Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение методов математического моделирования при изучении влияния гексаазоцикланов на ПЭТФ



Введение

Одно из перспективнейших направлений сегодня в области упаковки в России - полиэтилентерефталатовая тара (ПЭТ-тара). Как это ни удивительно, но эта тенденция на отечественном рынке полностью соответствует общемировым тенденциям развития рынка тары и упаковки. Практически во всех развитых странах, производство и спрос на пластиковую тару в последнее время значительно увеличивается.

Из большого числа пластмассовых бутылок выделяются бутылки, изготовленные из полиэтилентерефталата (ПЭТ), так как этот материал является исключительно безопасным материалом с точки зрения экологии. Материал безвреден при его использовании в пищевой упаковке, так как не содержит токсичных веществ, способных проникать в пищу при хранении.

Поэтому очень важно повышать физико-механические свойства полиэтилентерефталата (ПЭТФ).

Одним из наиболее эффективных способов получения новых полимерных материалов с заранее заданными свойствами является модификация известных полимеров целевыми добавками. Меняя химическую структуру и количество модификатора можно целевым образом улучшить именно те эксплуатационные свойства, которые необходимы потребителю. Для ПЭТ такими свойствами являются стойкость к ультрафиолетовому излучению и стойкость к перепадам температур.

В качестве добавки был взят гексаазоциклан (ГЦ-2).

Иногда бывает очень сложно оценить влияние некоторых факторов (температура, процентное содержание добавок и т.п.) на ход химической реакции. Именно поэтому в данном случае наиболее простым способом описать процесс будет использование методов математического моделирования.

Целю данной работы является построение математической модели при изучении влияния гексаазоциклана на ПЭТФ.

1. Постановка задачи

Задачей данной семестровой работы является получение математической модели процесса влияния добавки гексаазоциклана (ГЦ-2 представлен на рисунке 1) и температуры на физико-химические свойства полиэтилентерефталата.

Рисунок 1 - Структурная формула гексаазоциклана (ГЦ-2)

Таким образом, объектом исследования будет являться система, подвергающаяся воздействию на нее определенных факторов и реагирующая на эти воздействия. В рамках проводимой работы в качестве управляемых факторов выбраны следующие два: температура и количество ГЦ-2. Данные факторы вполне отвечают предъявляемым требованиям к контролируемым параметрам системы: они являются количественными, не коррелируются между собой, могут быть изменены в ходе исследования и их значения довольно легко можно фиксировать на определенном уровне. Остальные факторы, воздействующие на объект исследования, примем как неуправляемые, на протяжении всей работы будем считать их значения неизменными.

Субъекту исследования неизвестно, как протекают процессы внутри исследуемой системы, как влияют на нее вышеуказанные управляемые факторы и как они взаимодействуют между собой. Так известна лишь реакция системы на данное воздействие, это проявляется в виде изменения электрофизических характеристик у модифицированного полиэтилентерефталата, а именно тангенса диэлектрических потерь (tgд), который определяется как отношение активной составляющей тока утечки через изоляцию к его реактивной составляющей. Тангенс угла диэлектрических потерь измеряется количественно и с должной точностью мостом переменного тока МД-16.

Таким образом, выбранный нами объект полностью отвечает по своим параметрам системе «черный ящик», а значит, его можно использовать в качестве объекта исследования.

Исходные данные

Исходные данные сведены в таблицу 1.

Таблица 1 - Исходные данные

	Количество гексаазоциклана
	0,1	0,5	0,9
50	13	34	49
100	27	65	80
150	26	53	53

1.2 Определение области планирования:

= 50; = 150;

= 0,1; = 0,9.

Определим координаты центра плана по формуле (1)

(1)

Найдем интервал планирования по формуле (2)

(2)

2. Полный факторный эксперимент (ПФЭ)

Матрица планирования ПФЭ.

Уравнение регрессии ПФЭ для двух факторов:

. (3)

Для того чтобы составить матрицу планирования необходимо перейти от значений факторов в натуральном масштабе к безразмерной системе координат по формуле (4):

(4)

Результаты представлены в таблице 2.

N опыта	z1	z2	x1	x2	x1·x2	Y
1	50	0,1	-1	-1	1	13
2	100	0,1	1	-1	-1	26
3	50	0,9	-1	1	-1	49
4	100	0,9	1	1	1	53

Любой коэффициент уравнения регрессии b_j определяется скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец x_j, отнесенным к числу опытов в матрице планирования N. Коэффициенты рассчитываются по формуле (5):

(5)

В результате расчетов получаем следующие коэффициенты:

Получено следующее уравнение регрессии ПФЭ для 2-х факторов:

.

Определение значимости коэффициентов регрессии

Поскольку матрица диагональная, то коэффициенты регрессии не коррелируются, поэтому их значимость можно проверить по критерию Стьюдента.

Расчетное значение критерия найдем по формуле (6):

, (6)

где - рассчитывается по формуле (7):

, (7)

где - дисперсия воспроизводимости определяется по формуле (8)

(8)



где NN - количество параллельных опытов;

- значения, полученные при постановке каждого из дополнительных опытов в центре плана;

- среднее значение величины y, полученное при параллельных опытах.

