Синтез цифрового рекурсивного фильтра Баттерворта верхних частот третьего порядка по аналоговому прототипу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Расчет аналогового фильтра-прототипа

2. Расчет цифрового фильтра

3. Структурные схемы фильтра

4. Реализационные характеристики фильтра

5. Синтез цифрового фильтра в системе программирования MATLAB

6. Частотные характеристики цифрового фильтра

7. Импульсная характеристика цифрового фильтра

8. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра

Заключение

Список использованных источников

Введение

При обработке сигналов очень часто возникают задачи их фильтрации в связи с возникновением помех, либо с разделением сигнала на составляющие. Устройствами, выполняющими эти функции, являются фильтры. Они без заметного ослабления пропускают сигналы в полосе пропускания и заметно ослабляют их в полосе задержки.

Все фильтры разделяют на 4 основных типа:

· фильтры низких частот - ФНЧ;

· фильтры высоких частот - ФВЧ;

· полосовые фильтры - ПФ;

· режекторные (заграждающие).

Цифровой фильтр - цифровое устройство, которое реализует алгоритм дискретного фильтра. При этом входные и выходные сигналы являются цифровыми (в этом заключается отличие цифрового фильтра от дискретного), т. е. в устройстве циркулируют только двоичные коды, соответствующие значениям аналогового сигнала в моменты выборки.

Целью данной курсовой работы является получение навыков расчёта цифрового рекурсивного фильтра по аналоговому прототипу с привлечением справочных данных. Методом перехода в z-плоскость цифрового фильтра является билинейное преобразование передаточной функции аналогового фильтра. Для анализа реализационных характеристик полученного фильтра предполагается построение его структурных схем. Также предполагается привлечение средств системы программирования Matlab для проверки коэффициентов передаточной функции Цифрового фильтра H(z) и построения его АЧХ, ФЧХ и ИХ.

1. Расчет аналогового фильтра-прототипа

Фильтр Баттерворта проектируется так, чтобы его АЧХ была максимально гладкой на частотах полосы пропускания. АЧХ фильтра Баттерворта гладкая на частотах полосы пропускания и снижается практически до 0 на частотах полосы подавления.

При отображении частотного отклика фильтра Баттерворта на логарифмической АФЧХ, амплитуда снижается к минус бесконечности на частотах полосы подавления.

Рисунок 1 - АЧХ фильтра Баттерворта

АЧХ фильтра Баттерворта - монотонно убывающая функция частоты (Рис.1). В случае фильтра 1 порядка АЧХ затухает со скоростью - минус 6 дБ на октаву (минус 20 дБ/дек), для фильтра 2 порядка - минус 12 дБ на октаву, для 3 порядка - минус 18 дБ на октаву.

Фильтр Баттерворта - единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления), тогда как многие другие разновидности фильтров (Бесселя, Чебышева, эллиптический) имеют различные формы АЧХ при различных порядках. В сравнении с фильтрами Чебышева I и II типов или эллиптическим фильтром, фильтр Баттерворта имеет более пологий спад характеристики, поэтому должен иметь больший порядок (что труднее в реализации) для того, чтобы обеспечить нужные характеристики на частотах полосы подавления. Однако он имеет более линейную ФЧХ на частотах полосы пропускания.

Проектирование ЦФ может осуществляться как методами математического, так и методами эвристического синтеза. Математический синтез успешно используется для проектирования нерекурсивных ЦФ при линейном представлении аппроксимирующей функции. При этом аппроксимационная задача является линейной.

Для линейных задач разработаны эффективные процедуры решения (по крайней мере, численные).

Для рекурсивных ЦФ аппроксимационная задача является нелинейной, поэтому в каждом конкретном случае требуется разработка своего алгоритма решения. По этой причине при проектировании рекурсивных ЦФ используют эвристический синтез. Чаще всего синтез проводится по аналоговым нормированным ФНЧ-прототипам.

Получим аналитическое выражение передаточной функции ФНЧ - прототипа Баттерворта 3-го порядка.

Обобщенная передаточная функция фильтров Баттерворта, Чебышева и эллиптических:

, (1.1)

где коэффициенты (для различных типов аналоговых нормированных ФНЧ определяются табличными данными),

 (1.2)

Для фильтра Баттерворта верхних частот третьего порядка ;,;,

. (1.3)

Подставим значения этих коэффициентов в выражение (1.1), т.о. получим:

. (1.4)

Найдем значения коэффициентов в выражении (1.4).

