеем

J(u_k)J(u_k)+A_k P (u_k)=(u_k)(u)=J(u_k)+A_k P (u_k) , uU₀, k=0,1,...

Отсюда, переходя к нижней грани по uU и учитывая, что P(u)=0, uU,получим

J(u_k)(u_k) J_* , k=0,1,... (13)

При k из (13) вытекает (10)

Пусть теперь J_**>-.Так как J_* J_**,то J_*>-.С учетом (13) имеем

0 P (u_k)=(u_k)- J(u_k)J_*-J_** k=0,1,... ,или

0 P (u_k)=(J_*-J_** )А k=0,1,...

Оценка (11) доказана. Из нее следует, что P (u_k)=0 или g (u_k)=0 (i=1,…,s). Вспоминая определение (9) для g (u_k), отсюда получим соотношения (12). В общем случае неравенства в (10) могут быть строгими.

Теорема 2.

Пусть U₀- замкнутое множество из Еⁿ, функции J(u), g₁(u),…,g_m(u),|g_m+1(u),…,|g_s(u)| полунепрерывны снизу на U₀, J_**= . Пусть последовательность {u_k} , определяемая условиями (3), (6), (8), имеет хотя бы одну предельную точку. Тогда все предельные точки принадлежат множеству точек минимума задачи (1), (7). Если, кроме того, множество

U= , (14)

Ограничено хотя бы при одном значении , то

Ф_k(u_k) Ф_k*=J(u_k)=J_*, (u_k,U_*)=0 (15)

Доказательство.

При сделанных предположениях для последовательности {u_k} соотношения (10)-(12) сохраняют силу. Пусть v_*-какая-либо предельная точка последовательности {u_k} , пусть {u_k} v_* . Заметим, что v_* в силу замкнутости U₀. Тогда с учетом полунепрерывности снизу указанных в условии теоремы функций из соотношений(12) получим

g_i(v_*) g_i(u_k) g_i(u_k), i=1,…,m

|g_i(v_*)| |g_i(u_k)|= |g_i(u_k)|=0, i=m+1,…,s

Следовательно, v_* .Тогда с учетом (10) имеем

J_*J(v_*)J(u_k) J(u_k), т.е. J(u_k)=J(v_*) =J_* или u_*

Наконец, пусть множество (14) ограничено при некоторых .Из соотношений(12) следует, что {u_k} для всех kk₀.Это означает что {u_k}имеет хотя бы одну предельную точку. Тогда, как было выше показано все предельные точки {u_k} принадлежат. Следовательно, (u_k,U_*)=0.Из тех же рассуждений и неравенств (10)вытекают остальные равенства(15). Теорема 2 доказана.

Для сходимости метода штрафной функции важное значение имеет способ задания множества U: ограничения, задающие множество U , и штрафные функции этого множества должны быть как-то согласованы с минимизируемой функцией J(u).

Определение 2. Скажем, что задача (1), (7) имеет согласованную постановку на множестве U₀, если для любой последовательности {u_k}U₀, для которой g (u_k)=0 , i=1,…,s, (16) имеет место соотношение

J (u_k)J_*=. (17)

Теорема 3.

Пусть (u)=J(u)+А_k P(u), где Р(u) определена формулой (8), пусть Ф_k*= ( k=0,1,... ).Тогда для того, чтобы

Ф_k*=J_*, (18)

необходимо, чтобы задача (1), (7) имела согласованную постановку на множестве U₀ . Если J_** , то согласованной постановки задачи (1), (7) на U₀ достаточно для справедливости равенства (18).

II. МЕТОД ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

Методы, основанные на использовании множителей Лагранжа, относятся к категории параметрических методов штрафных функций, поскольку для них характерно то, что функции-ограничения вводятся в структуру модифицированной целевой функции совместно с некоторым переменным параметром. Чтобы обобщить метод множителей Лагранжа, ограничения в виде неравенств следует преобразовывать в ограничения, имеющие вид равенств, путем введения надлежащих ослабляющих переменных (на каждое ограничение по одной ослабляющей переменной). Задача нелинейного программирования в общей постановке принимает при этом следующий вид: минимизировать f(x), x, при ограничениях

h_i(x)=0, i=1,…,m,

g_i(x)-v=0, i=m+1,…,p.

