Вивчення математичного аналізу з допомогою електронного підручника

Наприклад. Ясно, що

Проте

Наступні твердження вирішуватимуть обернені проблеми.

Теорема 6. Якщо

то існує

Доведення. Візьмемо



або що те саме

і оскільки

то теорема доведена.

Теорема 7. Якщо

Тоді

Доведення цієї теореми пропонуємо провести самостійно.

Зауваження. В теоремах 4 і 5 ми вимагали виконання нерівностей 1 і 3 Через те, що вилучення скінченої кількості членів не впливає на границю послідовності, то теореми 4 і 5 будуть правильними, якщо нерівності 1 і 3 в них будуть виконуватися не для всіх а для всіх починаючи з деякого.

Закінчимо цей параграф наступним твердженням, яке дозволяє при певних умовах відповісти на питання про збіжність і границю деякої послідовності.

Теорема 8. („Про два міліціонери”). Нехай - послідовності такі, що

(1)

Якщо

Доведення . З рівностей (2) за означенням границі послідовності будемо мати

(4)

(5)

Позначимо через

Тоді для

будемо мати



Таким чином, маємо

а звідси (дивись виділене) за означенням границі маємо рівність (3). Теорема доведена.

2.1.6 Нескінченно великі послідовності

Раніше ми займалися нескінченно малими послідовностями, одна з яких Якщо утворити послідовність, членами якої будуть числа обернені до відповідних членів цієї послідовності, то отримаємо: Про останню можна сказати, що який би ми окіл точки 0 не взяли всі члени цієї послідовності починаючи з деякого номера не будуть належати цьому околу.

Послідовності, що мають таку властивість називаються нескінченно великими. Дамо їм точне

Означення 1. Послідовність називається нескінченно великою, якщо

З цього означення одержуємо, що кожна нескінченно велика послідовність є необмеженою (цікаво, чи вірне обернене твердження!). Аналізуючи нескінченно малі та нескінченно великі послідовності, можна прийти до думки, що справедлива наступна

Теорема 1. Для того, щоб послідовність була нескінченно великою необхідно і достатньо, щоб була нескінченно малою.

Доведення.

Необхідність. Нехай - нескінченно велика послідовність. Доведемо, що - нескінченно мала послідовність. Оскільки за умовою послідовність нескінченно велика, то за означенням маємо:

Або

Або

а це означає, що - нескінченно мала послідовність.

Достатність. Нехай нескінченно мала послідовність. Доведемо , що - нескінченно велика послідовність. Тоді, для

Або

а це означає, що - нескінченно велика послідовність і теорема доведена.

Пробуючи перенести на нескінченно великі послідовності теореми про арифметичні операції над нескінченно-малими послідовностями, помічаємо, що тут ситуація більш заплутана, ніж там. Зокрема, наприклад,

· сума чи різниця двох нескінченно великих послідовностей може дати (як це можна довести з допомогою прикладів) найрізноманітніші послідовності, тобто такі: нескінченно малі; нескінченно великі; збіжні до будь-якого числа; розбіжні взагалі. В цьому випадку кажуть, що сума чи різниця нескінченно великих послідовностей є невизначена послідовність.;

· таке саме матиме місце і для частки нескінченно великих послідовностей;

· що стосується добутку, то тут проблем не виникає і спробуйте самостійно розібратись, що тут буде, довівши відповідну теорему.

2. 2 Теорія дійсних чисел

2.2.1 Теорія дійсних чисел

З'ясуємо чи вистачає раціональних чисел для вирішення різних проблем, як в математиці так в її застосуваннях. Розглянемо рівняння

і розберемось чи при всіх таких дане рівняння має розв'язок в множині . Якщо то то А що буде коли Доведемо, що таке рівняння не має коренів на множині

Припустимо зворотне, нехай

де і взаємно прості (тобто дріб є нескоротний) є розв'язком цього рівняння, тоді матимемо або і

де а значить

Тому матимемо а цей дріб скоротний. Одержане протиріччя і показує, що не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2, або що те саме, яке є коренем рівняння Таким чином ми довели, що навіть таке просте рівняння неможливо розв'язати користуючись тільки множиною раціональних чисел. Ця проблема, а також багато інших вимагають розширення множини раціональних чисел до деякої нової, на якій би ці проблеми вже можна було б розв'язати.

Як відомо з курсу елементарної математики, число квадрат якого дорівнює 2 називається Ми тільки що встановили, що воно не є раціональним числом. Але в школі ми користувалися таким числом, зокрема його наближеннями. Зрозуміло, щоб мати повне уявлення про це число треба мати можливість одержати будь-яке десяткове наближення цього числа з недостачею (чи з надлишком). Якщо ми випишемо всі такі наближення з цього числа, то одержимо деяку послідовність, яка вичерпно це число характеризуватиме, 1;1,4;1,41;1,414;1,4142;1,41421;… Неважко помітити, що така послідовність є обмеженою і монотонно неспадною послідовністю раціональних чисел. Більше того, зобразивши всі члени цієї послідовності на числовій осі, а також ми помітимо, що буде границею цієї послідовності. Інтуїтивно відчутно, що кожна монотонно неспадна і обмежена зверху послідовність раціональних чисел „зобов'язана мати границю” , проте не у всіх випадках ця границя буде раціональним числом. І тому дамо таке

Означення 1. Число, що є границею монотонно неспадної і обмеженої зверху послідовності раціональних чисел називається дійсним. Множину всіх таких чисел позначатимемо .

Очевидно множина є підмножиною Ми знаємо, що на множині є дії додавання, віднімання, множення та крім цього ці числа можна порівнювати. Чи будуть ці операції здійснюватись на новій множині Нижче ми дамо відповідь на це запитання, а також з'ясуємо чи не трапиться і тут таке, що якась монотонна і обмежена послідовність дійсних чисел не має границі, що є дійсним числом.

Порівняння дійсних чисел

Для того, щоб порівняти два дійсні числа спочатку дамо таке

Означення 2. Нехай і - дві монотонно неспадні і обмежені зверху послідовності раціональних чисел. Будемо говорити, що мажорує якщо

Це будемо записувати так

Проілюструємо це означення на прикладі двох послідовностей: і де

Будемо мати, що

таке, що

Тому

а значить

З'ясуємо чи не мажоруватиме послідовності Візьмемо

таке, що

Значить

і таки мажорує Значить цей приклад показує, що можуть існувати послідовності кожна з яких мажорує іншу.

