Рис. 4.3.

Для шума (по аналогии) передаточная функция будет иметь вид

. (4.30)

Объединив выражения (4.29) и (4.30), получим модель объекта с шумом измерений:

. (4.31)

В зависимости от типа модели шума, при котором гарантируется сходимость оценок модели (4.31), используются модели частного вида [30]:

- МП-модель (модель максимального правдоподобия):

, (4.32)

- НК-модель (модель наименьших квадратов):

. (4.33)

Переход от непрерывной модели к дискретной задается с помощью z -преобразования.

. (4.34)

Тогда (4.35)

Сомножитель указывает на наличие в дискретной системе экстаполятора нулевого порядка, который фиксирует сигнал на выходе дискретного элемента между моментами квантования.

В том случае если объект управления многомерный и имеет математическую модель заданную в пространстве состояний (4.6), то последняя сводится к дискретной модели вида

, (4.36)

где параметры (матрицы) дискретной системы связаны с параметрами (матрицами) исходной непрерывной выражениями

, (4.37)

где h - интервал квантования.

Ниже показаны различные формы математических моделей и их характеристики.

Дискретная передаточная функция объекта

Непрерывная передаточная функция объекта

Дискретная передаточная функция объекта

Непрерывная передаточная функция объекта

Рис. 4.5. Переходная характеристика объекта.

Рис. 4.6. ЛАЧХ и ФЧХ объекта.



Рис. 4.7. АФЧХ объекта.

5. Выбор и описание закона регулирования

В отличии от возмущений f, являющихся неконтролируемыми, управляющие воздействия или управления u всегда известны так как вычисляются специальным устройством называемом автоматическим регулятором.

Автоматический регулятор - это программа или техническое устройство, в котором реализуется тот или иной закон управления.

Под законом управления понимается функциональная взаимосвязь между обобщенными координатами системы x, возмущениями f и управляющим воздействием u

U=F(x,f,a), (5.1)

где , в общем случае, некоторая нелинейная функция, a - постоянные параметры закона управления.

Автоматический регулятор подключается к объекту в соответствии со структурной схемой показанной на рис. 5.

Рис.5. Структурная схема системы автоматического управления

На структурной схеме приняты следующие обозначения. ПУ - программное (задающее устройство), АР - устройство управления (автоматический регулятор), ОО - обобщенный объект, g - задающее воздействие или задание, e - ошибка регулирования, u - управляющие координаты или величины, вырабатываемые устройством управления (АР); x - зависимые переменные (обобщенные или фазовые координаты), которые однозначно характеризуют состояние управляемого процесса в любой момент времени; y - управляемые координаты, которые в процессе управления измеряются и используются для оценки качества функционирования системы управления; f - внешние неконтролируемые переменные (возмущающие воздействия), отклоняющие y от заданных значений.

В структурной схеме (рис. 5) реализуется фундаментальный принцип управления - принцип обратной связи, когда информация с выхода объекта после соответствующей обработки в устройстве управления поступает на его вход. Причем управляющие воздействия, подаваемые на вход объекта, вычисляются таким образом, чтобы обеспечить достижения заданной цели управления и скомпенсировать неблагоприятные изменения управляемых координат y при неконтролируемом действии внешних возмущений f.

Управление - это совокупность действий, осуществляемых на основе определения информации и направляемых на поддержание или улучшение функционирования объекта в соответствии с имеющейся программой (алгоритмом) или целью управления. Автоматическое управление - управление, осуществляемое без участия человека.

Как правило, цель управления задается в виде целевой функции или критерия качества от управляющих и обобщенных координат объекта

. (5.2)

Ограничения на координаты объекта задаются в виде неравенств

. (5.3)

Если в процессе управления для целевой функции обеспечивается экстремум, то управление в этом случае называют оптимальным, а систему управления оптимальной. В том случае если зависит от времени, или остается постоянной, не достигая экстремума, то управления называют программным или стабилизирующим.

Если в качестве целевой функции используют управляемые координаты y, т.е. , то имеет место автоматическое регулирование, а не управление. Автоматическое регулирование является частным случаем автоматического управления.

Для такой обобщенной структуры (рис.4.3) задачу управления можно сформулировать следующим образом. Для заданной математической модели объекта найти закон управления, удовлетворяющий заранее заданным критериям (показателям) качества, для всех и .