В результате проведения параллельных опытов в центре плана получаем следующие значения:

58,5?61,1?65?67,6?71,5;

.

.

Теперь найдем значение:

.

Зададимся уровнем значимости б=0,05 и получаем для двухфакторной модели табличное значение t_р=4,3.

Оценим значимость коэффициентов:

> t_р => коэффициент значим;

< t_р => коэффициент незначим;

> t_р => коэффициент значим;

< t_р => коэффициент незначим.

После исключения незначимых коэффициентов уравнение регрессии примет вид:

.

Оценка адекватности модели

Адекватность полученного уравнения регрессии проводится с помощью критерия Фишера, который рассчитывается по формуле (9):

(9)

где дисперсия адекватности рассчитывается по формуле (10):

(10)

где n - число коэффициентов в уравнении регрессии;

Y_р - расчетное значение функции отклика при соответствующих значениях регулируемых параметров;

Y_э - экспериментальное значение функции.

Подставим значения x₁ и x₂ в уравнение регрессии со значимыми коэффициентами и получим значения дисперсии адекватности. Полученные значения сведем в таблицу 3.

Таблица 3 - Расчетные и экспериментальные значения функции

№ опыта	x1	x2
1	-1	-1	18,5	13
2	1	-1	20,5	26
3	-1	1	43,5	49
4	1	1	58,5	53

Подставим полученные значения для нахождения дисперсии адекватности:

Тогда расчетное значение критерия Фишера:

По справочным данным найдем табличное значение критерия Фишера: F_табл =3,6.

Можно сделать вывод о том, что при заданном уровне значимости б=0,05 F_расч<F_табл => модель адекватна.

Работа с моделью

Определим 4 значения функции отклика для произвольных точек в пределах области планирования, используя полученную модель. Для этого выберем пять произвольных точек внутри области планирования, переведем их абсолютные координаты в относительные при помощи формулы (3) и подставим в уравнение регрессии.

Пример расчета для первой точки:

Произведя аналогичные расчеты и для других точек, результаты сведем в таблицу 4.

Таблица 4 - Значения функции отклика для произвольных точек

№	z1	z2	x1	x2
1	60	0,2	-0,8	-0,75	21,99
2	80	0,35	-0,4	-0,375	28,13
3	110	0,6	0,2	0,25	40,2
4	130	0,75	0,6	0,625	48,86

Построение линий уровня

Выразим x₁ через x₂:



Результаты расчетов сведены в таблицу 5.

Таблица 5 - Значения x₂ и Y для построения линий уровня

	12	24	36	48	60
-1	-1,52	-0,56	0,4	1,36	2,32
-0,5	-1,49558	-0,64602	0,20354	1,053097	1,902655
0	-1,47619	-0,71429	0,047619	0,809524	1,571429
0,5	-1,46043	-0,76978	-0,07914	0,611511	1,302158
1	-1,44737	-0,81579	-0,18421	0,447368	1,078947

Линии равного уровня для Y=12, Y=24, Y=36, Y=48, Y=60 изображены на рисунке 1.

Рисунок 1 - Линии равного уровня

3. Центральное композиционное планирование

регрессия модель планирование композиционный

Матрица планирования эксперимента для центрального ортогонального композиционного плана.

Уравнение регрессии в данном случае выглядит следующим образом:



Составим матрицу планирования в виде таблицы 7.

Таблица 6 - Матрица планирования для ЦКОП

№	x1	x2	Y	(x1')2	(x2') 2	x1·y	x2·y	x1·x2·y	(x1')2·y	(x2')2·y
1	-1	-1	13	0,33	0,33	-13	-13	13	4,29	4,29
2	1	-1	26	0,33	0,33	26	-26	-26	8,58	8,58
3	-1	1	49	0,33	0,33	-49	49	-49	16,17	16,17
4	1	1	53	0,33	0,33	53	53	53	17,49	17,49
5	0	0	65	-0,67	-0,67	0	0	0	-43,55	-43,55
6	1	0	53	0,33	-0,67	53	0	0	17,49	-35,51
7	-1	0	34	0,33	-0,67	-34	0	0	11,22	-22,78
8	0	1	80	-0,67	0,33	0	80	0	-53,6	26,4
9	0	-1	27	-0,67	0,33	0	-27	0	-18,09	8,91
Сумма	6	6	400	-0,03	-0,03	36	116	-9	-40	-20

Найдем коэффициенты уравнения регрессии по формулам (11) - (16):

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)



Таким образом:

Получено следующее уравнение регрессии центрального композиционного ортогонального планирования для 2-х факторов:

.

Определение значимости коэффициентов уравнения регрессии

Матрица диагональная, коэффициенты регрессии не коррелируются, поэтому их значимость проверим по критерию Стьюдента аналогично полному факторному эксперименту.

Дисперсия воспроизводимости рассчитывается так же, как и в ПФЭ:

.

Теперь найдем значение:

Зададимся уровнем значимости б=0,05 и получаем для двухфакторной модели табличное значение t_р=4,3.