Если вычесть vиз g_i(x) (I=m+1,..,p), то можно гарантировать, что ограничивающее условие, имеющее в исходной постановке задачи вид неравенства, действительно выполняется. Тогда можно определить обычным образом функцию Лагранжа

P(x,w)=f(x)+,

где w_i (I=1,…,p) - неотрицательные и не зависящие от x весовые коэффициенты, которые можно отождествлять с множителями Лагранжа. Для того чтобы x^* было решением общей задачи нелинейного программирования , необходимо и достаточно, чтобы :

1)функция f(x^*) была выпуклой,

2)в окрестности x^* ограничения задачи были выпуклы

3)в точке x^* удовлетворялась следующая система уравнений

при j=1,…,n,

при i=1,…,p,

при j=m+1,…,p,

w_i0, i=1,…,p.

Условный минимум f(x) имеет место в стационарной точке для P(x,w,v) и, в частности, в седловой точке (x,w,v)- пространства, так что задача с ограничениями превращается в задачу определения седловой точки в отсутствии ограничений.

Рассмотрим задачу

J(u)->inf; uU={u: uU₀, g_i (u) 0, i=1,…,m, g_i(u)=0, i=m+1,…,s}, (*) где J(u), g_i(u),…,g_s(u)-заданные функции на множестве U_0. Пусть J_*>|-, U_*0. При определенных условиях выпуклости и регулярности задачи (*) было установлено, что для любой точки u_*U_* найдутся множители Лагранжа =( ):

₀={}

такие, что точка (u_*,) образует седловую точку функции Лагранжа

L(u,)=J(u)+, u₀, т.е. (**)

L(u_*,) L(u_*,^*)=J_* L(u,^*) u₀.

Была также доказана справедливость обратного утверждения: если (u₀ является седловой точкой функции (**), то u_*U_* .

Основываясь на этих фактах, можно предположить различные методы решения задачи (*), сводящие к поиску седловой точки функции Лагранжа.

Лемма 1. Пусть функция Лагранжа L(u,)=J(u)+, u₀={=():}, имеет седловую точку на U₀₀. Тогда задача (1), (7) имеет согласованную постановку на U₀.

Доказательство. Пусть (u_* ,) U₀₀ -седловая точка функции L(u_* ,), т. е.

L(u*,) L(u*,*) L(u,*) u0. (19)

Согласно теореме u*J(u*)=J*=L(u*,*). Из определения (9) функци

g(u) с учетом условия ₀ имеем

g(u) g(u) u i=1,…,s.

отсюда и из (19) получим J_* J(u)+, uU₀ (20)

Возьмем любую последовательность {u_k}U₀, удовлетворяющую условиям (16). Тогда из (20) при u=u_k получим J (u_k)J_*, т.е. задача (1), (7) имеет согласованную постановку на U₀.

Теорема 4.

Пусть функция Лагранжа задачи (1), (7) имеет седловую точку и J_**=J(u)>-; пусть последовательность {u_k} определена условиями (3), (4), (8). Тогда и справедливы соотношения (11), (12).

Определение 3. Скажем, что задача (1), (7) имеет сильно согласованную постановку, если найдутся такие числа с₁0,…,с_s0, v>0, что

J_* J(u)+, uU₀ (21).

Определение 4. Скажем, что множество (7) задано корректными ограничениями на U₀, если всякая последовательность {u_k} U₀, удовлетворяющая условиям (16), сходится ко множеству U. Одно и то же множество может быть задано как корректными, так и некорректными ограничениями. Ограничения (7) будут корректными на U₀, если функции g_i⁺(u) (i=1,…,s) полунепрерывны снизу на замкнутом множестве U₀, а множество U(), определяемая согласно U={u: uU₀, g_i⁺(u), (i=1,…,s)}, ограничено при некотором >0. Корректными будут также ограничения, для которых удается доказать неравенство (u, U)h(g₁⁺(u),…, g_s⁺(u)), uU₀ (35), где функция h(t)=h(t₁,…, t_s)>0 при всех tE₊^s, t0, h(0)=0, .

Теорема 5.

Пусть W-открытое выпуклое множество из Eⁿ , функции J(u), g₁(u),…, g_m(u) выпуклы на W, g_i(u) =< a_i, u>- bⁱ (i=m+1,…s), U₀ -выпуклое подмножество из W, пусть в задаче (1), (7) J_*>-, U_*0. Тогда для того, чтобы в задаче (1), (7) функция Лагранжа имела седловую точку, необходимо и достаточно, чтобы нетавенство (21) выполнялось с показателем =1.

