Вивчення математичного аналізу з допомогою електронного підручника

Отже ми отримали:

(1)

Оскільки то і оскільки то Звідси і з (1) маємо, а тому і теорема в цьому випадку доведена. Всі інші випадки розглядаються аналогічно. Врахувавши, що а - нижня межа множини будемо мати, Розглянувши другий випадок ми одержали б таку нерівність, а, значить, ми довели ще й таке: якщо функція - монотонно неспадна на відрізку то Зокрема з останніх нерівностей випливає: монотонна на відрізку функція не може мати на цьому відрізку усувних розривів (бо тоді було б ) і розривів ІІ роду (всюди існують односторонні границі!).

Отже, ми встановили істинність такого твердження.

Теорема 10 (про точку розриву монотонної функції). Якщо функція монотонна на відрізку , то на цьому відрізку вона не може мати ні усувних розривів, ні розривів ІІ роду.

2.3.7 Обернена функція

Нехай функція задана на множині і - її множина значень. Візьмемо і знайдемо

(таке хоча б одне, обов'язково знайдеться, бо - з множини значень функції), причому таких може бути не одне. Якщо

то видно , що на множині задана деяка нова функція з множиною значень , яку логічно назвати оберненою до функції Те, що було для даної функції областю визначення для нової стало множиною значень і навпаки. Позначатимемо обернену функцію

Якщо функція має обернену на множині то функцію називають оборотною на цій множині. В протилежному випадку її називають необоротною. Безпосередньо з означення оборотності функції одержується наступна

Теорема 1. Для того, щоб функція була оборотною на множині необхідно і достатньо, щоб

Доведення цієї теореми пропонуємо провести самостійно.

Із цієї теореми зразу випливає

Наслідок. Якщо - строго монотонна на то вона тут і оборотна.

Чи вірне обернене твердження? Можна придумати не монотонну і оборотну на множині функцію, (і тим більше не монотонну і необоротну!). Очевидно, що графіки функцій та будуть співпадати, бо це одне і теж рівняння тільки написане по-різному. Якщо ми в останній рівності замінимо на а на (це ми робимо виключно для зручності, тому що звикли аргумент позначати а значення функції ), то після таких позначень обернена функція запишеться у вигляді Графік оберненої функції функції записаної вже в такому вигляді вже буде відрізнятися від графіка функції Якщо графіку прямої функції належатиме точка то графіку оберненої функції належить точка яка буде симетричною попередній точці відносно прямої Отже, графіки функцій і симетричні відносно прямої

З'ясуємо далі питання про те, як, маючи певні властивості функції, які гарантуватимуть її оборотність, одержати властивості оберненої функції.

Теорема 2 (Про існування та неперервність оберненої функції). Якщо функція монотонно-зростаюча (спадна) і неперервна на відрізку , то на відрізку існує обернена функція яка монотонно-зростаюча (спадна) і неперервна на цьому відрізку.

Доведення. 1)Існування випливає із монотонності на відрізку і попереднього наслідку.

2) Візьмемо для конкретності монотонно-зростаюча на Для доведення монотонності оберненої функції візьмемо Очевидно, що

або, що те саме і Припустимо, що Тоді із монотонного зростання функції на відрізку отримаємо, що



а це суперечить тому, що Отже, з того що

а це означає, що монотонно-зростаюча на відрізку

3)Неперервність випливає з того, що:

а) - монотонно зростаюча на

б)множиною значень є відрізок

і залишається тільки використати доведену раніше теорему. Теорема доведена.

Зауваження. Ця теорема залишається вірною і у випадку, коли замість відрізка брати інтервал причому і не обов'язково мусять бути скінченними числами.

Нехай функція монотонно зростаюча (спадна), неперервна на і

Тоді на інтервалі існує обернена функція яка тут монотонно зростаюча (спадна) і неперервна (ми не виключаємо випадку, що чи або обидва будуть відповідними нескінченностями). Покажемо деякі застосування тільки-що доведених теорем.

