Математическое моделирование

Задача (1), (2) или (3), (4) в числе многих задач комбинаторной оптимизации отнесена к классу "труднорешаемых" или, NP (nо polynomial) - полных задач. Причина заключается в том, что алгоритма, решающего поставленную задачу за время, ограниченное полиномам от "размера задачи", в настоящее время нет.

В связи с этим исследования, направленные на разработку новых эффективных или полиномиальных методов решения задач линейного программирования с булевыми переменными, являются, несомненно, актуальными.

Сначала рассмотрим широко распространенные практические задачи, описываемые моделями линейного программирования с булевыми переменными.

2. Преобразование задачи с дискретными переменными к задаче с булевыми переменными

Пусть x дискретная переменная, принимающая только целые значения 0,1,2,...,k. Тогда эту переменную можно представить как линейную комбинацию (p+1) булевых переменных y₀, y₁,...,y_p, т.е.:

, (1)

где p-наименьшее целое число, удовлетворяющее условию

(2)

Пример. Рассмотрим следующую задачу целочисленного программирования

целые.

Переменная x₁ принимает шесть целых значений: 0,1,2,3,4,5. Для этой переменной k₁=5. Возьмем для переменной x₁ наименьшее целое число p₁ , оно определяется из условия (2)

откуда

Исходя из (1), можно произвести замену переменных:

Переменная x₂ принимает четыре целых значения 0,1,2,3.

Следовательно, для

Исходная задача дискретного программирования преобразована к следующей задаче булева программирования :



Если дискретная переменная x принимает произвольные целые дискретные значения c₁ , c₂ , c₃ ,..., c_k , то в этом случае соотношения (1) и (2) соответственно преобразуются в следующие соотношения:

Таким образом, всегда можно ограничиться рассмотрением задачи булева программирования вместо задачи дискретного программирования.

3. Преобразование задачи линейного булева программирования к задаче нелинейного булева программирования

Задача вида

(1)

(2)

в числе многих задач комбинаторной оптимизации отнесена к классу “труднорешаемых”. Следовательно, для эффективного решения на вычислительных машинах задач большого размера нужно искать алгоритмические принципы, позволяющие определять оптимальное решение без необходимости явно перечислять элементы множества булева вектора x=(x₁,x₂, . . . , x_n) 2ⁿ.

Именно эта идея неявного (в противоположность явному) перечисления решений и лежит в основе методов, предлагаемых и исследуемых в данной книге. Идейная основа последних заключается в преобразовании исходной задачи (1), (2) к следующей задаче булева программирования:

. (3)

При переходе от задачи (1), (2) к задаче (3) возникает вопрос: не теряется ли смысловое содержание исходной задачи при переходе к новой форме. Оказывается, не теряется, это объясняется следующим образом: Максимизируя функцию Ф(х) по булевым переменным x=(x₁,x₂,..., x_n ), практически мы , во-первых, максимизируем числитель выражения (3), т.е. линейную функцию булевых переменных

что соответствует задаче (1). Во-вторых, при максимизации выражения (3), минимизируется знаменатель этого выражения, т.е.

Следовательно, минимизация выражения хотя это процедура не обеспечивает точного выполнения условия (2), а способствует выполнению этого же условия.

В дальнейшем исследовании задачи о рюкзаке (см. п.п. 4.1)будет изложена вычислительная схема получения решения задачи (3) в виде упорядоченного ряда булевых переменных

(4)

но этот ряд булевых переменных может не удовлетворять выполнению ограничения вида (2). После получения упорядоченного ряда (4) каждый очередной элемент этого ряда поочередно слева направо будет вставлен в выражения (2) и таким образом проверено выполнение условия

до максимального числа первых n переменных упорядоченного ряда (4).

Таким образом, переход от исходной задачи линейного булева программирования вида (1), (2) к новой задаче - максимизации фишерского типа функционала вида (3) логичен.

Контрольные вопросы

Роль и место моделей булева программирования в проблеме оптимизации.

Основные виды моделей линейного булева программирования.

О полиномиальных и не полиномиальных задачах в дискретной оптимизации.

Преобразование задачи с дискретными переменными к задаче с булевыми переменными.

Преобразование задачи *** к задаче нелинейного булева программирования.

Как записывается функционал Фишерского типа.