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Найдём полюсы передаточной функции по формуле:

(1.8)

Так как - комплексно-сопряжённое для , то имеем:

Подставим найденные значения в формулы (1.5) и (1.6)

Нам известно, что умножение комплексной величины на сопряжённую ей даёт единицу, следовательно, получаем:

= 1.

Из формулы (1.7) найдем нормирующий множитель :

Подставляя найденные значения в формулу (1.4) получим передаточную функцию аналогового фильтра-прототипа:

. (1.9)

2. Расчет цифрового фильтра

1 способ

1-ый этап - денормирование частоты в аналоговой области. В результате получаем передаточную функцию H (p) аналогового фильтра, частоты среза которого соответствуют заданным. Операция денормирования соответствует отображению комплексной S-плоскости в комплексную P-плоскость. При этом используется следующая замена аргумента:

. (2.1)

Подстановка

в выражение (1.1) приводит к формуле:

, (2.2)

где ; ;

; (2.3)

; (2.4)

; (2.5)

; (2.6)

; (2.7)

. (2.8)

Подставим численные значения в выражения (2.2) - (2.8). Получаем:

,

,

,

,

.

Подставим найденные коэффициенты в формулу (2.2) и получим передаточную функцию H(p) аналогового фильтра:

. (2.9)

Перемножим полученные дроби и получим:

. (2.10)

 2-ой этап - дискретизаия - в результате выполнения которого получают передаточную функцию ЦФ H(Z). Операция дискретизации соответствует отображению комплексной P плоскости в комплексную Z-плоскость. При этом мнимая ось P-плоскости должна отображаться в единичную окружность Z-плоскости, а левая полуплоскость P-плоскости - во внутреннюю часть круга единичного радиуса Z-плоскости. Выполнение этих требований гарантирует сохранение селективных свойств и устойчивости фильтра при дискретизации.

.

Одним из способов дискретизации является билинейное преобразование:

, (2.11)

где - частота дискретизации.

Билинейное преобразование передаточной функции аналогового фильтра в форме (2.2) приводит к передаточной функции дискретного фильтра следующего вида:

. (2.12)

Теперь рассчитаем коэффициенты этой ПФ:

; (2.13)

; (2.14)

; (2.15)

=0,846 (2.16)

= - 1,693 (2.17)

=0,846 (2.18)

= - 1,651 (2.19)

=0,748 (2.20)

2 способ

Возможно также объединение этапов денормирования и дискретизации:

. (2.21)

При этом получается двухэтапная процедура синтеза. Если для дискретизации используется билинейное преобразование, то процедура (2.21) называется обобщенным билинейным преобразованием.

Формулы

обобщенного билинейного преобразования приведеныв таблице 1 и таблице 2.

Таблица 1

Таблица 2

Найдем численные значения параметра преобразования и коэффициенты блоков передаточной функции:

, (2.22)

где - нормированная частота среза. (2.23)

Следовательно,

; (2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

Сравним значения коэффициентов, полученные при расчете первым и вторым способом (таблица 3).

Таблица 3

	1 способ	2 способ
	0,864	0,864
	-0,864	-0,864
	-0,729	0,727
	0,846	0,845
	-1,693	-1,691
	0,846	0,845
	-1,651	-1,648
	0,748	0,733

Как видно из таблицы 3, коэффициенты, рассчитанные первым и вторым способом мало отличаются, значит, они найдены верно.

Подставляем полученные значения в выражение (2.12):

. (2.34)

Таким образом получим передаточную функцию цифрового фильтра:

. (2.35)

3. Структурные схемы фильтра

Цифровые фильтры с заданной передаточной функцией можно построить различными способами. В любом реальном цифровом фильтре шумы и погрешности, появляющиеся при квантовании, существенно зависят от структуры фильтра. Прежде всего, все фильтры можно разделить на два больших класса: рекурсивные и нерекурсивные. Для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью и откликом может быть записано в виде:

, (3.1)

то есть текущий отсчет отклика определяется не только текущим и предшествующим значениями входной последовательности, но и предшествующими отсчетами отклика. В нерекурсивных фильтрах связь между входной последовательностью и откликом имеет вид:

, (3.2)

то есть текущий отсчет отклика зависит от текущего и предшествующих значений входной последовательности.

Z-преобразование, соответствующее цифровому фильтру, можно выразить в виде дробно-рационального полинома от переменной z^-1, т.е.

, (3.3)

причем (предполагается, что степени числителя и знаменателя одинаковы.). Приведя равенство к общему знаменателю, получим:

. (3.4)

Если рассматривать члены вида z^-kY(z) как обратные z-преобразования последовательности , то, взяв обратные z-преобразования обеих частей равенства, можно получить искомое разностное уравнение:

. (3.5)

Поскольку b₀=1, уравнение можно решить относительно :

. (3.6)

Уравнение (3.6) реализует прямую форму. В ней для преобразования цепей, соответствующих числителю и знаменателю формулы (3.3), используются раздельные элементы задержки.

По передаточной функции цифрового фильтра построим структурную схему его реализации прямым способом. Для построения структурной схемы по известной передаточной функции получим уравнение в конечных разностях:

(3.7)

Выразим из соотношения (3.7) :

(3.8)

На основании формулы (3.8) построим структурную схему рекурсивного фильтра (рисунок 2).

Рис.2 - Структурная схема фильтра (прямой способ построения)

Если записать формулу (3.3) в ином виде:

, (3.9)

то можно получить другую структуру цифрового фильтра. Такой фильтр состоит из двух последовательно соединенных фильтров с коэффициентами передачи соответственно и . Первый из фильтров имеет только полюсы, а второй - только нули.

Если записать

; (3.10)

, (3.11)

то получается пара разностных уравнений (b₀=1):

; (3.12)

. (3.13)

Поскольку в цепях, соответствующих и , сигнал задерживается одинаково, то для построения фильтра достаточно использовать один набор элементов задержки. Такую структуру называют прямой формой 2 или канонической формой, так как в ней используется минимальное количество сумматоров, умножителей и элементов задержки.

Для построения структурной схемы каноническим методом введем в соотношение (3.3) вспомогательную функцию :

,

откуда:

.

При использовании канонического способа построения структурной схемы в ее составе всегда будет два сумматора, причем выходной сигнал первого из них всегда будет равен функции .

Структурная схема приведена на рисунке 3.

Рис.3 - Структурная схема цифрового фильтра (канонический способ построения)

Существуют также и другие формы реализации цифровых фильтров: каскадная (последовательная), параллельная, параллельно-последовательная, и т.д. Выбор наилучшей из этих многочисленных схем определяется экономическими соображениями. Они же зависят от свойств, структур или ограниченной точности представления переменных и коэффициентов фильтров.

4. Реализационные характеристики фильтра

Определим реализационные характеристики цифрового фильтра по структурным схемам. Реализационные характеристики определяют сложность аппаратной реализации, и моделирования фильтра в реальном масштабе времени.

- число ячеек оперативной памяти, необходимое для реализации фильтра. Оно равно числу элементов задержки в структурной схеме.

- число ячеек постоянной памяти, необходимое для реализации фильтра. Оно равно числу различных постоянных множителей.

- число операций умножения, которое должно быть выполнено за время для получения одного отсчета выходного сигнала. Оно равно числу множительных устройств.

- число операций сложения. Оно равно суммарному числу входов сумматоров, минус число сумматоров.

Реализационные характеристики фильтра при построении прямым способом:

, , , .

Реализационные характеристики фильтра при построении каноническим способом:

, , , .

5. Синтез цифрового фильтра в системе программирования MATLAB

Получим коэффициенты передаточной функции цифрового фильтра Баттерворта верхних частот третьего порядка с помощью системы MatLab. Напишем программу:

n=3; fc=500; fs=10000;

Wn=2*(fc/fs)

[b,a]=butter(n,Wn,'high')

Получаем:

Wn = 0.1000

b =0.7294 -2.1883 2.1883 -0.7294

a =1.0000 -2.3741 1.9294 -0.5321

Для сравнения полученных коэффициентов

* В зарубежной литературе и в MATLAB коэффициенты относятся «a» относятся к отсчётам выходного сигнала, а «b» к отсчётам входного. В отечественной же литературе и в этой работе наоборот.

Таблица 4 - Сравнение коэффициентов рассчитанных вручную и коэффициентов полученных в системе MatLab.

