Математичні моделі детермінованих сигналів у часовій площині

Математичні моделі детермінованих сигналів у часовій площині

Вступ

Детермінований сигнал може бути заданий в аналітичній формі як функція часу:

,

де - миттєве значення сигналу; - довільна детермінована функція часу.

Розглянемо математичні моделі елементарних сигналів.

Гармонічний сигнал є елементарним періодичним сигналом, який задається виразом:

,

де - амплітуда (максимальне відхилення від нульового значення), розмірність якого збігається з розмірністю сигналу;

- кутова швидкість, яка має розмірність радіан /секунда;

- початкова фаза, яка має розмірність кутових одиниць радіан (або градус).

Аргумент гармонічної функції називають повною фазою.

У радіотехнічній літературі традиційно використовують косинусну форму подання гармонічної функції, яку теж будемо використовувати далі.

Для прикладу відзначимо, що сигнал у косинусній формі записують як . Використання косинусної форми зручніше, тому що косинус є парною функцією свого аргументу, що в деяких випадках спрощує розрахунки.

Гармонічний сигнал належить до класу неперервних у часі сигналів, які теоретично існують на необмеженому часовому інтервалі і задовольняють умову періодичності, тобто повторення миттєвих значень через певний проміжок часу, який називають періодом:

де - період сигналу, - довільне ціле число.

Оскільки за період відбувається зміна повної фази на радіанів, то звідси випливає cпіввідношення:

.

Частота коливань , яку вимірюють у герцах, пов'язана з періодом та кутовою швидкістю зі співвідношенням

Kутову швидкість часто називають кутовою частотою або просто частотою, і надалі ми будемо теж користуватися цим терміном.

Ha рис. 1 зображено графік гармонічної функції (2), на якому показано амплітуду , період та початкову фазу . У багатьох випадках графіки гармонічних функцій будують таким чином, що на осі абсцис відкладають не час , а кутові одиниці , пропорційні часові, як на рис.2, де зображені дві гармонічні функції однакової частоти з різними амплітудами та початковими фазами.

Рисунок 1 - Графік гармонічного сигналу як функції часу

Рисунок 2 - Графіки гармонічних сигналів з різними початковими фазами та амплітудами

Початкова фаза ₁ сигналу є додатна, а початкова фаза сигналу - від'ємна. У випадку гармонічних сигналів однакової частоти говорять про різницю фаз, під якою розуміють величину:

.

Якщо (тобто ), то кажуть, що сигнал випереджає за фазою сигнал s₂(t), якщо (тобто ), то сигнал відстає за фазою від Коли (тобто ), то сигнали збігаються за фазою. Говорити про різницю фаз у випадку, коли сигнали мають різну частоту, немає сенсу, бо тоді різниця фаз не є величиною сталою, а змінюється з часом.

Закінчуючи розгляд гармонічних сигналів, відзначимо їх цікаву властивість: похідна та інтеграл від гармонічного сигналу теж є гармонічним сигналом з тією ж самою частотою, амплітуда якого залежить від частоти, а початкова фаза зсунута на відносно фази первинного сигналу. Справді, продиференціювавши (2), отримуємо:

,

та відповідно після інтегрування:

.

Одиничний стрибок (функція Хевісайда) задається виразом:

У більш загальному випадку, коли одиничний стрибок зсунутий у часі на величину , записуємо:

Ha рис. 3 зображено графіки функції Хевісайда для додатнього та від'ємного значення . Функцію Хевісайда зручно використовувати для аналітичного опису процесу стрибкоподібного вмикання довільного сигналу на вхід електричного кола, наприклад:

Рисунок 3 - Графіки одиничного стрибка для додатнього (а) та від'ємного (б) значення

Функцію Хевісайда зручно використовувати для аналітичного опису імпульсних сигналів. Наприклад, сигнал у вигляді прямокутного імпульсу з амплітудою та тривалістю зручно описати як різницю двох імпульсів Хевісайда, зсунутих між собою у часі на величину :

.

Цей же імпульс можна описати і як добуток двох функцій Хевісайда, зсунутих у часі (див. рис.5б)):

Другий співмножник - це дзеркальне відображення функції Хевісайда відносно вертикальної прямої, яка проходить через точку

Далі буде показано використання функції Хевісайда для опису складніших сигналів.

Дельта-імпульс (функція Дірака ) задається виразом:

за умови:

(14)

Він є імпульсом нескінченно короткої тривалості з нескінченно великою амплітудою та площею, рівною одиниці. В більш загальному випадку, коли дельта-імпульс зсунутий у часі на величину записуємо:

Умовне графічне зображення функції (15) показано на рис.3.

