Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов
Решение нелинейного уравнения. Отделение корней - исследование количества, характера и расположения корней, нахождение их приближенных значений. Уточнение корня до заданной степени точности. Численное интегрирование и квадратурные формулы прямоугольников.
Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
Вид | курсовая работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 04.02.2009 |
Размер файла | 51,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
9
Пермский государственный технический университет
Строительный факультет
Кафедра строительной механики и вычислительной техники
Курсовая работа
по дисциплине
ИНФОРМАТИКА
Тема: Вычисление площадей эпюр с использованием численных методов
Работу выполнил:
Работу принял:
г. Пермь, 2008 г.
СОДЕРЖАНИЕ
- Введение
- 1 Решение нелинейного уравнения
- 1.1 Отделение (локализация) корней
- 1.2 Уточнение корня
- 1.2.1 Метод Ньютона
- 2 Численное интегрирование
- 2.1 Квадратурные формулы прямоугольников
Введение
Зачастую решение некоторых строительных задач сводится к решению достаточно сложных нелинейных уравнений, которые могут представлять собой самостоятельную задачу (например, при проектировании очистных сооружений зависимости, связывающие проектные параметры процесса очистки являются чаще всего нелинейными) или являться составной частью более сложных задач (например, частью расчета сооружения на устойчивость). Корни таких уравнений сравнительно редко удается найти точными методами. Кроме того, в некоторых случаях и коэффициенты уравнения, полученные в процессе эксперимента или как результаты предварительных расчетов, известны лишь приблизительно. Значит, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл, и важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.
Нелинейные уравнения бывают алгебраическими и трансцендентными.
Любое нелинейное уравнение с одним неизвестным можно представить в виде
где функция определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале А < х < В.
Всякое значение х*, обращающее уравнение в тождество, называется корнем этого уравнения, т.е. .
С геометрической точки зрения задача нахождения корней уравнения эквивалентна задаче нахождения нулей функции у=f(х) или абсцисс точек пересечения графика функции с осью X, т.е. значений хi , для которых выполняется условие (для i=1, 2,......).
Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (точные) и итерационные (приближенные).
Прямые методы позволяют записать корни уравнения в аналитическом виде, т.е. в виде некоторой формулы. На практике класс таких уравнений весьма невелик.
Итерационные (приближенные) методы - это методы последовательных приближений.
Алгоритм нахождения приближенных значений корней уравнения складывается из двух этапов.
Первый этап - отделение или локализация корней. На этом этапе необходимо решить следующие задачи:
· исследовать количество, характер и расположение корней;
· найти их приближенные значения (нулевые итерации).
Второй этап - уточнение приближенного корня до заданной степени точности
1. Решение нелинейного уравнения
1.1 Отделение (локализация) корней
Отделить (локализовать) корни - это значит выделить из области допустимых значений функции f(x) отрезки, в каждом из которых содержится единственный корень. Отделить корни можно разными способами: построением таблицы значений функции y=f(x); графическим методом; исходя из физического смысла задач. Рассмотрим более подробно графический метод. Построим график функции
Х |
у=е^х+lnx-10*x |
||
1,000000 |
-7,281718 |
||
1,200000 |
-8,497562 |
||
1,400000 |
-9,608328 |
||
1,600000 |
-10,576964 |
||
1,800000 |
-11,362566 |
||
2,000000 |
-11,917797 |
||
2,200000 |
-12,186529 |
||
2,400000 |
-12,101355 |
||
2,600000 |
-11,580751 |
||
2,800000 |
-10,525734 |
||
3,000000 |
-8,815851 |
||
3,200000 |
-6,304319 |
||
3,400000 |
-2,812125 |
||
3,600000 |
1,879168 |
||
3,800000 |
8,036186 |
||
4,000000 |
15,984444 |
||
4,200000 |
26,121416 |
||
4,400000 |
38,932473 |
||
4,600000 |
55,010372 |
||
4,800000 |
75,079033 |
||
5,000000 |
100,022597 |
Теорема 1. Если непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) принимает на концах его противоположные знаки, т.е. f(a) f(b)<0 , то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x)=0. Корень заведомо будет единственным, если производная f/(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (a;b), т.е. если f/(x)>0 (или f/(x<0)) при а<х<b.
Искомый корень уравнения находится в интервале (3;4).
1.2 Уточнение корня
Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения корня х0. В результате этого процесса находится последовательность приближений (итераций) значений корня уравнения f(x)=0:
х1, х2, …, хп
Если эта последовательность имеет предел
,
то говорят, что итерационный процесс сходится и сходится к точному решению уравнения х[3;4].
На практике нужно ограничивать итерационный процесс конечным числом шагов (итераций) п. Количество итераций зависит от требуемой точности нахождения корня.
Для прекращения итерационного процесса применяются различные критерии, зависящие от вида функции у=f(х) в окрестности корня.