Рассмотренный выше метод штрафных функций дает простую и универсальную схему решения задач минимизации на множествах, не совпадающих со всем пространством, и часто применяется на практике. Поскольку имеется достаточно богатый выбор штрафных функий, то при составлении функции Ф_k(u) можно постараться обеспечить нужную гладкость этой функции, выпуклость, подумать об удобствах в вычислений значений функций и требуемых ее производных. Кроме того, имеется определенная свобода в выборе множества U₀, для задачи (2): задание множества (7) всегда можно отнести ко множеству U₀ наиболее простые ограничения (например, U₀ может быть шаром или параллелепипедом в Eⁿ, совпадать с полупространством или со всем пространством), остальные ограничения оформить в виде g_i(u)0 или g_i(u)=0 и учесть их с помощью штрафной функции. Поэтому можно надеяться на то, что вспомогательная задача (2), (3) удается сформировать более простыми, более удобными для применения известных и несложных методов минимизации, чем исходная задача (1).

Следует заметить, что хотя сама схема метода штрафных функций довольно проста, но при практическом использовании этого метода для решения конкретных задач минимизации могут встретиться серьезные трудности. Дело в том, что для получения хорошего приближения решения задачи (1), (2), (3) (или штрафной коэффициент A_k в (8)) приходится брать достаточно большим. С увеличением номера k свойства функции (u)=J(u)+P(u), uU₀ оказывается, во многих случаях, начинает ухудшаться. Эта функция может стать более овражной, некоторые координаты градиента Ф_k'(u) могут быть слишком большими, могут появиться дополнительные локальные минимумы. Это все может привести к тому, что при больших k методы минимизации, используемые при решении задачи (2), будут плохо сходиться и определение точки u_k, удовлетворяющей условиям (6) с возрастанием k может потребовать все большего и большего объема вычислительной работы.

Поэтому при практическом применении метода штрафных функций вспомогательные задачи (2) обычно решают для таких номеров k (возможно больших), для которых удается обеспечить достаточно быстрое убывание функций J(u) и достаточную близость получаемых точек ко множеству U при небольшом объеме вычислительной работы. Если полученное на этом пути приближение к решению задачи (1) недостаточно хорошее, то привлекают более тонкие и, вообще говоря, более трудоемкие методы минимизации, стараясь при этом получше использовать ту информацию, которая получена с помощью метода штрафных функций.

Если в качестве штрафной функции множества (7) берется функция (8) при некоторых условиях и при p=v, то нет необходимости неограниченно увеличивать штрафной коэффициент A_k и в этом случае упомянутый недостаток метода штрафных функций, вообще говоря, не будет проявляться. Правда, штрафная функция (8) при p=v не всегда будет обладать достаточной гладкостью, но появившиеся в последнее время методы минимизации, не требующие гладкости минимизированной функции позволяют надеяться, что численное решение задачи (2) в рассматриваемом случае не будет слишком трудным.

Отметим, что при описании и при исследовании метода штрафных функций мы предполагали, что функция J(u) и множество (7) известны точно. Если же указанные исходные данные известны приближенно, то метод штрафных функций полезно регуляризовать.

III. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ

Пример1:

Пусть требуется решить задачу

J(u)=x²+xy+y²inf,uU={u=(x,y)E²:x+y-2=0}

в качестве штрафной функции возьмем P_k(u)=k(x+y-2)² и положим

Ф_k(u)= x²+xy+y² +k(x+y-2)² , uU₀=E²; k=1,2,…

функция Ф_k(u) при каждом фиксированном k=1,2,… сильно выпукла на E² и достигает своей нижней грани на E² в точке u_k(x_k,y_k), которая определяется уравнениями

2x_k+y_k+2k(x_k+y_k-2)=0

x_k+2yk+2k(x_k+y_k-2)=0

Отсюда получаем

u_k=, Ф_k(u_k)= =.

При k будем иметь u_k u_*=(1,1), Ф_k(u_k)3. Нетрудно видеть, что u_* - решение исходной задачи. В самом деле, J`(u<sub>*</sub>)=(3;3), < J`(u_*), u-u_*>=3(x-1)+3(y-1)=0 для всех uU. В силу выпуклости множества U и функции J(u) на U, причем J(u_*)=J_*=3=. Таким образом, в рассмотренном примере метод штрафной функции сходится.

Пример 1. (С использованием множителей Лагранжа)

Пусть требуется решить задачу

J(u)=x²+xy+y²inf,

uU={u=(x,y)E²:x+y-2=0}

в качестве штрафной функции возьмем P_k(u)=w₁(x+y-2-v₁²) и положим

Ф_k(u)= x²+xy+y²-w₁(-x-y+2-v₁²) , uU₀=E²; k=1,2,…

2x_k+y_k+w₁=0

x_k+2y_k+w₁=0

x+y-2+v₁²=0

2w₁v₁=0

При w₁=0, v₁=, x_k=y_k=0

При w₁0, v₁=0, x_k=y_k=1

u_k=(1,1) ,

Пример 2:

J(u)=e^-uinf, uU={uE¹:ue^-u=0}.