Рисунок 3 - Графік дельта-імпульсу

Добуток довільного обмеженого сигналу на функцію Дірака дає такий результат:

де - миттєве значення сигналу в момент

Інтеграл від добутку (16) дорівнює миттєвому значенню сигналу у момент :

Із сказаного випливає, що з допомогою функції Дірака можна виділяти миттєві значення сигналу в довільні моменти Ця властивість функції Дірака називається фільтрувальною властивістю.

Функція Дірака є похідною від функції Хевісайда, а функція Хевісайда - інтеграл від функції Дірака:

(18)

(19)

У першому розділі було згадано, що одиничні стрибки можуть бути використані для математичного опису моделей реальних сигналів у вигляді суми елементарних сигналів, що появляються у послідовні моменти часу. Якщо зменшувати до нуля проміжки часу, через які появляються згадані сигнали, то в результаті можна отримати точний опис сигналу. Такий спосіб часового опису сигналів називають динамічним описом.

1. Динамічний опис сигналів

Розглядаючи спосіб подання прямокутного імпульсу з допомогою двох зміщених у часі функцій Хевісайда, робимо висновок, що використання функцій Хевісайда дає змогу отримувати математичні моделі (MM) стрибкоподібних сигналів у компактній формі. Справді, для сигналу, зображеного на рис. 4, MM, записана із застосуваням функцій Хевісайда, достатньо проста:

Рисунок 4 - Сигнал стрибкоподібної форми

Додатково зауважимо, що реакцію лінійних кіл та систем на стрибкоподібну функцію вмикання знаходимо досить просто, і тому визначення реакції на дію, утворену сумою таких функцій, спрощується.

Застосування функцій вмикання для опису MM сигналів можна легко поширити і на випадок неперервних сигналів. Для цього спочатку апроксимуємо неперервний сигнал (рис. 8) ступінчастим сигналом , який утворюється сумою вписаних у сигнал та зміщених на інтервал зважених функцій вмикання .

Як видно з рис. 5, значення вагових коефіцієнтів у моменти часу дорівнюють різниці відліків сигналу у поточний і попередній моменти часу:

Поточне значення сигналу у довільний момент наближено описує вираз:

Рисунок 5 - Апроксимація неперервного сигналу ступінчастим сигналом

Похибка апроксимації сигналу сигналом буде зменшуватися при зменшенні інтервалу і у граничному випадку сигнали тa будуть збігатися. У цьому випадку динамічну модель неперервного сигналу , поданого через функції Хевісайда, отримуємо із заміною дискретної змінної неперервною змінною , малих приростів

- диференціалом знаку - інтегралом:

Продемонструємо застосування виразу для опису MM сигналу:

Інший спосіб отримання динамічної MM неперервного сигналу базується на використанні дельта-функції . У цьому випадку неперервний сигнал апроксимуємо сигналом , що утворений зміщеними в часі на інтервали прямокутними імпульсами заввишки та тривалістю , як показано на рис. 9.

Розглядаючи кожний елементарний імпульс як різницю двох стрибків, зсунутих у часі на Дt, можемо наближено записати поточне значення сигналу s(kДt) в інтервалі kДt ? t < (k+l)Дt у вигляді виразу (21):

для сигналу загалом:

Рисунок 6 - Апроксимація неперервного сигналу послідовністю прямокутних імпульсів

Похибка апроксимації сигналу сигналом буде зменшуватися при зменшенні інтервалу У граничному випадку замінюючи в (23) дискретну змінну неперервною змінною , знак суми -- інтегралом, та, беручи до уваги (18), маємо:

Отже, отримуємо бажану динамічну модель неперервного сигналу з використанням дельта-функцій:

2. Енергетичні характеристики сигналів

Важливими характеристиками сигналу є його енергія та потужність. З їх допомогою можна порівнювати різні за формою і параметрами сигнали, визначати показники потенційної завадостійкості передавання цих сигналів у лініях зв'язку, оцінювати можливість виділення їх із суміші сигналу і шуму тощо.

Системи передавання інформації проектують так, щоб інформація передавалась при мінімальній енергії (потужності) сигналів та при обмеженнях на допустимі спотворення.

Основними енергетичними характеристиками сигналу є миттєва потужність , енергія W та середня потужність на певному інтервалі часу. Коротко розглянемо ці характеристики.

Миттєву потужність визначаємо так:

У випадку, якщо має розмірність струму чи напруги, то величина характеризує миттєву потужність, яка виділяється на резисторі, опір якого дорівнює 1 Ом.

