Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Измерение параметров радиолокационного сигнала

Исходные соотношения. Критерий оптимальной оценки параметров сигнала:

Пусть на вход приемника поступает аддитивная смесь сигнала и шума:

;

где: - вектор случайных неизвестных параметров сигнала с компонентами , часть из которых является информативными.

Все параметры за время наблюдения неизменны, т.е. мы имеем дело с точечной оценкой. Приемник за время по формирует вектор оценки параметров: .

Решение задачи измерения параметров цели по результатам одного наблюдения в течение времени , производится одновременно с обнаружением сигнала. Статистические характеристики смеси, поступающей на вход решающего устройства, оценки координат, то же, что и смеси, поступающей на вход решающего устройства обнаружителя. Следовательно, задача оценки параметров сигнала и обнаружения сигнала имеют общую статистическую модель. Различие этих задач состоит лишь в выборе функции стоимости.

Необходимо найти оптимальное правило работы измерителя , дающее по какому либо критерию минимальную ошибку, и определить соответствующую точность оценки, которая называется потенциальной. Так как от реализации к реализации точность оценки различна, качество оценки, подобно качеству обнаружения, характеризуется среднестатистическими величинами.

Как и результат обнаружения, результат оценки наиболее полно характеризуется обратной или апостериорной плотностью вероятностей:

,

где: К - нормирующий множитель.

Из-за наличия шумов и случайного характера самих параметров, оценка их не совпадает с истинным значением: - истинное значение; - оценка; причем: ; - апостериорное распределение измеряемого параметра на выходе измерителя.

;

Коэффициент может быть определен из условия нормировки:

;

Интегрирование ведется по всем значениям , занимающим некоторую область А:

Чтобы сделать более наглядным рассмотрение исходных соотношений проведем его для случая измерения одного параметра.

Основным показателем качества оценки является погрешность измерения , которую обычно характеризуют смещением оценки (т.е. математическим ожиданием погрешности):

;

и дисперсией оценки:

Верхняя черта означает усреднение по ансамблю реализаций.

Оценка называется несмещенной при и эффективной при минимизации .

Как и в случае обнаружения, здесь наиболее общим критерием оптимальной оценки является критерий минимума среднего риска , но в типовых случаях, когда оцениваемый параметр может принимать непрерывный ряд значений, сумма переходит в интеграл:

;

где:

- цена погрешности измерения, получившая название функции потерь (функция стоимости); - распределение безусловных вероятностей совместного появления и .

Т.к. оценка связана с входной реализацией неслучайной функциональной зависимостью , то:

, и тогда:

;

где:

- безусловная вероятность ; - апостериорная вероятность того, что параметр имеет значение при условии, что принята реализация ; - якобиан преобразования

.

Понятие функции потерь

Выбор функции стоимости при оценке параметров зависит от требуемой точности измерения координат. В различных задачах используются различные функции стоимости.

1. Простая функция стоимости:

При использовании простой функции стоимости всем правильным решениям приписываются стоимости равные , а всем неправильным решениям, независимо от величины ошибок, приписывается постоянная стоимость С.

2. Допустимая функция стоимости (релейная):

В этом случае всем решениям, абсолютная ошибка которых не превышает некоторого фиксированного значения , приписывается нулевая стоимость, а решениям с ошибками, большими чем - постоянная стоимость .

3. Линейная функция стоимости: .

Линейная стоимость приписывает правильному решению нулевую стоимость, а всем неправильным - стоимость, увеличивающуюся по линейному закону с ростом модуля абсолютной ошибки решения.

4. Квадратичная функция стоимости: .

Приписывает всем неправильным решениям стоимость, изменяющуюся по квадратичному закону с ростом ошибки решения.

Наиболее часто используется среднеквадратическая функция потерь.

Оптимальный измеритель должен минимизировать средний риск. Задача измерения параметров сигнала имеет следующую последовательность.

1. По критерию минимального среднего риска определяется оптимальное правило решения (алгоритм) задачи оценки параметров сигнала.

2. На основании найденного алгоритма находится структурная схема оптимального измерителя.

3. Структурная схема реализуется радиотехническими средствами.

4. Сравнивается оптимальный и реальный измерители по точности измерений и другим показателям (стоимости, надежности, весу, габаритам и т.д.).

Для вычисления среднего риска, как было показано ранее, необходимо найти апостериорное распределение измеряемого параметра и задаться функцией стоимости.

Рассмотрим наиболее часто используемый случай, когда среднеквадратическая функция потерь:

.

Средний риск может быть определен по формуле:

;

При этом есть ничто иное, как усредненная по и дисперсия ошибки измерений, а оптимизация измерений сводится к достижению минимальной среднеквадратичной ошибки. Уравнение для нахождения оптимальной оценки имеет вид:

;

Решением этого уравнения является условное математическое ожидание апостериорного распределения, т.е. среднее значение апостериорного распределения. Для нахождения среднего значения необходимо знать полностью апостериорное распределение.

При других функциях стоимости - другие оптимальные решения.

Если функция распределения симметричная, то центр тяжести (мат. ожидание) и максимум функции совпадают. Итак, необходимо определить максимум функции апостериорного распределения.

Из теории вероятности известно, что:

.

Полагая, что факт приема сигнала достоверно известен, будем считать , тогда:

.

Т.е. для определения условной вероятности необходимо знать безусловное распределение измеряемого параметра и условную вероятность , являющуюся функцией правдоподобия. Тогда:

;

Во многих практических случаях распределение является более пологой функцией по сравнению с функцией .

В этом случае вероятность во всем интервале оценок параметра можно считать постоянной и оптимальная оценка должна совпадать с абсциссой экстремума функции правдоподобия. Поэтому необходимо для оптимальной оценки находить максимум функции правдоподобия, т.е. решать уравнение:

;

Учитывая, что с функцией правдоподобия монотонно связан корреляционный интеграл (отклик согласованного фильтра), для отыскания оптимально правильного решения, задачи оценки параметров сигнала, необходимо решить уравнение:

;

Такой метод оценки называется оптимальной оценкой по критерию максимального правдоподобия.

Для нормального белого шума и детерминированного сигнала функция правдоподобия:

;

где: - корреляционный интеграл.

Структура оптимального измерителя