Расчет, моделирование, испытание нерекурсивного и рекурсивного цифрового фильтра нижних частот

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1 Расчет, моделирование и испытание нерекурсивного цифрового фильтра

нижних частот

1.1 Получение частотных характеристик, определение порядка фильтра,

структурная схема, изучение влияния типа «окна»

1.2 Испытание синтезированного нерекурсивного цифрового фильтра

стандартными, гармоническими и четырехточечным сигналами

1.3 Расчет реакции фильтра на четырехточечный входной сигнал

2 Расчет, моделирование и испытание рекурсивного цифрового фильтра

нижних частот

2.1 Определение порядка, передаточной функции и частотных характеристик

аналогового фильтра-прототипа

2.2 Получение системной функции и частотных характеристик цифрового

фильтра

2.3 Испытание синтезированного рекурсивного цифрового фильтра

стандартными и гармоническими сигналами

Заключение

Литература

Введение

Электрический фильтр - это устройство, которое практически не ослабляет спектральные составляющие сигнала в заданной полосе частот и значительно ослабляет (подавляет) все спектральные составляющие вне этой полосы.

Фильтрация осуществляет подавление нежелательных частотных составляющих некоторого сигнала (шумов, помех) при минимальных искажениях полезных составляющих в заранее определенной полосе частот. Высококачественные частотные нерекурсивные цифровые фильтры (НЦФ) имеют, как правило, большую ширину окна (многочленный оператор фильтра). Чем меньше допустимая ширина переходной зоны частотной характеристики фильтра между полосами пропускания и подавления, тем больше окно фильтра. Альтернативное решение - применение рекурсивных цифровых фильтров (РЦФ), для которых количество коэффициентов фильтра может быть сокращено на несколько порядков по сравнению с НЦФ.

Рекурсивные фильтры имеют определенную «память» по значениям предыдущих отсчетов, которая, в пределе, может быть бесконечной. С учетом этого фактора рекурсивные фильтры получили название фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров), в отличие от нерекурсивных фильтров, всегда имеющих конечную импульсную характеристику (КИХ-фильтры). Реакция рекурсивного фильтра на сигнал с учетом «памяти» исключает возможность создания фильтров с четным импульсным откликом, и частотные характеристики рекурсивных фильтров всегда являются комплексными. Цифровые фильтры используют для обработки сигналов: спектрального анализа и цифровой фильтрации.

Фильтры различаются по расположению полосы пропускания:

- нижних частот (ФНЧ), в которых полоса пропускания располагается на шкале частот от = 0 до некоторой граничной частоты щ = , а полоса непропускания (задерживания) - от частоты щ = до бесконечно больших частот;

- верхних частот (ФВЧ) с полосой пропускания от частоты щ = до бесконечно больших частот и полосой непропускания от частоты = 0 до щ = ;

- полосовые (ПФ), в которых полоса пропускания располагается между полосами непропускания 0… и …?;

- заграждающие (режекторные) (ЗФ или РФ), в которых между полосами пропускания 0… и …? находится полоса непропускания …;

- многополосные, имеющие несколько полос пропускания.

По типу фильтра.

Фильтр Баттерворта обеспечивает наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания, что достигается ценой плавности характеристики в переходной области, т.е. между полосами пропускания и задерживания. У него также плохая фазо-частотная характеристика (ФЧХ). Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования. АЧХ фильтра Баттерворта имеет довольно длинный горизонтальный участок и резко спадает за частотой среза. Переходная характеристика такого фильтра при ступенчатом входном сигнале имеет колебательный характер. С увеличением порядка фильтра колебания усиливаются. Увеличение числа полюсов дает возможность сделать более плоским участок характеристики в полосе пропускания и увеличить крутизну спада от полосы пропускания к полосе подавления.

Фильтр Чебышева - один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышева I рода) и подавления (фильтр Чебышева II рода), чем у фильтров других типов. Фильтры Чебышева обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации. В полосе пропускания многочлены Чебышева принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального G=1 до минимального . На частоте среза коэффициент усиления имеет значение , а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты.

Цифровой фильтр (ЦФ) в широком смысле - это любая цифровая система или цепь, которая согласно заданному алгоритму осуществляет извлечение цифрового сигнала либо его параметров из действующей на выходе системы (цепи) смеси сигнала с помехой.