Енергію сигналу на інтервалі часу визначаємо як інтеграл від миттєвої потужності:

Середню потужність на інтервалі часу (t₁,t₂) визначаємо як відношення енергії сигналу на цьому інтервалі до величини інтервалу:

У випадку періодичних сигналів часто користуються поняттям середньої за період T потужності:

3 виразу (26) бачимо, що енергія сигналу є скінченною величиною лише для обмежених у часі сигналів. Для періодичних та неперервних у часі сигналів вона зростає до нескінченності і її визначення втрачає сенс.

У загальному випадку потужність та енергія не мають так званих адитивних властивостей, тобто середня потужність та енергія суми сигналів, які визначені на довільному інтервалі часу , не дорівнюють сумі їх середніх потужностей та енергій.

Справді, для суми двох сигналів та знаходимо:

У наведених виразах:

- середні потужності та енергії першого та другого сигналу;

- середня потужність та енергія взаємодії сигналів, які визначаються виразами:

Якщо на заданому інтервалі часу виконується умова:

то сигнали та називають ортогональними на заданому інтервалі, і в цьому випадку співвідношення (29) та (30) мають вигляд:

Два коливання та називають когерентними, якщо між ними існує функціональний взаємозв'язок, в іншому разі їх називають некогерентними (не зв'язаними). Наприклад, коливання та є когерентними, тому що

В той же час вони є ортогональними на періоді бо:

Некогерентні коливання завжди ортогональні, проте, як видно з розглянутого прикладу, ортогональні коливання не є неодмінно некогерентними.

Використання енергетичних характеристик дає змогу уточнити поняття тривалості імпульсного сигналу. Річ у тому, що реальні сигнали мають затягнуті фронти та спади, у зв'язку з чим визначення їх тривалості ускладнене. Тому при практичних розрахунках тривалість імпульсного сигналу визначають як проміжок часу, на якому зосереджено 90% ... 95% енергії сигналу. Для імпульсних сигналів, які починаються у момент , практична тривалість визначається з умови:

Повна енергія сигналу: . На підставі (38) записуємо співвідношення:

звідки наближено визначаємо

3. Кореляційні характеристики детермінованих сигналів

Часто при вирішенні практичних інженерних завдань виникає потреба в таких часових характеристиках сигналу, які б давали уявлення про швидкість його зміни в часі чи про кількісну оцінку ступеня подібності двох сигналів тощо. Такими характеристиками є кореляційні характеристики сигналів, до яких належать автокореляційна та взаємокореляційна функції.

Автокореляційна функція (АКФ) характеризує ступінь зв'язку (кореляції) між сигналом та зсунутою у часі його копією .

Для сигналу з обмеженою енергією і скінченною тривалістю AКФ визначають в одиницях енергії і описують виразом:

де - величина часового зсуву сигналу.

Як випливає з (40), АКФ залежить від величини зсуву. При сигнал збігається зі своєю копією і тому значення АКФ є максимальним та дорівнює повній енергії сигналу:

Зі збільшенням часового зсуву АКФ зменшується, хоч не завжди
монотонно, а в тому разі, коли часовий зсув перевищує тривалість сигналу,
АКФ стає рівною нулеві. Для кожного значення зсуву АКФ дорівнює
площі під кривою добутку сигналу та його зсунутої копії. Певна річ, що
цей добуток відрізнятиметься від нуля доти, доки ці сигнали перекриваються.

Важливою властивістю АКФ є її парність стосовно аргументу , тобто при заданому значенні часового зсуву значення АКФ не залежить від того, в який бік (запізнення чи випередження) зсувати копію сигналу. Тому вираз (40) можна записати в узагальненому вигляді:

Неважко переконатися, що АКФ можна описати виразом:

У разі сигналів із нескінченно великою тривалістю (енергія яких є нескінченно велика), але з обмеженою середньою потужністю, АКФ визначають в одиницях потужності. Наприклад, для періодичного сигналу s(t) з періодом повторення T АКФ описує вираз:

При функція дорівнює середній за період потужності сигналу. Оскільки періодичний сигнал задовольняє умову

,

то звідси випливає:

.

Це означає, що АКФ періодичного сигналу є теж періодичною функцією з таким самим періодом.

Наприклад, для гармонічного сигналу АКФ визначають:

Як бачимо із (46), функція є періодичною з періодом стосовно ф та не залежить від початкової фази сигналу.

Для оцінювання ступеня подібності чи зв'язку між двома різними сигналами та використовують взаємну кореляційну функцію (ВКФ), яку описує вираз:

Очевидно, що значення функції не змінюється, якщо замість запізнення сигналу розглядати випередження сигналу . Тому можна записати більш загальне співвідношення:

Водночас можна трохи інакше записати вираз для ВКФ:

При цьому справедливі такі співвідношення:

Це означає, що в загальному випадку ВКФ не є парними функціями аргументу . Крім того, при значення ВКФ не є неодмінно максимальне.

Сигнали описуємо виразами: