Разработка и проектирование ПИД-регуляторов

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «КубГУ»)

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА

Разработка и проектирование ПИД-регуляторов

Работу выполнил Роман Валерьевич Пресняков

Научный руководитель

д-р. физ.-мат. наук, профессор

Е.Н. Тумаев

Нормоконтролёр

канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Мартынов

Краснодар 2015

Реферат

Выпускная квалификационная работа 83 с., 29 рис., 42 источника.

ПИД-РЕГУЛИРОВАНИЕ, ВСТРАИВАЕМЫЕ СИСТЕМЫ, МИКРОКОНТРОЛЛЕРЫ, ПРОГРАММНЫЕ МОДУЛИ, MSP430, ПРЕРЫВАНИЯ

Объектом исследования выпускной квалификационной работы является изучение общих принципов построения пропорционально-интегрально-дифференциальных технологических регуляторов и проектирование алгоритма регуляторов температуры на базе дешевых микроконтроллеров MSP430 (Texas Instruments). В работе осуществлен обзор средств современных микроконтроллеров и принципы их работы.

Проведен анализ проблем аппаратной и программной реализации технологических микропроцессорных регуляторов. Даны рекомендации по проектированию микропроцессорных измерительных и регулирующих приборов и созданию программного обеспечения для встраиваемых систем. Предложен вариант реализации алгоритма ПИД-регулятора. Отличительной особенностью является применение алгоритмов исключающих использование чисел с плавающей точкой.

Содержание

Обозначения и сокращения

Введение

1. Принципы создания ПИД-регуляторов

1.1 Общие вопросы реализации ПИД-регуляторов

1.2 Дифференциальный узел ПИД-регулятора

1.3 Интегральный узел ПИД-регулятора. Интегральное насыщение

1.4 Запас устойчивости системы. Критерий Найквиста

2. Функции чувствительности. Уравнение цифрового пид-регулятора

2.1 Функции чувствительности. Робастность. Безударное переключение режимов регулирования

2.2 Дискретная форма регулятора. Уравнение цифрового ПИД-регулятора

3. Качество регулирования

3.1 Ослабление влияния внешних возмущений. Критерии качества

4. Настройка параметров регулятора. основные принципы

4.1 Выбор параметров регулятора. Ручная и Автоматическая настройки

5. Программирование встраиваемых систем

5.1 Общие принципы разработки встраиваемых систем

5.2 Этапы создания ПО для встраиваемых систем

5.3 Иерархия исполняемого кода во встраиваемых системах

6. Алгоритм работы созданного ПО

6.1 Описание алгоритма работы ПИД-регулятора температуры на базе микроконтроллера MSP430F149

Заключение

Список использованных источников



Обозначения и сокращения

регулятор температура микроконтроллер

МК	микроконтроллер
ПИД-алгоритм	Пропорционально-интегрально-дифференциальный алгоритм
HAL	hardware abstraction layer (уровень аппаратной абстракции)
IDE	Integrated development environment (интегрированная среда разработки)
ШИМ	широтно-импульсная модуляция
ПЛК	программируемый логический контроллер
SCADA	supervisory control and data acquisition (диспетчерское управление и сбор данных)
SPI	serial peripheral interface (последовательный периферийный интерфейс)
API	application programming interface (интерфейс программирования приложений)
АРМ	автоматизированное рабочее место
ПО	программное обеспечение

ВВЕДЕНИЕ

Управление технологическими процессами с помощью регуляторов, работающих по пропорционально-интегрально-дифференциальному закону (ПИД-регуляторов), позволяет поддерживать требуемую технологическую величину с достаточно высокой точностью и приемлемой помехоустойчивостью к внешним возмущающим воздействиям. Современные ПИД-регуляторы реализуются как в виде программного модуля SCADA-системы исполняемой на автоматизированном рабочем месте (АРМ) или программируемом логическом контроллере (ПЛК), так и в виде отдельных технологических регуляторов расположенных на местных и центральных шкафах управления. В качестве базовых элементов обработки информации и управления часто используются микропроцессоры с ограниченными функциональными возможностями, в связи с чем возникает проблема нехватки аппаратных ресурсов и удорожания системы.

Целью данной работы является обзор принципов построения пропорционально-интегрально-дифференциальных регуляторов и разработка на базе проведенного обзора принципов создания ПИД-регулятора температуры.

При создании температурного ПИД-регулятора был использован программируемый микропроцессорный технологический измеритель-регулятор Ф0303.2 на базе микроконтроллера MSP430F149, программатор MSP-FET430UIF, компаратор напряжений Р3003 с диапазоном выдачи напряжений от 10 нВ до 11,111110 В и классом точности 0,0005. Программа микроконтроллера создавалась в интегрированной среде разработки IAR Embedded Workbench for MSP430 6. Техническая документация была получена на сайте производителя микроконтроллера [3-5].

Для полноценной реализации ПИД-регулирования в микропроцессорном устройстве необходимо реализовать следующие подсистемы:

- подсистема измерения

- подсистема обработки ПИД-алгоритма

- подсистема пользовательского интерфейса управления

- подсистема выдачи регулирующего воздействия

1. Принципы создания ПИД-регуляторов

1.1 Общие вопросы реализации ПИД-регуляторов

Для практического воплощения необходимо учесть особенности, порождаемые реальными условиями применения и технической реализации. К таким особенностям относятся:

- конечный динамический диапазон изменений физических переменных в системе (например, ограниченная мощность нагревателя, ограниченная пропускная способность клапана);

- не всегда существующая возможность изменения знака управляющего воздействия (например, в системе поддержания температуры часто отсутствует холодильник, двигатель может не иметь реверсивного хода, далеко не каждый самолёт имеет систему отрицательной тяги);

- ограниченная точность измерений, что требует специальных мер для выполнения операции дифференцирования с приемлемой погрешностью;

- наличие практически во всех системах типовых нелинейностей: насыщение (ограничение динамического диапазона изменения переменных), ограничение скорости нарастания, гистерезис и люфт;

- технологический разброс и случайные вариации параметров регулятора и объекта;

- дискретная реализация регулятора;

- необходимость плавного (безударного) переключения режимов регулирования;

Далее описываются методы решения проблем, вызванных перечисленными особенностями.