К достоинствам цифровых фильтров перед аналоговыми относят:

- возможность спроектировать фильтр любой сложности;

- при перестройке на другую импульсную характеристику следует задать только новое ядро для фильтра.

- обеспечиваются лучшие качественные характеристики (можно получить практически любую заданную точность обработки сигналов)

- простота реализации и удобство использования (используются одни и те же алгоритмы для проектирования фильтров с различными импульсными характеристиками.

К недостаткам можно отнести: во-первых то, что обработка сигналов невозможна на сверхвысоких частотах. Что определяется частотой дискретизации современных АЦП, которая в настоящее время не превышает нескольких сотен мегагерц. Во-вторых тот факт, что при использовании сложных цифровых фильтров скорость обработки сигнала может существенно замедлиться, вплоть до того, что будет невозможна обработка сигнала в реальном масштабе времени. И наконец, в-третьих для большой точности и высокой скорости обработки сигналов требуется не только мощный процессор, но и дополнительное, возможно дорогостоящее, аппаратное обеспечение в виде высокоточных и быстрых ЦАП и АЦП.

Что касается области применения, то цифровые фильтры используются: во-первых для обработки звукового сигнала, под этим имеется в виду различные звуковые эффекты (к примеру, эхо), восстановление и редактирование звукозаписей, синтезирование звучания музыкальных инструментов, распознавание речи. Во-вторых, с их помощью обрабатывают изображение - в этом случае имеются в виду различные эффекты и сжатие изображения.

В-третьих, искусственный интеллект - синтезирование нейронных сетей. В-четвертых, исследование и обработка, каких либо экспериментальных данных, к примеру, ультразвуковое исследование в медицине. И наконец, в-четвёртых цифровые фильтры сочетают в себе более высокую точность обработки сигналов, простоту, невысокую стоимость и удобство использования.

Целью выполнения данной курсовой работы является освоение методик проектирования в среде DFLD нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров (ЦФ) нижних частот с вещественными числами по заданным требованиям к амплитудно-частотным характеристикам.

1 Расчет, моделирование и испытание нерекурсивного цифрового фильтра нижних частот

цифровой фильтр сигнал частота

1.1 Получение частотных характеристик, определение порядка фильтра, изучение влияния типа «окна»

Нормированная «цифровая» граничная частота полосы пропускания

Нормированная «цифровая» граничная частота полосы задерживания

Так как в данной программе это значение является не приемлемым, примем wз =0,10001, что является ближайшим подходящим значением.

Максимально допустимое ослабление в полосе пропускания

Минимально допустимое ослабление в полосе задерживания

После запуска программы DNF, вызова подменю «Параметры ЦФ» и внесения в соответствующие окна исходных данных (1 - «Прямоугольное весовое окно») путем пробного подбора нечетного числа для порядка фильтра установлено по логарифмической амплитудно-частотной характеристике, что требования к АЧХ в полосах пропускания и задерживания будут выполняться, начиная с порядка N=351 (рисунок 1.1). Примем N=351.

Рисунок 1.1 - Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика нерекурсивного фильтра «Прямоугольное весовое окно»

Щелчком на кнопке «Треугольное весовое окно» получили график логарифмической амплитудно-частотной характеристики фильтра, приведенный на рисунке 1.2. Сравнение с графиком на рисунке 1.1 показывает, что переходная область расширилась, «размылись» границы полос пропускания и задерживания (потеря разрешающей способности фильтра) при одновременном уменьшении пульсаций АЧХ (ослаблено явление Гиббса) в полосе пропускания и лучшему их подавлению в полосе задерживания.

На рисунке 1.3 показан вид графика и коэффициенты «треугольного весового окна». На рисунке 1.4 приведен график амплитудно-частотной характеристики цифрового фильтра, на рисунке 1.5 график фазо-частотной характеристики, который имеет линейный характер и периодические скачки на радиан.



Рисунок 1.2 - Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика нерекурсивного фильтра «Треугольное весовое окно»

График импульсной характеристики цифрового фильтра приведен на рисунке 1.6. Слева от графика приведены ее отсчеты, они же значения коэффициентов нерекурсивного цифрового фильтра.