З'ясуємо чи існує дві послідовності з яких ні одна не мажорує іншу. Нехай такі послідовності є: і . Якщо невірно, що

То

і якщо неправда, що

То



Ясно, що тут протиріччя, тому що з останньої нерівності випливає: всі а з передостанньої нерівності маємо, що одне із Отже такої ситуації бути не може. Значить для двох будь-яких монотонно-неспадних і обмежених зверху послідовностей раціональних чисел можливі три наступні ситуації:

1) кожна з них мажорує іншу;

2) перша не мажорує другу;

3) друга не мажорує першу.

Якщо в ситуаціях описаних вище перша послідовність визначає дійсне число , а друга - то справедливе таке:

Означення 3. В ситуації 1) будемо говорити, що

в ситуації 2) -

в ситуації 3) -

Таким чином, цим означенням ми впорядкували множину дійсних чисел. Звідси і вказаного вище випливає те, що для будь-яких дійсних чисел і завжди виконується одна і тільки одна з трьох ситуацій.

Властивість транзитивності

якщо і то

Доведемо це. Нехай маємо монотонно-неспадні і обмежені зверху послідовності чисел , які відповідно збігаються до чисел Те, що означає: Тоді

(1)

З того, що маємо:

 і (2)

З (1) і (2) отримуємо, що

А це означає, що послідовність не мажорує послідовність і згідно з означенням

Додавання дійсних чисел

Візьмемо Тоді нехай і монотонно неспадні послідовності раціональних чисел, для яких і є границями. Розглянемо послідовність . Оскільки і то З того, що

Випливає

А це означає, що послідовність є монотонно неспадною. Крім того

Значить - монотонно неспадна, обмежена зверху послідовність раціональних чисел, яка згідно із означенням визначає деяке дійсне число, яке ми і назвемо сумою двох дійсних чисел і

Для введеної дії додавання дійсних чисел, як і для інших чисел справедливі асоціативний та комутативний закони

Доведемо, наприклад, другу властивість. Візьмемо Нехай маємо послідовності і , які визначають відповідно числа і Далі

що і треба було довести.

Асоціативний закон пропонуємо читачу довести самостійно.

Легко, також, перевірити, що

.

Спосіб, який ми використали для введення операції додавання дійсних чисел не можемо використати для введення дії віднімання дійсних чисел, тому що різниця двох монотонно неспадних послідовностей не зобов'язана бути монотонно неспадною. Отже, для введення віднімання дійсних чисел слід використати якісь нові підходи.

Віднімання дійсних чисел.

Ідея, яка дозволить нам ввести операцію віднімання полягає в наступному:

1) побудувати монотонно спадну послідовність раціональних чисел (і обмежену знизу) , яка має своєю границею число

2) взяти послідовність яка буде монотонно зростаючою, обмеженою зверху та збіжною до числа

3) сума попередньої послідовності з послідовністю дасть монотонно неспадну і обмежену зверху послідовність, яка і визначатиме число

Почнемо реалізовувати цю ідею починаючи із такого твердження.

Теорема 1. (Про існування раціонального числа між будь-якими двома дійсними числами). Між будь-якими двома дійсними числами завжди існує раціональне число, тобто

Доведення. Нехай і - послідовності, що визначають дійсні числа і відповідно. З того, що маємо, що не мажорує . А це означає:

(1)

Оскільки в нерівності (1) є деяке стале конкретне число, а - пробігає всі натуральні числа і має своєю границею число то на основі цього з нерівності (1) за теоремою про граничний перехід в нерівностях матимемо:

(2)

Можна вважати, що послідовність не є стаціонарною (тобто така, що немає в ній члена починаючи з якого всі наступні, після нього, будуть рівні між собою. Якщо послідовність є стаціонарною, то вона обов'язково задаватиме деяке раціональне число і ми її замінимо іншою послідовністю яка буде монотонно зростаюча і також матиме своєю границею число ). Тому існує номер такий, що . Звідси будемо мати: (3). Знайдемо ще одне

(4)

Число - раціональне: . Порівняємо його з числом (як порівнюються дійсні числа). Задамо число послідовністю (як дійсне число): число також задамо послідовністю: яка утворена з послідовності вилученням членів (така процедура на збіжність і границю не впливає). Оскільки будь-який член другої послідовності не менший за будь-який член першої послідовності, то зразу бачимо, що перша послідовність не мажорує другу. Тому за означенням матимемо, що: Звідси і з (4) отримаємо: А це разом з (3) означає, що І оскільки є числом раціональним, то воно може бути взяте в якості потрібного нам Теорема доведена.

За допомогою цієї теореми вже можна реалізувати перший пункт оголошеної вище ідеї. Справедлива така

Теорема 2. Для будь-якого дійсного числа існує збіжна до нього, монотонно-спадна і обмежена знизу послідовність раціональних чисел.

Доведення. Розглянемо монотонно спадну послідовність дійсних чисел: Порівняємо сусідні числа: Тоді за теоремою 1 ми знайдемо число

Використовуючи цю ж ідею отримаємо:

і тому

Продовжуючи цей процес на -му кроці ми знайдемо

і на -му кроці

Звідси і попередньої нерівності отримаємо

(*)

Продовжуючи цей процес і так далі ми отримаємо послідовність таку, що:

1) всі її члени є раціональні числа;

2) ця послідовність є монотонно спадною;

а це означає, що знайдена послідовність є обмеженою зверху.

Для того, щоб показати, що ця послідовність збіжна до числа потрібно використати наступну нерівність:

і застосувати теорему „про два міліціонери”. Оскільки зліва і справа є збіжні до числа послідовності, то

що і треба було довести.

Тепер вже легко можемо ввести операцію віднімання на множині дійсних чисел. Візьмемо дві послідовності раціональних чисел і : перша з них монотонно неспадна і обмежена зверху, а друга монотонно спадна і обмежена знизу, які збіжні відповідно до дійсних чисел і

Розглянемо

Неважко показати, що ця послідовність є монотонно неспадною і обмеженою зверху. Значить остання послідовність визначає деяке дійсне число, яке логічно прийняти за різницю чисел і Зауважимо, що ми при введенні різниці одночасно зробили все потрібне і для того, щоб ввести поняття протилежного елемента,

Тепер вже можна ввести поняття модуля дійсного числа:

Множення дійсних чисел

Оскільки добуток двох монотонно неспадних послідовностей не завжди є монотонно неспадною послідовністю, то введення добутку на множині дійсних чисел будемо здійснювати таким чином.