1.2 Дифференциальный узел ПИД-регулятора

Проблема численного дифференцирования является достаточно старой и общей как в цифровых, так и в аналоговых регуляторах. Суть её заключается в том, что производная вычисляется обычно как разность двух близких по величине переменных, поэтому относительная погрешность производной всегда оказывается больше, чем относительная погрешность численного представления дифференцируемой переменной.

В частности, если на вход дифференциатора поступает синусоидальный сигнал A*sin(щt), то на выходе получим A*щ*cos(щt), то есть с ростом частоты щ увеличивается амплитуда сигнала на выходе дифференциатора. Иначе говоря, дифференциатор усиливает высокочастотные помехи, короткие выбросы и шум.

Если помехи, усиленные дифференциатором, лежат за границей диапа-зона рабочих частот ПИД-регулятора, то их можно ослабить с помощью фильтра верхних частот. Структурная реализация дифференциатора с фильтром показана на рисунке 1. Здесь

,

то есть передаточная функция полученного дифференциатора D(s) может быть представлена в виде произведения передаточной функции идеального дифференциатора и передаточной функции фильтра первого порядка:

,

где коэффициент N задаёт граничную частоту фильтра и обычно выбирается равным 2…20;

T/N -- постоянная времени фильтра;

s -- комплексная частота.

Большее ослабление высокочастотных шумов можно получить с помощью отдельного фильтра, который включается последовательно с ПИД-регулятором. Обычно используют фильтр второго порядка с передаточной функцией

Постоянную времени фильтра выбирают равной TF = Ti/N, где N = 2…20, Ti -- постоянная интегрирования ПИД-регулятора. Граничную частоту фильтра желательно не выбирать ниже частоты 1/Ti, так как это усложняет расчёт параметров регулятора и запас устойчивости.

Рисунок 1 - Структурная реализация дифференциального члена ПИД-регулятора

Кроме шумов дифференцирования, на характеристики ПИД-регулятора влияют шумы измерений. Через цепь обратной связи эти шумы поступают на вход системы и затем проявляются как дисперсия управляющей переменной u. Высокочастотные шумы вредны тем, что вызывают ускоренный износ трубопроводной арматуры и электродвигателей.

Поскольку объект управления обычно является низкочастотным фильтром, шумы измерений редко проникают по контуру регулирования на выход системы. Однако они увеличивают погрешность измерений y(t) и снижают точность регулирования.

В ПИД-регуляторах различают шум со спектром в области низких частот, вызванный внешними воздействиями на объект управления, и высокочастотный шум, связанный с электромагнитными наводками, помехами по шинам питания и земли, с дискретизацией измеряемого сигнала и другими причинами. Низкочастотный шум моделируют как внешнее возмущение d(s), высокочастотный -- как шумы измерений n(s).

1.3 Интегральный узел ПИД-регулятора. Интегральное насыщение

В установившемся режиме работы и при малых возмущениях большинство систем с ПИД-регуляторами являются линейными. Однако процесс выхода на режим практически всегда требует учёта нелинейности типа «ограничение». Эта нелинейность связана с естественными ограничениями на мощность, скорость, частоту вращения, угол поворота, площадь поперечного сечения клапана, динамический диапазон и т.п. Контур регулирования в системе, находящейся в насыщении (когда переменная достигла ограничения), оказывается разомкнутым, поскольку при изменении переменной на входе звена с ограничением его выходная переменная остаётся без изменений.

Наиболее типовым проявлением режима ограничения является так называемое «интегральное насыщение», которое возникает в процессе выхода системы на режим в регуляторах с ненулевой постоянной интегрирования Ti ? 0. Интегральное насыщение приводит к затягиванию переходного процесса (рисунки 2 и 3). Аналогичный эффект возникает вследствие ограничения пропорционального и интегрального члена ПИД-регулятора (рисунки 4 и 5). Однако часто под интегральным насыщением понимают совокупность эффектов, связанных с нелинейностью типа «ограничение».

T 1= 0,1 с; T2 =0,05 с; L = 0,02 с; K = 2; Ti = 0,06 с; Td = 0

Рисунок 2 - Реакция выходной переменной y(t) на скачок входного воздействия r(t) для ПИ-регулятора при условии ограничения мощности на входе объекта u(t) и без ограничения (объект второго порядка)

T1 = 0,1 с; T2 = 0,05 с; L = 0,02 с; K = 2; Ti = 0,06 с; Td = 0

Рисунок 3 - Сигнал на входе объекта u(t) при условии ограничения мощности и без (объект второго порядка)

K = 10; Ti = 0,014 с; Td = 0,3 с; T1 = 0,1 с; T2 = 0,05 с; L = 0,02 с

Рисунок 4 - Реакция выходной переменной y(t) на скачок входного воздействия r(t) для ПИД-регулятора при условии ограничения мощности на входе объекта u(t) и без ограничения (объект второго порядка )



T1 = 0,1 с; T2 = 0,05 с; L = 0,02 с; K = 10; Ti = 0,014 с; Td = 0,3 с

Рисунок 5 - Сигнал на входе объекта u(t) в контуре с ПИД-регулятором при условии ограничения мощности и без (объект второго порядка)

Здесь и далее используются модели объектов управления первого

(1)

и второго порядка

(2)

где Kp - коэффициент передачи в установившемся режиме;

T, T1, T2 -постоянные времени;

L - транспортная задержка.

Суть проблемы интегрального насыщения состоит в том, что если сигнал на входе объекта управления u(t) вошёл в зону насыщения (ограничения), а сигнал рассогласования r(t) - y(t) не равен нулю, интегратор продолжает интегрировать, то есть сигнал на его выходе растёт, но этот сигнал не участвует в процессе регулирования и не воздействует на объект вследствие эффекта насыщения. Система управления в этом случае становится эквивалентной разомкнутой системе, сигнал на входе которой равен уровню насыщения управляющего сигнала u(t).

Для тепловых систем ограничением снизу обычно является нулевая мощность нагрева, в то время как ПИД-регулятор требует подачи на объект «отрицательной мощности нагрева», то есть охлаждения объекта. Эффект интегрального насыщения известен давно. В аналоговых регуляторах его устранение было достаточно сложным, поскольку в них проблема не могла быть решена алгоритмически, а решалась только аппаратными средствами.

С появлением микропроцессоров проблему удаётся решить гораздо эффективнее. Методы устранения интегрального насыщения обычно являются предметом изобретений, относятся к коммерческой тайне фирм-производителей и защищаются патентами.

Ограничение скорости нарастания входного воздействия. Поскольку максимальное значение входного воздействия на объект управления u(t) снижается с уменьшением разности r(t) - y(t), то для устранения эффекта ограничения можно просто снизить скорость нарастания сигнала уставки r(t), например с помощью фильтра. Недостатком такого способа является снижение быстродействия системы, а также невозможность устранить интегральное насыщение, вызванное внешними возмущениями, а не сигналом уставки.

Когда управляющее воздействие на объект достигает насыщения, обратная связь разрывается и интегральная составляющая продолжает расти, даже если при отсутствии насыщения она должна была бы падать. Поэтому один из методов устранения интегрального насыщения состоит в том, что контроллер следит за величиной управляющего воздействия на объект, и как только оно достигает насыщения, контроллер вводит программный запрет интегрирования для интегральной составляющей.

Компенсация насыщения с помощью дополнительной обратной связи. Эффект интегрального насыщения можно ослабить, отслеживая состояние исполнительного устройства, входящего в насыщение, и компенсируя сигнал, подаваемый на вход интегратора. Структура системы с таким компенсатором показана на рисунке 6.

Рисунок 6 - Компенсация эффекта интегрального насыщения с помощью дополнительной обратной связи для передачи сигнала ошибки es на вход интегратора

Принцип её работы состоит в следующем. В системе вырабатывается сигнал рассогласования между входом и выходом исполнительного устройства es = u - v. Сигнал на выходе исполнительного устройства либо измеряют, либо вычисляют, используя математическую модель (рисунок 6). Если es = 0, это эквивалентно отсутствию компенсатора и получаем обычный ПИД-регулятор. Если же исполнительное устройство входит в насыщение, то v > u и es < 0. При этом сигнал на входе интегратора уменьшается на величину ошибки es, что приводит к замедлению роста сигнала на выходе интегратора, уменьшению сигнала рассогласования и величины выброса на переходной характеристике системы (рисунки 7 и 8). Постоянная времени Ts определяет степень компенсации сигнала рассогласования.

Рисунок 7 - Отклик системы на единичный скачок r(t) при различных значениях постоянной времени Ts



K = 7; Ti = 0,01 с; Td = 0,1 с;T1 = 0,1 с; T2 = 0,05 с; L = 0,01 с

Рисунок 8 - Отклик системы на сигнал рассогласования es (объект второго порядка, параметры регулятора:

В некоторых регуляторах вход u устройства сравнения es выделяют как отдельный вход -- «вход слежения», что бывает удобно при построении сложных систем управления и при каскадном соединении нескольких регуляторов.

Условное интегрирование. Этот способ является обобщением алгоритмического запрета интегрирования. После наступления запрета интегральная составляющая остаётся постоянной, на том же уровне, который она имела в момент появления запрета интегрирования. Обобщение состоит в том, что запрет интегрирования наступает не только при достижении насыщения, но и при некоторых других условиях.

Таким условием может быть, например, достижение сигналом ошибки e или выходной переменной y некоторого заданного значения. При выключении процесса интегрирования нужно следить, в каком состоянии в момент выключения находится интегратор. Если он накапливает ошибку и степень насыщения возрастает, то интегрирование выключают. Если же в момент выключения степень насыщения понижается, то интегратор оставляют включённым.

На рисунке 9 показан пример переходного процесса в системе с отключением интегратора при достижении выходной величиной y(t) заданного значения (y = 0, y = 0,2, y = 0,8).



Рисунок 9 - Отклик на единичный скачок r(t) системы с насыщением исполнительного устройства при различных уровнях отключения интегратора y

Интегратор с ограничением. В [1] был представлен вариант реализации ПИ-регулятора с помощью интегратора в цепи обратной связи. Если эту схему дополнить ограничителем (рисунок 10), то сигнал u на выходе никогда не выйдет за границы, установленные порогами ограничителя, что уменьшает выброс на переходной характеристике системы (рисунок 12). На рисунке 11 представлена модификация такого ограничителя.

Модель эффекта ограничения можно улучшить, если после превышения уровня, при котором наступает ограничение, уменьшить сигнал на выходе модели (рисунок 13). Это ускоряет выход системы из режима насыщения.

Рисунок 10 - Модификация интегратора с ограничителем (параллельно)

Рисунок 11 - Модификация интегратора с ограничителем (последовательно)

Рисунок 12 - Отклик на единичный скачок r(t) системы, содержащей

интегратор с ограничением сверху Uверх

Рисунок 13 - Улучшенная передаточная функция модели эффекта ограничения

1.4 Запас устойчивости системы. Критерий Найквиста

Возможность потери устойчивости является основным недостатком систем с обратной связью. Поэтому обеспечение необходимого запаса устойчивости является самым важным этапом при разработке и настройке ПИД-регулятора.

Устойчивость системы с ПИД-регулятором - это способность системы возвращаться к слежению за уставкой после прекращения внешних воздействий. В контексте данного определения под внешними воздействиями понимаются не только внешние возмущения, действующие на объект, но любые возмущения, действующие на любую часть замкнутой системы, в том числе шумы измерений, временная нестабильность уставки, шумы дискретизации и квантования, шумы и погрешность вычислений. Все эти возмущения вызывают отклонения системы от положения равновесия. Если

после прекращения их воздействия система возвращается в положение равновесия, то она считается устойчивой. При анализе устойчивости ПИД-регуляторов обычно ограничиваются исследованием реакции системы на ступенчатое изменение уставки r(t), шум измерений n(t) и внешние возмущения d(t). Потеря устойчивости проявляется как неограниченное возрастание управляемой переменной объекта или как её колебание с нарастающей амплитудой.

