Функциональный и качественный анализ работы линейных систем автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВАРИАНТ №922

Дано:

Общая расчетная схема системы автоматического управления:

Хвх Хвых

Дифференциальные уравнения передаточныхфункций (по варианту задания):

W1 0,25·Хвых(р) = 3р·Хвх(р)

W2 (2,25р2+3р+1)·Хвых(р) = Хвх(р)

W3 (0,4р+1)·Хвых(р) = 6·Хвх(р)

Местная обратная связь считается отрицательной по варианту задания.

Найти:

1) передаточную функцию разомкнутой цепи WR(p), передаточную функцию замкнутой системы Ф(p) и определить устойчивость системы двумя предложенными способами;

2) построить переходной процесс системы при подаче на вход сигнала в виде единичной ступеньки;

3) сделать выводы о работоспособности и динамических параметрах системы.

Решение:

Находим передаточные функции элементов САУ на основе заданных дифференциальных уравнений звена в операторной форме записи:

Находим передаточную функцию второго звена при наличии местной обратной связи:

,

де - передаточная функция сумматора по входу обратной связи равная минус единице, т.к. по условию обратная связь отрицательная.

Находим передаточную функцию прямой цепи управления в разомкнутом виде:

Находим передаточную функцию САУ в замкнутом виде (при наличии внешней обратной связи):

, где

линейна система автоматическое управление

Исследование системы на устойчивость по критерию Гурвица

Из коэффициентов характеристического уравнения D(p) построим матрицу Гурвица Дn:

D(p) =

Дn =

Рассмотрим определители Гурвица:

Д1= 1,95 Д1>0

Д2= 66,4 Д2>0

Д3= 1295,256 Д3>0

Д4= 971,44 Д4>0

Так как главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры больше нуля, то данная САУ устойчива на основании критерия Гурвица.

Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова

D(p) =

D(jщ) = a0(jщ)n + a1(jщ)n-1 + … + an , где

Re D(jщ) = an - an-2щ2 + an-4щ4 + …

Jm D(jщ) = an-1 jщ - an-3 jщ3 + an-5 jщ5+ …

Тогда у нас получается ReD(jщ) = 0,75 - 38,5625щ2 + 0,45 щ4

JmD(jщ) = j(19,55щ - 1,95щ3)

Годограф Михайлова для данной САУ начинается на действительной положительной полуоси и проходит без петель в положительном направлении 4 квадрантане пересекая начало координат. Так как система 4 порядка, то она устойчива.

Рис.1 - Годограф Михайлова

Построение переходного процесса

По виду передаточной функции системы в замкнутом виде

найдём корни характеристического уравнения системы управления с помощью программы MathCAD:

0,45р4 + 1,95р3 + 38,5625р2 + 19,55р + 0,75 = 0 | /0,45

р4 + 4,333р3 + 85,694р2 + 43,444р + 1,667 = 0 - для задания функции в MathCAD

p1 = -0,0418

p2 = -0,4764

p3 = -1,9076 - 8,9475·i

p4 = -1,9076 + 8,9475·i

Так как среди корней характеристического уравнения имеются действительные и комплексные, кривую переходного процесса запишем в следующем виде:

где и

D' = 1,8p3 + 5,85p2 + 77,125p + 19,55

=1,01·e-0,0418·t -0,05422·e-0,4764·t

== 9,146

Строим график переходного процесса в MathCAD:

Рис.2 - График переходного процесса

Выводы:

1. Данная САУ устойчива.

2. Время регулирования колебательного процесса до статической ошибки примерно4 с, затемамплитуда колебаний выходного сигнала по асимптоте стремится к нулю. Время полного регулирования составляет 71,9 с.

3. Анализируя корни характеристического уравнения можно сказать, что переходный процесс до 5-й секунды представляет собой затухающие колебания (система устойчива) с угловой частотой щ=8,9475 рад/с, периодом колебаний Т=2р/щ=0,702 сек и частотой 1,425 Гц. Коэффициент затухания д=1,9076. Декремент колебаний едТ=е1,34. Далее процесс идёт по асимптоте.

Использованные материалы

1. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.1. Линейные системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 288 с. Табл.13. Ил.148. Библиогр. 19 назв.

2. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. СПб.: Питер, 2005. 336 с.: ил. (Серия «Учебное пособие»).

3. http://www.exponenta.ru/ образовательный математический сайт руководство пользователяMathCAD.

Размещено на Allbest.ru