Нехай і два довільні додатні дійсні числа і , - монотонно неспадні послідовності раціональних чисел, що задають ці числа (можна вважати, що всі члени цих послідовностей є додатні числа. Тоді розглянемо послідовність Вона буде обмеженою зверху послідовністю раціональних чисел і, крім того, монотонно неспадною. Значить ця послідовність визначає деяке дійсне число, яке і приймемо за добуток чисел і

Добуток будь-яких двох дійсних чисел введемо за таким правилом:

Можна довести, що введений вище добуток двох дійсних чисел теж підпорядковується асоціативному, комутативному, дистрибутивному законах.

Частка двох дійсних чисел

Для введення різниці дійсних чисел нам знадобилось поняття протилежного елемента. А зараз для введення частки двох дійсних чисел нам потрібно ввести поняття оберненого елемента.

Візьмемо За доведеною вище теоремою існує послідовність раціональних чисел , яка монотонно спадна і обмежена знизу. Причому можна вважати, що всі члени цієї послідовності мають один і той же знак, який співпадає зі знаком числа

Розглянемо послідовність раціональних чисел, яка є монотонно зростаючою і обмеженою зверху. Ця послідовність визначатиме деяке дійсне число, яке ми назвемо числом оберненим до і позначатимемо або Неважко довести, що

Тепер вже можна ввести частку двох дійсних чисел:

Таким чином ми побудували арифметику дійсних чисел. На кінець з'ясуємо, чи зобов'язана кожна монотонна і обмежена послідовність дійсних чисел мати серед цієї множини границю (як ми знаємо такі послідовності з множини раціональних чисел на цій множині границі можуть і не мати). Саме за рахунок цього ми одержали множину дійсних чисел. Як випливатиме з наступної теореми таким самим способом ми множину дійсних чисел не розширимо.

Теорема 3 (Вейєрштрасса). Кожна монотонно неспадна і обмежена зверху послідовність дійсних чисел збіжна до деякого дійсного числа.

Доведення. Нехай - монотонно неспадна і обмежена зверху послідовність. Можливі два варіанти:

1) вона стаціонарна;

2) вона не стаціонарна.

У 1) випадку послідовність збіжна до того числа, якому рівні всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера. Тому розглянемо 2) випадок.

У цьому випадку послідовність може мати рівні члени, групи рівних членів. Цих груп може бути нескінченна кількість. Але кількість членів в кожній з цих груп обов'язково скінченна.

Розглянемо далі нову послідовність яка утворюється з попередньої шляхом вилучення з неї членів, які повторюються.

Наприклад, якщо то

Тоді новоутворена послідовність буде монотонно зростаючою і обмеженою зверху. Причому обидві ці послідовності збіжні до одного числа. Покажемо, що збіжна до деякого числа. Для цього побудуємо ще одну послідовність раціональних чисел наступним чином.

Розглянемо і причому Тоді за доведеною вище теоремою, Між числами і , де теж за цією теоремою Тому маємо, В результаті ми одержимо деяку послідовність раціональних чисел, яка має такі властивості:

1) монотонно-зростаюча. Справді із побудови маємо:

Значить

2) обмежена зверху. Дійсно, згідно побудови маємо, що

Але ж обмежена, а тому обмеженою буде і (бо всі члени останньої є членами першої). Тому



Значить послідовність матиме за означенням границю, що є деяким дійсним числом Отже

Доведемо, що наша послідовність теж має своєю границею число Справді із побудови послідовності маємо, що

З цієї нерівності, а також з того, що

за теоремою „Про два міліціонери” маємо, що

Теорема доведена.

Зауважимо, що вірною буде також аналог останньої теореми у випадку, коли послідовність дійсних чисел:

1) монотонно зростаюча і обмежена зверху;

2) монотонно незростаюча і обмежена знизу;

3) монотонно спадна і обмежена знизу.

Ці теореми вирішують ще й питання про класи збіжних послідовностей. Ми дізнались зараз про не дуже вузький клас послідовностей, кожній з яких ми гарантуватимемо її збіжність - клас монотонних і обмежених послідовностей.

Застосуємо теорему Вейєрштрасса для доведення існування границі наступної важливої послідовності, Для цього ми розглянемо дещо іншу послідовність, а саме

Оцінимо частку

Таким чином ми довели, що

а це означає, що послідовність - монотонно спадна. Оскільки всі члени цієї послідовності додатні числа, то вона ще й обмежена знизу, а значить за теоремою Вейєрштрасса вона збіжна вона збіжна, тобто існує деяке дійсне число

Можна довести, що це число буде ірраціональним. Воно в математичному аналізі відіграє таку ж важливу роль, як 1 в арифметиці або в геометрії.

Тільки-що доведена границя дозволяє розкривати невизначеність Оскільки

то з доведеної вище рівності за теоремою про границю частки одержимо, що

Одержані вище дві формули називають ІІ цікавою границею.

Таким чином, ми розглянули множину дійсних чисел, задали на ній арифметичні операції, поряд з цим ми останньою теоремою визначили певний клас гарантовано збіжних послідовностей.

В наступному параграфі ми вивчимо ще деякі властивості дійсних чисел, кожна з яких могла б бути взята в якості означення дійсного числа.

Інші властивості дійсних чисел

Спочатку домовимось про наступні поняття:

Вище розглянуті множини відповідно називаються відрізком, інтервалом, піввідрізком, півінтервалом, які об'єднуються одною назвою проміжки.

Теорема 4 (аксіома Кантора). Нехай ми маємо послідовність відрізків з такими двома властивостями:

1) (послідовність вкладених відрізків);

2) довжини відрізків прямують до нуля, коли

Тоді існує єдине дійсне число таке, що належить всім відрізкам нашої послідовності, тобто:

Доведення. Із властивості 1) маємо, що послідовність - монотонно неспадна, а послідовність - монотонно незростаюча. Доведемо, що послідовність - обмежена зверху, а послідовність - обмежена знизу. Це випливає з наступної нерівності:

(1)

Припустимо, що (1) невірно. Тоді матимемо:

(2)

З цієї нерівності будемо мати, що відрізки і матимуть не більше однієї спільної точки, в той час як один з них міститься в іншому.

Тому припущення невірне, а з ним (1) і обмеженість послідовностей і відповідно зверху і знизу доведені.