Рисунок 1.3 - График и коэффициенты «треугольного весового окна»



Рисунок 1.4 - График амплитудно-частотной характеристики цифрового фильтра

Рисунок 1.5 - График фазо-частотной характеристики цифрового фильтра



Рисунок 1.6 - График импульсной характеристики цифрового фильтра

1.2 Испытание синтезированного нерекурсивного цифрового фильтра стандартными, гармоническими и четырехточечным сигналами

Рисунок 1.7 - Единичный входной сигнал

Для испытания фильтра стандартными сигналами на входе был вначале подан единичный сигнал (рисунок 1.7). Выходным сигналом от воздействия единичного импульса явилась импульсная характеристика фильтра (рисунок 1.8), график которой совпадает с графиком, приведенным на рисунке 1.6.

Рисунок 1.8 - Выходной сигнал единичного импульса

Рисунок 1.9 - Входная единичная последовательность

Следующим стандартным испытательным сигналом была единичная последовательность (рисунок 1.9). Выходным сигналом от воздействия единичной последовательности явилась переходная характеристика фильтра (рисунок 1.10), фронт нарастания которой составил 5 отсчетов.



Рисунок 1.10 - Выходной сигнал единичной последовательности

Результат испытания цифрового фильтра гармоническим косинусоидальным сигналом представлен на рисунках 1.11 входной сигнал и 1.12 выходной сигнал. Частота гармонического сигнала находилась в пределах полосы пропускания фильтра, сигнал сохранил свою форму при прохождении через фильтр.

Рисунок 1.11 - Входной гармонический косинусоидальный сигнал



Рисунок 1.12 - Сигнал на выходе при воздействии гармонического косинусоидального сигнала

Испытательный полигармонический сигнал состоял из трех гармонических синусоидальных сигналов. Частота первого из них находилась в полосе пропускания, частоты двух других располагались в полосе задерживания фильтра. Графики входного и выходного сигналов приведены на рисунках 1.13 и 1.14 соответственно. Из графика выходного сигнала видно, что через фильтр прошла только одна гармоническая составляющая, частота которой лежала в полосе пропускания фильтра.

Последним испытанием было воздействие на цифровой фильтр четырехточечным сигналом , график которого приведен на рисунке 1.15. В результате операции дискретной свертки этого сигнала и импульсной характеристики цифрового фильтра на выходе получился сигнал, показанный на рисунке 1.16.



Рисунок 1.13 - Входной полигармонический синусоидальный сигнал

Рисунок 1.14 - Сигнал на выходе при воздействии полигармонического синусоидального сигнала



Рисунок 1.15 - Входной четырехточечный сигнал

Рисунок 1.16 - Сигнал на выходе при воздействии четырехточечного сигнала

1.3 Расчет реакции фильтра на четырехточечный входной сигнал

Рассчитаем вручную реакцию фильтра y(k) на четырёх точечный входной сигнал (для треугольного весового окна), равную свёртке входного сигнала x(k) и импульсной функции g(k) фильтра y(k)=x(k)*g(k), при k=L, L+1, L+2. Для выполнения операции свёртки четыре отсчёта выходного сигнала нужно построить в обратном направлении k таким образом, чтобы отсчёт х(0) оказался бы напротив центрального отсчёта g(L) импульсной характеристики фильтра. Значение выходного отсчёта.

Половина отсчетов импульсной характеристики цифрового фильтра

Отсчеты выходного сигнала:

y(L)=x(0) g(L)+x(1) g (L-1)+x(2) g (L-2)+x(3) g (L-3)

L=175

g(L)=g(175)= 0,12501; g(L-1)=g(174)= 0,099777;g(L-2)=g(173)=0,08858;g(L-3) =

=g(172)= 0,07316

x(0)=-2; x(1)=-1; x(2)=1; x(3)=2

у(175)=-2*0,12501-1*0,12001+1*0,10719+2*0,08853=-0,08578

L+1=175+1=176

g(176)= 0,12001; g(175)= 0,12501; g(174)= 0,12001; g(173)= 0,08858

x(0)=-2; x(1)=-1; x(2)=1; x(3)=2

у(176)= -2*0,12001-1*0,12501+1*0,12001+2*0,10719=-0,03064

L+2=175+2=177

g(177)= 0,10719; g(176)= 0,12001; g(175)= 0,12501; g(174)= 0,12001;

x(0)=-2; x(1)=-1; x(2)=1; x(3)=2

у(57)= -2*0,10719-1*0,12001+1*0,12501+2*0,12001=0,03064

Сравним полученные в ходе расчета данные с расчётами программы:

у(175) руч=-0,08578; у(175) прог=-0,08577

у(176) руч=-0,03064; у(176) прог=-0,03063

у(177) руч=0,03064; у(177) прог=0,03063

Результаты расчетов реакции фильтра y(k) на четырехточечный входной сигнал, равной свертке входного сигнала x(k) и импульсной характеристики g(k), при k = L, L+1 и L+2 совпадают с результатами машинного расчета, приведенного на рисунке 1.16.

2 РАСЧЕТ, МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИСПЫТАНИЕ РЕКУРСИВНОГО ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ

2.1 Определение порядка, передаточной функции и частотных характеристик аналогового фильтра-прототипа

1. Нормированная «цифровая» граничная частота полосы пропускания

Нормированная «цифровая» граничная частота полосы задерживания

2. Максимально допустимый коэффициент затухания в полосе пропускания

Минимально допустимый коэффициент затухания в полосе задерживания

3. Коэффициент билинейного преобразования

4. Граничная «аналоговая» частота полосы задерживания АФ-прототипа

5. Модуль коэффициента отражения

Примем по таблице 2.1 ближайший меньший коэффициент отражения . Этой величине соответствует .

Таблица 2.1

	5	10	15	25	50
, дБ	0,0109	0,0436	0,0988	0,2803	1,25

По номограмме (рисунок 2.1), для ( и , вспомогательный параметр

По номограмме (рисунок 2.2), для и порядок фильтра 3<N<4. Примем N=4.



Рисунок 2.1 - Номограмма

Рисунок 2.2 - Фильтры с характеристиками Баттерворта (сжатая шкала частот)

Передаточная функция для N=4 имеет вид

Числовые значения коэффициентов (с округлением шестого знака после запятой) берем из таблицы 2.2 (фильтры-прототипы Чебышева типа Т 4-го порядка):

C=0,80403025; -a1=0,3138479999; ±b1=1,1948459178; -a2=0,7576960978; ±b2=0,4949213841.

Таблица 2.2

p %	C	i	- ai	± bi	- ai+1	± bi+1
5	0,40050094	1	0,4050275555	1,3452476518	0,9778230177	0,5572198221
10	0,80403025	1	0,3138479999	1,1948459178	0,7576960978	0,4949213841
15	1,2137322	1	0,2648393341	1,1235472968	0,6393787122	0,4638852830
25	2,0655911	1	0,2062835572	1,0498570027	0,4980125615	0,4347407450
50	4,6188022	1	0,1282831330	0,9444071347	0,3097028796	0,4036126513

Передаточная функция H(p) аналогового нормированного ФНЧ

6. Расчет и построение АЧХ, , и ЛАЧХ, коэффициента затухания , (после замены и вычисления модуля ) аналогового фильтра-прототипа выполняется на ПЭВМ. Графики функций и приведены на рисунках 2.1 и 2.2.



Рисунок 2.1 - График амплитудно-частотной характеристики рекурсивного цифрового фильтра

Рисунок 2.2 - График логарифмической амплитудно-частотной характеристики рекурсивного цифрового фильтра

2.2 Получение системной функции и частотных характеристик цифрового фильтра

1. Для получения системной функции цифрового фильтра подставим

в выражение

После преобразования получим:

Коэффициенты фильтра: a01=a02=1; a11=a12=2; a21=a22=1; b11= ; b21=; b12= ; b22=.

2. Контрольная проверка устойчивости рассчитанного РЦФ. Полосы функции устойчивого РЦФ должны находиться внутри единичного круга z-плоскости с центром z=0, т.е. модули полюсов функции должны быть меньше единицы.

Проверим фильтры на устойчивость. Для этого найдем полюса передаточной функции фильтра (точки которые обращают знаменатель функции в ноль)



так как модуль , то первый каскад фильтра устойчивый;

так как модуль , то второй каскад фильтра устойчивый; значит спроецированный цифровой фильтр устойчивый.

3. Для получения комплексного коэффициента передачи подставим в выражение системной функции

После преобразования в соответствии с формулой Эйлера для комплексных чисел получим:

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Расчет и построение АЧХ , ЛАЧХ коэффициента затухания и ФЧХ цифрового фильтра выполнены на ПЭВМ. Графики соответствующих характеристик приведены на рисунках 2.3; 2.4 и 2.5.

Рисунок 2.3 - График амплитудно-частотной характеристики рекурсивного цифрового фильтра



Рисунок 2.4 - График логарифмической амплитудно-частотной характеристики рекурсивного цифрового фильтра

Рисунок 2.5 - График фазо-частотной характеристики рекурсивного цифрового фильтра

4. Расчет и построение импульсной характеристики цифрового фильтра также выполнено на ПЭМ. График импульсной характеристики приведен на рисунке 2.6.



Рисунок 2.6 - График импульсной характеристики рекурсивного цифрового фильтра

2.3 Испытание синтезированного рекурсивного цифрового фильтра стандартными и гармоническими сигналами

Для анализа качественных характеристик цифрового фильтра в качестве входных сигналов были выбраны:

a) единичный импульс , рисунок 2.7, (на выходе - импульсная характеристика фильтра, рисунок 2.8)

b) единичная последовательность , рисунок 2.9, (на выходе - переходная функция фильтра, рисунок 2.10)

c) дискретизированный косинусоидальный сигнал, рисунок 2.11, (выходной сигнал на рисунке 2.12)

d) вещественный полигармонический сигнал, рисунок 2.13, (выходной сигнал на рисунке 2.14)

Анализ графиков при полигармоническом входном сигнале показывает, что амплитуды и фазы гармонических составляющих на выходе изменились в соответствии с АЧХ и ФЧХ фильтра.



Рисунок 2.7 - Входной единичный импульс

Рисунок 2.8 - Выходная импульсная характеристика



Рисунок 2.9 - Входная единичная последовательность

Рисунок 2.10 - Переходная функция на выходе рекурсивного цифрового фильтра



Рисунок 2.11 - Входной дискретизированный косинусоидальный сигнал

Рисунок 2.12 - Сигнал на выходе рекурсивного цифрового фильтра при воздействии на вход дискретизированного косинусоидального сигнала



Рисунок 2. 13 - Входной полигармонический тест-сигнал

Рисунок 2.14 - Сигнал на выходе рекурсивного цифрового фильтра при воздействии на вход полигармонического тест-сигнала

Заключение

В данной курсовой работе был произведен расчет параметров нерекурсивного и рекурсивного цифрового фильтра нижних частот типа Чебышева. Рассмотрены требования, предъявляемые к данному типу фильтров, а также достоинства, недостатки и области применения цифровых фильтров (ЦФ). Рассмотрена классификация ЦФ по полосе пропускания (ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ) и по типу фильтра (Баттерворта и Чебышева)

В ходе работы мной были освоены методики проектирования в среде DFLD нерекурсивных и рекурсивных ЦФ нижних частот с вещественными числами по заданным требованиям к амплитудно-частотным характеристикам. Проведенное моделирование (синтезированных в виде программ для ПЭВМ) ЦФ показало, что переходные h(k), импульсные g(k), амплитудно-частотные H(w) и фазо-частотные ??(w) характеристики рассчитанных фильтров близки к идеальным, что подтверждает точность расчёта. Характеристики затуханий построенных фильтров соответствуют требованиям к полосам задержания и пропускания.

Литература

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей: Учебник для вузов; Под ред. В.П. Бакалова. - 3-е изд., перераб. И доп. - М.: Горячая линия - Телеком, 2007.

2. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1990.

3. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов. - М.: Радио и связь, 1986.

4. Марченко А.Л., Марченко Е.А. Основы теории цепей и сигналов. -М.: ЛАТМЭС "МАТИ"-РГТУ им. К. Э. Циолковского, 1998.

5. Христиан Э., Эйзенман Е. Таблицы и графики по расчёту фильтров. -М.: Связь, 1975.

6. Куприянов М.С, Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПБ: Политехника, 1998.

Размещено на Allbest.ru