Здесь U={0}=U_*, J_*=1. Возьмем штрафную функцию P_k(u)=kg²(u)=ku²e^-2u и положим Ф_k(u)=e^-u+ ku²e^-2u, uU₀=E¹. Так как Ф_k(u)>0 при всех uE¹, , то . В качестве точки u_k, удовлетворяющей условиям (6) при _k=e^-k+ k³e^-2k, здесь можно взять u_k=k (k=1,2,…). Получим , . Таким образом выясняется, что метод штрафных функций не всегда сходится.

Пример 2.

Пусть требуется решить задачу

J(u)=x²+xy+y²inf,

uU={u=(x,y)E²:x+y-2=0}

в качестве штрафной функции возьмем P_k(u)=w₁(x+y-2-v₁²) и положим

Ф(u)= x²+xy+y²-w₁(-x-y+2-v₁²) , uU₀=E²; k=1,2,…

2x_k+y_k+w₁=0

x_k+2y_k+w₁=0

x+y-2+v₁²=0

2w₁v₁=0

При w₁=0, v₁=, x=y=0

При w₁0, v₁=0, x=y=1

IV. ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ

restart;

> J(u):=x^2+x*y+y^2;

J(u) := x² + x y + y²

> P(u):=k*(x+y-2)^2;

P(u) := k (x + y - 2)²

> Ф(u):=J(u)+P(u);

Ф(u) := x² + x y + y ² + k (x + y - 2)²

> A:=diff(Ф(u),x);

A := 2 x + y + 2 k (x + y - 2)

> B:=diff(Ф(u),y);

B := x + 2 y + 2 k (x + y - 2)

> s:=solve({A,B},{x,y});

s := {x = , y = }

> x:=(4*k)/(3+4*k);

x :=

> y:=(4*k)/(3+4*k);

y : = ,

> lx:=limit(x,k=infinity);

lx := 1

> ly:=limit(y,k=infinity);

ly := 1

> Pk(u):=(k*(x+y-2)^2);

Pk(u) := =

> unassign('x','y');

> plot3d(J(u),x=-10..10,y=-10..10);

> PKF(u):=100*(x+y-2)^2;

PKF(u) := 100 (x + y - 2)²

> plot3d(PKF(u),x=-10..10,y=-10..10);

> restart;

> J2(u):=x^2+x*y+y^2;

J2(u) := x ² + x y + y²

> P2(u):=w1*(-x-y+2-v1^2);

P2(u) := w1 (-x - y + 2 - v1² )

> Ф2(u):=J2(u)-P2(u);

Ф2(u) := x ² + x y + y² - w1 (-x - y + 2 - v1² )

> A2:=diff(Ф2(u),x);

A2 := 2 x + y + w1

> B2:=diff(Ф2(u),y);

B2 := x + 2 y + w1

> C2:=diff(Ф2(u),w1);

C2 := x + y - 2 + v1²

> D2:=diff(Ф2(u),v1);

D2 := 2 w1 v1

> if v1=0 then print (w1=-infinity..infinity) else print(w1=0) fi;

w1 = 0

> if w1=0 then print (v1=-infinity..infinity) else print(v1=0) fi;

v1 = 0

> c2:=x+y-2;

c2 := x + y - 2

> s2=solve({A2,B2,c2},{x,y,w1});

s2 = {w1 = -3, x = 1, y = 1}

> a2:=2*x+y;

a2 := 2 x + y

> b2:=x+2*y;

b2 := x + 2 y

> s22:=fsolve({a2,b2,C2},{x,y,v1});

s22 := {y = 0., x = 0., v1 = -1.414213562}

>

> evalf(s22);

{y = 0, x = 0, v1 = -1.414213562}

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Д. Химмельблау - Прикладное не линейное программирование М.: Издательство "Мир",1975.-535с.

2. Васильев Ф. П. - Численные методы решения экстремальных задач: Учебное пособие для вузов.- 2-е изд., перераб. И доп.-М.:Наука.,1988.-552 с.

3. Ляшенко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В.- Линейное и нелинейное программирование "Высшая школа",1975-372 с.

4. В.Г. Карманов Математическое программирование М: "Наука",1980-256 с.

Размещено на Allbest.ru