Значить за теоремою Вейєрштрасса

З цих двох рівностей і нерівності (1) за теоремою про граничний перехід в нерівностях отримаємо, що (3). Припустимо, що Оскільки послідовність - монотонно неспадна, а послідовність - монотонно незростаюча, то

Значить

Звідси видно, що в не входить жоден член послідовності тому вона, не може бути нескінченно малою, що протирічить умові 2) нашої теореми.

Отже неправильно, що тому з нерівності (3) маємо: Покажемо, що число - є шукане. Оскільки

то це означає, що

і існування числа доведено.

Залишається довести єдність. Припустимо, що таких чисел є два і Тоді

тому отримаємо

Звідси за теоремою про граничний перехід в нерівностях одержимо

що суперечить умові 2) нашої теореми. Припущення невірне. Теорема доведена.

Уважний перегляд доведеної теореми дозволяє стверджувати, що аксіома Кантора є нескладним наслідком теореми Вейєрштрасса. Можна показати і зворотне, що теорема Вейєрштрасса теж є наслідком теореми Кантора. Отже, ці факти еквівалентні, але на цьому список еквівалентних тверджень не закінчується. Для одержання наступного нам потрібно ввести деякі нові поняття.

2.2.2 Точні грані множини

Якщо ми маємо деяку непорожню множину дійсних чисел, то подібно до послідовностей тут також можна говорити (з тими ж означеннями) про нижню, верхню межі множини, а також про обмеженість множини. Очевидно, що якщо деяка множина обмежена знизу (зверху), то вона має безліч нижніх (верхніх) меж. Неважко здогадатися, що із всіх цих нижніх (верхніх) меж найбільший інтерес представляє найбільша (найменша) із всіх нижніх (верхніх) меж. Її називатимемо точною нижньою (верхньою) гранню множини або інфінуумом (сюпремумом) множини і позначатимемо

Наприклад. - множина всіх ірраціональних чисел, що лежать між числами 1 і 2. Тоді і

Очевидно, що тут і не належать до множини, хоча існують приклади зворотнього. Зауважимо, що якщо належить до множини то він буде найменшим елементом цієї множини. Оскільки точні грані вибираються як найменше чи найбільше число із безлічі чисел, то виникає проблема їх існування (адже не завжди із безлічі чисел можна вибрати максимальне чи мінімальне ). Наступна теорема розв'язує цю проблему.

Теорема 1 (Про існування точних граней множини). Кожна обмежена зверху (знизу) і не порожня множина дійсних чисел має

Доведення. Візьмемо множину - непорожню і обмежену зверху. Оскільки непорожня, то З того, що множина обмежена зверху випливає, що таке, що правіше відрізка нема жодного елемента множини

Точкою

поділимо відрізок на два рівних відрізки і позначимо через цей з утворених відрізків, який містить хоча б одну точку множини і правіше якого немає жодного елемента множини Якщо таких відрізків є два, то беремо будь-який. З цим відрізком робимо аналогічну процедуру. В результаті нескінченого продовження цієї процедури одержимо послідовність відрізків з такими властивостями:

1)

2) довжина відрізка дорівнює

3) - не є порожньою множиною;

4) правіше нема жодного елемента множини

З перших двох властивостей за аксіомою Кантора маємо:

Доведемо, що одержане число і буде Для цього треба показати:

1. - є верхньою межею множини

2. - є найменшою з верхніх меж множини

Доведемо 1. Припустимо, що це не так. Тоді

Візьмемо

і утворимо Оскільки належить всім відрізкам нашої послідовності і довжини цих відрізків прямують до нуля, то обов'язково знайдеться хоча б один відрізок який лежатиме в цьому околі, бо в протилежному випадку всі відрізки нашої послідовності не належали б цьому околу і оскільки вони міститимуть точку то довжина кожного з них була б не меншою за радіус околу а це протирічить умові 2). Тоді це означатиме, що правіше цього відрізка є точка що протирічить властивості 4). Припущення неправильне, а це означає , що 1. доведене.

Доведемо 2. Знову припустимо, що будучи верхнею межею не є найменшою з верхніх меж множини Значить

і

є верхнею межею множини Нехай знову

Розглянемо Як і вище в цей попаде хоча б один відрізок нашої послідовності. Оскільки (за припущенням) є верхнею межею множини а то всі точки лежать правіше точки а значить, не містить жодного елемента множини а це протирічить властивості 3). Припущення невірне і теорема доведена.

Зауважимо, що твердження не буде справедливим для множини раціональних чисел. Використовуючи означення точних граней можна одержати наступні властивості цих граней:

І) тоді

( - нижня межа);

(з того, що - є найбільшою нижньою межею).

ІІ) тоді:



У зв'язку з доведеною теоремою і теоремою Вейєрштрасса виникає питання: чи немає зв'язку між границею монотонної, обмеженої послідовності і точними гранями цієї послідовності.

2.2.3 Поняття підпослідовності. Теорема Больцано-Вейєрштрасса. Поняття часткової границі. Верхні і нижні границі, проблема їх існування

Знову розглянемо обмежені послідовності. Раніше ми довели, що із збіжності послідовності випливає її обмеженість, проте навпаки невірно. Наступна теорема дещо більше нам говорить про взаємозв'язок обмеженості і збіжності послідовності.

Нехай - деяка монотонно зростаюча послідовність натуральних чисел, а - послідовність дійсних чисел. Тоді послідовність називається підпослідовністю послідовності

Наприклад є підпослідовністю послідовності Очевидно, що

Теорема 1(Больцано-Вейєрштрасса). З кожної обмеженої послідовності дійсних чисел можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення. Нехай - обмежена послідовність, тоді

відрізок поділимо на два рівних відрізки і позначимо через той із них, який містить безліч членів нашої послідовності (якщо цю властивість мають обидва відрізки, то беремо будь-який з них). Продовжуючи цей процес, ми одержуємо послідовність відрізків з такими властивостями:

1)

2) довжина відрізка дорівнює

3) містить безліч членів послідовності

Із властивостей 1) і 2) за аксіомою Кантора маємо, що

З'ясуємо далі скільки членів послідовності лежатиме в довільному околі точки Візьмемо і розглянемо Як і при доведенні попередньої теореми завжди знайдеться і тоді з властивості 3) маємо, що в є безліч членів послідовності

Візьмемо і розглянемо За тільки що доведеним тут є члени нашої послідовності Візьмемо один із них і позначимо його через Тоді

Візьмемо і розглянемо Тоді існує член послідовності (який позначимо через ) такий, що (такий обов'язково знайдеться, бо в є безліч членів нашої послідовності ), причому

Продовжуючи цей процес і так далі, ми на - кроці візьмемо і розглянемо В ньому знайдемо таке, що

Таким чином ми одержимо підпослідовність послідовності таку, що

З останньої нерівності за теоремою „Про два міліціонери” одержимо, що

Отже, ми з послідовності виділили збіжну послідовність. Теорема доведена.

Прості приклади показують , що умова обмеженості суттєва. Що стосується необмеженої послідовності то тут справедлива така

Теорема 2. Із кожної необмеженої послідовності можна виділити нескінченно-велику послідовність.

Пропонуємо читачу довести це твердження самостійно.

Число яке ми одержали в теоремі Больцано-Вейєрштрасса як границю деякої підпослідовності (і яке не зобов'язане бути границею послідовності ), називатимемо частковою границею послідовності

Наприклад. Послідовність має дві часткові границі 0 і 1.

В зв'язку з введеним тільки-що поняттям часткової границі пропонуємо читачу довести ще одне твердження.

Теорема 3. Для того щоб обмежена послідовність була збіжною необхідно і достатньо, щоб вона мала одну часткову границю.

Очевидно, що обмежена послідовність може мати декілька і навіть безліч часткових границь (придумайте такі послідовності). Тому поставимо питання про найбільшу і найменшу з часткових границь даної послідовності. Першу з них називають верхньою, а другу - нижньою границями послідовності і позначають відповідно: і

Наприклад. Тут і

Оскільки послідовність може мати безліч часткових границь, то виникає проблема існування нижніх і верхніх границь послідовності, бо не завжди із безлічі чисел можна знайти найменше і найбільше . Наступна теорема вирішує цю проблему.

Теорема 4 (про існування верхньої і нижньої границь послідовності).

Якщо обмежена послідовність, то існує її верхня і нижня границя.

Доведення. Нехай множина всіх часткових границь послідовності Очевидно, ця множина не порожня (з теореми Больцано-Вейєрштрасса). Крім цього, вона ще й обмеженою. Справді, для будь-якої підпослідовності справедлива нерівність



а звідси випливає, що є нижньою межею множини а - верхньою (за теоремою про граничний перехід в нерівностях).Тоді за відомою теоремою існують і

Для того, щоб закінчити доведення нашої теореми, достатньо довести , що і належать множині Цим самим буде показано, що є найменшою частковою границею послідовності а найбільшою.

Покажемо, що Для цього скористаємося тим, що і за властивостями інфінуму матимемо

або записавши разом ці властивості

Таким чином, ми зараз довели, що в будь-якому є хоча б один елемент множини або що те саме часткова границя що в свою чергу означає, що існує який повністю лежатиме в а в лежатимуть всі члени деякої підпослідовності, починаючи з певного номера. Оскільки всі вони є членами то ми довели наступне: в будь-якому є безліч членів послідовності . Тоді звідси, як і при доведенні теореми Больцано-Вейєрштрасса, одержуємо, що існує деяка підпослідовність послідовності яка збіжна до . Отже, - часткова границя і тому Оскільки то - найменший із елементів тому - нижня границя послідовності. Інший випадок доводиться аналогічно, що пропонуємо зробити читачу самостійно, так само як спробувати теж самостійно довести наступне твердження, яке в якійсь мірі узагальнює раніше приведене твердження.

Теорема 5. Для того, щоб обмежена послідовність була збіжною необхідно і достатньо, щоб її верхня і нижня границі співпадали.

Далі, проаналізувавши поняття верхньої і нижньої границь послідовності легко виходимо на такі властивості цих понять:

Якщо

,,

всі члени послідовності, починаючи з деякого номера будуть належати відрізку

2.2.4 Критерій Коші збіжності послідовності

Однією з найважливіших проблем в теорії границь є проблема збіжності послідовностей. Теорема Вейєрштрасса дає достатні (але не необхідні) умови збіжності послідовності. Наступна теорема теж розв'язує проблему збіжності чи розбіжності послідовності.

Теорема 1 (Критерій Коші). Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і достатньо, щоб

(Послідовність, яка має властивість описану в цьому критерії називається фундаментальною.)

Доведення. Необхідність. Нехай - збіжна, а це означає

Тоді візьмемо

і розглянемо

Достатність. Нехай - фундаментальна, тоді

(1)

Покладемо в (1), що тоді

тобто всі члени послідовності з номерами не меншими за належать даному околу. А це означає (як і при доведенні обмеженості збіжної послідовності), що послідовність обмежена. Тоді за теоремою Больцано-Вейєрштрасса існує підпослідовність послідовності збіжна до деякого числа , тобто



А це за означенням границі послідовності означає, що для вказаного в (1) існує

(2)

Візьмемо далі

настільки великим щоб (із співвідношень (1)) і візьмемо Для таких матимемо

А це означає, що буде не тільки частковою границею, а й границею Теорема доведена.

Використовуючи поняття фундаментальності, критерій Коші можна сформулювати ще й так.

Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і достатньо щоб вона була фундаментальною.

Оскільки послідовність може мати безліч часткових границь, то виникає проблема існування нижніх і верхніх границь послідовності, бо не завжди із безлічі чисел можна знайти найменше і найбільше . Наступна теорема вирішує цю проблему.

2.3 Границя і неперервність функції

2.3.1 Гранична точка множини. Означення границі функції

Нехай - деяка множина дійсних чисел. Тоді - називається граничною точкою множини якщо в будь-якому околі цієї точки є безліч елементів множини Очевидно, що якщо складається із скінченої кількості точок, то граничної точки вона не має. має граничну точку: яка цій множині не належить. тут кожна точка цього відрізка є його граничною точкою і всі граничні точки цієї множини їй належать.

Розглянемо наступну властивість граничної точки.

Теорема 1. Якщо - гранична точка множини то існує послідовність елементів множини така, що

Доведення. Візьмемо Оскільки тут є безліч елементів множини то візьмемо один з них і позначимо його і

Далі візьмемо Тут теж є безліч елементів множини тому

Продовжуючи цей процес ми в знайдемо таку точку

В результаті ми одержимо послідовність всі члени якої відрізняються між собою, і всі вони належать до множини Крім того з побудови випливає (за теоремою „про два міліціонери”), вона ще й збіжна до Теорема доведена.

Приступимо до введення наступного важливого в математичному аналізі поняття.

Нехай деяка функція областю визначення якої є множина причому гранична точка цієї множини.