І) Доведемо спочатку існування кореня довільного степеня з довільного додатнього дійсного числа. Для цього розглянемо функцію на

Ясно, що ця функція тут неперервна.

Візьмемо



Далі,

Тому

отже функція на - монотонно-зростаюча.

1) Значить за попередніми теоремами на множині значень існуватиме функція обернена до функції а це означає, що яке б ми з не взяли, завжди існуватиме

Очевидно, що отримана тільки-що функція на піввідрізку теж буде неперервною і монотонно зростаючою. Після перепозначення змінних отримаємо: Її графік симетричний графіку відносно прямої

Зауваження. Функція при -непарному буде оборотною на всій числовій осі.

ІІ )Існування обернених тригонометричних функцій .

Розглянемо функцію Очевидно вона на всій області визначення оборотною не буде, бо можна підібрати Проте, якщо розглянемо на відрізку то тут функція - неперервна, монотонно-зростаюча з множиною значень Значить, за теоремою про існування оберненої функції, на відрізку існує обернена функція до функції яка також є неперервною, монотонно зростаючою на з множиною значень Очевидно, що ми функцію на предмет оборотності можемо розглядати і на інших відрізках Але ці обернені функції, які ми одержимо в цих випадках будуть відрізнятися від тільки-що введеної хоча б множиною значень.

Зауважимо, що кожну з таких обернених функцій можна одержати з основної шляхом додавання до неї деяких констант і множенням її на (-1).

Одержана вище обернена функція до функції взята на найзручнішому проміжку (за принципом близькості його до початку координат). Аналогічно одержуємо (розглянувши на ),

2.4 Показникова та логарифмічна функції і їх властивості

2.4.1 Степінь з раціональним показником. Показникова функція та її властивості

З курсу математики середньої школи відомо, що

В попередньому параграфі ми з'ясували, що

Означимо степінь з довільним раціональним показником наступним чином:

Можна довести, що степінь з раціональним показником має наступні властивості:

будемо мати

Тепер нам треба ввести степінь з ірраціональним показником. Візьмемо довільне ірраціональне число . Розглядатимемо всеможливі раціональні числа і такі, що

Нехай Тоді під ми розумітимемо таке число що для все можливих раціональних і із (1) справедлива нерівність

Найближчою нашою метою є доведення того, що таке буде існувати і воно буде єдиним. Для того, щоб це довести, нам потрібно вивчити деякі властивості функції

1) Справді, з того, що а врахувавши, що матимемо, що Припустимо, що Звідси (на основі монотонного зростання функції ), або а це протирічить нерівності яка випливає з нерівності Отже, ми отримали суперечність і потрібна нам властивість доведена.

2) є монотонно зростаючою на множині раціональних чисел.

Візьмемо і розглянемо різницю (за властивістю 1). Отже, Далі, нам ще потрібна буде наступна відома рівність:

(3)

Покажемо далі, що справедлива така

Теорема 1. із означення степеня існує і єдине.

Доведення. Існування. Візьмемо яке задовольняє нерівність (1), і зафіксуємо його. Розглядатимемо все можливі які задовольняють нерівність (1), в якій замість взято фіксоване нами В результаті одержимо множину чисел Очевидно ця множина не порожня і обмежена зверху числом (за властивістю (2)), оскільки то А значить існує що задовольняють (1). Позначимо Тоді що задовольняють (1). Оскільки довільне, то ми показали, що існує яке задовольняє співвідношення (2) при із (1) і існування із означення степеня з ірраціональним показником доведено.

Єдиність. Доведемо спочатку, що

(4)

Для доведення цього співвідношення скористаємося рівністю (3), але спочатку знову, як і в попередньому , зафіксуємо З рівності (3) за означенням границі будемо мати:

(5)

Візьмемо із співвідношення (5). Тоді із (1), такі що

(6)

Далі для таких чисел і будемо мати

А це означає, що (4) доведено.