В производственных условиях попытки добиться устойчивости системы с ПИД-регулятором опытным путём, без её идентификации, не всегда приводят к успеху (в первую очередь это касается систем с объектом высокого порядка или с объектами, которые трудно идентифицировать, а также систем с большой транспортной задержкой). Создаётся впечатление, что устойчивость - мистическое свойство, которым не всегда можно управлять. Однако если процесс идентифицирован достаточно точно, то мистика исчезает и анализ устойчивости сводится к анализу дифференциального уравнения, описывающего замкнутый контур с обратной связью. Практически интерес представляет анализ запаса устойчивости, то есть определение численных значений критериев, которые позволяют указать, как далеко находится система от состояния неустойчивости.

Наиболее полную информацию о запасе устойчивости системы можно получить, решив дифференциальное уравнение, описывающее замкнутую систему при внешних возмущениях. Однако этот процесс слишком трудоёмок, поэтому для линейных систем используют упрощённые методы, позволяющие дать оценку запаса устойчивости без решения уравнений. Мы рассмотрим два метода оценки: с помощью годографа комплексной частотной характеристики разомкнутого контура (критерий Найквиста) и с помощью логарифмических АЧХ и ФЧХ (диаграмм Боде).

Устойчивая система может стать неустойчивой при небольших изменениях её параметров, например, вследствие их технологического разброса. Поэтому далее мы проанализируем функцию чувствительности системы с ПИД-регулятором, позволяющую выявить условия, при которых система становится грубой (малочувствительной к изменению её параметров). Систему, которая сохраняет заданный запас устойчивости во всём диапазоне изменений параметров вследствие их технологического разброса, старения, условий эксплуатации, во всём диапазоне изменений параметров нагрузки, а также во всём диапазоне действующих на систему возмущений в реальных условиях эксплуатации, называют робастной. Иногда робастность и грубость используют как эквивалентные понятия.

Критерий Найквиста. Рассмотрим систему, состоящую из контроллера R и объекта управления P (рисунок 14), которая получена путём исключения цепи сигнала уставки из классической системы с ПИД-регулятором. Будем считать, что обратная связь разомкнута, а для её замыкания достаточно соединить точки x и y. Предположим теперь, что на вход x подан сигнал

). (3)

Тогда, пройдя через регулятор и объект управления, этот сигнал появится на выходе y с изменённой амплитудой и фазой в виде:

y(t) = ? |G( jщ0 )|sin(щ0t + ? ), (4)

где G(jщ) = R(jщ)P(jщ) - комплексная частотная характеристика (КЧХ) системы, ? = arg(G(jщ0)) - аргумент КЧХ, |G(jщ0)| - модуль КЧХ на частоте щ0. Таким образом, при прохождении через регулятор и объект амплитуда сигнала изменится пропорционально модулю, а фаза - на величину аргумента КЧХ.



Рисунок 14 - Структура разомкнутой системы управления с ПИД-регулятором для анализа устойчивости

Если теперь замкнуть точки x и y, то сигнал будет циркулировать по замкнутому контуру, причём будет выполняться условие y(t) = x(t). Если при этом |G(jщ0)| ? 1 и ? = 180°, то есть после прохождения по контуру сигнал попадает на вход регулятора в той же фазе, что и на предыдущем цикле, то после каждого прохождения по контуру амплитуда синусоидального сигнала будет возрастать, пока не достигнет границы диапазона линейности системы, после чего форма колебаний станет отличаться от синусоидальной. В этом случае для анализа устойчивости можно использовать метод гармонической линеаризации, когда рассматривают только первую гармонику искажённого сигнала. В установившемся режиме после наступления ограничения амплитуды колебаний в силу равенства y(t) = x(t) будет выполняться условие:

|G(jщ0)|=1, , то есть G(jщ0)= - 1 (5)

Решив уравнение G(jщ0) = -1, можно найти частоту колебаний щ0 в замкнутой системе.

Комплексную частотную характеристику G(jщ) графически изображают в виде годографа (диаграммы Найквиста) - графика в координатах Re[G(jщ)] и Im[G(jщ)] (рисунок 15). Стрелка на линии годографа указывает направление движения «карандаша» при возрастании частоты. Точка G(jщ0) = -1, которая соответствует условию существования незатухающих колебаний в системе, на этом графике имеет координаты Re[G(jщ)] = -1 и Im[G(jщ)] = 0. Поэтому критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом : контур, устойчивый в разомкнутом состоянии, сохранит устойчивость и после его замыкания, если его КЧХ в разомкнутом состоянии не охватывает точку с координатами [-1, j0]. Более строго, при движении вдоль траектории годографа в направлении увеличения частоты точка[-1, j0] должна оставаться слева, чтобы замкнутый контур был устойчив.

K = 6 ; T1 = T2 = 0,1 с; L = 0,01 с

Рисунок 15 - Три годографа КЧХ разомкнутой системы G(jщ) для объекта второго порядка

На рисунке 16 показаны реакции замкнутой системы с тремя различными годографами (рисунок 15) на единичный скачок уставки. Во всех трёх случаях система устойчива, однако скорость затухания колебаний и форма переходного

процесса у них различная. Интуитивно понятно, что система с параметрами Ti = 0,01 с, Td = 0,1 с наиболее близка к тому, чтобы перейти в состояние незатухающих колебаний при небольшом изменении её параметров. Поэтому

при проектировании ПИД-регулятора важно обеспечить не столько устойчивость, сколько её запас, необходимый для нормального функционирования системы в реальных условиях.

Запас устойчивости оценивают как степень удалённости КЧХ от критической точки [-1, j0]. Если |G(jщ0)| < 1, то можно найти, во сколько раз осталось увеличить передаточную функцию, чтобы результирующее усиление вывело систему в колебательный режим: gm|G(jщ0)| = 1, откуда

(6)

Запасом по усилению gm называется величина, на которую нужно умножить передаточную функцию разомкнутой системы G(jщ180), чтобы её модуль на частоте сдвига фаз 180°(щ180) стал равен 1.Если на частоте щ180 коэффициент усиления разомкнутого контура равен G(jщ180) = -1/gm (рис. 15), то дополнительное усиление величиной gm переведёт систему в точку [-1, j0], поскольку (-1/gm) gm = -1. Аналогично вводится понятие запаса по фазе: это минимальная величина m, на которую нужно увеличить фазовый сдвиг в разомкнутой системе arg(G(jщ)), чтобы суммарный фазовый сдвиг достиг 180°, то есть

(7)

Знак «+» перед arg(G(jщ1)) стоит потому, что arg(G(jщ1)) < 0. Для оценки запаса устойчивости используют также минимальное расстояние sm от кривой годографа до точки [-1, j0] (рисунок 15).

На практике считаются приемлемыми значения gm = 2...5,m = 30…60°, sm = 0,5...0,8 [2].Для графика на рисунке 15 эти критерии имеют следующие значения:

- gm1 = 12,1; m1 = 15°; sm1 = 0,303 (для случая Ti = 0,01 с,

Td = 0,1 с);

- gm2 = 11,8; m2 = 47,6°; sm2 = 0,663 (для случая Ti = 0,05 с,

Td = 0,1 с);

- gm3 = 1,5; m3 = 35,2°; sm3 = 0,251 (для случая Ti = 0,05 с,

Td = 1,1 с).

Если кривая годографа пересекает действительную ось в нескольких точках, то для оценки запаса устойчивости берут ту из них, которая наиболее близка к точке [-1, j0]. При более сложном годографе может быть использована оценка запаса устойчивости как запас по задержке [2]. Запас по задержке - это минимальная задержка, при добавлении которой в контур он теряет устойчивость. Наиболее часто этот критерий используется для оценки запаса устойчивости систем с предиктором Смита.

Частотный критерий устойчивости.Для графического представления передаточной функции разомкнутой системы и оценки запаса устойчивости могут быть использованы логарифмические АЧХ и ФЧХ (рисунок 17). Для оценки запаса по фазе сначала с помощью АЧХ находят частоту щ1 (частота среза, или частота единичного усиления), при которой G(jщ1) = 1, затем по ФЧХ находят соответствующий запас по фазе. Для оценки запаса по усилению сначала с помощью ФЧХ находят частоту щ180, на которой фазовый сдвиг равен 180°, затем по АЧХ находят запас по усилению. На рисунке 17 приведены примеры графических построений для оценки запаса по усилению и фазе для системы, годографы которой показаны на рисунке 15.

Если запас по фазе разомкнутого контура равен 0° или запас по усилению равен 1, после замыкания контура обратной связи система окажется неустойчивой.



Рисунок 16 - Переходная характеристика замкнутой системы, которая

имеет годографы, показанные на рисунке 15



2. Функции чувствительности. уравнение цифрового ПИД-регулятора

2.1 Функции чувствительности. Робастность. Безударное переключение режимов регулирования

Передаточная функция реального объекта P(s) может изменяться в процессе функционирования на величину ДP(s),например, вследствие изменения нагрузки на валу двигателя, числа яиц в инкубаторе, уровня или состава жидкости в автоклаве, вследствие старения и износа материала, появления люфта, изменения смазки и т.п. Правильно спроектированная система автоматического регулирования должна сохранять свои показатели качества не только в идеальных условиях, но и при наличии перечисленных вредных факторов. Для оценки влияния относительного изменения передаточной функции объекта ДP/P на передаточную функцию замкнутой системы Gcl

y(s) = r(s), Gcl(s) = (8)

найдём дифференциал dGcl :

dGcl = ==. (9)

Поделив обе части этого равенства на Gcl и подставив в правую часть Gcl = PR/(1+PR), получим:

= = S (10)

Рисунок 17 - Оценка запаса по усилению и фазе для системы с годографом, показанным на рисунке 15

Из (10) виден смысл коэффициента S - он характеризует степень влияния относительного изменения передаточной функции объекта на относительное изменение передаточной функции замкнутого контура, то есть S является коэффициентом чувствительности замкнутого контура к вариации передаточной функции объекта. Поскольку коэффициент S = S(jщ) является частотно-зависимым, его называют функцией чувствительности [2].

Как следует из (10),

(11)

Введём обозначение:

(12)

Величина T называется комплементарной (дополнительной) функцией чувствительности [2], поскольку S + T = 1. Функция чувствительности позволяет оценить изменение свойств системы после замыкания обратной связи. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы равна G = PR, а замкнутой Gcl = PR/(1+PR), то их отношение Gcl/G = S. Аналогично для разомкнутой системы передаточная функция от входа возмущений d на выход замкнутой системы равна (см. [1]) P(s)/(1 + P(s)R(s)), а разомкнутой - P(s), следовательно, их отношение также равно S. Для передаточной функции от входа шума измерений n на выход системы можно получить то же отношение S.

Таким образом, зная вид функции S(jщ) (например, рисунок 18), можно сказать, как изменится подавление внешних воздействий на систему для разных частот после замыкания цепи обратной связи. Очевидно, шумы, лежащие в диапазоне частот, в котором |S(jщ)| > 1, после замыкания обратной связи будут усиливаться, а шумы с частотами, на которых |S(jщ)| < 1, после замыкания обратной связи будут ослаблены.

Наихудший случай (наибольшее усиление внешних воздействий) будет наблюдаться на частоте максимума Ms модуля функции чувствительности (рисунок 18):

Ms = . (13)

Максимум функции чувствительности можно связать с запасом устойчивости sm (рисунок 15). Для этого обратим внимание на то, что |1 + G(jщ)| представляет собой расстояние от точки [-1, j0] до текущей точки на годографе функции G(jщ). Следовательно, минимальное расстояние от точки [-1, j0] до

функции G(jщ) равно:

sm = (14)

Сопоставляя (13) и (14), можно заключить, что sm = 1/Ms. Если с ростом частоты модуль G(jщ) уменьшается, то, как видно из рисунка 15, (1- sm) ? 1/gm. Подставляя сюда соотношение sm = 1/Ms, получим оценку запаса по усилению, выраженную через максимум функции чувствительности:

gm . (15)

Аналогично, но с более грубыми допущениями можно записать оценку запаса по фазе через максимум функции чувствительности [2]:

arcsin. (16)

Например, при Ms = 2 получим gm ? 2 и ? 29°.

Рисунок 18 - Функции чувствительности для системы с годографами, показанными на рисунке 13

Робастность - это способность системы сохранять заданный запас устойчивости при вариациях её параметров, вызванных изменением нагрузки (например, при изменении загрузки печи меняются её постоянные времени), технологическим разбросом параметров и их старением, внешними воздействиями, погрешностями вычислений и погрешностью модели объекта. Используя понятие чувствительности, можно сказать, что робастность - это низкая чувствительность запаса устойчивости к вариации параметров объекта.

Если параметры объекта изменяются в небольших пределах, когда можно использовать замену дифференциала конечным приращением, влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы можно оценить с помощью функции чувствительности (10). В частности, можно сделать вывод, что на тех частотах, где модуль функции чувствительности мал, будет мало и влияние изменений параметров объекта на передаточную функцию замкнутой системы и, соответственно, на запас устойчивости.

Для оценки влияния больших изменений параметров объекта представим передаточную функцию объекта в виде двух слагаемых:

P = P0 + ДP, (17)

где P0 - расчётная передаточная функция, ДP - величина отклонения от P0, которая должна быть устойчивой передаточной функцией. Тогда петлевое усиление разомкнутой системы можно представить в виде G = RP0 + RДP = G0 + RДP. Поскольку расстояние от точки [-1, j0] до текущей точки A на годографе невозмущённой системы (для которой ДP = 0) равно |1 + G0| (рисунок 19), условие устойчивости системы с отклонением петлевого усиления RДP можно представить в виде:

|RДP| < |1+G0|,

Откуда

|ДP|,

или ==



где T - дополнительная функция чувствительности (12). Окончательно можно записать соотношение:

, (18)

которое должно выполняться, чтобы система сохраняла устойчивость при изменении параметров процесса на величину ДP(jщ).

Сокращение нулей и полюсов. Поскольку передаточная функция разомкнутой системы G = RP является произведением двух передаточных функций, которые в общем случае имеют и числитель, и знаменатель, то возможно сокращение полюсов, которые лежат в правой полуплоскости или близки к ней. Поскольку в реальных условиях, когда существует разброс параметров, такое сокращение выполняется неточно, то может возникнуть ситуация, когда теоретический анализ приводит к выводу, что система устойчива, хотя на самом деле при небольшом отклонении параметров процесса от расчётных значений она становится неустойчивой.

Поэтому каждый раз, когда происходит сокращение полюсов, необходимо проверять устойчивость системы при реальном разбросе параметров объекта.

Рисунок 19 - Пояснение к выводу соотношения (18)

Вторым эффектом сокращения полюсов является появление существенного различия между временем установления переходного процесса в замкнутой системе при воздействии сигнала уставки и внешних возмущений. Поэтому необходимо проверять реакцию синтезированного регулятора при воздействии не только сигнала уставки, но и внешних возмущений.

Безударное переключение режимов регулирования. В ПИД-регуляторах могут существовать режимы, когда их параметры изменяются скачком. Например, когда в работающей системе требуется изменить постоянную интегрирования или когда после ручного управления системой необходимо перейти на автоматический режим. В описанных случаях могут появиться нежелательные выбросы регулируемой величины, если не принять специальных мер. Поэтому возникает задача плавного («безударного») переключения режимов работы или параметров регулятора. Основной метод решения проблемы заключается в построении такой структуры регулятора, когда изменение параметра выполнятся до этапа интегрирования. Например, при изменяющемся параметре Ti = Ti (t) интегральный член можно записать в двух формах:

I(t) = или I(t) = .

В первом случае при скачкообразном изменении Ti (t) интегральный член будет меняться скачком, во втором случае - плавно, поскольку Ti (t) находится под знаком интеграла, значение которого не может изменяться скачком.

Аналогичный метод реализуется в инкрементной форме ПИД-регулятора (см. подраздел «Инкрементная форма цифрового ПИД-регулятора») и в последовательной форме ПИД-регулятора [1], где интегрирование выполняется на заключительной стадии вычисления управляющего воздействия.



2.2 Дискретная форма регулятора Уравнение цифрового ПИД-регулятора

Непрерывные переменные удобно использовать для анализа и синтеза ПИД-регуляторов. Для технического воплощения необходимо перейти к дискретной форме уравнений, поскольку основой всех регуляторов является микроконтроллер, контроллер или компьютер, который оперирует с переменными, полученными из аналоговых сигналов после их квантования по времени и дискретизации по уровню.

Вследствие конечного времени вычисления управляющего воздействия в микроконтроллере и задержки аналого-цифрового преобразования между моментом поступления аналогового сигнала на вход регулятора и появлением управляющего воздействия на его выходе появляется нежелательная задержка, которая увеличивает общую задержку в контуре регулирования и снижает запас устойчивости.

Основным эффектом, который появляется при дискретизации и который часто «открывают заново», является появление алиасных частот в спектре квантованного сигнала в случае, когда частота квантования недостаточно высока.

Аналогичный эффект возникает при киносъёмке вращающегося колеса автомобиля. Частота алиасного сигнала равна разности между частотой помехи и частотой квантования.При этом высокочастотный сигнал помехи смещается в низкочастотную область, где накладывается на полезный сигнал и создаёт большие проблемы, поскольку отфильтровать его на этой стадии невозможно.

Для устранения алиасного эффекта перед входом аналого-цифрового преобразователя необходимо установить аналоговый фильтр, который бы ослаблял помеху, по крайней мере, на порядок на частоте, равной половине частоты квантования. Обычно используют фильтр Баттерворта второго или более высокого порядка. Вторым вариантом решения проблемы является увеличение частоты квантования так, чтобы она, по крайней мере, в 2 раза (согласно теореме Котельникова) была выше максимальной частоты спектра помехи. Это позволяет применить после квантования цифровой фильтр нижних частот. При такой частоте дискретизации полученный цифровой сигнал с точки зрения количества информации полностью эквивалентен аналоговому, и все свойства аналогового регулятора можно распространить на цифровой.

Переход к конечно-разностным уравнениям. Переход к дискретным переменным в уравнениях аналогового регулятора выполняется путём замены производных и интегралов их дискретными аналогами. Если уравнение записано в операторной форме, то сначала выполняют переход из области изображений в область оригиналов. При этом оператор дифференцирования заменяют производной, оператор интегрирования - интегралом.

Существует множество способов аппроксимации производных и интегралов их дискретными аналогами, которые изложены в курсах численных методов решения дифференциальных уравнений. В ПИД-регуляторах наиболее распространёнными являются простейшие виды аппроксимации производной конечной разностью и интеграла - конечной суммой. Рассмотрим интегральный член ПИД-регулятора:

I(t) = .

Продифференцировав обе части по времени, получим

e(t).

Заменяя дифференциалы в этом выражении конечными разностями (левыми разностями), получим

,

где индекс i обозначает, что данная величина взята в момент времени ti (обратим внимание, что здесь и далее индекс i в Ti обозначает не номер временного шага, а интегральный коэффициент ПИД-регулятора). Из последнего выражения получим:

. (19)

Таким образом, очередное значение интеграла можно вычислить, зная предыдущее и значение ошибки в предыдущий момент времени. Однако такая формула имеет свойство накапливать ошибку вычислений с течением времени, если отношение Дt/Ti недостаточно мало. Более устойчива другая формула интегрирования - с правыми разностями, когда значение ошибки берётся в тот же момент времени, что и вычисляемый интеграл:

(20)

Рассмотрим дифференциальный член ПИД-регулятора с фильтром:

.

Переходя в этой формуле от изображений к оригиналам, получим:

.

Заменяя дифференциалы конечными приращениями, получим разностное уравнение:



(21)

Отметим, что для сходимости итерационного процесса (21) необходимо, чтобы

, то есть

. (22)

При Дt > Td/N итерационный процесс (21) становится колебательным, что недопустимо для ПИД-регулятора. Лучшими характеристиками обладает разностное уравнение, полученное при использовании правых разностей:

. (23)

Здесь условие сходимости выполняется для всех Дt, и ни при каких значениях параметров не возникает колебаний. Кроме того, последняя формула позволяет «отключить» дифференциальную составляющую в ПИД-регуляторе путём назначения Td = 0, чего нельзя сделать в выражении (21), поскольку при этом возникает деление на ноль. Можно использовать ещё более точные формулы численного дифференцирования и интегрирования, известные из курса численных методов решения уравнений. Величина такта квантования Дt выбирается как можно меньше, это улучшает качество регулирования. Для обеспечения хорошего качества регулирования он не должен быть больше чем 1/15...1/6 от времени установления переходной характеристики объекта по уровню 0,95 или 1/4...1/6 от величины транспортной задержки [7]. Однако при увеличении частоты квантования более чем в 2 раза по сравнению с верхней частотой спектра возмущающих сигналов (по теореме Котельникова) дальнейшего улучшения качества регулирования не происходит.

Если на входе регулятора нет антиалиасного фильтра, то частоту квантования выбирают в 2 раза выше верхней граничной частоты спектра помехи, чтобы использовать цифровую фильтрацию. Необходимо учитывать также, что исполнительное устройство должно успеть отработать за время Дt.

Если контроллер используется не только для регулирования, но и для аварийной сигнализации, то такт квантования не может быть меньше, чем допустимая задержка срабатывания сигнала аварии.

При малом такте квантования увеличивается погрешность вычисления производной. Для её снижения можно использовать сглаживание получаемых данных по нескольким собранным точкам перед этапом дифференцирования.

Уравнение цифрового ПИД-регулятора. Основываясь на изложенном ранее, уравнение дискретного ПИД-регулятора можно записать в виде:

(24)

где i - номер временного такта.

Для начала работы алгоритма выбирают обычно uD0 = 0, I0 = 0, e0 = 0, однако могут быть и другие начальные условия, в зависимости от смысла конкретной задачи регулирования.

Отметим, что алгоритм, полученный путём простой замены операторов дифференцирования и интегрирования в классическом уравнении ПИД-регулятора

(25)

конечными разностями и конечными суммами



(26)

обладает плохой устойчивостью и низкой точностью, как это было показано ранее. Однако с ростом частоты дискретизации различие между приведёнными двумя алгоритмами стирается.

Инкрементная форма цифрового ПИД-регулятора. Довольно часто, особенно в нейросетевых и фаззи-регуляторах, используют уравнение ПИД-регулятора в виде зависимости приращения управляющей величины от ошибки регулирования и её производных (без интегрального члена).Такое представление удобно, когда роль интегратора выполняет внешнее устройство, например обычный или шаговый двигатель. Угол поворота его оси пропорционален значению управляющего сигнала и времени. В фаззи-регуляторах при формулировке нечётких правил эксперт может сформулировать зависимость управляющей величины от величины производной, а от величины интеграла - не может, поскольку интеграл «запоминает» всю предысторию изменения ошибки, которую человек помнить не может.

Инкрементная форма ПИД-регулятора получается путём дифференцирования уравнения (25):

.

Для получения нулевой ошибки регулирования на выходе инкрементного регулятора должен стоять интегратор (рисунок 20):

.



Рисунок 20 - Инкрементная форма ПИД-регулятора

Переходя в полученных выражениях к конечным разностям, получим дискретную форму инкрементного ПИД-регулятора:

(27)

где Дui+1 = ui+1 - ui;

Дei = ei - ei-1.

Более устойчивое и точное разностное уравнение можно получить, подставив в формулу Дui+1 = ui+1 - ui выражения для ui+1 и ui из (24).

Инкрементная форма регулятора удобна для применения в микроконтроллерах, поскольку в ней основная часть вычислений выполняется с приращениями, для представления которых можно использовать слово с малым количеством двоичных разрядов. Для получения значения управляющей величины можно выполнить накопительное суммирование на финальной стадии вычислений: ui+1 = ui + Дui+1.

Перед тем как рассчитывать параметры регулятора, необходимо сформулировать цель и критерии качества регулирования, а также ограничения на величины и скорости изменения переменных в системе. Традиционно основные качественные показатели формулируются исходя из требований к форме реакции замкнутой системы на ступенчатое изменение уставки. Однако такой критерий очень ограничен. В частности, он ничего не говорит о величине ослабления шумов измерений или влияния внешних возмущений, может дать ошибочное представление о робастности системы.

Поэтому для полного описания или тестирования системы с ПИД-регулятором нужен ряд дополнительных показателей качества, о которых речь пойдёт дальше.

В общем случае выбор показателей качества не может быть формализован полностью и должен осуществляться, исходя из смысла решаемой задачи.



3. Качество регулирования

3.1 Критерии качества Ослабление влияния внешних возмущений

Выбор критерия качества регулирования зависит от цели, для которой используется регулятор. Целью может быть:

- поддержание постоянного значения параметра (например, температуры);

- слежение за изменением уставки или программное управление;

- управление демпфером в резервуаре с жидкостью и т.д.

Для той или иной задачи наиболее важным фактором может быть:

- форма отклика на внешние возмущения (время установления ,пере-регулирование, время отклика и др.);

- форма отклика на шумы измерений;

- форма отклика на сигнал уставки;

- робастность по отношению к разбросу параметров объекта управления;

- экономия энергии в управляемой системе;

- минимизация шумов измерений.

Для классического ПИД-регулятора параметры, которые являются наилучшими для слежения за уставкой, в общем случае отличаются от параметров, наилучших для ослабления влияния внешних возмущений. Для того чтобы оба параметра одновременно были оптимальными, необходимо использовать ПИД-регуляторы с двумя степенями свободы.

Точное слежение за изменением уставки необходимо в системах управления движением, в робототехнике; в системах управления технологическими процессами, где уставка обычно остаётся длительное время без изменений, требуется максимальное ослабление влияния нагрузки (внешних возмущений); в системах управления резервуарами с жидкостью требуется обеспечение ламинарности потока (минимизация дисперсии выходной переменной регулятора) и т.д.

Как было показано в подразделе[2], обратная связь ослабляет влияние внешних возмущений в |S( jщ)| раз за исключением тех частот, на которых |S( jщ)|. Внешние возмущения могут быть приложены к объекту в самых разных его частях, однако, когда конкретное место неизвестно, считают, что возмущение воздействует на вход объекта. В этом случае отклик системы на внешние возмущения определяется передаточной функцией со входа внешних возмущений на выход системы:

. (28)

Поскольку внешние возмущения обычно лежат в низкочастотной части спектра, где |S(jщ)| и, следовательно, T, то выражение (28) можно упростить:

. (29)

Таким образом, для ослабления влияния внешних возмущений (в частности, влияния нагрузки) можно уменьшить постоянную интегрирований Ti.

Во временной области реакцию на внешние возмущения оценивают по отклику на единичный скачок d(t). Ослабление влияния шумов измерений: Передаточная функция от точки приложения шума на выход системы имеет вид:

. (30)



Благодаря спаду АЧХ объекта на высоких частотах функция чувствительности стремится к 1 (рисунок 18). Поэтому ослабить влияние шумов измерений с помощью обратной связи невозможно. Однако эти шумы легко устраняются применением фильтров нижних частот, а также правильным экранированием и заземлением [3, 4].

Замкнутая система остаётся устойчивой при изменении параметров объекта на величину ДP(jщ), если выполняется условие (18).

Критерии качества во временной области. Для оценки качества регулирования в замкнутой системе с ПИД-регулятором обычно используют ступенчатое входное воздействие и ряд критериев для описания формы переходного процесса (рисунок 21):

- максимум ошибки регулирования

(31)

и момент времени Tmax, при котором ошибка достигает этого максимума;

- интегрированная абсолютная ошибка

(32)

- интеграл от квадрата ошибки

; (33)

- декремент затухания d (это отношение первого максимума ко второму, типовое значение d=4 и более)



, (34)

отметим, что в литературе встречаются и другие определения декремента затухания, в частности, как или как b/a коэффициент в показателе степени экспоненты, описывающей огибающую затухающих колебаний;

- статическая ошибка e0 (это постоянная ошибка в равновесном, то есть в установившемся, или статическом, режиме системы);

- время установления Te с заданной погрешностью es (это время, по истечении которого погрешность регулирования не превышает заданного значения es; обычно es = 1%, реже 2% или 5% - соответственно время установления обозначают T0,01, T0,02, T0,05);

- перерегулирование emax (это превышение первого выброса над установившимся значением переменной, обычно выражается в процентах от установившегося значения);

- время нарастания Tr (это интервал времени, в течение которого выходная переменная нарастает от 10 до 90% от своего установившегося значения);

- период затухающих колебаний Tcl (строго говоря, затухающие колебания не являются периодическими, поэтому здесь под периодом понимается расстояние между двумя соседними максимумами переходной характеристики).

Рисунок 21 - Критерии качества регулирования во временной области



Для систем управления движением в качестве тестового сигнала чаще используют не функцию скачка, а линейно нарастающий сигнал, поскольку электромеханические системы обычно имеют ограниченную скорость нарастания выходной величины.

Приведённые критерии используются для оценки качества реакции как на изменение уставки, так и на воздействие внешних возмущений и шумов измерений.

Частотные критерии качества. В частотной области обычно используются следующие критерии, получаемые из графика амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы y(щ) (рисунок 22):

- полоса пропускания щ-3дБ (или щ0,7) по уровню -3 дБ (или по уровню 1/ = 0,7) - полоса частот от 0 до щ-3дБ = щ0,7, в пределах которой кривая АЧХ снижается не более чем на 3 дБ относительно её значения на нулевой частоте y(0);

- колебательность М - отношение максимального (пикового) значения АЧХ ymax к её значению на нулевой частоте y(0), то есть в установившемся режиме

, (35)

типовыми значениями являются М = 1,5...1,6;

- резонансная частота системы щp - частота, на которой АЧХ достигает максимума ymax = y(щp).

Частотные критерии у реальных регуляторов не могут быть однозначно связаны с временными критериями из-за нелинейностей (обычно это нелинейности типа «ограничение») и алгоритмов устранения эффекта интегрального насыщения. Однако приближённо можно установить следующие зависимости между критериями в частотной и временной областях:



- (36)

- частота максимума передаточной характеристики замкнутой системы приблизительно соответствует периоду затухающих колебаний отклика на ступенчатое входное воздействие - з;

- чем медленнее затухают колебания, тем больше показатель колебательности М.

Выбор параметров регулятора. В общей теории автоматического управления структура регулятора выбирается исходя из модели объекта управления. При этом более сложным объектам управления соответствуют более сложные регуляторы. В нашем же случае структура регулятора уже задана - мы рассматриваем ПИД-регулятор. Эта структура очень простая, поэтому ПИД-регулятор не всегда может дать хорошее качество регулирования, хотя в подавляющем большинстве приложений в промышленности применяются именно ПИД-регуляторы.