Означення 1 (Гейне). Число називається границею функції в точці (або при ) і записується

якщо для будь-якої послідовності такої що,

матимемо, що послідовність збігається до числа

Якщо співставити тільки що приведене означення із означенням границі послідовності, то можна вийти на ще одне означення границі функції.

Означення 2 (Коші). Число називається границею функції в точці якщо

Оскільки ми означення одному і тому ж поняттю дали двома способами то є потреба в наступному твердженні.

Теорема 2. Означення Гейне та Коші границі функції еквівалентні.

Доведення. Нехай

в розумінні означення Коші. Доведемо, що

в розумінні означення Гейне. З умови Коші маємо

(1)

Візьмемо далі довільну послідовність таку що, З останньої рівності за означенням границі послідовності будемо мати, що для вказаного в (1) числа

Враховуючи дві інші властивості ми будемо мати, що насправді Звідси за (1) маємо, що А це за означенням границі послідовності означає, що

що в свою чергу дозволяє стверджувати, що число є границею функції в точці за означенням Гейне і перша частина теореми доведена.

Нехай тепер

за означенням Гейне і доведемо, що число є границею за означенням Коші. З умови маємо, що для будь-якої послідовності

випливає, що

Припустимо, що не є границею за Коші, тоді

(2)

Оскільки (2) справедливе для то поклавши в умову, що будемо мати Аналогічно для

,

В результаті цього ми одержали дві послідовності: і Що стосується першої з них, то про неї можна сказати наступне: І, а також, що

Звідси за теоремою „про два міліціонери”

Отже послідовність задовольняє всі вимоги означення Гейне. Подивимось на З її побудови бачимо, що ні один її член не належить значить не є її границею. Отже виходить, що число не є границею функції в точці за означенням Гейне, що суперечить умові. Одержана суперечність і доводить нашу теорему.

Повертаючись до означення Коші його можна записати дещо в іншому вигляді, замінивши приналежність до околу відповідною нерівністю.

Означення 3 (Коші). Число називається границею функції в точці якщо

Із теореми про єдність границі послідовності і означення Гейне зразу випливає, що якщо функція в точці має границю, то вона єдина. Крім цього з означення Гейне і теорем про арифметичні операції над збіжними послідовностями отримаємо наступне твердження

Якщо

( де і задані на для якої точка є гранична), то

(при додатковій умові ).

Доведемо наприклад 2) (інші доводяться аналогічно).

З того, що і є границями функцій відповідно і в точці означає за Гейне, що для будь-якої послідовності

випливає, що

Розглянемо послідовність Отримаємо

А це знову за означенням Гейне означає, що

Інші доводяться аналогічно.

З допомогою одержаних фактів можна ефективно обчислювати границі функції.

Наприклад. Обчислимо

(подумайте чи мали ми право скорочувати на ).

електронний підручник інтеграл диференціальний функція

2.3.2 Границя функції на нескінченності (випадок, коли )

Простий аналіз означення границі функції за Коші показує, що для того, щоб дати означення границі функції на нескінченності треба розібратись, що слід розуміти під околом нескінченно віддаленої точки.

Під - околом нескінченно віддаленої точки будемо розуміти наступну множину або множину Тепер можна говорити про границю функції на нескінченності.

Нехай функція задана на множині для якої нескінченно-віддалена точка є граничною, тобто в будь-якому є безліч точок із множини Тоді перенісши формально означення Коші границі функції, сформульоване вище і замінивши в ньому відповідний окіл на ми одержимо наступне

Означення Коші (границі функції на нескінченності).

Число називається границею функції при і записується

Якщо

Сформулюємо означення Гейне границі функції на нескінченності.

Число називається границею функції при і записується

якщо для будь-якої нескінченно-великої послідовності всі члени якої належать до множини послідовність - збіжна до числа

Як і в скінченному випадку тут також обидва означення границі функції на нескінченності еквівалентні і мають місце теореми про арифметичні операції над границями функції.

2.3.3 Односторонні границі функції в точці

Нехай задана на множині і точка така, що в будь-якому її правому півоколі є безліч елементів з множини Тоді число називається правосторонньою границею функції в точці і записується

Означення Гейне (правосторонньої границі функції в точці ).

Число називається правосторонньою границею функції в точці і записується

якщо

послідовність - збіжна до числа

Означення Коші (правосторонньої границі функції в точці ).

Число називається правосторонньою границею функції в точці і записується

Якщо

(або що те саме ).

Знову легко доводиться, що обидва ці означення еквівалентні.

Аналогічно вводяться обидва означення лівосторонньої границі функції в точці Нехай задана на множині і точка така, що в будь-якому її лівому півоколі є безліч елементів з множини

Означення Гейне (лівосторонньої границі функції в точці ).

Число називається лівосторонньою границею функції в точці і записується

якщо

послідовність - збіжна до числа

Означення Коші (лівосторонньої границі функції в точці ).

Число називається лівосторонньою границею функції в точці і записується

якщо

(або що те саме ).

Використавши ці ідеї можна написати означення одностороннім границям в нескінченно віддаленій точці або інакше кажучи ввести поняття границі функції при і

Нехай визначена на множині причому на проміжку є безліч елементів множини Тоді

якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності елементів множини всі члени якої є додатні числа, послідовність - збіжна до числа (означення Гейне (границі функції на )).

(означення Коші (границі функції на )).

Аналогічно означаємо

Теорема 1 (Про зв'язок між границею та односторонніми границями функції в точці ). Нехай задана на множині причому в будь-якому лівому та правому півоколах точки є безліч елементів множини Тоді для того, щоб в точці існувала границя функції необхідно і достатньо, щоб в цій точці існували і були рівні між собою обидві односторонні границі функції в цій точці.

Доведення. Необхідність пропонуємо читачу довести самостійно.

Достатність. Нехай

,

Покажемо, що

За означенням правосторонньої границі маємо

а за означенням лівосторонньої границі отримаємо

Нехай

тоді якщо



то

Отже

Теорема доведена.

Перша цікава границя.