Литература

1. Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами, М.: Советское радио, 1980 г. -- 232 стр.

2. Хамдамов Р.Х., Каюмов Ш. Моделирование и оптимизация работы насосной станции // Материалы первой международной научно-технической и практической конференции: Проблемы и перспективы автоматизации производства и управления // Автоматизация-97. I часть. Ташкент, 1997. - С. 173-176.

3. Хамдамов Р.Х., Эргашев А.К. Решение задачи о рюкзаке методом обобщенных неравенств // Сб. научных трудов ТашГТУ, 1993.

4. Хамдамов Р.Х., Эргашев А.К. Решение задачи булева программирования методом обобщенных неравенств// Вестник ТашГТУ. №: 1-2/98. - С. 6-12.

5. Hamdamov R., Ergashev A., Kayumov Sh. Solution of the Task of Pumping Station Operation Automation with linear Boolean Programming Usage// материалы конференции World Conference on Intelligent Systems for Industrial Automation (WCIS 2000), Kaufering: b-Quadrat Verlag, 2000, 30-33 стр.

Лекция 15. НОВЫЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО БУЛЕВА ПРОГРАММИРОВАНИЯ (2 часа)

План

1. Задача и модель оптимизации работы насосной станции

2. Модель задачи автоматической классификации

3. Задача об оптимизации размещения букв алфавита на клавиатуре ЭВМ

1. Задача и модель оптимизации работы насосной станции

Исследование и моделирование крупных насосных станций является одной из ключевых задач в системе машинного водоподъема (СМВ). В настоящее время в СМВ в основном используется диспетчерское управление, основанное на простых методах принятия решений, исходя из личного опыта и интуиции лица, принимающего решения (диспетчера) и решающего задачу управления для текущего момента времени. Такое управление приводит к перерасходу электроэнергии на водоподъем, непроизводительным сбросам и потерям воды, невыполнения графика водоподачи. Поэтому задачи, связанные с исследованием, моделированием и разработкой оптимальных алгоритмов управления работой насосной станции, особенно становятся актуальными в связи с переходом к рыночным условиям хозяйствования.

Исследуем работу насосной станции и определим ее основные управляющие параметры.

В крупных насосных станциях обычно устанавливается несколько насосных агрегатов, предназначенных для подъема воды на высоту определенного диапазона. В большинстве случаев насосная станция работает в режимах, при которых недоиспользуются полные возможности, заложенные в насосных агрегатах. Следовательно, возникает необходимость создания таких методов управления, которые позволяют максимально использовать все потенциальные возможности насосной станции и создать оптимальную систему управления по заданному критерию.

В насосных станциях используются крупные осевые насосные агрегаты типа "Р" и "ОП", центробежные типа "В". Для подъема воды на высоту до 25 м используются осевые насосные агрегаты, а на высоту более 25 м -центробежные. Для моделирования процесса водоподачи основными являются гидроэнергетические и расходные характеристики. Гидроэнергетические характеристики можно найти в каталогах. Расходная характеристика Q насосного агрегата зависит от высоты подъема H и от угла разворота лопасти насосного агрегата:

.

В каталогах насосных агрегатов расходная характеристика осевого насосного агрегата задается в виде семейства кривых при различных углах разворота лопастей:

, (j=1,2,...,n),

где - угол разворота лопастей, соответствующий j-ой кривой; n - количество кривых.

Таким образом, расходная характеристика насосного агрегата полностью определяется двойкой

Состояние насосной станции определяется количеством работающих насосных агрегатов m_p из общего числа насосных агрегатов m и последовательностью углов разворота лопастей работающих насосных агрегатов



Например, i-й насосный агрегат может работать в n положениях

(i=1,2,...,m),

т.е. положение насосного агрегата определяется положением угла разворота лопастей.

Для работающих насосных агрегатов насосной системы введем следующие обозначения:

,

,

где M_P - множество номеров работающих насосных агрегатов;

- множество углов разворота лопастей работающих насосных агрегатов.

Следовательно, состояние насосной станции в каждый момент времени определяется тройкой .

Общая расходная характеристика насосной станции, соответствующая ее состоянию, определяется как алгебраическая сумма расходов каждого работающего насосного агрегата:

,

где Q_i(H,_i) - расходная характеристика i-го насосного агрегата;

H - высота подъема воды;

_i - угол разворота лопастей i-го насосного агрегата.

