Детерміновані сигнали та їх векторне (геометричне) зображення у системах передавання дискретної інформації

детерміновані сигнали та їх векторне (геометричне) зображення у системах передавання дискретної інформації

1. Операторне зображення детермінованих сигналів

Умовою застосування перетворення Фур'є до функції є абсолютна інтегрованість цієї функції, що можна записати так:

. (1)

Проте чимало важливих сигналів, таких як гармонічне коливання, одиничний стрибок та деякі інші, не задовольняють цієї умови, і тому для них не можна визначити спектральної функції. Для спектрального представлення таких сигналів можна застосувати перетворення Лапласа, яке є узагальненням перетворення Фур'є і базується на використанні поняття комплексної частоти. Річ у тім, що при перетворенні Фур'є сигнал описуємо у вигляді суми нескінченного числа елементарних гармонічних складових, кожна з яких змінюється у часі за законом .

Узагальнення перетворення Фур'є полягає у тому, що замість комплексних експоненціальних сигналів з уявними показниками використовують експоненційні сигнали з комплексними показниками , де - комплексне число, яке прийнято називати комплексною частотою.

Зауважимо, що залежно від вибору значень та можна отримати різноманітні сигнали, які описують дійсними функціями часу. Справді, додаючи два комплексні експоненційні сигнали з комплексно-спряженими аргументами, отримаємо:

, (2)

де - комплексно спряжений аргумент.

Із (2) випливає, що при = 0 сигнал є гармонічним косинусним коливанням із частотою , а при він є експоненційно спадаючим (при ) або експоненційно наростаюче (при ) коливанням. У загальному випадку () є коливальним процесом з амплітудою, що наростає або спадає.

Використання поняття комплексної частоти дає змогу отримати спектральний опис сигналів, математичні моделі яких не задовольняють умову абсолютної інтегрованості (1). Ці сигнали повинні бути визначені при , а при від'ємних значеннях - дорівнювати нулеві. Перетворення Лапласа для таких сигналів описуємо виразом:

. (3)

Сигнал називається оригіналом, функція F(p) - зображенням оригіналу за Лапласом (або зображенням Лапласа).

Запишемо вираз (3) так:

, (4)

звідки бачимо, що при перетворення Лапласа переходить у пряме перетворення Фур'є для сигналу , який дорівнює нулеві при . При перетворення Лапласа є узагальненням перетворення Фур'є для випадку комплексних частот. Зауважимо, що даний інтеграл існує завдяки тому, що функція задовольняє умову абсолютної інтегрованості при , а з другого боку, тому, що при (у протилежному разі множник міг би призвести до розходження інтеграла).

Якщо у виразі (2) для зворотного перетворення Фур'є перейти від уявної змінної до комплексного аргументу , то маючи зображення , можна знайти оригінал . Тому в площині комплексної частоти інтегрування здійснюється уздовж нескінченної вертикальної розміщеної з правої сторони від уявної осі на віддалі . Детальніше питання розглянуто в теорії функцій комплексної змінної. Унаслідок отримуємо:

. (5)

Вирази (4) та (5) називають відповідно прямим та зворотним перетворенням Лапласа. Ha практиці для знаходження оригіналів та зображень сигналів широко використовують таблиці, в яких наведені зображення за Лапласом для значної кількості оригіналів.

Взаємну відповідність між оригіналом s(t) та його зображенням Лапласа позначимо:

, (6)

а символічно пряме та зворотне перетворення Лапласа позначатимемо далі так:

; (7а)

. (7б)

Ha підставі сказаного неважко зробити висновок про взаємозв'язок між зображенням Лапласа та спектральною функцією сигналу: якщо у виразі для зображення Лапласа замість підставити , то отримаємо спектральну функцію цього сигналу.

Визначимо для прикладу спектральні функції деяких сигналів, які не задовольняють умову абсолютної інтегрованості.

Одиничний стрибок: s(t)=l(t).

Зображення Лапласа: .

Спектральна функція: .

Гармонічне коливання при : .

Зображення Лапласа:

.

Скориставшись таблицею інтегралів, знаходимо:

.

Спектральна функція:

,

а її модуль

.

На рис. 1 зображені графіки модуля спектральної функції для двох значень початкової фази при додатних значеннях частоти .

Рисунок 1 - Модуль спектральної функції гармонічного коливання, яке існує при , для різних значень початкової фази

2. Властивості спектрів детермінованих сигналів

Практичний інтерес становить вияснення впливу тих чи інших операцій над сигналами в часовій царині на їх спектральні характеристики навпаки. У табл. 2.1 наведено найважливіші приклади такого взаємозв'язку. При цьому прийнято, що сигналові s(t) відповідає спектральна функція:

Таблиця 1 - Взаємозв'язок часового та спектрального опису при різних перетвореннях сигналів

Продовження табл. 1

* Примітка: Якщо >1, то маємо стискування сигналу та розширення спектра; якщо <1, то розтягування сигналу в часі та звуження спектра.