Тут ми з'ясуємо, як веде себе функція

при Тобто обчислимо Нарисуємо одиничне коло. Нехай Відкладемо кут в радіан: кут ВОА. З точки А опустимо перпендикуляр на вісь ОХ - точка С. накреслимо ще одне коло радіуса Розглянемо далі сектори COD і AOB та ? AOB. З малюнка видно, що

Звідси врахувавши, що



будемо мати

(1)

Далі поділивши на отримаємо

Отже

 (2)

Розглянемо далі

Тобто

Звідси на основі (2) будемо мати

(3)

і, розкривши модуль, для

Таким чином, ми бачимо, що незалежно від того чи чи нерівність (3) займає вигляд

(4)

причому ця нерівність справедлива

Звідси за теоремою „про два міліціонери” (застосованої ) одержимо, що

(5)

З цієї рівності і з тотожності

одержуємо (за теоремою про границю різниці), що:

Це і є І цікава границя.

Наприклад. Обчислити Маємо

Розглянемо чому дорівнює



Звідси і з І цікавої границі за теоремою „Про два міліціонери” маємо, що

З цієї рівності і з тотожності

виходить, що

Оскільки то з доведеної рівності маємо:

Аналогічно доводимо, що

2.3.4 Означення неперервності функції в точці. Точки розриву функції та їх класифікація

Нехай функція задана на деякому проміжку і точка з цього проміжку.

Означення 1. Якщо і то функція називається неперервною в точці

Із графіка функції видно, що із виділених точок лише одна задовольняє тільки-що приведеному означенню, а саме точка Якщо в якійсь точці з цього проміжку функція не є неперервною, то ця точка називається точкою розриву даної функції. Очевидно, що точки із нашого малюнка є точками розриву, але вони суттєво відрізняються одна від одної. Тому проведемо наступну класифікацію точок розриву.

1) Точка з області визначення функції називається точкою усувного розриву, якщо в цій точці проте .

2) Точка з області визначення функції називається точкою розриву І роду, якщо в цій точці не існує границя функції, проте існують скінченні односторонні границі (без сумніву не рівні між собою).

3) Точка з області визначення функції називається точкою розриву ІІ роду, якщо в цій точці також не існує границя функції, проте при цьому не існує хоча б одна з її односторонніх границь.

Даючи вище означення точці розриву ми вважали, що ця точка зобов'язана належати області визначення функції. Проте домовимось до точок розриву функції відносити ці точки, які не належать до області визначення, але є граничними для неї.

Повернемось знову до неперервності функції в точці. Оскільки тут - гранична точка області визначення, то запишемо останню рівність скориставшись означеннями Гейне та Коші:

За означенням Гейне

За означенням Коші

Уважно проаналізувавши два останні означення ми помічаємо, що умова 2) в означенні Гейне і умова проколеності околу в означенні Коші є зайвими, тому ми можемо зараз сформулювати наступні два означення неперервності функції в точці з області визначення цієї функції.

Означення 2 (Гейне). Функція називається неперервною в точці якщо

Означення 3 (Коші). Функція називається неперервною в точці якщо

Аналізуючи останні два означення, робимо висновок, що в них вже не вимагається того, щоб точка була граничною. Значить тут може бути ізольованою. Як випливає з двох означень: будь-яка функція в будь-якій ізольованій точці завжди є неперервною (спробуйте пояснити чому!). Очевидно, що означення Гейне і Коші неперервності функції в точці (будучи еквівалентними між собою) є „сильнішими” за граничне означення неперервності.

2.3.5 Арифметичні операції над неперервними функціями

Теорема 1. Нехай і - функції визначені на множині і неперервні в точці Тоді неперервними в цій точці будуть функції:

Доведення. Візьмемо

Тоді із неперервності і в точці матимемо (за означенням Гейне):

Розглянемо послідовність Для неї матимемо

А це за означенням Гейне і означає, що функція є неперервною в точці

В кінці попереднього параграфа ми довели, що

Перші дві рівності означають, що і неперервні в кожній точці числової осі. Третє означає, що неперервна функція всюди, де останнє означає, що неперервна всюди, крім Безпосередньо з означення неперервності і теорем про границі функції випливає, що будь-який многочлен

є неперервною функцією на всій числовій осі, дробово-раціональна функція ( і - многочлени) - теж є неперервною функцією всюди, де

Нехай маємо функцію яка визначена на множині і - її множина значень. На множині визначена ще одна функція з множиною значень При цих умовах ми одержали на множині функцію з множиною значень яку називатимемо складною функцією, або композицією функцій і З'ясуємо при яких умовах складна функція буде неперервною.

Теорема 2 (про неперервність складної функції). Якщо функція неперервна в точці і функція неперервна в точці то складна функція - неперервна в точці

Доведення. Візьмемо довільну послідовність

Звідси і з того, що - неперервна в точці за означенням Гейне неперервності функції матимемо, що послідовність

Оскільки неперервна в точці то за означенням Гейне матимемо або, що те саме А це означає (за означенням Гейне), що функція неперервна в точці Теорема доведена.

Одностороння неперервність функції в точці

Нехай дана функція область визначення її, і точка така, що в будь-якому її лівому півоколі є безліч елементів множини Тоді можна говорити про Якщо то функція неперервна в точці зліва. Аналогічно вводиться і неперервність справа.

Очевидно справедлива наступна

Теорема 3. Якщо функція така, що можна говорити про її неперервність і зліва і справа в деякій точці, то для того, щоб функція була неперервна в цій точці необхідно і достатньо, щоб вона була неперервна в цій точці і зліва, і справа.

2.3.6 Властивості неперервних функцій

Локальна властивість

Теорема 1 (Про консервативність функції). Якщо функція неперервна в точці і то існує окіл точки такий, що



Доведення. Нехай для конкретності Візьмемо

Оскільки функція неперервна в точці то за означенням Коші неперервності матимемо, що

або

Випадок коли розглядається аналогічно.

Легко доводиться і наступна

Теорема 2. Якщо функція неперервна в точці то вона обмежена в деякому околі цієї точки.

Доведення пропонуємо провести самостійно.

Глобальні властивості

Функція називається неперервною на множині якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Наприклад. Функція є неперервною на а функція не є неперервною на

Наступним нашим завданням буде вивчення властивостей функцій неперервних на відрізку.

Теорема 3 (Веєрштрасса). Якщо функція неперервна на відрізку то вона обмежена на цьому відрізку.

Доведення. Те, що функція обмежена на означає

Доведемо цю теорему методом від супротивного. Припустимо, що (1) невірне. Тоді будемо мати,

Звідси отримаємо: (тут ми беремо в якості )

Із (3) одержуємо деяку послідовність всі члени якої належать відрізку а тому послідовність обмежена. Тоді за теоремою Больцано-Веєрштрасса існує збіжна підпослідовність тобто

Оскільки

то за теоремами про граничний перехід в нерівностях одержимо, що З умови теореми маємо, що функція неперервна в точці Тому з означення Гейне неперервності функції матимемо, що А оскільки ця послідовність збіжна, то вона і обмежена. Але ж із нерівності (3) будемо мати, що

Оскільки послідовність взята із означення підпослідовності, то Значить, як випливає з нерівності (4) послідовність є нескінченно-великою, а значить необмеженою, в той час як вище ми показали її обмеженість. Протиріччя! Тому припущення невірне і теорема доведена.

Зауваження. Ясно, що ця теорема перестає бути вірною, якщо відрізок замінити інтервалом або півінтервалом.

Спробуйте привести приклад неперервної на інтервалі функції, яка обмеженою на ньому не буде.

Попередньою теоремою ми показали, що при її умовах множина значень функції є обмеженою, а значить як ми знаємо існує і цієї множини, які ми позначатимемо так: і Наступна теорема відповідає на питання: чи досягаються ці числа нашою функцією на відрізку тобто чи існують точки

Якщо функція неперервна на інтервалі то очевидно і Легко бачити, що і 1 нашою функцією на інтервалі не досягаються. Проте має місце наступна

Теорема 4 (Веєрштрасса). Якщо функція неперервна на відрізку то існують точки ,

(а значить будуть відповідно найбільшим і найменшим значенням цієї функції на відрізку що будемо позначати так:

)

Доведення. (Приклад перед формулюванням теореми показує, що вона точна в тому розумінні, що в ній відрізок не може бути замінений на інтервал чи півінтервал.) Позначимо тоді

Припустимо, що немає такої точки щоб Значить матимемо, що

Розглянемо функцію

Очевидно, ця функція неперервна (і невід'ємна) на відрізку Звідси за теоремою 1 матимемо:

Отже,

Остання нерівність означає, що - нижня межа множини значень функції яка більша за яке є найбільшою з нижніх меж. Протиріччя! Припущення невірне. Значить і в цій частині теорема 2 доведена. Інша частина теореми доводиться аналогічно.

В елементарній математиці ми часто користуємося відомим методом інтервалів. Наступна теорема не тільки обґрунтовує цей метод, а має дуже багато інших різноманітних застосувань.

Теорема 5 (Больцано-Коші). Якщо функція неперервна на і на кінцях цього відрізка приймає значення різних знаків, то

Доведення. Нехай для конкретності і Позначимо через множину тих точок відрізка , де . Оскільки неперервна в точці (в цій точці вона неперервна справа), то за теоремою про консервативність існує



Значить

Аналогічно з тієї ж теореми одержимо множину таку, що а отже ні одна точка цього півоколу не належить до множини значить кожна із точок півоколу включаючи і , буде верхньою межею множини . Значить ми вже встановили (з використанням відомої теореми):

бо ми довели, що

Доведемо, що Припустимо, що це не так. Тобто Нехай Тоді за теоремою про консервативність Звідси маємо, що ні одна точка цього околу не належить до множини . Оскільки - верхня межа множини то ні одне і теж не належить до множини Значить маємо, що кожна точка буде верхнею межею множини в тому числі і Але ж це неможливо, бо - найменша з верхніх меж. Отримали протиріччя. Отже неправда, що

Випадок розглядається аналогічно. Отже і теорема доведена.

Теорема 6 (Больцано-Коші). Якщо функція неперервна на відрізку і то для будь-якого що лежить між числами і існує

Доведення. Нехай для конкретності і Ясно, що неперервна на Далі



Тоді задовольняє всім умовам першої теореми Больцано-Коші, згідно з якою

Звідси

Теорема доведена.

Використовуючи доведені теореми можна вирішити проблему множини значень неперервної на відрізку функції.

Теорема 7 (про множину значень неперервної на відрізку функції). Якщо функція неперервна на відрізку то множиною її значень буде деякий відрізок або одноточкова множина.

Доведення. Якщо на відрізку то тоді ця константа і буде тією єдиною точкою з якої складатиметься множина значень цієї функції. Нехай тоді за другою теоремою Вейєрштрасса знайдуться

Очевидно, що Покажемо, що відрізок - множина значень на відрізку Візьмемо довільне Застосувавши ІІ теорему Больцано-Коші до функції на відрізку з кінцями і одержимо, що на цьому відрізку, а значить і на відрізку знайдеться Отже ми бачимо, що всі точки відрізка досягаються нашою функцією, тому він буде множиною значень цієї функції. Теорема доведена.

Очевидно теорема обернена до тільки-що доведеної (якщо множиною значень заданої на відрізку функції є відрізок, то неперервна на області визначення) є не вірною. Пропонуємо читачу підібрати відповідний приклад, що це підтверджує.

Теорема 8 (достатня умова неперервної функції). Якщо функція монотонно-зростаюча (спадна) на відрізку і відрізок є її множиною значень, то - неперервна на відрізку

Доведення. Нехай монотонно-спадна на відрізку і - її множина значень. Візьмемо Очевидно, що

Тоді можна взяти настільки малим, щоб

Тоді числа який за умовою є множиною значень нашої функції і тому ці числа досягаються нею на відрізку Значить

З монотонного спадання нашої функції маємо, що Позначимо через



Тоді а це означає, що

тому неперервна в точці Якщо або то доведення аналогічне і пропонуємо його провести самостійно. Теорема доведена.

Ця теорема буде справедливою і для випадку не строго монотонних функцій. Щоб закінчити проблему неперервності монотонної функції ми доведемо теорему з якої випливатиме які точки розриву може мати монотонна на відрізку функція.

Теорема 9. Якщо функція монотонно неспадна (незростаюча) на відрізку то в точці існує правостороння границя, в точці - лівостороння, а існують обидві (скінченні) односторонні границі.

Доведення. Для доведення достатньо довести, що в точці існує скінченна правостороння границя, а в точці існує скінченна лівостороння границя. Візьмемо, що функція монотонно неспадна на відрізку і доведемо перший випадок:

1) в точці існує скінченна правостороння границя функції

Для доведення позначимо через множину значень функції які вона приймає на півінтервалі Очевидно, що не порожня, бо Ясно, що обмежена знизу числом тому що Отже - нижня межа множини Тому за відомою теоремою випливає, що існує Ясно, що Покажемо, що одержане число буде дорівнювати Беремо За другою властивістю інфінууму матимемо, (а значить ): Оскільки то число Розглянемо далі інтервал Очевидно, що матимемо: