Главная База знаний "Allbest" Программирование, компьютеры и кибернетика Вивчення математичного аналізу з допомогою електронного підручника

Вивчення математичного аналізу з допомогою електронного підручника

Поняття електронного підручника, його розробка, основні переваги та недоліки. Вивчення теоретичного курсу з теорії границь, диференціального та інтегрального числення функції однієї змінної. Застосування інтеграла Рімана, його означення та властивості.

Рубрика Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид дипломная работа
Язык украинский
Дата добавления 12.02.2013
Размер файла 2,6 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ЕЛЕКТРОННИЙ ПІДРУЧНИК ЯК ЗАСІБ ІНФОРМАТИЗАЦІЇ ОСВІТНЬОЇ ГАЛУЗІ

1.1 Поняття про електронний підручник

1.2 Основні вимоги до електронного підручника

1.3 Структуризація та оформлення електронного підручника

1.3.1 Особливості мови HTML

1.3.2 Редагування тексту

1.3.3 Створення гіперпосилань і графіки на Web-cторінках

1.3.4 Робота з таблицями

1.4 Програма Advanced Grapher

1.5 Етапи створення посібника

РОЗДІЛ 2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬ

2.1 Границя послідовності

2.1.1 Деякі позначення і термінологія

2.1.2 Числові послідовності та їх класифікація

2.1.3 Нескінченно малі послідовності та їх властивості

2.1.4 Границя послідовності

2.1.5 Граничний перехід в нерівностях

2.1.6 Нескінченно великі послідовності

2.2 Теорія дійсних чисел

2.2.1 Теорія дійсних чисел

2.2.2 Точні грані множини

2.2.3 Поняття підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Поняття часткової границі. Верхні і нижні границі, проблема їх існування

2.2.4 Критерій Коші збіжності послідовності

2.3 Границя і неперервність функції

2.3.1 Гранична точка множини. Означення границі функції

2.3.2 Границя функції на нескінченності (випадок, коли )

2.3.3 Односторонні границі функції в точці

2.3.4 Означення неперервності функції в точці. Точки розриву функції та їх класифікація

2.3.5 Арифметичні операції над неперервними функціями

2.3.6 Властивості неперервних функцій

2.3.7 Обернена функція

2.4 Показникова та логарифмічна функції і їх властивості

2.4.1 Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості

2.4.2 Логарифмічна функція

2.4.3 Загальностепенева функція і її властивості

2.4.4 Друга та інші цікаві границі

2.4.5 Гіперболічні функції та їх графіки

Додаток

ВИСНОВКИ

ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Добре відомо, що зараз в нашій державі є чимало закладів, в яких учні поглиблено вивчають математику. В таких закладах на вивчення математики виділяється значно більше годин, ніж в загальноосвітніх школах, а раз так, то тут можна значно глибше розглядати певні розділи шкільної програми. Разом з тим ми знаємо, що в школах вкрай незадовільно вивчається математичний аналіз, як через відсутність часу, так і через невисокий рівень підготовки з математики учнів таких шкіл. А ось в математичних школах та ліцеях цей важливий розділ можна вивчати значно краще і глибше. Автор цієї роботи в свій час закінчила такий заклад, а її науковий керівник тривалий час викладав в ньому і на основі нашого досвіду появилась ця робота, яка, з нашої точки зору, зможе допомогти учням розібратися з границею, неперервністю, диференційованістю та інтегрованістю функцій, а також показати де і як це можна використовувати. Поряд з цим, ця робота може бути корисною не тільки для школярів, а й для студентів молодших курсів вищих навчальних закладів, які не поверхово вивчають математичний аналіз.

Дипломна робота включає такі розділи математичного аналізу:

1) вступ до аналізу (теорія границь, неперервність функції);

2) диференціальне числення функції однієї змінної (поняття похідної, дослідження функції);

3) інтегральне числення функції однієї змінної (невизначений інтеграл, інтеграл Рімана);

4) застосування інтеграла Рімана.

Крім того, ми приводимо деякі задачі для майбутніх учасників різних олімпіад. Відповідно до змісту, дані розділ поділені на пункти та підпункти, логічно пов'язані між собою. В кінці кожної теми проводиться коротка мотивація на вивчення нового матеріалу. В роботі здійснюється повний виклад теоретичного матеріалу, подаються означення понять, теорем і їх доведення, наслідки з них та зауваження. При розгляді кожної теми наведені приклади розв'язування типових задач, деяких складних прикладів та, де треба, ілюстрації до них. В теоретичному матеріалі з диференціального та інтегрального числення подані таблиці похідних та інтегралів для подальшого практичного використання. Для зручності вивчення ми створили термінологічний словник, який в будь-який момент допоможе пригадати певне означення. Як окрему сторінку, виділено список літератури для глибшого вивчення предмету.

Одним з важливих завдань курсу математики є розвиток графічної культури учнів, зокрема уміння графічного зображення і інтерпретації об`єктів, що вивчаються. Слід зауважити, що робота з графічними об`єктами є потужним інструментом як теоретичної математики, так і прикладної (графічне зображення об`єктів і процесів, робота з графіками, діаграмами, схемами). Тому особливу увагу ми приділили впровадженню НІТ (Нових Інформаційних Технологій) при вивченні функцій. До роботи додається праграма Advanced Grapher, яка дозволяє будувати графіки функцій, заданих різними способами.

Як ми вже говорили вище, в роботі розміщений важливий, з нашої точки зору, для учнів математичних шкіл та ліцеїв розділ «Олімпіадні задачі». В ньому подані ідеї та способи виведення основних класичних нерівностей, зокрема встановлені зв'язки між середніми геометричним, арифметичним, квадратичним та гармонічним; показано як розв'язуються деякі задачі з їх використанням.

Поряд з тим, що вказаний вище матеріал надрукований на традиційному папері, він ще розміщений і на електронних носіях у вигляді так званого елекронного підручника. Подібно до паперового аналога він містить титульну сторінку, де вказана назва, автори та кнопка переходу на основне вікно. Там користувач може ознайомитися з навігаційним меню та змістом посібника. Для зручності в використанні ми розділили електронний підручник на такі частини: програма курсу, лекції, термінологічний словник, олімпіадні задачі, список літератури. При наведенні курсору на потрібний розділ та кліку мишкою на екран виводиться відповідний матеріал. Учень, ознайомившись із змістом підручника, може перейти до конкретного розділу чи параграфу, який його цікавить. За необхідності можна роздрукувати частину підручника та видати його необхідним тиражем.

Зважаючи на те, що елементарних підручників з математичного аналізу для учнів подібних шкіл майже намає, ми надіємся, що наша робота допоможе тим учням, які в майбутньому хочуть займатися на професійному рівні математикою, вивчити класичний математичний аналіз функцій однієї змінної.

РОЗДІЛ 1. ЕЛЕКТРОННИЙ ПІДРУЧНИК ЯК ЗАСІБ ІНФОРМАТИЗАЦІЇ ОСВІТНЬОЇ ГАЛУЗІ

1.1 Поняття про електронний підручник

Підручники завжди були невід'ємним компонентом всього навчального процесу. У загальній системі засобів навчання вони служили основним стрижнем для отримання нових знань. Видатний чеський педагог Я.А.Каменський про підручник сказав, що книга є найголовнішим засобом навчання зі всієї системи засобів навчання. Тому серед всього різноманіття різної літератури підручник є першим і найважливішим джерелом знань для учнів, і його слід розглядати як один з основних компонентів всього навчання.

Стрімкий процес інформатизації шкіл на основі сучасних комп'ютерів, що поступають в навчальні заклади країни, відкриває в освіті шлях електронним підручникам. Сучасні методи представлення інформації в комп'ютерах містять в собі не тільки текст, малюнки, графіку, креслення, але й звукові та відео фрагменти, що забезпечує наочність підручника. Відмінною особливістю побудови електронних підручників є гіперпосилання. У зв'язку з актуальністю цього питання вченими, педагогами, фахівцями інформаційно-бібліотечної сфер ведуться розробки основних принципів, що характеризують сучасній електронний підручник, його підготовку, поширення, застосування з окремих предметів.

Електронний підручник є виданням, яке містить систематизований матеріал з відповідної науково-практичної галузі знань, що забезпечує творче та активне оволодіння знаннями, вміннями та навичками з певної галузі. Він призначений переважно для індивідуального навчання. Електронні підручники рівною мірою можуть використовуватися в дистанційній освіті. [4]

Порівняємо електронний підручник з друкарським, розміщеним на паперовому носії. Вони мають такі загальні ознаки, а саме:

- навчальний матеріал висловлюється з певної області знань та освітлюється на сучасному рівні досягнень науки і культури;

- матеріал в підручниках висловлюється систематично, тобто є завершений твір, який складається з багатьох елементів, які мають смислові зв'язки між собою, що забезпечує цілісність підручника.

Крім загальних ознак виділяють і відмінні, які слід чітко визначити:

- на відміну від друкарського електронний підручник з конкретного навчального предмета може містити матеріал декількох рівнів складності. При цьому він буде розміщений на одному лазерному компакт-диску, містити багатоваріантні завдання для перевірки знань в інтерактивному режимі для кожного рівня.

- наочність в електронному підручнику значно вища, ніж в друкарському. Вона забезпечується використанням мультимедійних технологій: анімації, звукового супроводу і гіперпосилань, відеосюжетів і т.п.

- електронні підручники є по своїй структурі відкритими системами. Їх можна доповнювати, коректувати, модифікувати в процесі експлуатації.

Побудова електронного підручника є складною справою. Від того, як він був створений залежить наскільки успішно сприйме, зрозуміє чи запам'ятає учень, або студент ту інформацію, яка в ньому подана. Тому, викладач, який поставив перед собою мету створити електронний підручник, повинен знати:

- сучасні світові тенденції розвитку освіти, вимоги до його якості і до сучасної науково-методичної літератури;

- технічно-педагогічні особливості передачі інформації від ЕОМ до людини;

- основні дидактичні прийоми організації і представлення навчального матеріалу;

- можливості програм, орієнтованих на створення мультимедійних додатків .

1.2 Основні вимоги до електронного підручника

Сучасний комп'ютер має великі можливості в застосуванні різноманітних типів інформації. Це і текст, і креслення, і графіка, і анімація, і відео зображення, і звук, і музичний супровід. Ефективне використання різних типів пред'явлення інформації з урахуванням психологічних особливостей її переробки дозволяє значно підвищити ефективність навчального процесу.

Нерідкі приклади, коли розроблювачі навчальних програм механічно переносять спосіб розташування тексту на екран монітора, зневажають закономірностями психології сприйняття тексту і малюнка, задаючи темп зміни зображення, не враховують, що різні учні мають неоднакову швидкість і вимагають для переробки інформації різні проміжки часу.

При побудові інтерфейсу навчальної системи необхідно враховувати досягнення теорії дизайну. Це насамперед стосується таких основних принципів теорії живопису, як пропорція, порядок, акцент, єдність і рівновага.

Принцип пропорції стосується співвідношення між розмірами об'єктів і їхнім розміщенням у просторі. Організовуючи дані на екрані дисплея, необхідно прагнути до того, щоб логічно зв'язані дані були явно згруповані і відділені від інших категорій даних. Функціональні зони на дисплеї повинні розділятися за допомогою пробілів і інших засобів: різні типи рядків, ширина, рівень яскравості, геометрична форма, колір. Для скорочення часу пошуку табличні дані повинні розділятися на блоки. Необхідно враховувати, що площина теплих квітів звичайно здається більшою, ніж холодних. Розбивка на блоки, використання пробілів, табуляції, обмежників, а також варіювання яскравості кольору груп даних - найважливіші засоби упорядкування графічної інформації.

При розміщенні даних необхідно пам'ятати про правило «золотого перетину», відповідно до якого об'єкти, що привертають увагу, краще розміщати в різних третинах зображення, а не групувати в центрі.

Порядок означає таку організацію об'єктів на екрані дисплея, що враховує рух ока. Виявлено, що око, яке звикло до читання, починає рух звичайно від лівого верхнього кута і рухається назад-вперед по екрану до правого нижнього. Тому початкова крапка сприйняття повинна знаходитися в лівому верхньому куті екрана, а списки для швидкого перегляду повинні бути підігнані до лівого поля і вирівняні вертикально.

Для полегшення сприйняття різні класи інформації повинні спеціально кодуватися. Так, зв'язані, але рознесені по екрану дані повинні кодуватися одним кольором. Колір можна використовувати і для виділення заголовків, нових даних чи даних, на які варто негайно звернути увагу. В цілому організація даних на екрані повинна полегшувати знаходження подібностей, різновидів, тенденцій і співвідношень.

Підказки необхідно спеціально виділяти за допомогою кольору. Для них бажано відвести визначену зону екрана. Необхідно виділяти критичну інформацію, незвичайні дані, елементи, що вимагають зміни, повідомлення високого пріоритету, помилки введення, попередження про наслідки команди і т.п. Для того, щоб привернути увагу учнів до основного об'єкту, доцільно використовувати кольорову пляму: самим яскравим кольором зображується основний об'єкт, інші його частини - додатковим. Якщо кольорова гама будується без обліку психології сприйняття малюнка, це затрудняє виділення головного, приводить до стомлення зору.

Потрібно враховувати, що світлі кольори на темному фоні здаються наближеними до глядача, а темні на світлому - вилученими. У тих випадках, коли мова йде про евристичні рекомендації, колір можна погоджувати зі звичайним зображенням: червоний - заборона, зелений - рекомендація, жовтий - обережність.

Принцип єдності вимагає, щоб елементи зображення виглядали взаємозалежними, правильно співвідносилися по розміру, формі, кольору. З цією метою необхідно подбати про упорядкування організації даних. Вони можуть бути організовані послідовно, функціонально, по значимості. При цьому учня варто ознайомити з принципом розташування даних. Варто подбати про те, щоб ідентичні дані були представлені уніфіковано, а різнопланові - по-різному.

Для передачі розмежування потрібно використовувати контрастні кольори, а для передачі подібності - схожі, але різні. Представлення інформації повинне бути уніфікованим і логічним.

Для досягнення єдності зображення в цілому використовуються рамки, осі, поля. Враження єдності групи створює вільний простір навколо них. Вважається, що урівноважене зображення створює у користувача відчуття стабільності і надійності, а неврівноважене викликає стрес. Для правильного розподілу візуальної ваги на екрані дисплея необхідно пам'ятати, що будь-який хроматичний колір сприймається важче, ніж ахроматичні - білий і чорний; великі предмети сприймаються важче маленьких; чорне важче білого, неправильні форми важче правильних.

Принцип рівноваги (балансу) вимагає рівномірного розподілу оптичної ваги зображень. Оскільки одні об'єкти сприймаються як більш важкі, а інші як більш легкі, необхідно розподіляти цю оптичну вагу рівномірно по обидва боки зображення. Інформація не повинна скупчуватися на одній стороні екрану, логічні групи інформації повинні продумано розміщуватися в просторі, заголовки добре центруватися.

Створення добре спланованої і продуманої навчальної системи, яка б відповідала усім психологічним і психопедагогічним вимогам, неможливо без застосування цих принципів. Сучасний розвиток комп'ютерних технологій знімає все більше і більше технічних обмежень, дозволяє глибше враховувати принципи дизайну і побудови подібних систем.

1.3 Структуризація та оформлення електронного підручника

1.3.1 Особливості мови HTML

Hyper Text Markup Language (Html) - Мова Розмітки Гіпер Текстів. Файл, що містить HTML документ повинний мати розширення ім'я_файлу.htm або ім'я_файлу.html. Для компонування Web-сторінок можна використовувати будь-як текстовий редактор, що зберігає "тільки текст", тобто текст без символів форматування, встановлення шрифтів і т.д. Картинки й інші нетекстові компоненти не вставляються в документ, а безпосередньо і зберігаються окремо. Замість цього в текст вставляються посилання, що вказують програмі перегляду ім'я файлу, що містить картинку. Для створення сторінок зовсім не обов'язково мати доступ до мережі. Усі відомі програми перегляду (Internet Explorer, Netscape, Mosaic, lynx і т.д.) можуть відкрити файл із документом.

Документ, складений за допомогою мови розмiтки HTML, є текстовим файлом. Такий файл можна створити в звичайному текстовому редакторі, наприклад, у програмах Блокнот чи WordPad, що входять до складу ОС Windows. Однак нині існують більш зручні та розвинутi програми підготовки НТМL-документiв. Їх умовно можна поділити на візуальні редактори HTML i редактори HTML-текстів.

Працюючи у візуальному НТМL-редакторi, користувач має справу з графічними образами елементів HTML, а не з кодом документа. Biн може шляхом перетягування мишею i простими операціями в інтерфейсі розміщати на сторінці необхідні елементи. Завдяки цьому навіть користувачеві, що не знає мови HTML, під силу створювати прості Web-сторінки. До візуальних редакторів HTML належать програми Microsoft FrontPage, Macromedia Dreamveawer, Netscape Navigator Gold та iн.

При cтвореннi сайту користувач звичайно сам визначає, працювати йому в візуальному чи в НТМL-редакторi, вручну складаючи НТМL-код. Але при цьому потрібно врахувати, що ефективно керувати НТМL-документами i вирішувати питання Web-дизайну можна тільки використовуючи мову розмiтки.

Теги i структура HTML-документа

Щоб виконати розмітку документа за допомогою HTML потрібно його розбити на елементи: заголовки, абзаци, малюнки, таблиці. Для кожного елементу задати команду мови HTML, яка називається тегом (або дескриптором). Ця команда містить інформацію про те, який вигляд повинен мати даний елемент на Web-сторiнцi, якi зв'язки він має з іншими елементами або документами.

У мові HTML є багато тeгів, серед яких - теги створення заголовка документа, задання параметрів шрифту, креслення ліній, вставки гiперпосилань, вставки графічних елементів. Тож Web-сторінка, окрім тексту i посилань, може містити графіку, звуки, відео.

Тег (у перекладі tag - покажчик, мітка) - це фрагмент коду, що описує певні елементи документа HTML і вміщений у кутові дужки < >.

Найпростішим тегом є, наприклад, тег з ім'ям HTML. Тег <HTML> визначає початок НТМL-документа. Початковому тегу <HTML> відповідає кінцевий тег </HTML> із тим самим ім'ям, але з косою рискою «/». Отже, початок i кінець НТМL-документа позначаються парою тегів: <HTML>... </HTML>.

НТМL-документ умовно можна розбити на три частини:

1) службова інформація для браузера, що вміщена у рядок з тегом < ! DOCTYPE>;

2) заголовок документа, який містить назву документа, а також службову інформацію для cepверів, описи невеликих програм-сценарiїв. Ця частина документа знаходиться між тегами <HTML> і </HTML>;

3) тіло документа, що обмежене тегами <BODY>...</BODY> (iнодi замість тегів <BODY> можуть використовуватися теги фреймової структури <FRAMESET>).

Елементи HTML

Кожний документ складається з окремих об'єктів: абзаців, заголовків, малюнків тощо. Ці об'єкти, переведені у формат HTML, зображаються у вигляді елементів HTML.

Елементи HTML - це пари тегів i символьні дані (текст або код), вміщені між ними.

Елемент називається, звичайно, за іменем тегу (без кутових дужок). Наприклад, елементом є заголовок сторінки: <ТIТLЕ> … </ТIТLЕ>.

Уci елементи, передбачені в HTML, можна умовно поділити на кілька категорій:

1) структурні - елементи, обов'язкові для документа, що відповідає стандарту HTML (наприклад, HTМL, HEAD, BODY i TITLE);

2) блокові - елементи, призначені для форматування цілих текстових блоків (наприклад, DIV, Н1, Н2, НЗ, Н4, Н5, Н6, Р, PRE); часто блокові елементи відокремлюються переведенням рядка вiд іншої частини документа;

3) текстові - елементи, що задають розмітку шрифту (І, В, О, BІG, SМALL i iн.), розмітку тексту (STRONG, CODE, VAR, C1TE i iн.);

4) спеціальні - елементи порожнього рядка (BR, HR), якірний елемент А, впроваджені елементи (ІMG, OBJECT, МАР i iн.), елементи таблицi (TABLE).

У будь-якому документі HTML обов'язково присутні вкладені елементи, тобто такі, що включені до складу інших елементів.

Зазначимо, що у запису елементів HTML можна використовувати як великі, так i малi літери. Так, браузер однаково буде сприймати теги <TІTLE>, <Title> або <title>. Однак для унiфiкацiї iменa тегів записують великими літерами.

1.3.2 Редагування тексту

Найбільш поширеною формою подання iнформацiї є текст, тому він звичайно займає велику частину Web-сторінок. Розглянемо основні можливості оформлення тексту, передбачені в HTML.

Формування абзаців i рядків

При ствоpeннi Web-сторінок електронного посібника потрібно прагнути до лаконічних текстів, чітко структурованих абзацами. Для створення абзацу у мові HTML передбачено кілька можливостей. Найпростіша з них - це використання тегів <Р> i </Р>, між якими вміщений текст абзацу. Проте, кінцевий тег < / Р> в елементі абзацу не є обов'язковим.

Для переведення рядка (розрив рядка) застосовують тег <BR>. Цей тег є порожнім елементом, що змушує браузер перевести текст на новий рядок. Теги <BR> зручні при оформленні поштових адрес, наборі віршів тощо.

3адання заголовків

Заголовки поділяють НТМL-документ на логічно закінчені блоки. Завдяки заголовкам студент, що зайшов на Web-сторінку може отримати уявлення про її вміст. Для задання заголовків використовуються парні теги <Н1> (заголовок 1-го, найвищого рівня), <Н2> (заголовок 2-го рівня). Усього передбачено 6 рівнів заголовків.

Браузери відображають заголовки більшим (напівжирним) шрифтом. Вищому рівню заголовку відповідає більший розмір шрифту. Заголовки відокремлюються порожніми рядками від іншого тексту.

Форматування символів

Параметри шрифту, який використовують для відображення тексту на Web-сторінках, найпростіше визначити за допомогою дескриптора FONT, для якого передбачені такі атрибути: face (гapнітypa шрифту або список допустимих шрифтiв); color (колiр шрифту) i size (розмiр шрифту).

HTML допускає два підходи до шрифтового виділення фрагментів тексту. З одного боку, можна прямо вказати, що шрифт на деякій ділянці тексту повинний бути жирний або похилим, тобто змінити фізичний стиль тексту. З іншого боку, можна позначити деякий фрагмент тексту як має деякий відмінний від нормального логічний стиль, залишивши інтерпретацію цього стилю браузерові. Пояснимо це на прикладах.

Курсив:<i>...</i>

Ця пара міток виділяє курсивом весь текст, розташований між ними. Дескриптор <і> не має атрибутів. Використовується курсив для залучення уваги або створення особливого ефекту; слід пам'ятати, що при надлишковому використанні ефективність курсиву швидко зменшується. Закреслювання: <s>...</s>

Текст, укладений між цими дескрипторами, буде закреслений тонкою лінією, ширина якої дорівнює одному пікселю. Закреслений текст складно читати на екрані, тому не потрібно зловживати цим дескриптором. Найчастіше він застосовується для виділення тексту, що був вилучений з попередніх версій документа. Цей тег не має атрибутів.

Моноширинний шрифт: <tt>...</tt>

Текст розташований між цими мітками, виводиться моноширинним (monospaced) шрифтом, звичайно це один зі шрифтів сімейства Courier або інший шрифт із зарубками. Такий шрифт застосовується для тексту, надрукованого за допомогою телетайпа або друкарської машинки. Часто такий вид тексту використовується для вказівки на інформацію, що видається комп'ютером.

Підкреслення: <u>...</u>

Весь текст, розташований між цими дескрипторами, буде підкреслений. Потрібно намагатися уникати цього дескриптора, оскільки більшість браузерів використовує підкреслення для виділення гіперпосилань. Підкреслення може ввести в оману користувачів, якщо вони подумають, що перед ними гіперпосилання, що не працює.

Жирний шрифт: <b>...</b>

Ця пара міток виділяє жирним шрифтом весь текст, розташований між ними. Дескриптор <b> не має атрибутів. Використовується в заголовках, для виділення.

Вирiвнювання абзацiв

Абзаци, які визначають тегами <Р> i <BR>, за замовчанням вирівнюються по лівому краю сторiнки. Змінити таке вирівнювання можна за допомогою атрибута align. Значення align=”center” задаватиме вирівнювання по центру, значення align=”right” - вирівнювання по правому краю сторiнки (вирiвнювання по лівому краю визначається атрибутом align=”left”). Наприклад, заголовок <Hl аlign="сеntеr"> Ряди </Нl> розташовуватиметься по центру сторінки.

Задання фону сторiнки

Якщо ж потрібно визначити колiр шрифту для всієї сторiнки, то використовують атрибут text дескриптора <ВОDY>. Наприклад, тег <BODY text="red"> задає для всього тексту червоний колiр. Koлip фону всього НТМL-документа визначається атрибутом bgcolor тегу <ВОDY>. Наприклад, тег <ВОDY bgcolor="olive"> призначає оливковий колiр для фону Web-сторiнки.

Створення спискiв

Мова HTML надає спецiальнi елементи, що дозволяють подавати текстову iнформацiю у виглядi подiбних спискiв.

Як відомо виділяють марковані (неупорядковані) i нумеровані (упорядковані) списки, причому код списку є структурою iз вкладених елементiв. Зовнiшнiм елементом є пари тегів:

1) <UL> . . . < /UL> - для маркованого списку;

2 <OL> . . . </OL> - для нумерованого списку.

У серединi цих тегів містяться елементи списку, якi записуються за допомогою одиночних тегів: <LІ> Bміст рядка списку.

Отже, кiлькiсть елементiв LІ дорiвнює кiлькостi рядкiв у списку. Iменa наведених вище тегів є скороченнями слiв: UL (Unordered List) - неупорядкований список, тобто список без номерів; OL (Ordered List) - упорядкований список, LI (List Item) - елемент списку.

Iнодi на початку списку розташовують заголовок, що видiляється парним тегом <LH>. . .</LH>. Ім'я цього тегу LH - скорочення вiд List Header (заголовок списку). [15]

1.3.3 Створення гіперпосилань і графіки на Web-cторінках

Гіперпосилання

Структура гіпертекстової мережі задається гіпертекстовими посиланнями. Гіпертекстове посилання - це покажчик на адресу іншого чи HTML-документа іншого інформаційного ресурсу мережі, що логічно або тематично зв'язаний з вихідним документом. Для вказівки гіпертекстових посилань у системі WWW була розроблена спеціальна форма, яка називається Universe Resourse Locator. Типовим прикладом гіпертекстового посилання може служити наступний код:

<А HREF="http://www.fizmat.tnpu.edu.ua/index.html"> </А>

У приведеному прикладі тег "А", що у HTML називають якорем (anchor), використовує атрибут "HREF", який указує URL призначуваного гіперпосиланням ресурсу Також тег "А" можна використовувати для гіпертекстових посилань усередині одного документа (закладок). Така можливість демонструється прикладом

<А HREF="#info">. Посилання на інформацію </А>.

У тексті документа, у такому випадку, повинний бути присутнім фрагмент:

<А NAME="info"> Інформація </А>

Нескладно зрозуміти, що атрибут "NAME" використовується для вказівки імені закладки.

Вставка зображення . Вставка зображення на Web-сторінку виконується тегом <IMG>. Усередині цього тегу обов'язково записується атрибут src, що містить URL зображення. Назва цього атрибута походить вiд слова source - джерело.

Наприклад, якщо потрібно розмicтити на сторiнцi картинку з файла Max. jpg. Для цього необхідно зберегти файл iз зображенням у певній папці (наприклад, у тій самій папці, що i НТМL-документ), а у документ ввести тег <IMG src=”max.jpg”>.

За замовчуванням браузер використовуватиме реальні розміри зображення, яке зберігається в графічному файлі. Якщо потрібно змінити ці розміри, застосовують атрибути width (ширина) i height (висота). Значення розмірів зображення задаються звичайно у пiкселах, наприклад, width=”133” height=”33”.

Можна також задавати ширину i висоту у відсотках розмірів зовнішнього елемента (сторiнки). Наприклад, зображення, що задається тегом <IMG src=”max.jpg” width=”30%”>, займе по ширині 30% сторінки, а висота буде розрахована браузером із зберіганням пропорцій. Користувач бажає скласти уявлення про зміст сторiнки, коли вона тiльки почала завантажуватися. Тоді він зможе вирішити, чи варто чекати повного завантаження сторiнки. У цьому йому допоможуть написи на мiсцi малюнків, що не завантажилися. Їх задають атрибутами alt. Наприклад, така інструкція <IMG src="photo.jpg" width="50%" аlt="…"> замість малюнка, що не завантажився, виведе рамку iз межами малюнка i помістить у неї текст “…”. [2]

1.3.4 Робота з таблицями

Таблиці використовуються в web-дизайні не тільки, як засіб представлення даних, але і як інструмент розташування елементів на сторінці. Чого можна домогтися за допомогою таблиць? Як відомо, сторінка може проглядатися с різним дозволом. В даний час основними є дозволи 640х480, 800х600 і 1024х768. Для того, щоб сторінка однаково дивилась в усіх дозволах необхідно обмежити ширину змісту мінімальним дозволом. Зробити це простіше всього за допомогою таблиць.

Кожна таблиця починається тегом <TABLE> i закінчується тегом </TABLE>. Створювана таблиця ніби розгортається по рядках, а рядки заповнюються комірками. При цьому всередину тегів <TABLE>...</TABLE> можуть вставлятися такі елементи:

TR - елемент створення рядка;

TD - елемент, що визначає вміст комірки даних;

TH - елемент, що визначає комірку заголовка.

Наприклад, для створення таблицi 3х2 використовується такий шаблон:

<TABLE>

<TR><TD>. . .</TD><TD>. . .</TD></TR>

<TR><TD>. . .</TD><TD>. . .</TD></TR>

<TR><TD>. . .</TD><TD>. . .</TD></TR>

</TABLE>,

де крапками позначений вміст кожної комiрки. Усерединi тегів першого рядка <TR>. . . </TR> замiсть елементів TD можуть розміщуватися заголовки кожного стовпця - елементи ТН.

Тег <TABLE> використовує наступні основні атрибути:

Таблиця Атрибути тэга <TABLE>

Найменування

Опис

WIDTH="[ширина]"

Ширина таблиці. Задає мінімальну ширину таблиці. Якщо який-небудь елемент (дуже часто це стається з елементами <PRE></PRE> і <IMG>) не може бути відображений у цій ширині, то ширина таблиці збільшується, щоб вмістити цей елемент. Задається в одиницях довжини (пікселі, пункти і т.п.) чи у відсотках доступного простору.

HEIGHT="[висота]"

Висота таблиці. Так само задає мінімальну висоту таблиці.

VALIGN="TOP|BOTTOM"

Задає вирівнювання вмісту осередків. Якщо цей атрибут опущений, то вміст вирівнюється по центрі

ALIGN="LEFT|RIGHT"

Задає вирівнювання таблиці

CELLPADDING="[відступ]"

Відступ від границі до її вмісту.

BACKGROUND="[шлях до картинки]"

Задає зображення фону таблиці. У деяких випадках некоректно обробляється Netscape Navigator.

BGCOLOR="#rrggbb|назва кольору"

Задає колір фону таблиці .

1.4 Програма Advanced Grapher

Advanced Grapher - це потужна, але легка в використанні програма для побудови графіків, креслення кривих і обчислення функцій. Вона дозволяє працювати в декартовій системі координат, будувати параметричні функції, графіки, рівняння. Можливості обрахунків: нулі і екстремуми функцій, перетин, похідні, рівняння нормалей, числове інтегрування (рис.1.1.)

Рис.1.1

Використаня Advanced Grapher дозволить навчити учнів установлювати взаємозв`язок графіка функції та її властивостей - неперервність, точки розриву, проміжки зростання та спадання, знакосталості, опуклості, найбільше та найменше значення, точки максимуму, мінімуму, перегину, використовуючи для цього математичний апарат похідної і границь функції.

1.5 Етапи створення посібника

Дослідивши поняття „електронного підручника” та ознайомившись з вимогами до нього ми створили власний посібник з курсу математичного аналізу. Він містить в собі теоретичний матеріал та практичні завдання, розроблені у відповідності з чинними програмою та підручниками з математичного аналізу.

Посібник має наступну структуру (рис.1.2.)

На 1-му етапі нашої роботи було розглянуто концепцію електронного підручника, проаналізовано доцільність використання електронних підручників у навчальному процесі. До недоліків традиційних підручників віднесено: неможливість зміни без перевидання (досить дорогого), практична неможливість їх пристосування до індивідуалізації навчання кожного учня. Відповідно, перевагами електронних підручників є можливість багаторазової зміни і тиражування без великих матеріальних затрат, можливість настроювання для окремих користувачів, що дає змогу реалізувати принцип диференційованості навчання. Суттєвою перевагою є можливість включати в них сучасні (у тому числі мультимедійні) способи представлення інформації, використовувати інтерактивні засоби контролю знань, у тому числі і самоперевірки. Він забезпечує самостійність вивчення курсу, доступність до будь-якого розділу, зручність у використанні.

Наступним етапом був відбір матеріалу, його структурування за розділами, параграфами, підпунктами, складання змістів. Далі ми створили електронні версії теоретичного та практичного матеріалу за допомогою редактора Microsoft Word 2007. Основна робота проводилася в формульному редакторі, використовувались засоби для створення малюків, таблиць. Кожен підпункт розміщений в окремому файлі, які в свою чергу розміщені в загальному каталозі, що поділений на підкаталоги.

Для коректного відображення в браузері ми перетворили текстовий формат документу в HTML-формат. Редагуючи текст, створювали гіперпосиланням зовнішні (на термінологічний словник) та внутрішні, що встановлювали зв'язки між окремими поняттями та означеннями в тексті.

Електронний підручник складається з обкладинки, яка містить назву, перелік авторів та кнопку переходу на сам посібник.

Верхній фрейм містить графічні зображення (створені в програмі Photoshop) та навігаційне меню. Для коректного відображення малюнку в різних браузерах ми використали масштабування в відсотковому відношенні. За допомогою кнопок меню користувач має змогу викликати підменю у лівому вікні: зміст лекцій, курс по олімпіад них задачах, літературу. Використовуючи вже лівий фрейм, при наведенні клацанні мишею на назві потрібного розділу чи параграфу відбувається гіперпосиланням і у головному фреймі з'являється потрібний матеріал.

Таким чином наш програмний продукт є засобом забезпечення структурного, ґрунтовного, свідомого вивчення курсу математичного аналізу. Він на належному рівні забезпечить міцність засвоєння матеріалу, задовольнить цікавість здібного учня (адже містить нестандартні завдання), допоможе надолужити матеріал, якщо він по тій чи іншій причині не був вивчений. Підручник може бути роздрукований необхідним тиражем, що допоможе чергувати різні форми роботи для ефективного засвоєння ти вироблення навичок і вмінь. Викладач в свою чергу може змінювати, редагувати, вносити корективи в теоретичний та практичний матеріал. Усі бажаючі, хто є користувачем ПК можуть ознайомитися з нашою роботою та використовувати її в навчальних цілях.

В наступній частині магістерської роботи подається друкований варіант теоретичного матеріалу із наведеними прикладами задач та розділ „Олімпіадні задачі”, який містить створений електронний підручник.

РОЗДІЛ 2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬ

2.1 Границя послідовності

2.1.1 Деякі позначення і термінологія

При введенні різних понять математичного аналізу і доведенні теорем, в нас часто тут будуть зустрічатися наступні словосполучення: «для будь-якого», «для всякого», «існує», «існує єдине». Для того, щоб скоротити записи формулювань означень та доведення теорем ми будемо ці звороти позначати відповідно наступними символами - - «для будь-якого», - «існує», - «існує єдиний», які називаються кванторами.

В процесі вивчення математичного аналізу ми весь час матимемо справу з певними, в основному, числовими множинами, які позначатимемо великими літерами латинського алфавіту, а об'єкти, з яких складаються ці множини, називатимемо їх елементами і позначатимемо малими літерами латинського алфавіту: Те, що є елементом множини , позначатимемо В протилежному випадку - (рідше ). Якщо ж всі елементи множини є одночасно і елементами множини то множину називатимемо підмножиною множини а множину - надмножиною множини і позначатимемо Якщо і то множини іназивають рівними (тобто множини називаються рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів).

Над множинами здійснюються наступні операції: об'єднання, переріз, різниця та симетрична різниця.

1) Об'єднанням двох множин і () називається множина, кожний елемент якої є або елементом множини або елементом множини

2) Перерізом множин і () називається множина, яка складається з тих і тільки тих елементів, які одночасно є елементами і множини і множини

3) Різницею множин і () назвемо множину, яка складається з тих елементів множини які не є елементами множини Наприклад. Тоді

4) Симетричною різницею двох множин і () називається множина Очевидно, що Тепер домовимось про позначення основних числових множин, якими ми будемо далі користуватися.

Множина натуральних чисел -

множина цілих чисел - (будь-яке ціле число - це різниця двох натуральних);

множина раціональних чисел - Q (раціональне число - це частка цілого числа на натуральне).

Що стосується наступної числової множини дійсних чисел, то дещо пізніше буде побудована більш-менш строга теорія цієї числової множини.

2.1.2 Числові послідовності та їх класифікація

Послідовністю називається функція, областю визначення якої є множина всіх натуральних чисел. Якщо цю функцію позначити через то згідно цього означення має існувати які назвемо відповідно першим, другим, …, -нним або загальним членом нашої послідовності.

Частіше ми таку послідовність позначатимемо інакше, а саме - перший член (), - другий член (), - -нний (), і значить послідовність записуватимемо так - . Будемо вважати, що членами послідовності будуть елементи деякої множини (в майбутньому дійсних чисел), що містить множину Q.

Наприклад. Послідовність - ; послідовність - .

Очевидно, що будь-яку послідовність можна вважати заданою, якщо відомо її загальний член. Інколи, маючи перші члени можна знайти загальний член, проте є послідовності, загальні члени яких або важко або навіть неможливо задати. Оскільки маючи загальний член послідовності можна одержати будь-який її член, то послідовність можна записувати ще й так

Наприклад

Розглянемо деякі класи послідовностей.

Означення 1. Послідовність називається монотонно зростаючою (спадною), якщо будь-який член цієї послідовності, починаючи з другого більший (менший) за попередній, або коротко

Наприклад. - монотонно зростаюча послідовність (позначатимемо це

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

), а послідовність - монотонно спадна (позначатимемо це

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

).

Означення 2. Послідовність називається монотонно неспадною (незростаючою), якщо:

()

Наприклад. - монотонно неспадна послідовність, а - монотонно незростаюча.

Означення 3. Якщо послідовність задовольняє якомусь із означень 1 або 2, то ми її називатимемо монотонною, в протилежному випадку немонотонною.

Послідовності ще й можна класифікувати по іншому принципу.

Означення 4. Число називається нижньою (верхньою) межею послідовності , якщо

Для послідовності нижньою межею буде і будь-яке менше за нього число, а верхньою межею буде 1 і будь-яке більше за нього число. Цікаво було б з'ясувати чи існує число, яке менше за 1 і яке було б верхньою межею цієї послідовності. Послідовність 1,1,2,2… має нижню межу а верхньої межі вона не має. Хоча й можна придумати й інші послідовності, які:

а) не мають нижньої межі, але мають верхню межу;

б)не мають ні нижньої ні верхньої меж.

Означення 5. Якщо послідовність має нижню (верхню) межу, то вона називається обмеженою знизу (зверху).

Означення 6. Послідовність назвемо обмеженою, якщо вона обмежена і знизу і зверху або

якщо ж хоча б одного з чисел чи не існує, то послідовність називається необмеженою.

Зауважимо, що обмеженість послідовності можна означити і дещо іншим способом. Для того нам буде потрібно поняття модуля числа. Нагадаємо, що модулем числа називається число яке визначається так

Приведемо тут без доведення наступні елементарні властивості модуля, доведення яких одержуються безпосередньо з означення

1) якщо то множина розв'язків нерівності може бути задана так

Або

Останній проміжок називається відрізком;

2) якщо то рівносильно

3) аналогічно, якщо то рівносильно

або

4) якщо то

Повернемось знову до послідовностей і приведемо ще одне означення обмеженої послідовності.

Означення 7. Послідовність називається обмеженою, якщо

Оскільки ми поняття обмеженості послідовності означили двома способами, то потрібно показати еквівалентність обох цих означень. Пропонуємо читачу зробити це самостійно. Закінчимо цей параграф розглядом ще одного важливого в майбутньому поняття. Почнемо з

Означення 8. Під - околом точки (позначається це - ) будемо розуміти проміжок з центром в точці , довжиною і кінці якого до нього не включаються або що те саме

Наприклад

Те, що означає, що є розв'язком наступної нерівності, В математичному аналізі, як правило, радіус околу позначають грецькою літерою (епсілон) і тоді

2.1.3 Нескінченно малі послідовності та їх властивості

В цьому параграфі ми починаємо вивчати ті послідовності, які дозволяють в майбутньому ввести основні поняття математичного аналізу.

Розглянемо такі послідовності,

a)

b)

c)

d)

Зобразимо члени цих послідовностей на числовій осі

a)

b)

c)

d)

Аналізуючи послідовності a)-d) ми помічаємо, що лише одна із них - b), має властивість: який би ми окіл точки 0 не взяли, знайдеться номер починаючи з якого, всі члени послідовності належатимуть цьому околу. Послідовність а) такої властивості не має, бо взявши немає жодного її члена, який би належав цьому околу. Послідовність d) також такої властивості не має, бо взявши бачимо що жодний її член теж не належить цьому околу. Що ж стосується послідовності с), то який би ми окіл не взяли не знайдеться після якого всі члени належали б цьому околу. „Бунтівниками” виступатимуть члени з парними номерами (звичайно якщо радіус околу ми будемо брати меншим за одиницю).

Після цього ми можемо дати наступне

Означення 1. Послідовність називається нескінченно малою, якщо

Як випливає з цього означення натуральне число залежить від вибору і напевно із зменшенням не зменшується. Оскільки те, що рівносильне тому, що або а остання нерівність рівносильна такій то наше означення нескінченно малої послідовності можна записати ще й так.

Означення 1'. Послідовність називається нескінченно малою послідовністю, якщо

Покажемо, що наша послідовність b) є нескінченно малою. Це треба зробити, тому що ми перевірили виконання означення 1 і 1' лише для кількох значень

Нехай про яке йде мова в означенні ми знайдемо (якщо знайдемо!?) з нерівності розв'язавши її. Будемо мати

Якщо через - позначимо найбільше ціле число, яке не перевищує числа (це число називається цілою частиною числа ), то покладемо

Тепер, якщо взяти довільне то і отже входить до множини розв'язків нашої нерівності і тому при таких справедлива нерівність а це означає, що послідовність є нескінченно малою.

З'ясуємо чи можна здійснювати над нескінченно малими послідовностями арифметичні операції. Почнемо з такого твердження.

Теорема 1. Сума двох нескінченно малих послідовностей також буде нескінченно малою .

Доведення. Нехай і - нескінченно малі послідовності.

Візьмемо З того, що обидві ці послідовності нескінченно малі, згідно означення 1' будемо мати:

Для

(1)

(2)

Позначимо через максимальне з чисел і і розглянемо далі

(для таких нерівності (1) і (2) виконуватимуться одночасно). Тоді матимемо

А це означає, що послідовність є нескінченно малою. Теорема доведена.

Очевидно її можна узагальнити.

Теорема 1'. Сума - штук (довільної скінченої кількості) нескінченно малих послідовностей є знову нескінченно мала послідовність.

Неважко догадатись, дивлячись на доведення теореми 1, як довести наступний факт.

Теорема 2. Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Що стосується різниці нескінченно малих послідовностей, то вона теж буде нескінченно малою, що доводиться так само як теорема 1, тільки у відповідному місці використовується нерівність:

Що стосується частки двох нескінченно малих послідовностей, то тут ситуація зовсім інша ніж в попередніх арифметичних діях. Наприклад, частка двох нескінченно малих послідовностей і де

і

приводить до послідовності 1,1,1,1,1,1,…, яка очевидно не є нескінченно малою.

