Електронний варіант методичного посібника з теорії рядів для студентів математичних спеціальностей університетів

3) Довести, що добуток двох збіжних рядів

і є ряд збіжний, якщо , і

розбіжний, якщо .

§12. Практичне заняття №11

Підсумкове заняття з числових рядів

Контрольні запитання

1. Чи одні і ті ж ознаки використовуються для з'ясування збіжності знакододатних і знакозмінних рядів?

2. Чи правильна ознака порівняння для знакозмінних рядів?

3. Спробуйте привести шкалу ознак збіжності знакододатних рядів розміщених в порядку зростання їх сили.

4. Чи справедливий переставний закон додавання для нескінченних сум?

5. Чи суттєвим в ознаці Лейбніца є монотонність послідовності модулів членів знакозмінного ряду?

6. Чи гарантує збіжність ряду обмеженість послідовності його часткових сум?

7. Коли з інформації про розбіжність ряду з модулів випливає розбіжність самого ряду?

8. Чи можна з умовно збіжного ряду за рахунок перестановки його членів одержати абсолютно збіжний ряд?

9. Аналогічне питання для абсолютно збіжного ряду.

10. Що означає „швидко” чи „повільно” збіжний чи розбіжний ряд?

11. Які ознаки вирішують проблему збіжності „швидко” збіжного ряду(„сильні” чи „слабкі”)?

Приклади розв'язування задач

Дослідити на збіжність ряд

1)

Розв'язок. Для дослідження даного ряду скористаємось ознакою Даламбера. Складемо спочатку співвідношення:

Звідси маємо,



,

поскільки ,

то ,

отже, за ознакою Даламбера ряд збіжний.

2) Скільки членів ряду потрібно взяти, щоб отримати його суму з точністю до .

Розв'язок. Оскільки для знакододатнього ряду має місце оцінка: , то знайдемо коли . Будемо мати:

; ; ; .

Остання нерівність буде виконуватися, якщо .

Отже, щоб отримати суму ряду з точністю до , потрібно взяти його членів (це приклад „повільно” збіжного ряду, бо для отримання суми з певною, навіть невисокою, точністю потрібно взяти багато його членів).

Задачі для розв'язування

Дослідити на збіжність ряди:



1) ;

2) ;

3) Скільки членів ряду потрібно взяти, щоб отримати його суму з точністю до .

4) Для ряду визначити: а) область абсолютної збіжності; б) область умовної збіжності.

Підготуватись до здачі модуля з теорії і практики числових рядів.

§13. Практичне заняття №12

Збіжність функціональних послідовностей і рядів

Контрольні запитання

1. Що таке область збіжності функціональної послідовності чи ряду?

2. Сформулюйте означення області умовної та абсолютної збіжності ряду.

3. Які прийоми і ознаки слід використовувати для знаходження областей, вказаних в попередніх питаннях?

I. Приклади розв'язування задач

Знайти область збіжності (абсолютної і умовної) функціональних рядів 1) та 2).

1) ,



Розв'язок

, (1)

Утворимо ряд з модулів:

Застосуємо ознаку Коші:

.

, , , , ,

, , ,

тому . Таким чином, - область абсолютної збіжності даного ряду (1). Дослідимо цей ряд при : . Складемо ряд з модулів: . Цей ряд є розбіжним (№2, ІІ, 1)). Ряд є рядом Лейбніца, тому збіжний.

Отже, при ряд (1) умовно збіжний. При ряд (1) буде розбіжний, бо розбіжність ряду з модулів одержана з допомогою ознаки Коші, а значить, загальний член ряду не прямує до нуля.

2)

Розв'язок

(1)

Утворимо ряд з модулів:

Скористаємось ознакою Даламбера:

,

, , , ,

.

Таким чином, - область абсолютної збіжності ряду (1).

Дослідимо ряд при .

1) . Матимемо ряд . Використаємо ознаку Раабе:

,

ряд розбіжний. Тому в точці ряд (1) розбіжний.

2) . Отримаємо ряд

.