Существует несколько итерационных методов решения нелинейных уравнений: метод половинного деления (бисекций), метод хорд, метод Ньютона (метод касательных), модифицированный метод Ньютона.
Рассмотрим более подробно метод хорд.
1.2.1 Метод Ньютона
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшого участка дуги кривой у=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой.
Пусть функция у=ех+lnх-10х на отрезке [3;5] удовлетворяет условиям теоремы 1.
Положим для определенности для и f(5)>0. И выберем в качестве нулевого приближения х0=5, для которого выполняется условие f(x)*f”(x)>0.
Проведем касательную к кривой у=f(x) в точке В0[х0; f(x0)]. В качестве первого приближения корня х1возмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. Через точку В1[х1; f(x1)] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осью ОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д.
Уравнение касательной в точке В1[х1; f(x1)] (п=0,1,2…) к нашей кривой записывается
Пологая у=0, х=хп+1, получим формулу для построения последовательности корня нашего уравнения, т.е. итерационную последовательность
.
Метод касательных хорошо реализуется на ЭВМ
Метод Ньютона |
|||||||
Выбор нулевого приближения: Х0= |
5,0000 |
||||||
f(x)=е^х+lnх-10*х |
|||||||
f(X0)*f''(X0)>0 |
|||||||
f'(x)=е^x+1/x-10 |
|||||||
n |
Xn |
f(Xn) |
f'(Xn) |
If(Xn)I |
|||
0 |
5,00000 |
100,02260 |
138,61316 |
100,02260 |
|||
1 |
4,27840 |
30,79482 |
62,35902 |
30,79482 |
|||
2 |
3,78457 |
7,50210 |
34,28113 |
7,50210 |
|||
3 |
3,56573 |
0,97941 |
25,64582 |
0,97941 |
|||
4 |
3,52754 |
0,02541 |
24,32372 |
0,02541 |
|||
5 |
3,52650 |
0,00002 |
24,28827 |
0,00002 |
|||
6 |
3,52650 |
0,00000 |
24,28824 |
0,00000 |
|||
7 |
3,52650 |
0,00000 |
24,28824 |
0,00000 |
|||
8 |
3,52650 |
0,00000 |
24,28824 |
0,00000 |
Вывод: к заданной точности наиболее близка 5-я итерация.
, .
Проверим решение данного уравнения методом надстройки:
Нелинейное уравнение е^x+lnx-10*x=0 |
|||||
Х0 |
Xn |
F(Xn) |
|||
3,5265 |
3,5265 |
0,00005 |
2 Численное интегрирование
При решении достаточно большого круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определённого интеграла.
Очень часто применяют формулы для приближённого вычисления интегралов.
Такие формулы называют квадратурными формулами или формулами численного интегрирования.
Идея численного метода заключается в замене криволинейной трапеции фигурой, площадь, которой вычисляется достаточно просто.
2.1 Квадратурные формулы прямоугольников
Отрезок интегрирования [а;b] разбиваем на п равных отрезков и получаем п+1 равноудаленных точек: х0=а, хп=b, хi+1=xi+h, i=(0,1,2…,
п-1), где h шаг разбивки. При этом обозначим уi=f(хi).
Площадь каждой элементарной криволинейной трапеции заменим площадью прямоугольника с основанием h и высотой , где , i=0,1,2,…,п+1.
Существует несколько формул прямоугольников: «левых» (входящих), «правых» (выходящих) и «средних».
В нашем случае рассмотрим подробнее формулу «средних» прямоугольников, когда
.
Произведём разбивку для n=5 и n=10:
a= |
3,0000 |
Численное интегрирование |
||||||
b= |
3,5265 |
n= |
5 |
J= |
||||
h= |
0,1053 |
|||||||
Номер |
Значение |
f(x) |
Метод |
|||||
узла |
узла |
ср.прямоуг |
||||||
1 |
3,0000 |
-8,8159 |
0,0000 |
|||||
2 |
3,1053 |
-7,6040 |
-0,9228 |
|||||
3 |
3,2106 |
-6,1456 |
-1,7179 |
|||||
4 |
3,3159 |
-4,4131 |
-2,3595 |
|||||
5 |
3,4212 |
-2,3759 |
-2,8187 |
|||||
6 |
3,5265 |
0,0000 |
-3,0633 |
|||||
a= |
3,0000 |
|||||||
b= |
3,5265 |
n= |
10 |
|||||
h= |
0,0527 |
|||||||
Номер |
Значение |
f(x) |
Метод |
|||||
узла |
узла |
ср.прямоуг |
||||||
1 |
3,0000 |
-8,8159 |
0,0000 |
|||||
2 |
3,0527 |
-8,2391 |
-0,4628 |
|||||
3 |
3,1053 |
-7,6040 |
-0,8952 |
|||||
4 |
3,1580 |
-6,9073 |
-1,2941 |
|||||
5 |
3,2106 |
-6,1456 |
-1,6564 |
|||||
6 |
3,2633 |
-5,3154 |
-1,9786 |
|||||
7 |
3,3159 |
-4,4131 |
-2,2571 |
|||||
8 |
3,3686 |
-3,4346 |
-2,4880 |
|||||
9 |
3,4212 |
-2,3759 |
-2,6675 |
|||||
10 |
3,4739 |
-1,2325 |
-2,7912 |
|||||
11 |
3,5265 |
0,0000 |
-2,8547 |
|||||
a= |