** Примітка: а - дійсне або комплексне число з додатною дійсною частиною.

3. Основні поняття про векторне (геометричне) зображення сигналів

Векторне (геометричне) зображення сигналів базується на концепції представлення сигналу як вектора у спеціальним чином утвореному багатовимірному просторі. Відомо, що будь-який вектор -вимірного лінійного векторного простору повністю характеризується своїми проекціями на координатні осі.

Для розкладу векторів зручно використовувати взаємно перпендикулярні осі, які задовольняють умову ортогональності, котра означає, що скалярний добуток () будь-яких двох одиничних координатних векторів (ортів) та дорівнює нулеві, а скалярний добуток будь-якого орта самого на себе дорівнює одиниці:

(8)

де - індекси, надані координатним осям.

Якщо вектор заданий у -вимірному просторі, то його можна розкласти на векторів, тобто зобразити у вигляді суми:

(9)

де - проекції вектора на координатні осі, напрям яких задає система координатних векторів або базис {}.

За аналогією з вектором сигнал скінченної потужності або енергії можна відобразити точкою у -вимірному функціональному (сигнальному) просторі. Ця точка є кінцем вектора, який виходить із початку координат. Тому будь-який сигнал можна охарактеризувати своїми „проекціями” на осі, «напрям» яких задають деякі функції .

Найзручнішими для розкладу сигналів є взаємоортогональні функції, які задовольняють умови:

(10)

(11)

У (10) та (11) позначено: - відповідно енергія та середня потужність функції на інтервалі ортогональності .

Векторний або функціональний простір називають метричним, якщо визначено спосіб знаходження відстані між двома його точками, і нормованим, якщо визначено спосіб знаходження відстані між початком координат і будь-якою точкою простору (цю відстань відповідно називають метрикою та нормою). Згадані характеристики лінійного векторного простору можна визначити через скалярний добуток.

Так, довжину вектора , тобто норму |||| визначаємо скалярним вектора самого на себе:

. (12)

Відстань між двома векторами та (метрика векторного простору) визначаємо як модуль (норму) різницевого вектора :

. (13)

Стосовно радіотехнічних сигналів норму сигналу , тобто відстань від початку координат до точки, яка відображає функцію , визначаємо скалярним добутком сигналу на самого себе:

. (14)

Зауважимо, що це значення дорівнює енергії, яка виділяється на резисторі з опором, рівним 1 Ом, якщо на нього діє напруга або струм . Визначати норму сигналу згідно з (14) зручно тому, що про величину сигналу часто судять, виходячи із сумарного енергетичного ефекту (наприклад, із кількості тепла, що виділяється у резисторі), а також тому, що енергетична норма виявляється нечутливою до змін форми сигналу, які можуть траплятися на короткому інтервалі часу.

Наприклад, на рис. 2 зображені сигнали, які суттєво відрізняються формою, але енергія яких відрізняється незначно.

Порівняння сигналів за нормою хоча й дає можливість порівнювати їх за величиною, проте не дозволяє отримати відповіді про ступінь їх подібності та визначати умови, за яких сигнали будуть найменше чи найбільше відрізнятися. Саме такі питання часто виникають перед розробниками радіоелектронної апаратури та радіотехнічних систем.

Вирішити це завдання допомагає поняття метрики сигнального простору, яке визначає відстань між двома сигналами та , тобто різниці двох сигналів:

. (14)

Рисунок 2 - Сигнали з близькими нормами

Для прикладу розглянемо задання оптимальної апроксимації прямокутними імпульсами гармонічного коливання (див. рис.3) із заданою амплітудою та періодом T. Треба вибрати амплітуду прямокутного імпульсу так, щоб протягом періоду T відстань між сигналами та була мінімальна. Математичні моделі сигналів та описуємо на інтервалі виразами:

;

Оскільки дані сигнали є непарними функціями часу, то для спрощення достатньо розглянути це завдання на проміжку часу.

Квадрат відстані між сигналами дорівнює:

.

Рисунок 3- Апроксимація гармонічного коливання прямокутними відеоімпульсами

Відстань між сигналами (похибка апроксимації) буде найменша за виконання умови:

Отже, при відстань буде найменша та дорівнюватиме:

Квадрати норм сигналів та становитимуть:

З урахуванням того, що оптимальне значення , знаходимо, що норми сигналів:

відрізняються у разів, а похибка апроксимації сигналу сигналом не може бути зведена до нуля.

Розглянемо приклад, в якому визначимо умови, за яких два гармонічні коливання однієї частоти та амплітуди найбільше відрізняються між собою.

Запишемо математичні моделі сигналів та визначимо відстань між ними в інтервалі одного періоду коливання:

.

Відстань між сигналами

.

3 результату бачимо, що гармонічні коливання однакової амплітуди максимально відрізнятимуться, якщо різниця їх початкових фаз дорівнюватиме . Саме такі коливання найчастіше використовують у системах передавання дискретної інформації.

Ha закінчення підкреслимо, що векторне зображення сигналів знайшло широке застосування у радіотехніці, тому що воно дає змогу порівнювати їх за величиною, оцінювати ступінь їх подібності чи відмінності, оцінювати „відстань” між ними, розв'язувати завдання оптимальної апроксимації одних сигналів іншими тощо.