Потребляемая мощность насосной станции также определяется как алгебраическая сумма мощностей каждого работающего насосного агрегата:

,

где /кВт/ - мощность i-го насосного агрегата;

H_i -напор, м;

Q_i -расход i-го насосного агрегата, м³ /с;

-КПД i-го насосного агрегата.

Оптимизация управления заключается в определении количества и номеров работающих насосных агрегатов, а также углов разворота их лопастей, обеспечивающих минимум потребляемой насосной станцией мощности для реализации заданного графика водоподачи.

Приводим постановку задачи оптимизации, которая является общепринятой в СМВ.

Пусть управляемый процесс в области

характеризуется определением регулирующей тройки

, (1)

где _min и _max - минимальное и максимальное допустимые значения углов разворота лопастей насосных агрегатов;

и - критические значения уровней верхнего и нижнего бьефов насосных станций, при которых требуется минимизировать функционал

 (2)

с выполнением ограничения следующего вида

, (3)

здесь =0.05*Q_n - допустимая погрешность управления.

Задача оптимизации (2), (3) с оптимизируемой тройкой параметров (1) не подлежит эффективному решению существующими методами. В связи с этим возникшую задачу сформулируем как задачу линейного булева программирования в обобщенной постановке.

Предполагается, что в насосной станции имеются m насосных агрегатов:

P₁, P₂, ... , P_m .

Насосный агрегат P_i может работать в n_i положениях

(4)

где n_i -количество углов разворота лопастей i-го насосного агрегата; причем рассматривается случай, когда количество углов разворота лопастей для разных насосных агрегатов различно; кроме того, насосный агрегат P_i может находиться только в одном из перечисленных положений (4).

Известна производительность (производительность насосных агрегатов обычно регулируется углом разворота лопастей рабочего колеса работающих насосных агрегатов) каждого положения i-го насосного агрегата, т.е.



где q_ij - расходная характеристика i-го насосного агрегата при j-м положении угла разворота лопастей.

Также считаются известными значения следующих параметров

,

где c_ij - потребляемая мощность i-го насосного агрегата при j-м положении угла разворота лопастей.

Введем булевые переменные x_ij по следующему правилу: x_ij=1, если i-й насосный агрегат работает в j-м положении; x_ij=0 -в противном случае.

Задача оптимизации работы насосной станции может быть сформулирована как задача линейного булева программирования следующего вида:

(5)

(6)

(7)

где и нижний и верхний пределы общей расходной характеристики насосной станции.

По полученному решению задачи (5)-(7) можно устанавливать количество и номера работающих насосных агрегатов. Количество работающих насосных агрегатов определяется из соотношения



где -(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n_i) - решение задачи (5)-(7). Номера работающих насосных агрегатов определяются из следующего условия: если для произвольного значения i =1 (j=1,2,...,n_i), то i-й насосный агрегат работает.

Здесь путем минимизации целевой функции (5) уменьшается общая потребляемая мощность насосной станции. Выполнения ограничения вида (6) обеспечивает подъем воды в допустимых пределах [,]. Выполнением ограничения вида (7) обеспечивается работа каждого насосного агрегата только в одном из возможных положений (4).

2. Модель задачи автоматической классификации

Задача автоматической классификации возникает во многих прикладных вопросах, когда требуется разбиение множества из конечного числа объектов на определенное (может быть и заранее неопределенное) число классов таким образом, чтобы минимизировать некоторый критерий их взаимной несогласованности. Вводим необходимые обозначения и понятия.

Предполагается, что заданы п объектов, и для каждой пары объектов i и j предполагается заданным число d_ij (d_ij0), f называемое расстоянием между объектами i и j (если эти объекты могут рассматриваться как элементы п мерного евклидова пространства).

Задача состоит в разбиении множества всех объектов на р классов (предполагается, что целое число р задано) и выборе в каждом классе специального объекта, называемого представителем этого класса, так чтобы сумма расстояний от объектов до их представителей была минимальна.

Вводится матрица булевых переменных по следующему правилу

1, если объект с номером i отнесен к классу, представителем которого является объект с номером j;

0 - в противном случае.