3,5265 |
Численное интегрирование |
||||||
b= |
4,0000 |
n= |
5 |
J= |
||||
h= |
0,0947 |
|||||||
Номер |
Значение |
f(x) |
Метод |
|||||
узла |
узла |
ср.прямоуг |
||||||
1 |
3,5265 |
0,0000 |
0,0000 |
|||||
2 |
3,6212 |
2,4572 |
0,0045 |
|||||
3 |
3,7159 |
5,2492 |
0,2417 |
|||||
4 |
3,8106 |
8,4093 |
0,7433 |
|||||
5 |
3,9053 |
11,9743 |
1,5441 |
|||||
6 |
4,0000 |
15,9844 |
2,6825 |
|||||
a= |
3,5265 |
|||||||
b= |
4,0000 |
n= |
10 |
|||||
h= |
0,0474 |
|||||||
Номер |
Значение |
f(x) |
Метод |
|||||
узла |
узла |
ср.прямоуг |
||||||
1 |
3,5265 |
0,0000 |
0,0000 |
|||||
2 |
3,5739 |
1,1887 |
0,0011 |
|||||
3 |
3,6212 |
2,4572 |
0,0585 |
|||||
4 |
3,6686 |
3,8093 |
0,1760 |
|||||
5 |
3,7159 |
5,2492 |
0,3575 |
|||||
6 |
3,7633 |
6,7810 |
0,6072 |
|||||
7 |
3,8106 |
8,4093 |
0,9294 |
|||||
8 |
3,8580 |
10,1388 |
1,3287 |
|||||
9 |
3,9053 |
11,9743 |
1,8099 |
|||||
10 |
3,9527 |
13,9211 |
2,3780 |
|||||
11 |
4,0000 |
15,9844 |
3,0382 |
Подобные документы
Решение нелинейного уравнения: отделение корней и уточнение корня по методу хорда. Численное интегрирование: метод входящих прямоугольников. Вычисление площади криволинейной трапеции с разбивками. Решение примера методом интегрирования по частям.
курсовая работа [197,9 K], добавлен 20.01.2009Исследование количества, характера и расположения корней. Определение их приближенных значений итерационными методами: половинного деления (дихотомии) и хорд. Тексты программ. Решение уравнений на языках программирования Borland Delfi и Turbo Pascal.
курсовая работа [500,3 K], добавлен 15.06.2013Отделение действительных корней нелинейного уравнения. Метод хорд и касательных (Ньютона), геометрическая интерпретация. Графическая схема алгоритма. Описание реализации базовой модели в MathCAD. График сравнения числа итераций в зависимости от точности.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 16.05.2013Выполнение отделения корней для заданной функции. Описание уточнения корней с использованием метода дихотомии, Ньютона, простой итерации. Выявление абсолютной погрешности методов. Создание листинга программ. Рассмотрение результатов работы программ.
лабораторная работа [16,1 K], добавлен 19.04.2015Этапы численного решения нелинейных уравнений заданного вида: отделение (изоляция, локализация) корней уравнения аналитическим или графическим способами, уточнение конкретного выделенного корня методом касательных (Ньютона). Решение в системе MathCad.
курсовая работа [271,6 K], добавлен 22.08.2012Обзор элементов языка программирования Паскаль, решение задач путем использования численных методов на компьютере. Алгоритм нахождения интеграла функции с помощью метода прямоугольников. Комплекс технических средств, необходимых для решения задачи.
контрольная работа [36,6 K], добавлен 07.06.2010Изучение численных методов решения нелинейных уравнений, используемых в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом простой итерации и методом касательных (на примере уравнения). Отделение корней графически. Программная реализация, алгоритм.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 15.06.2013Метод численного интегрирования. Использование метода половинного деления для решения нелинейного уравнения. Определение отрезка неопределенности для метода половинного деления. Получение формулы Симпсона. Уменьшение шага интегрирования и погрешности.
курсовая работа [3,0 M], добавлен 21.05.2013Нахождение с заданной погрешностью корней уравнения. Оценка скорости сходимости. Нахождение промежутка, в котором содержится какой-либо корень уравнения для методов итераций и Ньютона. Разработка текста компьютерных программ для решения данных уравнений.
лабораторная работа [253,9 K], добавлен 19.12.2012Разработка с использованием приложения Mathcad алгоритма и программы решения нелинейного уравнения методами касательных, половинного деления и хорд. Решение с помощью ее заданных нелинейных уравнений. Создание графической иллюстрации полученных решений.
курсовая работа [665,7 K], добавлен 22.08.2013