Передаточная функция разомкнутой системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Балтийский Государственный Технический Университет им. Д.Ф. Устинова

«ВОЕНМЕХ»

Кафедра Н1

Курсовая работа

по теории автоматического управления

Вариант № 11

Студент: Мавропуло И.Н.

Группа: Н172

Преподаватель: Коробова И.Л.

Оценка:

Подпись:

Санкт-Петербург 2009г.

Техническое задание

1. Определить передаточную функцию разомкнутой системы рис.1, представить её в канонической .форме. Построить её логарифмические частотные характеристики.

2. Оценить показатели качества замкнутой системы, определив нули и полюса передаточной функции.

3. Построить графики переходной функции и импульсной переходной функции, определить показатели качества переходного процесса (для оценки времени регулирования принять Д=3%).

4. Найти аналитическое выражение переходной функции. Выделить составляющую найденной функции, соответствующую доминирующим полюсам, сравнить графики функции и указанной её составляющей.

5. Используя критерий Найквиста, дать заключение об устойчивости замкнутой системы, определить запасы устойчивости.

, .

, , , , ,

6. Построить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы, определить полосу пропускания системы, резонансную частоту, показатель колебательности.

7. Найти уравнения состояния и выхода в форме Фробениуса замкнутой системы (2 варианта). Проверить свойства управляемости и наблюдаемости этих вариантов.

1. Определение передаточной функции разомкнутой системы рис.1, представление её в канонической форме. Построение её логарифмической частотной характеристики

Передаточная функция разомкнутой системы

Приведем к каноническрму виду, используя >>Wz=zpk(W)

Находим ЛАЧХ и ФЧХ системы, используя пакет MATLAB:

>> num=[ 0.4688 23.1 250];

>> den=[ 1.563e-006 0.0002188 0.1301 4.069 1 0];

>> w=logspace(-1,3);

>> [gam,fi]=bode(num,den,w);

>> semilogx(w,20*log10(gam));

>> grid

>> title('L(w)')

2. Оценка показателей качества замкнутой системы, определение нулей и полюсов передаточной функции

Передаточная функция имеет вид

Нулями передаточной функции называются корни полинома числителя, а полюсами называются корни полинома знаменателя. Вычислим нули и полюса с помощью пакета Matlab.

>> zero(ui)

ans =

-3.333333333333334e+001

-1.600000000000000e+001

>>pole(ui)

ans =

-2.224758999602469e+001 +2.846065103522168e+002i

-2.224758999602469e+001 -2.846065103522168e+002i

-3.150315083377950e+001

-2.000834587085519e+000 +7.636564740604480e+000i

-2.000834587085519e+000 -7.636564740604480e+000i

Система устойчива, т.к. все полюса находятся в левой полуплоскости.

Показатели качества:

1. Степень устойчивости

Она характеризует быстродействие системы и равна абсолютному значению вещественной части ближайшего полюса, т.е. .

2. Время регулирования

с.

3. Степень колебательности

Колебательность связана с корневым показателем запаса устойчивости с так называемым затуханием. Комплексно сопряженные корни дают в выражении для переходного процесса вида

Найдем затухание амплитуды синусоидального колебания за один период. При некотором времени эта амплитуда равна

Через один период

Затуханием за период называют величину

Подставляя значение амплитуды , получаем

3. Построение графиков переходной функции и импульсной переходной функции, определение показателей качества переходного процесса (для оценки времени регулирования принять ?=3%)

Построим графики переходных функций во временных осях, используя пакет Matlab и команды step(sys) и impulse(sys).

>>t=0:0.02:7

>>s=tf('s');

>>W=K*(Tn*s+1)/(s*(Ta*s+1)*(Tm^2*s^2+2*E*Tm*s+1))

>>H=Kh*s^2/(T*s+1)

>>U=W/(1+W*H)

>>UI=1/((1/W)+H+1)

>>step(UI,t)

>>impulse(UI,t)

Импульсная переходная функция

Переходная функция

Апериодическая функция - т.к. 1 максимум.

Показатели качества переходного процесса:

- время, когда впервые достигается

-время достижения максимума.

3%

Перерегулирование:

Частота колебаний:

n - число колебаний за время регулирования =2.

4. Нахождение аналитическое выражения импульсной переходной функции. Выделение составляющей найденной функции, соответствующей доминирующим полюсам, сравнение графиков функции и указанной её составляющей

С помощью программы MathLab найдем аналитическое выражение импульсной функции системы. При использовании команды:

>>[R,P,K]=residue(num,den),

где результатом выполнения этой команды будут векторы-столбцы вычетов R и полюсов Р.