В теории управления нахождения закона управления называется задачей синтеза. Возможны две постановки задачи синтеза управления. Первая задача синтеза это функциональный синтез, при котором требуется найти закон управления, удовлетворяющий заданным показателям качества системы. Вторая задача синтеза это параметрический синтез, при котором для заранее заданного закона управления требуется найти его параметры, обеспечивающие заданные показатели качества.

В практике проектирования систем управления чаще решается задача параметрического синтеза для систем с линейными и нелинейными законами регулирования. Для этих целей используют следующие основные типы регуляторов.

1. Линейные регуляторы.

К ним относятся:

пропорционально - интегрально - дифференциальные регуляторы (ПИД - регуляторы), реализующие принципа регулирования по отклонению:

регуляторы состояния, которые еще называются линейно-квадратичными регуляторами (ЛК -регуляторами) или l - регуляторами.

регуляторы, реализующие принцип регулирования по возмущению или регуляторы по возмущению;

комбинированные или инвариантные регуляторы, одновременно использующие принципа регулирования по отклонению и возмущению.

2. Нелинейные или позиционные регуляторы.

К ним относятся:

двухпозиционные регуляторы, у которых регулирующая величина принимает два фиксированных значения «включено - выключено»;

трехпозиционные регуляторы, у которых регулирующая величина принимает три фиксированных значения «включено - выключено -реверс»;

Наиболее широко распространенным является ПИД-регулятор, реализующий закон регулирования в функции от ошибки регулирования е.

, (5.4)

или в операторной форме

, (5.5)

где W_p (p) передаточная функция регулятора равная

. (5.6)

Иногда используют модифицированный закон регулирования, которому соответствует следующее выражение передаточной функции

. (5.7)

Для фильтрации высокочастотных помех возникающих в цепях управления в ПИД-регулятор дополнительно включается низкочастотный фильтр. В этом случае передаточная функция регулятора будет выглядеть

. (5.8)

ПИД-регулятор позволяет реализовать более простые законы регулирования путем исключения той или иной составляющей из закона регулирования. Дополнительно кроме ПИД-регулятора используются П - регулятор, И - регулятор ПИ - регулятор.

Широкое распространение таких регуляторов обусловлено простой схемной или программной реализацией закона регулирования, невысокой чувствительностью параметров настройки регулятора к изменению параметров объекта (грубостью или робастностью), сравнительно простой настройкой регулятора под конкретный объект. Недостатком этих регуляторов является не очень высокое качество регулирования особенно для сложных объектов имеющих в своем составе нелинейные элементы и звенья запаздывания. Более высокое качество регулирования обеспечивают регуляторы состояния, у которых закон управления представляет собой линейную функцию от переменных состояния объекта

(5.9)

В матричном виде эти уравнения запишутся

. (5.10)

В том случае если не все компоненты вектора состояния x доступны измерению, используют специальные устройства (наблюдатели состояния), позволяющие восстановить вектор состояния x по измеренному вектору регулируемых величин y.

Если замыкать обратную связь по регулируемым величинам то закон управления (5.9) преобразуется к виду аналогичному (5.5):

. (5.11)

где W_p(p) - матричная передаточная функция регулятора состояния отличная от передаточной функции ПИД-регулятора.

В отличие от ПИД-регулятора регулятор состояния применим для многомерных объектов и обеспечивает лучшее качество регулирования. Однако он сложен в настройке и не обладает свойством грубости (робастности).

Для объектов не требующих высокой точности регулирования можно использовать регуляторы по возмущению. Структурная схема подключения такого регулятора к объекту приведена на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Структурная схема системы с регулятором по возмущению.

Если известны передаточные функции объекта по правлению W_u(p) и возмущению W_f(p), то передаточная функция регулятора W_p(p) находится из условия полной компенсации возмущения.

. (5.12)

Откуда . (5.13)

Недостатком регуляторов по возмущению является низкая точность регулирования, так как такой регулятор компенсирует действие на объект только контролируемых возмущений.

Достоинства обеих принципов регулирования по отклонению (ошибке) и возмущению совмещаются в комбинированных регуляторах. Рассмотрим структурную схему системы с комбинированным регулятором, компенсирующим динамическую ошибку системы, возникающую от изменения задания

Рис. 5.2. Структурная схема системы с комбинированным регулятором.

Найдем передаточную функцию Wg(p) регулятора по возмущению РВ, обеспечивающую компенсацию задания g в системе условия. Для этого запишем передаточную функцию замкнутой системы по ошибке

. (5.14)

Откуда следует, что ошибка будет равна нулю, если We(p)=0, тогда

. (5.15)

Позиционные регуляторы, реализующие нелинейные законы регулирования имеют статическую характеристику релейного элемента (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Статическая характеристика позиционного регулятора.

Изменяя настройки позиционного регулятора можно получать различные законы регулирования:

двухпозиционный закон регулирования, имеющий статическую характеристику идеального реле:

двухпозиционный закон регулирования, имеющий статическую характеристику идеального реле с гистерезисом;

трехпозиционный закон регулирования, имеющий статическую характеристику идеального реле: с зоной нечувствительности;

трехпозиционный закон регулирования, имеющий статическую характеристику идеального реле: с зоной нечувствительности и гистерезисом;

Достоинством позиционных регуляторов является простота конструкции и настройки, высокое быстродействие. К недостаткам относятся невысокая точность регулирования и возможность возникновения в системе режима автоколебаний.

Проведем расчет настроек ПИД -регулятора для системы заданной структурной схемой рис. 5.4.

Рис. 5.4.

Передаточные функции регулятора W_p(p) и объекта W_o(p) имеют следующие выражения

; (5.16)

. (5.17)

Если выбрать параметры настройки регулятора из условия равенства числителя передаточной функции регулятора знаменателю передаточной функции объекта

, (5.18)

то передаточные функции разомкнутой W(p) и замкнутой W_з(p) системы примут вид

; (5.19)

, (5.20)

где постоянная времени замкнутой системы .

Характер переходных процессов в системе будет определяться корнями характеристического уравнения, которые в свою очередь зависят от его дискриминанта D

(5.21)

Проведем настройку регулятора на границе апериодического и колебательного процесса, которая достигается при D=0. Откуда следует, что

(5.22)

Из условия (5.18) вытекают следующие уравнения, связывающие параметры объекта и регулятора

(5.23)

(5.24)

Для разрешимости системы уравнений (5.22) - (5.23) дополним их условием предельно допустимого значения управления U_max при подаче на вход единичной ступенчатой функции. Значение управления на выходе регулятора найдем из условий теоремы о предельном значении передаточной функции

(5.25)

Решая систему уравнений (5.22) - (5.25) найдем неизвестные параметры настройки регулятора

(5.26)

Ниже приведен расчет настроек регулятора и показателей качества системы регулирования.

Параметры регулятора

Рис. 5.5. Функция веса объекта и системы с ПИД - регулятором



Рис. 5.6. Переходная характеристика объекта и системы с ПИД - регулятором.

Рис. 5.7. ЛАЧХ и ФЧХ объекта и разомкнутой системы с ПИД - регулятором.

Рис. 5.8. АФЧХ объекта и системы с ПИД - регулятором.

6. Разработка структурной схемы системы

Рис. 6.1. Структурная схема системы

Рис. 6.2. Структурная схема ПИД - регулятора.

Заключение

Таким образом, подводя итог работе, можно отметить, что в ходе её выполнения были определены параметры регулирования системы, включающей в себя нелинейный теплоэнергетический объект (котел для подогрева воды). Были достигнуты следующие результаты:

1. По временным трендам с помощью программы Matlab проведена идентификация данного объекта.

2. Построены все необходимые графики.

3. Рассчитаны показатели качества.

Приложение

clear

% 19-20 Температура смазки dan=xlsread('opertrend');

y=dan(:,19);

u=dan(:,20);

n=length(y);

t=0:3:3*(n-1);

%Вычисление коэффициента передачи

my(1)=y(1);mu(1)=u(1);

for i=2:n

my(i)=my(i-1)+(y(i)-my(i-1))/i;

mu(i)=mu(i-1)+(u(i)-mu(i-1))/i;

ko(i)=my(i)/mu(i);

end

plot(t,ko),grid

%title ('Изменение коэффициента

передачи объекта')

xlabel ('Time, s')

ylabel ('К')

pause

yc=(y-my');

uc=u-mu';

subplot(2,1,1),grid

plot(t,u),grid

title ('Centeres input signal')

ylabel ('U')

subplot(2,1,2),grid

plot(t,y),grid

title ('Centeres output signal')

xlabel ('Time, s')

ylabel ('Y')

pause

% Анализ сигналов объекта

du=std(u)^2;

dy=std(y)^2;

ru=xcorr(uc,'biased');

ry=xcorr(yc,'biased');

ruy=xcorr(uc,yc,'biased');

tau=-n+1:1:n-1;

subplot (3,1,1)

plot(3*tau,ru),grid

title ('Correlation functions')

ylabel ('Ruu')

subplot(3,1,2)

plot(3*tau,ry),grid

ylabel ('Ryy')

subplot(3,1,3)

plot(3*tau,ruy),grid

xlabel ('Time, s')

ylabel ('Ruy')

pause

[S,f]=psd(uc,n,1/3);

subplot(2,1,1)

plot(f(1:10),S(1:10)/max(S)),grid

title ('Spectrs')

ylabel ('Suu')

[S,f]=psd(yc,n,1/3);

subplot(2,1,2)

plot(f(1:10),S(1:10)/max(S)),grid

xlabel ('Frequencies, Hz')

ylabel ('Syy')

pause

subplot(2,1,1)

hist(u,20),grid

title ('Histograms')

ylabel ('Hu')

subplot(2,1,2)

hist(y,20),grid

xlabel ('Intervals, mm')

ylabel ('Hy')

pause

subplot(1,1,1)

% RMNK

m=2;

clear Tp

P=1000*eye(2*m,2*m);

Q=zeros(2*m,1);

F=Q;

for i=1:n-m

F=[-yc(i+m-1:-1:i);uc(i+m-1:-1:i)];

ch=P*F;

zn=1+F'*P*F;

gm=ch/zn;

P=(eye(2*m)-gm*F')*P;

Q=Q+gm*(yc(m+i)-F'*Q);

kf(i,1:2*m)=Q';

Tp(i)=F'*Q;

end

% Анализ ошибки моделирования

e=yc(m+1:end)-Tp';

de=std(e);

plot(t(100:n-m),kf((100:end),:)),grid

title ('Model parametres')

xlabel ('Time, s')

ylabel ('Km')

pause

sr=[yc(m+1:end),Tp'];

plot(t(1:n-m),sr),grid

title ('Model and object outputs')

xlabel ('Time, s')

ylabel ('Y, Yм')

pause

plot (t(1:n-m),e),grid

title ('Model error')

xlabel ('Time, s')

ylabel ('Em')

pause

re=xcorr(e,'biased');

plot(3*tau,ru),grid

title ('Error correlation function')

xlabel ('Time, s')

ylabel ('Ree')

pause

[S,f]=psd(e,n,1/3);

plot(f,S/max(S)),grid

title ('Error spector')

xlabel ('Frequncy, Hz')

ylabel ('Suu')

pause

hist(e,20),grid

title ('Error histogram')

xlabel ('Interval, mm')

ylabel ('Hu')

pause

% Модели объекта

nun=[kf(end,m+1:2*m) 0];

den=[1 kf(end,1:m)];

wod=tf(nun,den,3)

[z,p,k]=zpkdata(wod,'v')

if abs(p(1)-1)<.05

p(1)=1;

end

wodf=zpk(z,p,k,3)

wo=d2c(wodf)

sm=ss(wo)

impulse(wo),grid

pause

step(wo,wodf),grid

pause

bode(wo),grid

pause

nyquist(wo),grid

pause

wonz=zpk(wo)

ym=lsim(wo,uc,t);

f=yc-ym;

%Wc=gram(sm,'c')

%Wo=gram(sm,'o')

K=lqry(sm,100000000,1)

[A,B,C,D]=ssdata(sm);

P=ss(A,[B B],C,[D D]);

Kest=kalman(P,du,0.01)

G=lqgreg(Kest,K);

clsm=feedback(sm,G,+1);

q1=tf(Kest);

q2=tf(G);

impulse(sm,'r-',clsm,'b-'),grid

pause

step(sm,'r-',clsm,'b-'),grid

pause

bode (sm,'r-',clsm,'b-'),grid

pause

nyquist(sm,'r-',clsm,'b-'),grid

save('f','f')

save('wo','wo')

Литература

1. Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем. - М.: Наука, 1989.

2. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. Т1: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления / под ред Н.Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им Баумана, 2000. - 736 с.

3. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. - М.: Высшая школа. 1988 (Дополнительная).

4. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. - М: Высшая школа . 1986.

5. Изерман Р. Цифровые системы управления / Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 541 с.

6. Кашьян Р. Л., Рао А. Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. - М: Мир, 1983. 384 с.

7. Ивахненко А. Г., Юрачковский Ю. Г. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным. М.: Радио и связь, 1987. 120 с.

8. Кендал М. Временные ряды. - М.: Радио и связь, 1981. - 198 с.