Якщо ж взяти

То

теж не є нескінченно малою. Проте, якщо взяти

То

вже є нескінченно малою послідовністю. Ці приклади показують, що частка двох нескінченно малих послідовностей не зобов'язана бути нескінченно малою послідовністю.

Повернемось знов до добутку послідовностей. Справедлива

Теорема 3. Добуток нескінченно малої послідовності на обмежену є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай - нескінченно мала послідовність, - обмежена послідовність. Останнє означає

(3)

Візьмемо далі Тоді з того, що послідовність нескінченно мала матимемо за означенням 1

Для

(4)

Тоді будемо мати

а це означає, що послідовність є нескінченно малою. Теорема доведена.

Що стосується добутку нескінченно малої на необмежену, то тут можливі ситуації. Пропонуємо читачу розібрати їх самостійно. Тепер ми вже можемо ввести одне із фундаментальних понять математичного аналізу.

2.1.4 Границя послідовності

Розглянемо послідовність . Якщо зобразити її члени на числовій осі, то можна помітити, що члени цієї послідовності із збільшенням номера „все ближче” наближаються до 1, причому так що послідовність

є нескінченно малою. Це означає, що число 1 є границею послідовності Дамо означення цьому поняттю.

Означення 1. Число називається границею послідовності і записується якщо послідовність - нескінченно мала.

Вище ми довели, що

Подивимось чи 2 не буде границею цієї ж послідовності.

не є нескінченно малою, бо всі її члени більші за 1.

Зауважимо, що послідовність, яка має границю називається збіжною, в протилежному випадку - розбіжною.

Якщо скористатися означенням 1 і означенням 1 з 1.1.3, то матимемо наступне.

Означення 2. Число є границею якщо

або

або або

Таким чином, ми зараз можемо дати ще одне означення границі послідовності.

Означення 3. Число є границею послідовності якщо

З цього означення зразу випливає: кожна нескінченно мала послідовність збіжна і її границя дорівнює 0.

Якщо об'єднати означення 1 і 1' з попереднього параграфа, то одержимо ще одне

Означення 4.

Якщо

Вивчимо деякі властивості збіжних послідовностей. Те що число 2 не є границею послідовності яка збіжна до числа 1, наводить на думку, що вірною буде наступна

Теорема 1 (про єдність границі). Кожна збіжна послідовність має тільки одну границю.

Доведення. Доведемо цю теорему методом від супротивного. Припустимо, що збіжна послідовність має дві границі і Тоді з означення 1 матимемо

нескінченно малі послідовності. Тоді

Або

Але ж - нескінченно мала послідовність всі члени якої співпадають з одним і тим самим числом що можливо лише при умові коли Теорема доведена.

З'ясуємо співвідношення між обмеженістю і збіжністю послідовності.

Теорема 2 (про обмеженість збіжної послідовності). Якщо послідовність - збіжна, то вона обмежена.

Доведення. Нехай

Тоді за означенням 2 матимемо, що для

Позначимо через Тоді зрозуміло, що

отже послідовність обмежена. Теорема доведена.

Чи вірне обернене твердження?

Для відповіді на це запитання розглянемо послідовність: Очевидно ця послідовність обмежена. З'ясуємо чи вона збіжна. Припустимо, що вона збіжна і - її границя. Тоді, згідно з означення 1 і - нескінченно малі послідовності, а значить їх різниця теж нескінченно мала:

Але

Остання послідовність не є нескінченно малою, бо в не ввійде жоден член цієї послідовності ( а повинні входити всі починаючи з деякого номера!). Тому розглядувана послідовність розбіжна, хоча й обмежена. Отже обернене твердження невірне.

З'ясуємо далі чи послідовності, що є результатами арифметичних дій над збіжними послідовностями залишаються в множині збіжних послідовностей.

Теорема 3. Нехай і - збіжні до чисел і послідовності. Тоді збіжними будуть послідовності:

1.

2.

3. (при умові, що );

відповідно до границь

Доведення. 2. З того, що

маємо за означенням 1

є нескінченно малими. Розглянемо послідовніст

і доведемо, що ця послідовність є нескінченно малою. Це означатиме, що є збіжною і є її границею. Оскільки

то матимемо

- нескінченно мала, як добуток двох нескінченно малих послідовностей;

- нескінченно малі, як добуток обмеженої на нескінченно малу.

Отже, - нескінченно мала послідовність, як сума трьох нескінченно малих послідовностей і теорему 3 у випадку 2 доведено.

Для доведення частини 3 теореми 3 нам потрібна буде

Лема. Якщо

то якщо її розглядати починаючи з деякого номера є обмеженою.

Доведення. З того, що

матимемо за означенням 2, для

Звідси маємо, що

(1)

(2)

З нерівностей (1), (2) маємо:

при або

при

А останні дві нерівності і означають, що послідовність (якщо її розглядати починаючи з номера ) є обмеженою. Лема доведена.

Доведемо тепер твердження 3 теореми 3.

По-перше розглядатимемо з того номера щоб всі були відмінні від нуля. Розглянемо далі послідовність де

яка є нескінченно малою, бо

- обмежена, як стаціонарна,

- обмежена за лемою;

- нескінченно малі, а , отже - теж нескінченно мала.

Оскільки - є нескінченно малою, то згідно означення 1, послідовність - збіжна і має своєю границею число Теорема доведена.

Коротко попередню теорему можна переписати так:

Наприклад

бо - нескінченно малі послідовності.

2.1.5 Граничний перехід в нерівностях

Тут ми спробуємо з'ясувати чи не можна одержати якусь інформацію про співвідношення між границями двох збіжних послідовностей, маючи деяку інформацію про співвідношення між членами цих послідовностей, а також про обернену проблему.

Теорема 4. Нехай

Якщо

то

Доведення. Доведемо теорему методом від супротивного.

Нехай Тоді для

за означенням границі будемо мати

Тобто

А з останніх нерівностей маємо, що

що протирічить нерівності (1). Отже припущення не вірне. Теорема доведена.

Теорема 5. Нехай

Якщо

(3)

Доведення. Розглянемо за відомою теоремою вона збіжна до числа З нерівностей маємо, що

Звідси за теоремою 4 - для послідовності маємо, що А звідси і одержуємо, що Теорема доведена.

Зауваження. Якщо в теоремах 4 і 5 в нерівностях 1 і 3 навіть стоятиме знак „<” , то нерівності 2 і 4 треба залишити незмінними (тобто з цих умов не випливатиме, що ).

Страница:


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены