Размещено на http://www.allbest.ru

Реферат

Плоские волны в однородной изотропной среде



Содержание

Плоские волны

Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде

Поток энергии в плоской волне

Поляризация электромагнитной волны

Отражение и преломление плоских волн на плоской границе раздела

Литература



Волна - это распространение колебания в пространстве, происходящее с конечной скоростью. Волновой процесс включает зависимость не только от времени, но и от пространственных переменных, поэтому он описывается уравнениями в частных производных. Основную роль в теории волн играет линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка гиперболического типа - волновое уравнение

, (1)

где - оператор Лапласа, с - скорость волны. При наличии в системе внешних сил или источников и диссипации уравнение (1) принимает вид:

. (2)



Плоские волны

Простейшим решением волнового уравнения (1) является плоская волна

u = u(, t), = rm = xm_x + ym_y + zm_z. (3)

Для таких волн уравнение (1) становится одномерным

- (4)

первая каноническая форма или

- (5)

вторая каноническая форма,

= t - /c, = t + /c. (6)

Общее решение уравнения (5) с учетом замены переменных (6) имеет вид

u = u₁() + u₂() = u₁(t - /c) + u₂(t + /c), (7)

где u₁ и u₂ - произвольные функции, их конкретный вид определяется граничными условиями, и - фазы. В любой фиксированный момент времени t функ-ции u₁ и u₂ имеют постоянное значение во всех точках плоскости, определяемой соотношением

= rm = const. (8)

Рассмотрим функцию u₁() и найдем условия, при которых = const. Из соотношений (3) и (6) следует, что в этом случае mdr/dt = c. С учетом условия (8) это означает, что поверхность = const является плоскостью, которая перемещается со скоростью с в направлении вектора m. Аналогично плоскость, на которой = const, перемещается со скоростью с в направлении вектора -m. Таким образом, функция u₁(t - rm/c) описывает плоскую волну, бегущую в направлении вектора m со скоростью с, а это значит, что поверхность постоянной фазы = const является плоской.

Плоскую волну (7) можно представить интегралом Фурье вида

, (9)

где , l = 1, 2. Подставляя соотношение (9) в волновое уравнение (4), получим уравнение Гельмгольца

, (10)

общее решение которого можно записать в виде

, (11)

где k = /c - волновое число.

Подставляя соотношение (11) в интеграл Фурье (9), получим



, (12)

при этом подынтегральное выражение Aexp(ik - it) является плоской гармонической волной в смысле определения (7), то есть произвольную плоскую волну можно представить как суперпозицию гармонических плоских волн.

Если ввести волновой вектор k = km, то фазу плоской гармонической волны можно представить в виде = kr - t, уравнение kr = const определяет плоскость постоянной фазы. Подставляя соотношение (11) в уравнение (10), получим связь между волновым вектором и частотой (дисперсионное соотношение) для среды без поглощения

|k|² = ²/c². (13)

В общем случае волновой вектор может быть комплекснозначным k = k' + ik", тогда из дисперсионного соотношения (13) следует связь между его действительными и мнимыми частями

|k'|² - |k"|² = ²/c², k'k" = 0. (14)

Соответственно, общий вид гармонической плоской волны

u(r, t) = Aexp[-rk" - i(t - k'r)] (15)

описывает неоднородную плоскую волну. Поверхности равных фаз k'r = const и равных амплитуд k"r = const - плоские и перпендикулярные друг другу в силу соотношения (14).



Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде

Запишем для поляризующейся и проводящей среды уравнения Максвелла

, (16)

, (17)

, (18)

. (19)

Для замыкания системы уравнений необходимо дополнить ее материальными уравнениями D(E), B(H), j(E). В простейшем случае линейной изотропной и однородной среды они имеют вид D = E, B = H, j = E, где , и - константы. Тогда из уравнений (16) и (17) получаем

, (20)

. (21)

Будем считать, что свободных зарядов в среде нет (при 0 они должны рассасываться), то есть div E = 0. Возьмем ротор от правой и левой частей уравнения (21) и, учитывая, что rot rot E = grad div E - E = -E, получим с учетом уравнения (20)

. (22)



При = 0 (диэлектрик) уравнение (22) для каждой из компонент вектора E имеет вид волнового уравнения (1) для среды без потерь. Легко показать, что такому же уравнению удовлетворяет и вектор Н. В плоской волне вида (3) векторы E и Н зависят только от одной пространственной координаты = rm и волновое уравнение (22) принимает вид

, (23)

описывающий распространение в направлениях m двух плоских векторных волн

E = E(t /v), H = H(t /v). (24)

Для плоских волн вида (24), распространяющихся в направлении +m,

,

и уравнения Максвелла (16) - (19) принимают вид

. (25)

Умножая первые два уравнения системы (25) на m, получим Е/t = 0,

H/t = 0, Е/ = 0, H/ = 0, то есть продольные компоненты векторов Е и Н не зависят ни от времени, ни от координат. Таким образом, переменная составляющая продольных компонент электрического и магнитного полей в волне равна нулю, то есть электромагнитная волна является поперечной.

В проводящей среде второе уравнение системы (25) принимает вид

.

После скалярного умножения на m получим

, Е(t) = Е(0)exp(-4t/),

то есть в проводящей среде продольная компонента электрического поля быстро затухает, и волна остается поперечной.

Для плоской волны u₁(), = t - /v, частные производные принимают вид

/t = /, / = -/(v). Тогда первое уравнение системы (25) принимает вид

. (26)

Константа интегрирования здесь положена равной нулю, так как мы рассматриваем как волну только переменные составляющие полей. Из уравнения (26) следует, что векторы Е, Н и m образуют правую ортогональную тройку, причем

- (27)

импеданс среды.

Для проводящей среды рассмотрим распространение гармонической волны E = E₀()exp(-it), подставляя это выражение в уравнение (22), получим уравнение Гельмгольца в виде

. (28)

В отличие от уравнения (10) в соотношение (28) входит комплексная величина

.

Общее решение уравнения (28) имеет вид

, , то есть

(29)

две плоские волны, амплитуда которых экспоненциально убывает по мере распространения. Здесь - показатель поглощения, характеризует скорость убывания амплитуды волны, n = c/v - показатель преломления, определяет фазовую скорость волны. Обозначим

- (30)

тангенс угла потерь, тогда , то есть n² - ² = , 2n = tg(), откуда получаем

. (31)

Из формул (30) и (31) следует, что в проводящей среде фазовая скорость (показатель преломления) и показатель затухания зависят от частоты, то есть среда является диспергирующей. При распространении плоской волны произвольной формы происходит искажение ее профиля, так как затухание и фазовые скорости ее гармонических компонент вида (9) разные.

Для малых потерь (слабозатухающая волна) tg() << 1, тогда из формулы (31) получаем . В случае сильных потерь, когда tg() >> 1, получаем . При этом амплитуда волны убывает в е раз на расстоянии d = c/() = /(2) << . Нетрудно показать, что в проводящей среде

. (32)

Поток энергии в плоской волне

Запишем для однородной линейной непроводящей среды закон сохранения электромагнитной энергии в форме

W/t + div S = 0, (33)

где W - плотность электромагнитной энергии, S - ее поток. Умножим уравнение (16) скалярно на Е, а уравнение (17) - на Н и вычтем их, полагая = 0:

,

.

Сравнивая это уравнение с уравнением (33), получим

. (34)

Вектор S в такой форме называется вектором Умова - Пойтинга.

Для гармонической электромагнитной волны в рамках метода комплексной амплитуды, полагая E(r, t) = Re[E₀(r)exp(it)], H(r, t) = Re[H₀(r)exp(it)], можно найти средний за период поток энергии

. (35)

С учетом соотношений (26) и (34) для плоской волны получаем

, (36)

здесь - скорость волны и учтено, что в силу соотношения (26) в волне Е² = Н², а .

Поляризация электромагнитной волны

плоский волна электромагнитный

Для полного описания поперечной волны необходимо кроме ее амплитуды, фазы и частоты указать поляризацию, то есть направление векторов Е и Н. Пусть волновой вектор k направлен вдоль оси z, тогда векторы Е и Н лежат в плоскости ху

(37)

Исключим из уравнений (37) переменную = t - z/v и получим уравнение эллипса в осях Е_х, Е_у:

.

Если = ₁ - ₂ = /2, то оси эллипса совпадают с осями координат х, у, а при а₁ = а₂ эллипс вырождается в окружность. Если = ₁ - ₂ = n, то эллипс вырождается в прямую Е_х/а₁ - (-1)ⁿЕ_у/а₂ = 0 с углом наклона tg() = а₂/а

Можно ввести множитель поляризации

. (38)

При комплексном значении Р волна имеет эллиптическую поляризацию, при

Р = i поляризация круговая. При действительном значении Р волна имеет линейную поляризацию. Знак мнимой части Р определяет направление вращения вектора Е в плоскости фронта, если Im(P) > 0, поляризация правая, а если Im(P) < 0 - левая. Правая поляризация соответствует вращению вектора Е по часовой стрелке для наблюдателя, смотрящего в направлении прихода волны. При Im(P) = 0 получаем Р = ctg().

Если отношение а₁/а₂ и в волне не меняются, то есть компоненты Е_х и Е_у когерентны, то волна называется поляризованной. Если же a₁(t), a₂(t) и (t) - случайные функции, то все положения вектора Е в плоскости фронта равноправны и волна является неполяризованной. Пример - естественный свет, излучение ламп накаливания и т. д. В более общем случае волна может быть смесью поляризованной и неполяризованной волн и описываться (в заданной точке пространства) как колебание с медленно меняющейся амплитудой

E(t) = a(t)exp(-it - i(t)).

Состояние таких волн можно охарактеризовать матрицей когерентности

. (39)

Пусть I = |E|² - интенсивность волны. Тогда для неполяризованной волны , |E_х|² = |E_у|² = I/2, поэтому |J| = I²/4. Для поляризованной волны |J| = 0, а sp(J) = I. Для частично поляризованной волны 0 |J| I²/4. Подставляя уравнение (37) в формулу (39), получим

, (40)

где .

Кроме того, в оптике широко используются параметры Стокса

. (41)

В этих переменных матрица когерентности (39) принимает вид

. (42)

Для неполяризованной волны ₁ = ₂ = ₃ = 0, для полностью поляризованной . Соответственно, сумма квадратов параметров Стокса (41) характеризует степень р поляризации волны . Интенсивность поляризованной составляющей при этом равна pI, а неполяризованной (1 - p)I.

В курсе оптики показывается, что величина ₁I равна разности интенсивностей линейно поляризованных компонент с = 0 и = /2, а ₂I - соответственно с = /4 и = 3/4. Величина ₃I равна разности интенсивностей волн с правой и левой поляризациями. Таким образом, коэффициенты Стокса можно легко измерить и, тем самым, построить матрицу поляризации (39).

Отражение и преломление плоских волн на плоской границе раздела

Из опыта известно, что при падении волны на границу раздела двух сред с разными свойствами, например коэффициентом преломления, возникает преломление и отражение волн. Пусть на плоскую границу раздела z = 0 между двумя полубесконечными средами с однородными параметрами ₁, ₁, ₁ для z > 0 и ₂, ₂, ₂ для z < 0 падает из первой среды плоская монохроматическая волна с частотой под углом ₀ к оси z (рис. 1). Обозначим k₀ = k₁m₀ - волновой вектор падающей волны. Здесь учтено, что волновое число одинаково и для падающей, и для отраженной волны, поскольку обе они распространяются в среде 1, а частота волны в линейном приближении сохраняется.

Рис. 1. Плоскость падения

Пусть плоскость xz (плоскость падения) проходит через вектор k₀, k₁ - волновой вектор отраженной волны, а k₂ - волновой вектор преломленной волны. Запишем электрические и магнитные поля в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно в виде (29) с учетом соотношения (32):

Здесь - импеданс первой и второй сред соответственно.

В плоскости z = 0 должны выполняться условия непрерывности тангенциальных компонент Е и Н суммарного волнового поля

(43)

Поскольку граничные условия (43) должны выполняться во всех точках плоскости z = 0, то фазовые множители всех компонент должны быть одинаковы, , то есть k₁sin(₀) = k₁sin(₁) = k₂sin(₂), откуда, в свою очередь, получаем

₀ = ₁, (44)

sin(₁)/sin(₂) = k₂/k₁ - (45)

закон Снелиуса. Если ₁ = ₂ = 0, то ₂ - угол между нормалью к фронту преломленной волны и осью z.

Рассмотрим теперь две различные поляризации - горизонтально поляризованную волну с E_x = E_z = 0, E_y 0 и вертикально поляризованную волну с E_у = 0, E_z 0, E_x 0. Произвольную эллиптическую поляризацию можно получить как линейную комбинацию этих двух волн. Для горизонтальной поляризации из соотношения (43) получаем

E₀ + E₁ = E₂, E₀cos(₀) - E₁cos(₁) = E₂cos(₂)Z₁/Z₂,

откуда следуют выражения для коэффициентов Френеля

. (46)

Для вертикально поляризованной волны расчет удобнее проводить через вектор Н, который в этом случае перпендикулярен плоскости падения xz:

(47)

При нормальном падении ₀ = 0 и

. (48)

При отражении от границы двух диэлектриков с ₁ = ₂ =0, ₁ = ₂ = 1 с учетом соотношений (45), (46) и (47) получим при

(49)

Поскольку коэффициенты Френеля (49) действительные, фазовый сдвиг между падающей и отраженной волнами равен 0 или . При ₂ > ₁ из соотношения (45) получаем, что ₂ < ₀, то есть _|| = . При ₂ = ₁ соответственно ₂ = ₀ и R_|| = 0, а при ₂ + ₀ = получаем R = 0. Таким образом, при выполнении условия

(50)

отраженная волна будет полностью вертикально поляризована. Угол падения, удовлетворяющий условию (50), называется углом Брюстера или углом полной поляризации.

При отражении от менее плотного диэлектрика с ₂ < _{1 2} > ₁, если при этом , то из условия (45) следует, что sin(₂) > 1, а . Угол называется углом полного внутреннего отражения. Если угол падения ₀ больше угла полного внутреннего отражения _п, получаем , то есть пре-ломленная волна представляет собой плоскую неоднородную волну, экспоненциально затухающую вглубь второй среды. Найдем плотность потока энергии во вторую среду в этом случае. С учетом соотношений (35) и (27) получим , то есть средняя плотность потока энергии во вторую среду при полном отражении равна нулю.

Легко видеть, что при полном отражении |R| = |R_||| = 1, для фаз же коэффициентов Френеля (49) получаем

. (51)

Из формулы (51) следует, что полное отражение сопровождается изменением фазы волны, различным для горизонтально и вертикально поляризованных волн. Поэтому, если полное отражение испытывает волна, плоскость поляризации которой наклонена к плоскости падения под некоторым углом, отраженная волна оказывается эллиптически поляризованной.

Рассмотрим теперь отражение и преломление падающей волны на границе диэлектрик - проводник. Пусть ₁ = ₂ = 1, ₁ = 1, ₁ = 0. Тогда из соотношения (45) следует, что k_1x = k₁sin(₁) = k_2x = k₂sin(₂) = k₁sin(₀), а поскольку , то

.

Обозначая



(52)

где , и учитывая, что k₁ = /c, получим:

k_2z = (q + ip)/c, E_T = E₂exp(-k₁p|z|)exp[i(k₁xsin(₀) + qk₁z)]. (53)

Таким образом, преломленная волна (53) плоская и неоднородная, плоскости равной амплитуды pz = const параллельны границе раздела. Для плоскости равной фазы xsin(₀) + qz = const нормаль направлена под углом к оси z, где

. (54)

Соответственно, относительный показатель преломления второй среды относительно первой зависит не только от свойств среды, но, в отличие от соотношения (45), и от угла падения.

Если проводимость среды достаточно велика, так что , то в формуле (52) можно положить , . Если при этом ₂ не слишком велика, так что tg() >> 1, то /2, , а из соотношения (54) следует cos() 1, sin () 0, то есть 0.

Тот факт, что для сильно проводящей среды преломленная волна независимо от угла падения распространяется почти перпендикулярно границе раздела, позволяет сформулировать приближенные граничные условия Леонтовича. Заметим, что в этом случае соотношение (26) принимает вид

. (55)

Так как при нормальном падении тангенциальные компоненты полей на границе равны и в первой, и во второй среде полным значениям самих полей, то из условия непрерывности Е₁ = Е₂, Н₁ = Н₂ и уравнение (55) можно переписать в виде

E₁ = Z₂[z₀ H₁]. (56)

Распространяя соотношение (56) на случай падения под произвольными углами, получим приближенные граничные условия Леонтовича

[z₀ E₁] = Z₂[z₀ [z₀ H₁]]. (57)



Литература

Основная

1. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 2009. - 384 с.

2. Рабинович М.И., Трубецков Д.М. Введение в теорию колебаний и волн. Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 2004. - 320 с.

Дополнительная

3. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 2007. -- 496 с.

4. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 2009. - 544 с.

5. Вайштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 2008. - 440 с.

Размещено на Allbest.ru