Тепер вже легко довести єдиність Припустимо, що які задовольняють умовам нашого означення. Покладемо



Оскільки задовольняють нерівність (2) із (1), то завжди

(7)

Тоді з (4) для тільки-що вибраного будемо мати, що і для яких

(8)

Із (7), (8) зразу маємо

(бо ) і що неможливо, тому припущення невірне. Єдиність доведена.

Таким чином ми зараз ввели поняття для і і показали, що при кожному поточному існує і єдине. Цим самим ми означили функцію на всій числовій осі (для раціональних це було зроблено раніше), яку називатимемо показниковою .

Таким чином ми про цю показникову функцію знаємо:

1) при визначена на всій осі.

Вивчимо інші властивості цієї функції. Почнемо з монотонності.

2) - монотонно зростаюча на всій числовій осі.

Доведення. Візьмемо Очевидно існують раціональні числа Звідси і з означення степеня (дивись нерівності (1) і (2)) будемо мати: а тому А це означає, що монотонно зростаюча на всій числовій осі.

3) Функція - неперервна на всій області визначення.

Доведення. Візьмемо і покажемо, що

Тоді беремо

В процесі доведення єдності із означення степеня з довільним показником ми взяли

З означення границі послідовності матимемо

Тоді з властивості 2. Звідси і з означення степеня з довільним показником отримаємо

а це означає, що Отже показникова функція неперервна.

4) Поведінка на краях області визначення. Справедливі рівності

(9)

(10)

Доведення. Нехай спочатку тоді можна вважати, що і і будемо мати

(за нерівністю Бернулі), а звідси при зразу отримаємо що при випливає (бо ) і рівність (10) доведена. Нехай тепер Тоді можна вважати Тому

Далі з того, що випливає і за (10) матимемо, значить і остаточно а це і є рівність (9).

2) Множиною значень показникової функції є інтервал

Оскільки, як випливає з означення показникової функції, лежить між і де і - раціональні числа, то Тому при доведенні цієї властивості потрібно показати, що будь-яке досягається функцією на множині дійсних чисел. З рівності (9) за означенням границі функції на будемо мати, що для вказаного вище знайдеться З рівності (10) матимемо, З останніх двох нерівностей бачимо, що (враховуючи монотонність показникової функції). Тоді розглянемо функцію на Вона тут неперервна і монотонно-зростаюча, значить множиною її значень буде відрізок але число належить цьому відрізку, а отже досягається нашою функцією.

Використовуючи одержані вище властивості можемо накреслити графік функції коли

Розглянемо тепер ситуацію, коли Введемо Позначимо

Тоді

Ясно, що існує завжди на множині дійсних чисел ( існує і не дорівнює нулю ).

Аналізуючи означення при і відповідні властивості функції вивчені вище, одержимо наступні властивості функції при

1) R - область визначення;

2) - монотонно спадна на

3) - неперервна на

4)

5) - множина значень функції.

Графік функції має вигляд

2.4.2 Логарифмічна функція

Тепер приступимо до побудови функції оберненої до показникової. Вище ми показали, що функція при є неперервною і монотонною на інтервалі з множиною значень Значить за теоремою про існування і неперервність оберненої функції на інтервалі існуватиме обернена функція, яка на цьому інтервалі теж буде неперервною і монотонною функцією. Щоб мати аналітичне її задання, врахуємо, що не показник степеня (логарифм), до якого треба піднести число щоб отримати число Скорочено це можна записати так До речі із самого означення логарифма випливає рівність яку інколи називають основною логарифмічною тотожністю. Перейшовши до звичних позначень отримаємо Цю функцію називають логарифмічною. Врахувавши теорему існування і неперервності оберненої функції, властивості показникової функції легко отримуємо наступні властивості логарифмічної функції.

1) - область визначення функції;

2) - монотонно зростаюча на при і монотонно спадна на при

3) неперервна на

5) - множина значень.

Тепер вже легко нарисувати графіки цієї функції.



Використовуючи означення логарифма легко отримуються наступні так звані логарифмічні формули.

Доведення. 1) Позначимо і За означенням логарифма,

(11)

Перемножуючи почленно ці рівності, дістанемо: Тут є показник степеня, до якого треба піднести основу , щоб дістати число, яке дорівнює добутку. Отже можна записати:

Зробивши відповідну заміну, остаточно дістанемо:

4) За означенням логарифма, прологарифмуємо останню рівність за основою . Маємо:

Звідки

Тобто

Решту логарифмічні формули доводяться аналогічно.

2.4.3 Загальностепенева функція і її властивості

Функція виду - називається загальностепеневою. Нескладний аналіз показує, що дана функція визначена на інтервалі (хоча при окремих область визначення її може бути ширшою).. Для вивчення властивостей цієї функції скористаємось означенням логарифма. Одержимо Отже, Врахувавши властивості функцій і знак числа легко одержимо наступні властивості нашої функції.

1) Область визначення -

2) Монотонно зростаюча на при і монотонно спадна на при

3) Неперервна на (за теоремою про неперервність складеної функції).

Графіки цієї функції для окремих значень мають вигляд.

2.4.4 Друга та інші цікаві границі

В розділі „Границя послідовності” ми довели, що

і сказали, що ця границя розкриває невизначеність З'ясуємо чи не залишиться остання рівність вірною, якщо і прямування до нескінченності (не тільки до ), здійснюється не тільки по-натуральних числах, а по всіх дійсних числах. Для цього розглянемо функцію

Очевидно, що

(1)

Звідси

а значить

(2)

Далі із монотонності показникової та степеневої функцій матимемо



З тільки-що одержаної нерівності і відомої нам ІІ цікавої границі для послідовностей враховуючи, що за теоремою „про два міліціонери” одержуємо

(3)

Для того, щоб одержати рівність (3) при ми рівність (3) напишемо дещо в іншому вигляді зробивши заміну,

(4)

Знайдемо, далі, лівосторонню границю функції в точці 0.

обивши заміну

при цьому можна вважати будемо мати,

Отже, ми довели

(5)

Зробивши в (5) заміну будемо мати

(6)

З (3) і (6), а потім із (4) і (5) будемо мати

(7)

Останні дві границі називають другою цікавою границею.

Використовуючи тільки-що доведені формули можна отримати ще декілька цікавих границь зв'язаних з недавно вивченими функціями: логарифмічною, показниковою, загально-степеневою.

ІІІ цікава границя. Нехай Тоді будемо мати

Отже, ми одержали

Цю границю називають ІІІ цікавою. Зокрема, якщо то

IV цікава границя. Нехай знову Тоді (використавши заміну ) будемо мати,

Отже, ми отримали рівність

Цю границю називатимемо IV цікавою. Знову, якщо то одержимо

Останні дві рівності можна записати дещо в іншій формі

V цікава границя. Нехай - будь-яке дійсне число. Обчислимо

Отже, ми довели що



Це так звана V цікава границя, яку ще можна написати і в такій формі

2.4.5 Гіперболічні функції та їх графіки

В математиці часто використовуються функції, які задаються таким чином

Їх називають відповідно гіперболічним синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом. Використовуючи самі означення легко переконатись у справедливості формул

Звідси



Введені вище функції називаються гіперболічними, тому що, як ми покладемо (1) і підставимо ці значення в то отримаємо А це означає, що система (1) і рівність (2) - різні вираження однієї і тієї ж кривої в координатній площині, але (2) це рівняння гіперболи. Тому ці функції називають гіперболічними. (Подібно до цього тригонометричні функції можна назвати круговими!)

Побудуємо графіки цих функцій.

1) - неперервна, монотонно зростаюча, непарна на множині дійсних чисел.

2) - монотонно-зростаюча на і монотонно-спадна на неперервна на всій осі, парна.

Графік цієї функції ще називають ланцюговою лінією.