Так как у нас комплексно-сопряженные полюса и вычеты, то такую пару слагаемых объединим:

Общая формула:

R =

-1.830107623872943e+000 +2.329754097485704e-001i

-1.830107623872943e+000 -2.329754097485704e-001i

-1.141755548076448e-001

1.887195401276764e+000 -3.611595606213505e+000i

1.887195401276764e+000 +3.611595606213505e+000i

P =

-2.223584984572268e+001 +2.845621915179571e+002i

-2.223584984572268e+001 -2.845621915179571e+002i

-3.149957154695964e+001

-2.001568475487227e+000 +7.636819883138676e+000i

-2.001568475487227e+000 -7.636819883138676e+000i

K =

1)

Где оригинал:

2)

Оригинал:

3)

Где оригинал:

Импульсная переходная функция:

Выделим составляющую найденной функции, соответствующую доминирующим полюсам:

И определим ее график:

частотный система полюс канонический



Код программы:

>>T=0:0.001:3

>> y1=3.78*exp(-2*T).*cos(7.63*T)-7.22*exp(-2*T).*sin(7.63*T)

>> ys=3.66*exp(-22.4*T).*cos(284.56*T)-0.48*exp(-22.4*T).*sin(284.56*T)+0.228*exp(-31.49*T)+3.78*exp(-2*T).*cos(7.63*T)-7.22*exp(-2*T).*sin(7.63*T)

>>plot(T,y1,T,ys),grid



5. Установление заключения об устойчивости замкнутой системы, определение запасов устойчивости

По критерию Найквиста, для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ЛФЧХ разомкнутой системы в области частот, где ЛАЧХ положительна, принимала значение -180? четное число раз или не принимала этого значения, следовательно, данная система устойчива, т.к. ЛФЧХ не принимала значение ни разу в области частот, где ЛАЧХ положительна.

Используя функцию

>>u=w/(1+wh)

>>[g f wg wf]=margin(u)

в пакете Matlab определим:

-запас устойчивости по фазе f и соответствующая частота wf:

f= 2.823307323792499e+001, wf = 8.346297244453146e+000

-запас устойчивости по амплитуде g и соответствующая частота wg:

g = 1.297454986821580e+001

20*lg(g) =20*lg(1.297454986821580e+001)=22,2688, wg = 2.843965094048663e+002

Запас устойчивости по фазе определяется на частоте, при которой ЛАЧХ принимает значение 0.

Запас устойчивости по амплитуде определяется на частоте, при которой ФЧХ принимает значение -180?.

Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы, используя Матлаб bode(u):



6. Построение логарифмической амплитудно-частотную характеристики замкнутой системы, определение полосы пропускания системы, резонансной частоты, показателя колебательности

Используя программу Матлаб:

>>s=tf('s');

>>w=(250*(0.1*s+1))/(s*(0.75*s+1)*(0.000441*s^2+0.0105*s+1))

>>h=(0.14*s^2)/(0.26*s+1)

>>u=w/(1+w*h)

>>ui=1/((1/w)+h+1)

>>bode(ui)



Показатель колебательности:

Резонансная частота:

.

-

Полоса пропускания:

.

.

Частота среза:

.

.

Время регулирования:

7. Найти уравнения состояния и выхода замкнутой системы. Проверить свойства управляемости и наблюдаемости этих вариантов

Код программы:

>>A=[159948816.4 15438259.76 2902751.12 83237 79.97 1;

15438259.76 2902751.12 83237 79.97 1 0;

2902751.12 83237 79.97 1 0 0;

83237 79.97 1 0 0 0;

79.97 1 0 0 0 0;

1 0 0 0 0 0]

>>B=[159948816.4; 14798464.49; 299936.02;0;0;0]

>>C=inv(A)*B

Составим систему для нахождения коэффициентов

C = 1.848625916748493e-012

-2.690774005112822e-012

5.690658141686619e-009

2.999360199997667e+005

-9.187419029849567e+006

-2.407110778052028e+010

или

d=1.848625916748493e-012; b1=-2.690774005112822e-012;

b2=5.690658141686619e-009; b3=2.999360199997667e+005;

b4=-9.187419029849567e+006; b5=-2.407110778052028e+010;

Уравнение состояния и выхода имеют вид:

или для нашей системы:

Наблюдаемость и управляемость:

Код программы:

>>K=[B, A*B, A^2*B, A^3*B, A^4*B]

>>rank(K)

ans = 2

>>G=[C;A*C;A^2*C;A^3*C;A^4*C]

>>rank(G)

ans = 5

Если ранг K=n , то система вполне управляемая;

Если ранг G=n , то система вполне наблюдаема,

В нашем случае эти условия не выполняются, следовательно наша система наблюдаемая и неуправляемая.

Размещено на Allbest.ru