Здесь для идентификации объектов через булевые переменные х_ij использованы обозначения с двумя индексами, первый из которых i-указывает номер объекта в исходной выборке; второй j-номер объекта, который определен в качестве представителя одного из классов.

Приведенные обозначения и понятия разъясним на следующем примере. Пусть задано 10 объектов и требуются их разбиения на 3 класса, т.е. п=10 и р=3.

Предположим, что в результате решения задачи автоматической классификации получены следующие данные:

x₁₇=1; x₂₂=1; x₃₂=1; x₄₉=1; x₅₉=1;

x₆₂=1; x₇₇=1; x₈₇=1; x₉₉=1; x₁₀₂=1;

Остальные элементы матрицы булевых переменных Х равны нулю. В качестве представителей классов определены следующие объекты:

x₂₂=1 - представитель (условно первого) класса, куда входят следующие объекты: x₂₂, x₃₂, x₆₂ и x₁₀₂, ;

x₇₇=1 - представитель (условно второго) класса, куда входят следующие объекты: x₁₇, x₇₇ и x₈₇,

x₉₉=1 - представитель (условно третьего) класса, куда входят следующие объекты: x₄₉, x₅₉ и x₉₉,.

Как стало ясно из примера, представителями классов могут быть определены только диагональные элементы булевой матрицы X.

Теперь мы можем описать задачу автоматической классификации в виде следующей модели линейного булева программирования:

(8)

(9)

(10)

Задача минимизации суммы расстояний от объектов до их представителей реализуется решением задачи (8). Ограничения (9) выражают тот факт, что каждый объект должен быть привязан к одному и только одному классу. Ограничение (10) обеспечивает определения р числа объектов, которые являются представителями образованных р классов.

3. Задача об оптимизации размещения букв алфавита на клавиатуре ЭВМ

С момента появления пишущих машин, особенно средств вычислительной техники, исследования, связанные с изучением проблемы оптимального размещения букв любого алфавита на клавиатуре ЭВМ и пишущей машинки являются актуальными по сей день и требует своего разрешения эффективными методами.

Из литературных источников известно, что также задача оптимального размещения букв алфавита на клавиатуре ЭВМ как и любая задача размещения, относится к задачам комбинаторной оптимизации.

В данной работе впервые предлагается новая модель для задачи оптимального размещения букв алфавита любого языка на клавиатуре ЭВМ в виде линейной модели булева программирования. Для формализации задачи вводится булева матрица



по следующему правилу

x_ij =

Первый индекс i используется для определения порядкового номера буквы в исходном алфавите, второй индекс j - для идентификации порядкового номера клавиши на клавиатуре.

Вводятся следующие понятия:

a_i - частота появления буквы c порядковым номером i в генеральной выборке слов рассматриваемого алфавита (в данном случае необходимо исследовать достаточно большое число слов);

c_j - расстояние от центра клавиатуры до клавиши с порядковым номером j. После введения необходимых обозначений и понятий задачу об оптимизации размещения букв алфавита на клавиатуре ЭВМ можно описать с помощью следующей модели линейного булева программирования:

(11)

(12)

(13)

При математической формулировке задачи основными критериями выступают суммарные передвижения пальцев по клавиатуре ЭВМ. При минимизации этого критерия, как известно, снижаются расходы пользователя по времени, что приводит к естественному уменьшению утомляемости.

Ограничения видов (12) и (13) использованы для обеспечения закрепления каждой буквы только за одной клавишей и обратно.

Относительно модели (11) - (13) можно сделать следующее замечание: в модели рассматривается случай с исследованием частоты появления отдельных букв, при котором и реализуется общий случай, когда исследуется комбинация букв в тексте. Потому что комбинация (сочетание) букв в тексте состоит из отдельных букв.

Для решения задачи (11) - (13) можно использовать эффективные методы линейного булева программирования.

Контрольные вопросы

Общее описание работы насосной станции.

Линейная булевая модель работы насосной станции.

Что понимается под задачей автоматической классификации?

Модель задачи оптимального размещения букв алфавита на клавиатуре ЭВМ.

Литература

1. Хамдамов Р.Х., Каюмов Ш. Моделирование и оптимизация работы насосной станции // Материалы первой международной научно-технической и практической конференции: Проблемы и перспективы автоматизации производства и управления // Автоматизация-97. I часть. Ташкент, 1997. - С. 173-176.

2. Хамдамов Р.Х., Эргашев А.К. Об одной модели задачи автоматической классификации // Научно- теоретическая и техническая конференция Истиклол-5 посвящённая 5-летию независимости Республики Узбекистан. Навои, 1996.

3. Hamdamov R., Ergashev A., Kayumov Sh. Solution of the Task of Pumping Station Operation Automation with linear Boolean Programming Usage// материалы конференции World Conference on Intelligent Systems for Industrial Automation (WCIS 2000), Kaufering: b-Quadrat Verlag, 2000, 30-33 стр.

Лекция 16. РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО БУЛЕВА ПРОГРАММИРОВАНИЯ (2 часа)

План

1. Моделирование и оптимизация работы насосной станции

2. Проверка адекватности математической модели

3. Алгоритм оптимального управления работы насосной станции

1. Моделирование и оптимизация работы насосной станции

Эффективное управление внутристанционным режимом работы насосной станции предполагает определение количества и номеров работающих насосных агрегатов, а также положения углов разворота лопастей, которые обеспечивают минимум потребляемой мощности энергии для реализации заданного графика водоподачи. В настоящее время на многих магистральных каналах с каскадом насосных станций управление процессом водоподачи осуществляется центральной диспетчерской службой, то есть диспетчер осуществляет управление водозабором, транспортированием и распределением воды. Процесс принятия решения диспетчером сводится к сравнению фактического состояния процесса водоподачи с запланированным и исходя из этого, выработки приемлемых в данный момент времени мероприятий на основе личного опыта и интуиции.

При реализации стратегии управления диспетчер опрашивает дежурных инженеров о параметрах гидравлических режимов участков канала и насосных станций, состоянии основного технологического процесса. Стратегия управления, выработанная диспетчером, реализуется на каждой насосной станции и гидротехническом сооружении дежурными инженерами. При нормальной эксплуатации диспетчер получает информацию от насосных станций о значениях технологических параметров через каждые шесть часов, а о параметрах потребителей через каждый час. Диспетчер, проведя анализ обстановки в каскаде, принимает решение для управления процессом водоподачи, которое по диспетчерской связи сообщается дежурным инженерам насосных станций. По этим распоряжениям они осуществляют пуск или остановку насосных агрегатов, изменяют производительность насосных станций разворотом лопастей на определенный градус, включая или выключая насосные агрегаты. То есть управление процессом водоподачи производится в режиме ручного диспетчерского управления.

Диспетчер, управляя системой, полагается на свой личный опыт и интуицию, основанные на простых методах принятия решений. Управление оборудованием и объектами осуществляется вручную, а для связи между диспетчером и объектами управления используется телефон или факс. Как уже говорилось такое управление приводит к перерасходу электроэнергии на водоподъем, непроизводительным сбросам и потерям воды, невыполнению графика водоподачи.

Целью разработки является минимизация расхода электроэнергии и относительная погрешность уровня водоподачи заданного графика насосной станции путём исследования различных режимов работы насосной станции.

Считается, что известны плановый объём водоподачи, количество насосных агрегатов, количество положений каждого насосного агрегата в насосной станции, а также гидротехнические и расходные характеристики в каждом положении. Требуется определить номера работающих насосных агрегатов и их положения, при которых обеспечивается требуемый объём водоподачи с минимальными потерями и расходом электроэнергии.

Пусть управляемый процесс в области

где j_min и j_max - минимально и максимально допустимые значения углов разворота лопастей насосных агрегатов;

- критические значения уровня верхнего и нижнего бьефов насосных станций;

при которой требуется минимизировать функционал

,

здесь С_нс- общий расход электроэнергии насосной станцией;

с_i - расходная характеристика i-го насосного агрегата с выполнением ограничения следующего вида

,

здесь? Q_i- расход i-го насосного агрегата;

е= 0.05*Q _n - допустимая погрешность управления.

В приведенной постановке задача о насосной станции относится к классу "трудно решаемых задач", и для ее решения не существует эффективного метода.

Но, переходя от исходной постановки к другой (5-7), задача становится разрешимой с применением эффективного метода.

Здесь также была поставлена и реализована проблема минимизации относительной погрешности уровня водоподачи. Погрешность () обозначим как разницу между плановым объёмом водоподачи () и реальным объемом водоподачи .

Тогда задача оптимизации работы насосной станции может быть сформулирована как задача линейного булева программирования следующего вида:

Для решения поставленной задачи можно использовать эффективный алгоритм метода обобщенных неравенств, для чего переходим к другой форме задачи булева программирования:

(4)

где матрицы q_ij ,c_ij ,x_ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n_i ), используемые в (1)-(3) преобразованы в вектора a_k, b_k, x_k (k=1,2,...,l), соответственно, построчно.

Как известно, при решении задачи (1)-(3) методом обобщенных неравенств сначала получим решение задачи (4), для которой проверяется выполнение условия (3) в первую очередь, а затем условия (2).

При нарушении условия (3.) сразу же переходят к очередному насосному агрегату путем наращивания на единицу индексной переменной i в формуле (3), не проверяя работы остальных положений текущего насосного агрегата, так как насосный агрегат может работать только в одном положении. Решением задачи (1)-(3.) будет такое решение задачи (4.) с минимальной мощностью, при котором выполняются условия (2) и (3.) одновременно.

2. Проверка адекватности математической модели

С целью проверки адекватности предложенных в этой работе математической модели и алгоритма управления процессом водоподъема насосной станции было проведено тестирование написанного программного обеспечения. В качестве тестовых данных были использованы данные насосных станций, расположенных на территориях Бухарской и Кашкадарьинской областей. Технические характеристики насосных агрегатов одной из насосных станций приведены в табл. 1.

Результаты численного моделирования с использованием метода обобщенных неравенств для оптимального управления работой насосной станции проведены в табл. 2.

Полученные результаты показывают адекватность математической модели и алгоритма оптимизации работы насосной станции. Отклонение от заданного графика водоподачи не превышает 4%, при этом затрачиваемая электроэнергия минимальна.

Проведен трехэтапный вычислительный эксперимент с использованием данных о насосной станции. На первом этапе мы получили результаты в виде булевых переменных, дающие оптимальные решения о режиме работы насосной станции. На втором этапе были получены данные в виде таблиц, в которых отражены номера положений лопастей, число работающих насосных агрегатов, данные о потребляемой мощности и относительной погрешности водаподачи. На третьем этапе была минимизирована относительная погрешность уровня водаподачи.

Таблица 1. Технические характеристики насосных агрегатов одной из насосных станций, расположенных на территориях Бухарской и Кашкадарьинской областей.

Марка насоса	Подача, Q, м3/ч	Подача, Q, м3/с	Напор, Н, м	КПД , %	Мощность на валу насоса N, кВт	Угол установки лопастей V, град
ОП5-87	8784 9288 10080 12060 14220	2,44 2,58 2,8 3,35 3,95	8,8 7,8 11,7 11 7,15	80 80 80 85,5 80	263 246 400 423 345	-6030' -3020' 0 +2030' +6030'
ОП3-110	14400 17982 19152 20062 22500	4 4,98 5,32 5,57 6,25	22 15,4 22,8 21,5 14,6	80 83 87 87,5 77	1080 905 1368 1350 1160	-70 -40 -20 -00 +1030'
ОП5-145	24120 26820 27720 36360 41040	6.7 7.45 7.7 10.1 11.4	10.4 8.3 12.8 11 7.7	78 80 78 85.5 80	886 747 1380 1275 1075	-6030' -6030' -3020' 0 +2030'
ОП11-185	52920 54900 61200 69840 79920	14.7 15.25 17.0 19.4 22.2	15.5 14.3 20.4 18 12.7	80 80 82 88 84	2785 2680 4040 3890 3290	-80 -60 -40 -20 -00
ОП10-260	102240 105840 129240 136800 152640	28.4 29.4 35.9 38 42.4	23.1 22.4 27.8 26 21	80 81 87 87.5 84.5	8050 7960 11250 11130 10330	-90 -60 -30 -10 -00
ОП10-145	25920 27720 32400 34920 39960	7,2 7,7 9 9,7 11,1	15,3 14,1 18 17 12,9	80 82 87 87,5 83	1350 1300 1985 1855 1680	-90 -60 -30 -10 0

где: V, град - углы разворота лопастей рабочего колеса;

Q, м³/с - водоподача;

N, кВт - затрачиваемая энергия;

, % - КПД насосного агрегата.

Таблица 2. Результаты численного моделирования

Насосные агрегаты № экспе- римента	1-й насосный агрегат	2- й насосный агрегат	3- й насосный агрегат	4- й насосный агрегат	5- й насосный агрегат	6- й насосный агрегат	Плановый объем водоподачи Q, м3/с	Плановый объем водоподачи Q, м3/с	Потребляемая электро-энергия С, кВт	Откло-нения от графика DQ, %	Число работающих насосных агрегатов N
	4пол	2пол	1пол	-	-	-	15.000	15.030	2214.00	0.200	3
	-	2пол	-	-	-	5пол	16.000	16.080	2585.00	0.500	2
	-	-	-	3пол	-	-	17.000	17.000	4040.00	0.000	1
	-	5пол	-	-	-	5пол	18.000	17.350	2840.00	3.611	2
	2пол	2пол	5пол	-	-	-	19.000	18.960	2226.00	0.211	3
	-	3пол	-	1пол	-	-	20.000	20.020	4153.00	0.100	2
	5пол	2пол	5пол	-	-	-	21.000	20.330	2325.00	3.190	3
	-	-	-	5пол	-	-	22.000	22.200	3290.00	0.909	1
	-	2пол	1пол	-	-	5пол	23.000	22.780	3471.00	0.957	3
	-	-	-	2пол	-	4пол	24.000	24.950	4535.00	3.958	2
	-	-	-	2пол	-	4пол	25.000	24.950	4535.00	0.200	2
	1пол	2пол	2пол	-	-	5пол	26.000	25.970	3595.00	0.115	4
	4пол	2пол	2пол	-	-	5пол	27.000	26.880	3755.00	0.444	4
	-	1пол	-	2пол	-	3пол	28.000	28.250	5745.00	0.893	3
	-	3пол	-	1пол	-	3пол	29.000	29.020	6138.00	0.069	3
	2пол	2пол	5пол	-	-	5пол	30.000	30.060	3906.00	0.200	4
	5пол	2пол	5пол	-	-	5пол	31.000	31.430	4005.00	1.387	4
	5пол	2пол	5пол	-	-	5пол	32.000	31.430	4005.00	1.781	4
	-	3пол	-	4пол	-	3пол	33.000	33.200	7131.30	0.602	3
	-	1пол	3пол	2пол	-	1пол	34.000	34.150	6490.00	0.441	4
	-	1пол	3пол	2пол	-	1пол	35.000	34.150	6490.00	2.429	4
	-	5пол	-	5пол	-	2пол	36.000	36.150	5750.00	0.417	3
	-	-	3пол	5пол	-	1пол	37.000	37.100	6020.00	0.270	3
	-	-	-	-	4пол	-	38.000	38.000	11130.0	0.000	1

Результаты вычислительного эксперимента показали адекватность математической модели и алгоритма оптимизации работы насосной станции.

3. Алгоритм оптимального управления работы насосной станции

Ниже приведен алгоритм оптимального управления работой насосной станции с применением метода обобщенных неравенств.

Ввести m, n_i, c_ij, q_ij, Q_plan .

2. Перевести c_ij и q_ij в одномерные массивы а_k и b_k (k=1,2,…,l; ) .

3. Вычисление значений функции

для каждой переменной х_k и определение первого решения (при этом x_k=0, k=1,2,...,l; kk₁), которому соответствует максимальное значение функций среди вычисленных значений функции.

4. Вычисление значений функции последовательным присоединением новых элементов,

и определение второго решения, , которому соответствует максимальное значение функции среди вычисленных значений функции.

5. Вычисление значений функции последовательным присоединением новых элементов, т.е.

.

6. Последовательно повторяя этот процесс и присоединяя остальные элементы, получаем упорядоченный ряд х^*₁, х^*₂,…, х^*_{l .}

7. Возвращаемся от одномерных массивов a_к и b_k (k=1,2,…l) к двухмерным c_ij, q_ij массивам (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n_i).

8. Решению задачи будет соответствовать минимальное число n' первых элементов полученного упорядоченного ряда, которое будет удовлетворять условиям (2) и (3).

9. Результаты вывести на экран, в файл или на принтер.

На рис.1 приведена блок - схема алгоритма оптимального управления работой насосной станции.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма оптимального управления работой насосной станции с применением метода обобщенных неравенств

Контрольные вопросы

Почему задача оптимизации работы насосной станции преобразовалась к задаче линейного булева программирования?

Для чего ведется проверка адекватности полученной модели оптимизации работы насосной станции?

Какая сложность использованного алгоритма оптимального управления работы насосной станции.

Обоснование выбора языка программирования для реализации постановленной задачи.

Литература

1. Хамдамов Р.Х., Каюмов Ш. Моделирование и оптимизация работы насосной станции // Материалы первой международной научно-технической и практической конференции: Проблемы и перспективы автоматизации производства и управления // Автоматизация-97. I часть. Ташкент, 1997. - С. 173-176.

2. Hamdamov R., Ergashev A., Kayumov Sh. Solution of the Task of Pumping Station Operation Automation with linear Boolean Programming Usage// материалы конференции World Conference on Intelligent Systems for Industrial Automation (WCIS 2000), Kaufering: b-Quadrat Verlag, 2000, 30-33 стр.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горелик А.А., Скрипкин В.А. Методы распознавания. М.: Высшая школа. 1984. -208 с.

2. Хамдамов Р.Х. Сложность метода обобщенных неравенств решения одного класса задач нелинейного булева программирования// Проблемы информатики и энергетики. №2 .1994.

3. Хамдамов Р.Х., Эргашев А.К. К исследованию на максимум одного класса функционалов // Узбекский математический журнал. 1992. №: 1. С.61-66.

ЛИТЕРАТУРА

1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий, М.: Наука, 1976 г. -278 стр.

2. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем, Л.: Машиностроение, 1988 г. -- 223 стр.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Наука, 1980 г. - 208 стр.

4. Горелик А.А., Скрипкин В.А. Методы распознавания. М.: Высшая школа. 1984. -208 с.

5. Зобов Б.И., Сурков А.В. Основы моделирования вычислительных систем. М.: МЛТИ, 1982 г. -32 стр.

6. Масков А.И. моделирование вычислительных систем. Пермь: ПГУ, 1982 г. - 95 стр.

7. Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами, М.: Советское радио, 1980 г. -- 232 стр.

8. Растригин Л.А., Маджаров Н.Е. Введение в идентификацию объектов управления, М.: Энергия, 1977 г. -- 216 стр.

9. Рузиев У.Т. Оптимальное управление объектами системы машинного водоподъема. Модели и алгоритмы. Диссертация на соискание ученной степени кандидата технических наук. Ташкент, 1995. -187 с.

10. Хамдамов Р.Х. Сложность метода обобщенных неравенств решения одного класса задач нелинейного булева программирования// Проблемы информатики и энергетики. №2 .1994.

11. Хамдамов Р.Х., Каюмов Ш. Моделирование и оптимизация работы насосной станции // Материалы первой международной научно-технической и практической конференции: Проблемы и перспективы автоматизации производства и управления // Автоматизация-97. I часть. Ташкент, 1997. - С. 173-176.

12. Хамдамов Р.Х., Эргашев А.К. Решение задачи о рюкзаке методом обобщенных неравенств // Сб. научных трудов ТашГТУ, 1993.

13. Хамдамов Р.Х., Эргашев А.К. К исследованию на максимум одного класса функционалов // Узбекский математический журнал. 1992. №: 1. С.61-66.

14. Хамдамов Р.Х., Эргашев А.К. Об одной модели задачи автоматической классификации // Научно- теоретическая и техническая конференция Истиклол-5 посвящённая 5-летию независимости Республики Узбекистан. Навои, 1996.

15. Хамдамов Р.Х., Эргашев А.К. Решение задачи булева программирования методом обобщенных неравенств// Вестник ТашГТУ. №: 1-2/98. - С. 6-12.

16. Hamdamov R., Ergashev A., Kayumov Sh. Solution of the Task of Pumping Station Operation Automation with linear Boolean Programming Usage// материалы конференции World Conference on Intelligent Systems for Industrial Automation (WCIS 2000), Kaufering: b-Quadrat Verlag, 2000, 30-33 стр.

Размещено на Allbest.ru