Критерии устойчивости систем автоматического регулирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

“Тверской государственный технический университет”

Лабораторная работа №2

по дисциплине: “Теория автоматического управления”

на тему: “Критерии устойчивости систем автоматического регулирования”

Выполнил: Мякатин И.Д.

Студент гр. УТС 13.01

Тверь

2016

Критерий устойчивости Найквиста

Позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по ЛАЧХ разомкнутой. Замкнутая система является устойчивой, если годограф АФХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1;j0)

Критерий устойчивости Михайлова

Применим для замкнутых систем. Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы корни действительной и мнимой части знаменателя замкнутой системы чередовались. Годограф Михайлова должен проходить последовательно n квадрантов против часовой стрелки.

Критерий устойчивости Гурвица (Рауса-Гурвица)

Первоначально из коэффициентов ПФ замкнутой системы составляется матрица главного определителя:

.

По диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты уравнения (1), начиная с . Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз - уменьшались.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при все угловые определители (миноры) были также положительными, т.е.

.

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен Дn=an*Дn-1. Поэтому его положительность сводится при

Дn-1>0 к условию an>0. Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов . Если определитель Дn=0, то система находится на границе устойчивости. Из условия Дn-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.

Листинг программы

clear

clc

close all

syms s t k

syms w real

x=(0:0.0001:10);

zveno=input('Выберите звено: ')

switch zveno

case 0

K=20; %КР неуст

W1=tf([0.2 1],1);

W2=tf(1,[1 1]);

W3=tf(1,[0.05 0.1 1]);

W4=tf(1,[0.1 1]);

W5=tf(1,[0.02 1]);

W=K*W1*W2*W3*W4*W5;

case 1 %КР уст

K=2;

W1=tf([0.2 1],1);

W2=tf(1,[1 1]);

W3=tf(1,[0.05 0.1 1]);

W4=tf(1,[0.1 1]);

W5=tf(1,[0.02 1]);

W=K*W1*W2*W3*W4*W5;

end

disp('ПФ разомкнутой системы: ')

W

[num,den]=tfdata(W,'v');

Wjw=freqs(num,den,x);

U=real(Wjw);V=imag(Wjw);

figure

plot(U,V)

title('АФХ')

grid on

%Корни харак. уравнения

root=real(roots(den));

count=2;

for i=1:length(root)

if root(i)>0

count=1;

break

else

if root(i)==0

count=0;

end

end

end

if count==1

disp('Система неустойчива')

else

if count==2

disp('Система устойчива')

else

disp('Система на границе устойчивости')

end

end

figure

margin(W)

grid on

% Годограф Михайлова

disp('ПФ замкнутой системы: ')

W1=feedback(W,1,-1)

[nums,dens]=tfdata(W1,'v');

dens=subs(poly2sym(dens,s),s,1i*w);

Re=real(dens);

Im=imag(dens);

Re1=subs(Re,w,x);

Im1=subs(Im,w,x);

figure

plot(Re1,Im1,'r')

title('Годограф Михайлова')

grid on

%Критерий устойчивости Михайлова

Re_roots=roots(sym2poly(Re))

Im_roots=roots(sym2poly(Im))

Re1=sort(Re_roots(Re_roots>0));

Im1=sort(Im_roots(Im_roots>0));

counter=0;

if any(abs(imag(Re1))>0)|| any(abs(imag(Im1))>0)

counter=1;

else

a=0;b=0;

for i=1:length(Re1)+length(Im1)

if rem(i,2)==1

a=a+1;

mass(i)=Re1(a);

else b=b+1;

mass(i)=Im1(b);

end

end

Smass=sort(mass);

if Smass~=mass

counter=1;

end

end

if counter==1

disp('Система по критерию Михайлова неустойчива')

else

disp('Система по критерию Михайлова устойчива')

end

%Критерий устойчивости Гурвица

[num1,den1]=tfdata(W1,'v');

n=length(den1);

matr=diag(den1(2:n));

for i=1:(n-1)

for j=1:(n-1)

if (i~=j)

num1=2*(j-i)+i+1;

if (num1>=1) && (num1<=n)

matr(i,j)=den1(num1);

end

end

end

end

matr

ust=true;d=0;

for i=1:(n-1)

d(i)=det(matr(1:i,1:i));

if (d(i)<0)

ust=false;

break

end;

end

d

if ust==false

disp('Система по критерию Гурвица неустойчива')

else

disp('Система по критерию Гурвица устойчива')

end

Полученные результаты

1) Контрольная работа, K=20.

ПФ разомкнутой системы:

Transfer function:

4 s + 20

-------------------------------------------------------------

0.0001 s^5 + 0.0063 s^4 + 0.0702 s^3 + 0.284 s^2 + 1.22 s + 1

Система устойчива

ПФ замкнутой системы:

Transfer function:

4 s + 20

--------------------------------------------------------------

0.0001 s^5 + 0.0063 s^4 + 0.0702 s^3 + 0.284 s^2 + 5.22 s + 21

Re_roots =

-6.3354 + 4.1950i

-6.3354 - 4.1950i

6.3354 + 4.1950i

6.3354 - 4.1950i

Im_roots =

0

-24.8487

24.8487

-9.1946

9.1946

Система по критерию Михайлова неустойчива

matr =

0.0063 0.2840 21.0000 0 0

0.0001 0.0702 5.2200 0 0

0 0.0063 0.2840 21.0000 0

0 0.0001 0.0702 5.2200 0

0 0 0.0063 0.2840 21.0000

d = 0.0063 0.0004 -0.0001

Система по критерию Гурвица неустойчива

2) Контрольная работа, К=2.

ПФ разомкнутой системы:

Transfer function:

0.4 s + 2

-------------------------------------------------------------

0.0001 s^5 + 0.0063 s^4 + 0.0702 s^3 + 0.284 s^2 + 1.22 s + 1

Система устойчива

ПФ замкнутой системы:

Transfer function:

0.4 s + 2

-------------------------------------------------------------

0.0001 s^5 + 0.0063 s^4 + 0.0702 s^3 + 0.284 s^2 + 1.62 s + 3

Re_roots =

-5.3088

-4.1105

5.3088

4.1105

Im_roots =

0

26.0405

-26.0405

-4.8877

4.8877

Система по критерию Михайлова устойчива

matr =

0.0063 0.2840 3.0000 0 0

0.0001 0.0702 1.6200 0 0

0 0.0063 0.2840 3.0000 0

0 0.0001 0.0702 1.6200 0

0 0 0.0063 0.2840 3.0000

d =

0.0063 0.0004 0.0001 0.0000 0.0000

Система по критерию Гурвица устойчива

Список литературы

устойчивость система автоматический регулирование

1. Марголис, Б.И. Компьютерные методы анализа и синтеза систем автоматического регулирования в среде Matlab / Б.И.Марголис. - Учеб. Пособие для вузов. - Тверь: изд-во ТвГТУ, 2015.-92 с.

2. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А.Бесекерский, Е.П.Попов. - Москва: издательство “Наука”, 1975.-768 с.

Размещено на Allbest.ru