Скориставшись №8, ІІ, 3), матимемо, що

.

Поскільки , то ряд збіжний. Таким чином, в точці ряд (1) збіжний умовно.

Задачі для розв'язування

Знайти область збіжності (абсолютної і умовної) наступних функціональних рядів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задачі для домашнього розв'язування

Знайти область збіжності (абсолютної і умовної) наступних функціональних рядів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Задачі підвищеної складності

Знайти область збіжності (абсолютної і умовної) наступних функціональних рядів:

1) , ;

2) ;

3) ;

4)

5) Знайти область збіжності та суму ряду Лорана .

6) Знайти область збіжності (абсолютної і умовної) рядів Ньютона:

а); б) ; в) , де

§14. Практичне заняття №13

Рівномірна збіжність рядів і послідовностей

Контрольні запитання

1. Дайте означення рівномірної збіжності функціональної послідовності. Чим воно відрізняється від поточкової збіжності?

2. Дайте означення рівномірної збіжності функціонального ряду. Чим воно відрізняється від поточкової збіжності?

3. Сформулюйте критерій рівномірної збіжності функціональної послідовності і розкажіть про ефективність його використання на практиці.

Приклади розв'язування задач

Дослідити послідовності 1) - 3) на рівномірну збіжність на даних проміжках.

1)

Розв'язок

. справедлива оцінка:

. Тому

. ,

отже, рівномірно збіжна до на .

2) , де

Розв'язок.

а) . Знайдемо

,

Поскільки за умовою , то

,

тому і послідовність рівномірно збіжна на даному відрізку.

б)

і ,

тому - нерівномірно збіжна на . Цю ж інформацію можна одержати і з того, що гранична функція розривна.

в) ,

. Значить і рівномірно збіжна на .

3) а) б)

Розв'язок

а) ,

.

,

значить , тому . Оскільки , то послідовність на збіжна нерівномірно.

б) .

,

бо тут ми скористались тим, що і з нерівності , справедливої при випливає, що . Оскільки , то послідовність рівномірно збіжна на .

Задачі для розв'язування

1) Що означає, що послідовність :

а) збігається на інтервалі ;

б) збігається рівномірно на кожному скінченному інтервалі ;

в) збігається рівномірно на інтервалі ?

Дослідити послідовності на рівномірну збіжність на даних інтервалах:

2) ;

3) ;

4) ;

5) а) б) ;

6)

Задачі для домашнього розв'язування

Дослідити послідовності на рівномірну збіжність на даних проміжках:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

б)

5) а) на кожному скінченному інтервалі (a;b); б) на інтервалі

6)

7)

Задачі підвищеної складності

1) Дослідити послідовності на рівномірну збіжність:

2) Нехай функція має неперервну похідну на інтервалі і Довести, що рівномірно збіжна до на сегменті , де

3) Чи може послідовність розривних функцій збігатися рівномірно до неперервної функції? Розглянути приклад (n=1,2,…), де

§15. Практичне заняття №14

Рівномірна збіжність рядів

Контрольні запитання

1. Сформулюйте критерій Коші рівномірної збіжності ряду і розкажіть про ефективність його застосування на практиці.

2. Сформулюйте ознаку Вейєрштрасса рівномірної збіжності ряду і розкажіть як її використовувати на практиці.

3. Якщо для функціонального ряду не існує збіжного мажорантного числового ряду, то чи означає це, що даний ряд не рівномірно збіжний.

4. Які ознаки слід використовувати, якщо має місце ситуація описана в третьому питанні?

5. Сформулюйте ознаку Абеля-Діріхле рівномірної збіжності ряду і розкажіть як її використовувати на практиці.

Приклади розв'язування задач

Дослідіть характер збіжності рядів 1) і 2).

1) .

Розв'язок. Знайдемо часткову суму даного ряду



Тоді

, ,

тому ряд збігається рівномірно.

2) .

Розв'язок. Знайдемо також часткову суму даного ряду

Тоді .

, ,

таким чином, ряд збігається нерівномірно.

3) Використовуючи ознаку Вейєрштрасса, доведіть рівномірну збіжність функціонального ряду .

Розв'язок. Щоб застосувати ознаку Вейєрштрасса, побудуємо для нашого ряду мажорантний ряд. Для цього знайдемо .

,

, , , .

Точка є точкою максимуму (див. малюнок)

Тому ряд є мажорантним для даного на і поскільки він збіжний, то вихідний ряд збіжний рівномірно на цьому проміжку.

Дослідіть на рівномірну збіжність на даних проміжках функціональні ряди 4) і 5).

4) а) на сегменті , де б) на сегменті

Розв'язок. а) Справедлива нерівність . Застосуємо першу ознаку Абеля-Діріхле. Нехай

, , бо ,

Тоді якщо

, то ,

Тому даний ряд рівномірно збіжний на сегменті , за цією ознакою.

б) В цьому випадку вже не можна користуватись ознакою Абеля-Діріхле. Тому застосуємо критерій Коші рівномірної збіжності. Матимемо,

Поклавши , отримаємо, за згаданим критерієм, що ряд буде нерівномірно збіжний.

5) .

Розв'язок

Застосуємо першу ознаку Абеля-Діріхле. Нехай

Справедливою буде наступна оцінка:

Тоді

, . ,

при , тому - рівномірно збіжна до 0 на . Отже, даний ряд рівномірно збіжний на за цією ознакою.

Задачі для розв'язування

Користуючись ознакою Вейєрштрасса, довести рівномірну збіжність на даних проміжках наступних функціональних рядів:

;

;

1) Дослідіть на рівномірну збіжність функціональний ряд

.

Дослідити характер збіжності наступних рядів:

;

Задачі для домашнього розв'язування

Дослідити характер збіжності наступних рядів:

1) ;

2) ;

3) .

Користуючись ознакою Вейєрштрасса, довести рівномірну збіжність на даних проміжках наступних функціональних рядів:

;

;

;

Задачі підвищеної складності

Дослідіть на рівномірну збіжність на даних проміжках наступні функціональні ряди:

1) ;

2) ;

3)

4) Довести, що якщо ряд збігається рівномірно на , то ряд також збігається рівномірно на .

5) Якщо ряд збігається абсолютно і рівномірно на [a;b], то чи обов'язково ряд збігається рівномірно на [a;b].

6) Довести, що ряд який збігається абсолютно і рівномірно

де

не можна мажорувати збіжним числовим рядом з невід'ємними членами.

§16. Практичне заняття №15

Рівномірно збіжні ряди і послідовності, неперервність границі і суми

Контрольні запитання

1. Чи є якийсь зв'язок між рівномірною збіжністю ряду і умовною чи абсолютною збіжністю на відповідній множині?

2. Чи існують рівномірно збіжні ряди, які не можна мажорувати збіжними числовими рядами?

3. Яка із ознак рівномірної збіжності більш „тонка”: Вейєрштрасса чи Абеля-Діріхле?

4. Сформулюйте теорему про неперервність границі рівномірно збіжної функціональної послідовності? Наскільки суттєвою тут є умова рівномірної збіжності?

5. Сформулюйте теорему про границю рівномірно збіжного функціонального ряду? Наскільки суттєвою тут є умова рівномірної збіжності?

Приклади розв'язування задач

1) Довести, що якщо ряд збігається, то ряд Діріхле збігається рівномірно при .

Доведення. Функції обмежені одиницею при будь-якому , і утворюють монотонну послідовність , а ряд збіжний за умовою, тому, за ознакою Абеля, ряд збіжний рівномірно при , що й потрібно було довести.

2) Довести, що функція

а) визначена і неперервна у всіх точках, за винятком цілих чисел: х=;

б) періодична з періодом 1.

Доведення. а) Візьмемо будь-який відрізок , що не містить жодного цілого числа. Покажемо, що на наш ряд рівномірно збіжний. . Розглянемо перший ряд . Якщо , то , , і за ознакою Вейєрштрасса рівномірно збіжний на .