Оценим значимость коэффициентов:

> t_р => коэффициент значим;

> t_р => коэффициент значим;

> t_р => коэффициент значим;

< t_р => коэффициент незначим

> t_р => коэффициент значим;

> t_р => коэффициент значим.

После исключения незначимых коэффициентов уравнение регрессии примет вид:

Оценка адекватности модели

Адекватность полученного уравнения регрессии проводится с помощью критерия Фишера, который рассчитывается по формуле (9) и (10).

Подставим значения x₁ и x₂ в уравнение регрессии со значимыми коэффициентами и получим значения дисперсии адекватности. Полученные значения сведем в таблицу 7.

Таблица 7 - Расчетные и экспериментальные значения функции

№	x0	x1	x2	х12	х22
1	1	-1	-1	0,33	0,33	13	6,964
2	1	1	-1	0,33	0,33	26	23,464
3	1	-1	1	0,33	0,33	49	50,124
4	1	1	1	0,33	0,33	53	57,624
5	1	0	0	-0,67	-0,67	65	64,544
6	1	1	0	0,33	-0,67	53	50,544
7	1	-1	0	0,33	-0,67	34	38,544
8	1	0	1	-0,67	0,33	80	73,874
9	1	0	-1	-0,67	0,33	27	35,214



Подставим полученные значения для нахождения дисперсии адекватности:

Тогда расчетное значение критерия Фишера:

По справочным данным найдем табличное значение критерия Фишера: F_табл =3,6

Можно сделать вывод о том, что при заданном уровне значимости б=0,05 F_расч<F_табл => модель адекватна.

Работа с моделью

Определим 4 значения функции отклика для произвольных точек в пределах области планирования, используя полученную модель. Произведя аналогичные ПФЭ расчеты для пяти точек, сведем результаты в таблицу 8.

Таблица 8 - Значения функции отклика для произвольных точек

№	z1	z2	x1	x2
1	60	0,2	-0,8	-0,75	25,465
2	80	0,35	-0,4	-0,375	49,946
3	110	0,6	0,2	0,25	69,036
4	130	0,75	0,6	0,625	68,273

Построение линий уровня

Для построения линий уровня зададимся значениями Y. Выразить x₁ через x₂ проблематично, поэтому приведем графическое отображение без аналитических форм на рисунке 2.



Рисунок 2 - Линии уровня для ЦКОП

Рисунок 5 - Поверхность уровня для ЦКОП (эллиптический параболоид)

Определение оптимума

Координаты центра S определяются решением системы уравнений (17):

(17)



Сначала необходимо перейти от уравнения регрессии второго порядка k=2, полученного по экспериментальным данным (18) к каноническому.

. (18)

В результате получаем:

400·x₁-2,25·x₂+6=0;

-2,25·x₁-20·x₂+19,33=0.

Решая данную систему, получаем координаты центра x₁ и x₂:

x₁=-0,00953;

x₂=0,96757.

Подставив их в уравнение регрессии (18) получим значение выходной величины в точке S:

.

Выводы: В результате исследования поверхности отклика была определена координата центра плана (-0,00953; 0,96757). Подставив x₁ и x₂ в уравнение регрессии, было получено значение Y=73,844 в центре поверхности.



Заключение

В результате проделанной работы была достигнута цель и получены две математические модели исследуемой системы, различающиеся своей сложностью и, как следствие того, точностью. Обе модели прошли проверку на адекватность по статистическим критериям Фишера, и, следовательно, могут быть применены в качестве средства описания процесса влияния добавки ГЦ-2 и повышенной температуры на физико-механические свойства ПЭТФ.

Для удобства прогнозирования можно воспользоваться полученными математическими уравнениями регрессии для обеих моделей, способными дать довольно точные значения выходного параметра в отдельных точках системы. Это особенно удобно для оценки конкретных соотношений факторов, воздействующих на систему.

Для наглядности сути процесса в работе представлены линии уровня и поверхности уровня, позволяющие дать не столько количественное отображение процесса, сколько качественное, что также немаловажно для исследователя. В ходе оценки линий равного уровня при проведении ортогонального композиционного планирования был определен вид поверхности отклика - эллиптический параболоид.

Таким образом, полученные математические модели полностью оправдывают свое право на существование, являясь зачастую единственным путем преодоления возникающих трудностей в решении технологических задач, при этом обладая качественно приемлемым уровнем точности описания процессов. Это обстоятельство заставляет стремиться современную науку к совершенствованию существующих методик и созданию новых, еще более точных и простых в исполнении.



Список использованной литературы

1. Ахназарова С.Л. Методы оптимизации в химической технологии/ С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров // М.: Высшая школа, 1985 - 327 с.

2. М.Ю. Васильчик, Г.Б. Корабельникова - Функции комплексного переменного - Методические разработки.

3. Бурыкин О.В., Ниязи Ф.Ф., Силинг С.А., Изв. ВУЗов Химия и химическая технология, 2002, том 45, выпуск 5, с. 73-74.

Размещено на Allbest.ru