3) - монотонно зростаюча, неперервна на всій осі, непарна.

4) - монотонно спадна на інтервалах та неперервна на об'єднанні цих інтервалів, непарна.

Всі ці властивості і графіки гіперболічних функцій легко одержуються із даних означень цим функціям.

ВИСНОВКИ

Результати роботи:

1. Досліджене поняття електронного підручника, визначені його основні переваги та недоліки;

2. Розроблений повний теоретичний курс з теорії границь, Диференціального та Інтегрального числення функції однієї змінної;

3. Підібрані технології для ефективного та зручного використання при створенні електронного посібника;

4. Розроблений «Електронний підручник з математичного аналізу».

На основі виконаної роботи зроблені висновки:

1) Використання електронного посібника сприяє підвищенню ефективності засвоєння знань, умінь та навичок;

2) Перевагою над «паперовим» аналогом є можливість редагування, змін в дизайні, перевидання.

3) Використані програмні засоби (HTML, Advanced Grapher) можуть вивчатися вчителями як засіб організації навчального процесу.

4) Робота з електронним підручником формує в учнів навички самостійної роботи з матеріалом, вміння знаходити необхідну інформацію, працювати з графічними об'єктами.

5) Можливі напрями застосування даного електронного підручника:

4 В навчальному процесі математичних шкіл та ліцеїв;

4 В навчальному процесі на молодших курсах університетів.

ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Шевченко В.Л. Зміст підготовки педагогічних кадрів щодо проектування комп'ютерно орієнтованих дидактичних засобів та використання комп'ютерних педагогічних технологій у навчальному процесі. // Вісник післядипломної освіти: Збірник наукових праць Центрального інституту післядипломної педагогічної освіти АПН України - Вип.3. - К., 2006.- С. 210-222.

2. Рамський Ю.С., Іваськів І.С., Ніколаєнко О.Ю. Вивчення Web-програмування в школі: Навчальний посібник. - Тернопіль: Навчальна книга - Богдан, 2004. - с.45-98.

3. Агеев В.Н. Электронные учебники и автоматизированные обучающие системы. Лекция- доклад / РАН; Институт проблем информатики; Российская академия естественных наук. Институт фундаментальной и прикладной информатики / Н.А. Селезнева (общ.ред.). -- М.: Исследовательский центр проблем качества подготовки специалистов, 2001. - 80 c.

4. Антонова С.Г., Тюрина Л.Г. Современная учебная книга. Создание учебной литературы нового поколения: Учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по направлению "Книжное дело" и спец. "Издательское дело и редактирование". - М. : Агенство "Издательский сервис", 2001. - 288c.

5. Беспалько А.А. Технологические подходы к разработке электронного учебника по информатике: Дисс.канд. пед. наук. - Екатеринбург, 1998. - 132 c.

6. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. - М.: Педагогика, 1989. - 190 c.

7. Давидов М.О. Курс математичного аналізу, ч.2, Київ: Вища школа, 1991.

8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М.: Наука, 1990.

9. Иванов В.Л. Структура електронного учебника. //Інформатика и образование. - 2001. - №6.

10. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ, МГУ, 1979.

11. Кудрявцев А.Д. Краткий курс математического анализа, М.: Наука, 1989.

12. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, М.:Высшая школа, 1981.

13. Кузнецов М.Л. Сборник задач по высшей математике, М.,1983.

14. Ляшко С.И, Боярчук А.К, Александрович И.Н. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, ч 1, М., 2001.

15. Рамський Ю.С., Іваськів І.С., Ніколаєнко О.Ю. Вивчення Web-програмування в школі: Навчальний посібник. - Тернопіль: Навчальна книга - Богдан, 2004.

16. Рудин У. Основы математического анализа, М.:Мир, 1976.

17. Христочевский С.А. Электронные мультимедийные учебники и энциклопедии.// Информатика и образование. 2000 - №2.

Размещено на Allbest.ru