Нехай , тоді . Якщо , то , причому . Для таких , і знову, за ознакою Вейєрштрасса, ряд рівномірно збіжний на . Отже, ряд рівномірно збіжний на для будь-якого , що не містить цілого числа.

Розглянемо тепер другий ряд і знову візьмемо будь-який відрізок , що не містить жодного цілого числа. Нехай спочатку .

Тоді , причому і , тому і , , . Таким чином, за ознакою Вейєрштрасса, ряд рівномірно збіжний на , якщо . Якщо ж ,

то , . Оскільки і , то маємо , і , . Тому, за ознакою Вейєрштрасса, ряд рівномірно збіжний на , . Значить цей ряд рівномірно збіжний на довільному відрізку , що не містить цілого числа, тому і сума обох цих рядів, яка дасть нам ряд , рівномірно збіжна на .

б) Поскільки члени цього ряду є на цьому відрізку неперервні функції, то, за теоремою про неперервність суми рівномірно збіжного ряду, функція неперервна на довільному відрізку, що не містить жодного цілого числа, а значить вона неперервна в довільній точці , де .

,

і , де . Це означає, що функція періодична з періодом 1.

3) Довести, що ряд збігається нерівномірно на сегменті , але його сума є функцією неперервною на цьому сегменті.

Доведення. Маємо:

,

, .

Таким чином, - неперервна на функція. Проте (в чому можна переконатись з допомогою похідної), тому ряд збігається нерівномірно.

4) Знайти область існування функції і дослідити її на неперервність.

Розв'язок. Функції неперервні при



Оскільки , то бачимо, що , де - монотонна і рівномірно обмежена на послідовність, а ряд рівномірно збіжний на кожному інтервалі , тому ряд , за ознакою Абеля, рівномірно збіжний на . Таким чином, сума ряду є неперервною функцією на . Оскільки - довільне число, то можна стверджувати, що сума ряду неперервна на всій числовій осі.

5) Довести, що функція неперервна і має неперервну похідну в області

Доведення. Функції , неперервні в області . Крім того, ряди , , за ознакою Вейєрштрасса, тут рівномірно збіжні. Таким чином, по-перше, даний ряд можна почленно диференціювати, по-друге, функції і неперервні на всій осі.

Задачі для розв'язування

1) Знайти область існування функції і дослідити її на неперервність.

2) Нехай ряд збігається. Довести, що ряд збігається рівномірно на області

Задачі для домашнього розв'язування



1) Знайти область існування функції і дослідити її на неперервність.

2) Показати, що послідовність збігається рівномірно на інтервалі , але

Задачі підвищеної складності

1) Нехай - раціональні числа сегмента [0;1]. Довести, що функція володіє наступними властивостями: а) неперервна; б) диференційована в ірраціональних точках і не диференційована в раціональних.

2) Нехай так, що ряд збігається. Довести, що ряд збігається абсолютно і рівномірно на будь-якій обмеженій замкненій множині, яка не містить точок (n=1,2,...).

§17. Практичне заняття №16

Почленне диференціювання та інтегрування рядів. Граничний перехід під знаком похідної та інтеграла

Контрольні запитання

1. Сформулюйте умови, що забезпечують можливість граничного переходу під знаком інтеграла.

2. Сформулюйте умови, що забезпечують можливість граничного переходу під знаком похідної.

3. Наскільки точні умови про які йшлося в питаннях 1) та 2)?

4. Коли ряд можна почленно інтегрувати на відрізку [a;b]?

5. Коли ряд можна почленно диференціювати в тій чи іншій точці?

6. Чи однакові за „силою” умови почленного диференціювання та інтегрування рядів? Якщо не однакові, то які з них більш „жорсткі” і чому?

Приклади розв'язування задач

1) Знайти область існування функції і дослідити її на диференційованість.

Розв'язок. Функціональна послідовність при монотонно по прямує до нуля. Тому, за ознакою Лейбніца, ряд збіжний, тобто функція існує при всіх . Так як функції неперервні при і ряд , за ознакою Діріхле, рівномірно збіжний на будь-якому відрізку, що не містить від'ємного цілого числа, то ряд можна почленно диференціювати в довільній точці , де .

2) Показати, що послідовність збігається рівномірно на інтервалі , але .

Розв'язок. . Таким чином,

,

, .

Звідси випливає, що послідовність збігається рівномірно на інтервалі . Знайдемо і

Якщо , то , тобто для , але при

Цей приклад показує, що рівномірної збіжності самої послідовності мало для того, щоб робити граничний перехід під знаком похідної

3) При яких значеннях параметра : а) послідовність (n=1,2,…) збігається на сегменті [0;1]; б) послідовність збігається рівномірно на сегменті [0;1]; в) можливий граничний перехід під знаком інтеграла ?

Розв'язок. а) Якщо , то, використовуючи правило Лопіталя, легко перевірити, що при будь-якому . При , тому при всіх , для всіх .

б) Оскільки

то дана послідовність рівномірно збіжна тільки при (при обчисленні sup тут використовувався апарат диференціального числення).

в) Через те, що , а дорівнює 0 лише при , тому граничний перехід під знаком інтеграла можливий при .

4) Знайти .

Розв'язок. Поскільки тут , то можна вважати, що , де - якесь фіксоване число. Даний ряд при таких х можна представити у вигляді

. (1)

Тоді, на множині , цей ряд мажорується рядом , бо . Отже, за ознакою Вейєрштрасса, ряд (1) є рівномірно збіжним на . Для зручності позначимо . Тоді (1) матиме вигляд

, (2)

причому, з того, що ряд (1) - рівномірно збіжний на , слідує, що ряд (2) - рівномірно збіжний при . Оскільки нам треба шукати , то це рівносильно . Застосуємо до цього ряду теорему про повторні границі для послідовності. В нас , де - послідовність часткових сум ряду (2). З доведеного маємо, що рівномірно збіжна до 0 на . Обчислимо . Тоді за цією теоремою , де А - сума ряду , а - сума ряду на . Запишемо останню рівність таким чином: . Зробивши заміну , матимемо, що

Задачі для розв'язування

1) Знайти область існування функції і дослідити її на диференційованість.

2) Довести, що послідовність (n=1,2,…) збігається нерівномірно на сегменті [0,1], але .

3) Знайти .

Задачі для домашнього розв'язування

1) Довести, що тета-функція визначена і нескінчено диференційована при .

2) Показати, що послідовність збігається рівномірно на інтервалі , але .

3) Довести, що послідовність () збігається на сегменті [0,1], але .

4) Знайти .

5) Чи можна почленно інтегрувати ряд на сегменті [0,1]?

Задачі підвищеної складності

1) Довести, що дзета-функція Рімана неперервна на області і має на цій області неперервні похідні всіх порядків.

2) Знайти

3) Нехай - нескінченно диференційована функція і послідовність її похідних збігається рівномірно на кожному скінченому інтервалі (a,b) до функції . Довести, що , де С - константа. Розглянути приклад

4) Нехай функція , визначена і обмежена на і на кожному сегменті [a,b]. Чи слідує з цього, що ?



§18. Практичне заняття №17

Степеневі ряди

Контрольні запитання

1. Як знаходити область збіжності степеневого ряду?

2. Чи співпадає область збіжності степеневого ряду з інтервалом його збіжності?

3. Чи можна, не використовуючи формулу Коші-Адамара, якось по-іншому знаходити радіус збіжності степеневого ряду?

Приклади розв'язування задач

Знайти радіус і інтервал збіжності, дослідити поведінку в межових точках інтервала збіжності рядів 1), 2).

1)

Розв'язок. Як відомо, . Тому шукаємо

Таким чином, . Інтервал збіжності:

Дослідимо поведінку в межових точках інтервала збіжності:

1) . Утворимо ряд

Ряд - ряд Лейбніца, тому збіжний (умовно). Ряд - збіжний (абсолютно) (можна переконатись, наприклад, за ознакою Даламбера). Отже, - точка збіжності (умовної (подумати чому)).

2) . Утворимо ряд . Це розбіжний ряд, бо його можна порівняти з рядом .

Таким чином, радіус збіжності () дорівнює , інтервал збіжності - , область збіжності - , причому в точці ряд збіжний умовно, у всіх інших - абсолютно.

2)

Розв'язок. Для цього ряду незручно використовувати попередню формулу для обчислення . Тому скористаємось іншою. Якщо , то

.

Інтервал збіжності . Дослідимо поведінку в межових точках інтервала збіжності:

1) . Утворимо ряд

Даний ряд є рядом Лейбніца, тому збіжний (умовно).

2) . - це розбіжний ряд.

Отже, радіус збіжності дорівнює 1, інтервал збіжності - , область збіжності - , причому в точці ряд збіжний умовно, у всіх інших - абсолютно.

Задачі для розв'язування

Знайти радіус і інтервал збіжності, дослідити поведінку в межових точках інтервала збіжності наступних рядів:

1) ;

2)

3) .

Задачі для домашнього розв'язування

Знайти радіус і інтервал збіжності, дослідити поведінку в межових точках інтервала збіжності наступних рядів:



1) ;

2)

3)

4)

Задачі підвищеної складності

Знайти радіус і інтервал збіжності, дослідити поведінку в межових точках інтервала збіжності наступних рядів:

1) ;

2) ;

3)

§19. Практичне заняття №18

Степеневі ряди

Контрольні запитання

1. Чому у випадку існування ми стверджуємо, що радіус збіжності степеневого ряду є число ?

Приклади розв'язування задач

Знайти радіус і інтервал збіжності, дослідити поведінку в межових точках інтервала збіжності ряду

1)

Розв'язок. Тут також незручно користуватися формулою Коші-Адамара для знаходження . Тому обчислимо

Інтервал збіжності . Дослідимо поведінку в межових точках інтервала збіжності:

1) . Утворимо ряд

(1)

Це знакододатній ряд, але ознака Даламбера тут не ефективна (бо границя вийде 1). Тому скористаємось сильнішими ознаками. Візьмемо



Тоді за ознакою Гауса, якщо , то ряд (1) - збіжний, а якщо , то ряд (1) - розбіжний.

2) . Утворимо ряд

(2)

Тоді, поскільки ряд з модулів є рядом (1), то при цей ряд абсолютно збіжний. Подивимось, що буде коли . Скористаємось для цього №8, ІІ, 3). В нас . Вище ми встановили, що

.

І, значить, якщо , то ряд (2) - збіжний (умовно, коли ). Якщо , то ряд (2) - розбіжний.

Отже, ; інтервал збіжності - ; область збіжності:

, (збіжність абсолютна);

, (в точці збіжність умовна);

, .

Задачі для розв'язування

Знайти радіус і інтервал збіжності, дослідити поведінку в межових точках інтервала збіжності наступних рядів:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

Знайти область збіжності загальностепеневого ряду .

Задачі для домашнього розв'язування

Знайти радіус і інтервал збіжності, дослідити поведінку в межових точках інтервала збіжності наступних рядів:

6) ;

7) ;

8) ;

Знайти область збіжності загальностепеневих рядів:

9) ;

10) ;

11) .

Задачі підвищеної складності

Знайти область збіжності гіпергеометричного ряду

§20. Практичне заняття №19

Розклад функцій в степеневі ряди

Контрольні запитання

1. Сформулюйте критерій розкладу функції в степеневий ряд.

2. Який вигляд мають розклади основних елементарних функцій в ряд Маклорена і де вони здійснюються?

Приклади розв'язування задач

1) Функцію розкласти за цілими невід'ємними степенями бінома х+1.

Розв'язок.

2) Функцію



розкласти в степеневий ряд: а) за степенями х; б) за степенями бінома x-b, де ; в) за степенями . Вказати відповідні області збіжності.

Розв'язок.

а)

, причому або .

б)

, причому ,

.

в), причому

, , .

3) Написати розклад функції за цілими невід'ємними степенями змінної х і знайти інтервали збіжності.

Розв'язок. Відомо, що



Розклад має місце там де і , тобто .

Задачі для розв'язування

Написати розклад наступних функцій за цілими невід'ємними степенями змінної х і знайти відповідні інтервали збіжності:

1) ;

2) .

3) Написати три члени розкладеної функції за цілими невід'ємними степенями різниці х-1.

Задачі для домашнього розв'язування

1) Написати розклад функції за цілими невід'ємними степенями змінної х і знайти інтервали збіжності.

Користуючись основними розкладами, написати розклад в степеневий ряд відносно х наступних функцій:

2) ;

3) .

Задачі підвищеної складності

Написати розклад наступних функцій за цілими невід'ємними степенями змінної х і знайти відповідні інтервали збіжності:

4) ;

5) .

6) Визначити інтервал збіжності розкладу в степеневий ряд функції

:

а) за степенями х; б) за степенями бінома х-5, не здійснюючи самого розкладу.

7) Чи можна стверджувати, що рівномірно збіжна до при .

§21. Практичне заняття №20

Розклад функцій в степеневі ряди

Контрольні запитання

1. Обґрунтуйте як здійснюється розклад функцій і в ряд Маклорена.

Приклади розв'язування задач

Розкласти в степеневий ряд відносно х функції 1) і 2).

1)

Розв'язок. Скористаємося такою формулою з тригонометрії:

Матимемо, що

, .

2)

Розв'язок

.

Використаємо біноміальний розклад

Щоб знайти інтервал розкладу, розв'яжемо нерівність

, , .

Задачі для розв'язування

Розкласти в степеневий ряд відносно х наступні функції:

1) ;

2) .

Задачі підвищеної складності

Розкласти в степеневий ряд відносно х наступні функції:

1) ;

2) ;

3) .

§22. Практичне заняття №21

Розклад функцій в степеневі ряди

Контрольні запитання

1. Розкажіть алгоритм використання основних розкладів для одержання розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди.

Приклади розв'язування задач

Використовуючи різні методи, розкласти в степеневий ряд за степенями x функцію .

Розв'язок. Для того, щоб одержати потрібний розклад, окремо розкладемо і . Розклад першої функції відомий, тому займемося розкладом другої функції. З цією метою розглянемо функцію на .

Ясно, що , тому . Щоб знайти інтервал розкладу, розв'яжемо нерівність , , . Проінтегруємо останній ряд на , . Будемо мати,

Отже, маємо, що

,

(можна довести, що точку 1 можна включити до проміжку розкладу, тому ). Таким чином,

,

Задачі для розв'язування

1) Розкласти в степеневий ряд відносно х наступну функцію

.

Використовуючи різні методи, розкласти в степеневий ряд за степенями x наступні функції:

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Задачі для домашнього розв'язування

Використовуючи різні методи, розкласти в ряд Маклорена наступні функції:

1) ;

2) .

Виконуючи відповідні дії із степеневими рядами, отримати розклад в степеневий ряд наступних функцій:

3) ;

4) .

Використовуючи почленне диференціювання, обчислити суми наступних рядів:

5) ;

6) ;

7) .

Задачі підвищеної складності

1) Функцію розкласти в степеневий ряд за цілими невід'ємними степенями дробу .

2) Функцію розкласти в степеневий ряд за цілими невід'ємними степенями дробу .

§23. Зразки задач, які потрібно вміти розв'язувати, для успішного складання модуля на тему: “Числові ряди”

Варіант 1

1) Знайти суму ряду , якщо .

Дослідити на збіжність ряди , якщо:

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд , якщо:

11) ;

12) .

Варіант 2

1) Знайти суму ряду , якщо .

Дослідити на збіжність ряди , якщо:

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд , якщо:

11) ;

12) .

§24. Зразки задач, які потрібно вміти розв'язувати, для успішного складання модуля на тему: “Функціональні ряди”

Варіант 1

1) Дослідити на абсолютну і умовну збіжність функціональний ряд , якщо .

2) Дослідити на абсолютну і умовну збіжність функціональний ряд , якщо .

3) Дослідити функціональну послідовність на збіжність і рівномірну збіжність на множині А, якщо

Дослідити на рівномірну збіжність функціональний ряд на множині А, якщо:

4)

5)

6) Дослідити на неперервність функцію

7) Дослідити чи можна диференціювати функціональну послідовність .

8) Дослідити функціональний ряд на диференційованість в області його поточкової збіжності.

9) Чи справедлива рівність на множині , де

10) Чи справедлива рівність для функціональної послідовності

11) Чи справедлива рівність .

12) Знайти радіус і інтервал збіжності степеневого ряду і дослідити його поведінку на кінцях інтервалу збіжності, якщо

13) Розкласти функцію в степеневий ряд і знайти його інтервал збіжності, якщо:

a)

b)

14) Число обчислити з точністю .

Варіант 2

1) Дослідити на абсолютну і умовну збіжність функціональний ряд

, якщо

2) Дослідити на абсолютну і умовну збіжність функціональний ряд

, якщо

3) Дослідити функціональну послідовність на збіжність і рівномірну збіжність на множині А, якщо

Дослідити на рівномірну збіжність функціональний ряд на множині А, якщо :

4)

5) Дослідити на неперервність функцію

6) Дослідити чи можна диференціювати функціональну послідовність

7) Дослідити функціональний ряд на диференційованість в області його поточкової збіжності.

8) Чи справедлива рівність на множині , де

9) Чи справедлива рівність для функціональної послідовності

10) Чи справедлива рівність

11) Знайти радіус і інтервал збіжності степеневого ряду і дослідити його поведінку на кінцях інтервалу збіжності, якщо

12) Розкласти функцію в степеневий ряд і знайти його інтервал збіжності, якщо:

a)

b)

13) Число обчислити з точністю



ВИСНОВКИ

Основними результатами роботи є:

1) розробка практичних занять з теорії числових та функціональних рядів;

2) створення структури дизайну та змісту посібника з теорії рядів для студентів математичних спеціальностей університетів;

3) аналіз вимог до електронних підручників та посібників;

4) добір технологій, які використовувались при створенні електронного посібника.

Одержані результати дають змогу зробити висновок, що використання розробленого посібника сприятиме підвищенню ефективності вивчення математичного аналізу студентами математичних спеціальностей педагогічних університетів завдяки:

ь структуруванню навчального матеріалу;

ь створенню зв'язків між змістовними частинами посібника;

ь збільшенню обсягу самостійної роботи студентів.

Дана робота передбачає подальше вдосконалення створеного електронного підручника, а саме:

ь розробка тестових завдань для діагностування навчальних досягнень;

ь добір навчального матеріалу з урахуванням ступеня підготовки студента.

У перспективі можливе використання розробленого підручника в системі дистанційного навчання.

Список використаної літератури

1. Давидов М.О. Курс математичного аналізу, т.II - Київ: “Вища школа”, 1999. - 368с.

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу, т.III - Київ: “Вища школа”, 1992. - 360с.

3. Иванов В.Л. Структура электронного учебника. // Информатика и образование. 2007 - № 6.

4. Ильин В.А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа,

5. часть II.- М.: ”Наука”, 2005. - 448с.

6. Максимов Г.Н., Вишняков А.В., Капустин Ю.И. Электронный учебник -что это? // Откритое образование. - 2008. - №2. - с. 19-21.

7. Матрос Д.Ш. Электронная модель школьного учебника. //Информатика и образование. 2004 - № 8.

8. Христочевский С.А. Базовые элементы электронных учебников и мультимедийных энциклопедий. Системы и средства информатики. Вып.9. Г.: Наука. Физматлит, 2009.

9. Христочевский С.А. Электронные мультимедийные учебники и энциклопедии. //Информатика и образование. 2007 - № 2. С 70-77.

Размещено на Allbest.ru