Коэффициенты	Рассчитанные	MatLab
	0,731	0,7294
	-2,193	-2,1883
	2,194	2,1883
	-0,731	-0,7294
	1	1,0000
	-2,380	-2,3741
	1,952	1,9294
	-0,545	-0,5321

Из таблицы видно, что результаты вычислений совпадают с небольшой относительной погрешностью.

6. Частотные характеристики цифрового фильтра

Для того чтобы построить АЧХ и ФЧХ синтезированного фильтра снова воспользуемся средой MATLAB. Для этого к предыдущей программе добавим следующие строки:

n=3; fc=500; fs=10000;

Wn=2*(fc/fs)

[b,a]=butter(n,Wn,'high')

freqz(b,a,500,fd)

Т.о. получим:

Рисунок 4 - АЧХ и ФЧХ синтезированного цифрового фильтра Баттерворта верхних частот третьего порядка.

7. Импульсная характеристика цифрового фильтра

Для того чтобы построить импульсную характеристику синтезированного фильтра (для 50 первых отсчетов) используем MATLAB. Для этого к предыдущей программе добавим следующие строки:

n=3; fc=500; fs=10000;

Wn=2*(fc/fs)

[b,a]=butter(n,Wn,'high')

impz(b,a,50)

Т.о. получим:

Рисунок 5 - Импульсная характеристика цифрового синтезированного фильтра Баттерворта верхних частот третьего порядка ( 50 отсчетов)

Чтоб построить БИХ, возьмем 350 первых отсчетов. Получим:

n=3; fc=500; fs=10000;

Wn=2*(fc/fs)

[b,a]=butter(n,Wn,'high')

impz(b,a,350)

Т.о. получим:

Рисунок 6 - Импульсная характеристика цифрового синтезированного

фильтра Баттерворта верхних частот третьего порядка (350 отсчетов).

8. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра

Для того чтобы построить карту нулей и полюсов синтезированного фильтра используем MATLAB. Для этого к предыдущей программе добавим следующие строки:

n=3; fc=500; fs=10000;

Wn=2*(fc/fs)

[b,a]=butter(n,Wn,'high')

zplane(a,b)

Т.о. получим:



Рисунок 7 - Карта нулей и полюсов передаточной функции

Из рисунка 7 видно, что полюсы передаточной функции лежат внутри окружности единичного радиуса, отсюда можно сделать вывод, что рассматриваемый нами фильтр устойчив.

Заключение

В курсовой работе мы рассмотрели задачу проектирования цифрового рекурсивного фильтра верхних частот Баттерворта третьего порядка по аналоговому прототипу. В результате вычислений получили передаточную функцию аналогового фильтра прототипа:

И передаточную функцию цифрового фильтра верхних частот:

Результаты проверили в системе MATLAB.

Определили реализационные характеристики фильтра при двух способах реализации.

При построении прямым способом:

, , , .

При построении каноническим способом:

, , , .

В системе MATLAB произвели построения: фазовой частотной характеристики (ФЧХ), амплитудной частотной характеристики (АЧХ) и импульсной характеристики цифрового фильтра.

После анализа полученных структурных схем фильтра можно сделать следующие выводы:

· Физическую реализацию можно вести любым из рассмотренных методов, но при построении с помощью прямого способа уменьшается

число требуемых сумматоров с одновременным увеличением числа элементов задержки, а с помощью канонического способа уменьшается число элементов задержки, а, следовательно, и ячеек оперативной памяти и одновременным ростом числа сумматоров.

· Ни одна из рассмотренных схем не обладает преимуществом в быстродействии при выполнении на однотипной элементной базе.

фильтр цифровой аналоговый частотный импульсный

Список использованной литературы

1. Гадзиковский В.И.//Цифровая обработка сигналов./Учебное пособие/ Екатеринбург, 2006. - 53 с.

2. Рабинер Л. //Теория и применение цифровой обработки сигналов//М.: Мир, 1978. - 838 c.

3. Оппенгейм А.В. //Цифровая обработка сигналов// М.: Связь, 1979. - 416 с.

4. Лем Г. //Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет и реализация// М.: Мир, 1982. - 592 c.

5. Глинченко А.С. //Цифровая обработка сигналов// Красноярск, 2001. - 212 с.

6. Гадзиковский В.И. Методы проектирования цифровых фильтров. - М.: Горячая линия - Телеком, 2007. - 416 с.

Размещено на Allbest.ru