(*.1)

где x_i - фазовые координаты;

a_i(t) - переменные параметры системы;

u - управление.

Обычно диапазоны изменения параметров a_i(t) бывают известны:

 (*.2)

Управления выбирают в следующем виде:

(*.3),

где коэффициенты _i являются разрывными функциями фазового состояния системы:

, с_i - постоянные велечины

Гиперплоскость g=0 является поверхностью разрыва коэффициентов _i, т.е. вдоль этой поверхности происходит движение в скользящем режиме. Т.к. уравнение движения по поверхности g=0 зависит только от постоянных коэффициентов с_i, выбираемых из условия обеспечения требуемого качества переходных процессов, то движение в скользящем режиме не зависит от переменных параметров а_i(t). Для обеспечения существования скользящего режима необходимо выбирать значения постоянных коэффициентов _i и _i в соответствии с условием gdg / dt < 0.

При постоянных значениях _i и _i условие накладывают ограничения на выбор коэффициентов поверхности скольжения с_i из допустимой области при изменениях параметров а_i(t) в заданном диапазоне .

Принцип действия адаптивной системы с переменной структурой заключается в следующем:

g = c_min x₁ + x₂ =0

g = (c_min + ic) x₁ + x₂ =0

g = c_max x₁ + x₂ =0

В начале переходного процесса в регуляторе формируются функции переключения:

g₀ = c_min x₁ + x_2,

где c_min - определяется либо по максимальной заданной длительности переходного процесса, либо из условия при минимальных значениях а_i(t) из диапазона . На поверхности g₀ (в данном случае прямая) возникает скользящий режим при любых значениях а_i(t) из заданного диапазона

Фактически возникновение скользящего режима регистрируется индикатором скользящего режима, выходной сигнал которого скачкообразно изменяется при уменьшении относительной длительности пребывания системы в состоянии одной из имеющихся структур, т.е. при повторных изменении знака функции g₀. По сигналу индикатора скользящего режима функция переключения перестраивается с g₀ на g₁: g₁ = (c_min + c) x₁ + x_2. В системе вновь возникает скользящий режим, на линии переключения g₁ = 0. С помощью индекатора скользящего режима происходит дальнейшее перестроение функции переключения g_i = (c_min + ic) x₁ + x_2, до тех пор, пока значение коэффициента (c_min + ic) не превышает значение c_max, после чего скользящий режим по условию возникнуть не сможет и перстроение функции переключения закончится. Движение фазовой точки после того момента будет происходить по близкой к границе g_max = c_max x₁ + x₂ =0 фазовой троектории одной из структур без скользящего режима. Т.е., за счёт поиска предельного по условию режиме работы поддерживается максимальное быстродействие системы управления при изменениях параметров объекта.

2. Автоколебательные режимы в оптимальных системах

В нелинейных системах могут возникать при определённых условиях особые режимы - автоколебательные. Иногда такие режимы бывают вредными или недопустимыми с точки зрения функционирования объекта управления, тогда приходиться принимать специальные меры для ослабления действия этих режимов. Однако в адаптивных системах факт возникновения особого режима может быть использован для получения дополнительной информации об управляемом процессе либо особый режим преднамеренно организуется в системе, придавая ей новые свойства, в частности свойство адаптации к параметрическим или внешним возмущениям.

В нелинейной системе, состоящей из релейного элемента и линейной части с передаточной функцией W₀(p) (рис *.1), используя метод гармонической линеаризации можно определить зависимость параметров автоколебаний от параметров линейной части. Предположим, что передаточная функция линейной части:

 (*.1)

где Т₁,Т₂ -const;

k₀(t) - переменный коэффициент усиления.

рис *.1

Уравнение релейного элемента:

(*.2)

При g(t)=0 можно записать общее уравнение для оператора нелинейной системы:

(*.3)

Гармоническая линеаризация релейного элемента даёт следующую зависимость:

(*.4),

поэтому (*.3) можно записать:

(*.5)

Находя переодическое решение уравнения (*.5) при условии p=j находим амплитуду и частоту автоколебаний:

(*.6)

Отсюда видно, что при параметрическом возмущении в виде изменения коэффициента усиления объекта k₀(t) амплитуда автоколебаний тоже будет изменяться. Поддерживая амплитуду автоколебаний на заданном первоначальном уровне можно создать систему, адаптирующуюся к указанному параметрическом возмущении. Т.о. параметры особого режима в нелинейной системе могут быть использованы в качестве дополнительной рабочей информации для обеспечения стабильной работы системы вблизи экстремального режима.

На рис (*.2) приведена структурная схема адаптивной автоколебательной системы с регулируемым уравнением ограничения релейного элемента. На основании (*.6)амплитуда автоколебаний может поддерживаться на постоянном уровне при изменениях k₀(t) за счёт изменения уровня ограничения реле [U₀ + U₀ (t)].



(рис (*.2)

Уравнения системы записываются следующим образом:

уравнение релейного элемента

(*.7)

уравнение фильтра, настроенного на частоту автоколебаний а₀

(*.8)

уравнение двухполупериодного выпрямителя сигнала автоколебаний

(*.9)

уравнение исполнительного устройства для перестройки уровня ограничения релейного элемента

 (*.10)

где

уравнение основного контура

(*.11)

После гормонической линеаризации (*.11)

(*.12)

параметры автоколебаний:

(*.13)

Пусть экстремальный режим определяется следующими значениями:

(*.14)

тогда можно определить значение опорного напряжения z(a₀)

(*.15)

Линеарицация (*.15) по постоянной составляющей даёт

(*.16)

Учитывая (*.13) и (*.14) получим:

(*.17)

Т.о., при изменении коэффициента k₀(t) будут изменяться амплитуда автоколебаний и среднее выпрямленное значение напряжения z_a.Появляющееся рассогласование будет воздействовать на изменение уровня ограничения релейного элемента U₀ (t) таким образом, чтобы уменьшалась до нуля z. В необходимости регулирования нескольких параметров автоколебательная система может содержать большее число нелинейных взаимосвязанных контуров, что позволяет многочастотные автоколебательные режимы.

связь цифровой информация спектр импульс

Задачи

Задача 1.

Найти дифференциальное уравнение: W(p)=?, построить частотные характеристики, определить переходную характеристику.

Решение: из уравнения материального баланса изменение количества жидкости в баке за время t определяется соотношением между расходами на притоке Q_пр и стоке Q_ст: или . Устремив t к нулю получим уравнение определяющее состояние объекта при изменении Q_пр(t) и

Q_ст(t)..

Приток Q_пр(t) не зависит от уровня жидкости в баке, а сток Q_ст(t) находится в квадратичной зависимости от перепада давлений, определяющегося величиной уровня жидкости:

,

- коэффициент расхода.

Если допустить, что отклонение h=h-h₀ от исходного значения уровня h₀ мало, то нелинейную зависимость можно заменить приближенной линейной. Разлагая в ряд Тейлора по степеням h в окрестности значения h₀ и ограничиваясь двумя первыми членами ряда, получим:



C учетом и искомое приближенное уравнение объекта:

Для сокращения записи знак приращения можно опустить:

,

где a и b - постоянные коэффициенты;

Линейное уравнение (*) составлено в приращениях; без указания исходного режима, в окрестности которого произведена линеаризация, это уравнение не имеет смысла.

Построим частотные характеристики для объекта, описываемого диф. уравнением:

Задача 2. Построить фазовую траекторию в общем виде и сделать вывод об устойчивости

разделим переменные

интегрируем при начальных условиях: t=t₀, у=у₀, z=z₀

при у<0:

при у>0:

В начальный момент t=0y₀=a₀, z₀=0

спираль приближается к точке устойчивости (0),

совершая затухающие колебания, т.о. система устойчива.



Задача 3. Определить спектр сигнала x(t) = a t 0.

Решение:

,

,

=>

Задача 4. Определить спектр сигнала

,, ,

, Re()=0 => ,

Задача 5

Задача № 6

Задача 7. Передаточная функция в разомкнутом состоянии равна k = 58, Т₁ = 0.01, Т₂ = 0.57. Определить устойчивость замкнутой системы по критерию Михайлова

Решение: Передаточная функция замкнутой САР:

Характеристический полином замкнутой системы:

Для построения годографа (кривой) Михайлова определим вещественную и мнимую части функции O(j)



Вычислим X() и Y() для ряда значений частоты

,с-1	0	5	10	13	15
X()	58	44	0	-40	-70	-
Y()	0	4	4,5	0	-5	-

Строим кривую Михайлова:

Вывод: Система в замкнутом состоянии устойчива, т.к. кривая Михайлова проходит последовательно число квадрантов =3, т.е. совпадающее с наивысшей степенью исходного уравнения

Объект является инерционным звеном 1-го порядка с передаточной функцией:

или

АФЧХ объекта описывается выражением:

Выделим вещественную и мнимую части:

АЧХ:

ФЧХ:

При изменении от 0 до , строятся АЧХ и ФЧХ:

Задача 8. Оценить время регулирования.

Решение: Определим время регулирования из соотношения:

_ср - точка пересечения ЛАЧХ с осью абцисс

Для построения ЛЧХ найдем сопрягающие частоты:

,

, , 20 lg k=53,98

lg _ср = 2,2, _ср =10^2,2 =158 с^-1

Для полной уверенности можно проверить устойчива ли система на этой частоте. Найдем ЛФЧХ, как

Подставляя значение получим:(_ср)= -134 ⁰ > -180 ⁰ => система устойчива.

Задача 9. Уравнение САР в разомкнутом состоянии имеет вид. Построить логарифмические характеристики и сделать вывод об устойчивости замкнутой системы.

Решение: для определения передаточной функции запишем уравнение САР в операторной форме:

;

Передаточная ф-я системы:

Разложим полином второй степени по итерационным формулам:

b₀=0,004; b₁=0,4; ;

Следовательно, полином разложится в виде:

;

Передаточная функция:

Строим логарифмические характеристики:

, ,

=2, 20 lg k = 20 lg 1=0

ЛФЧХ пересекает линию =-180 ⁰ при отрицательных значениях асимптотической ЛАЧХ. Следовательно, замкнутая система устойчива.

Задача 10. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид k=25, Т₁=0.01. Определить условия устойчивости замкнутой системы и выбрать постоянную времени Т₂ из условия устойчивости.

Решение: Запишем передаточную функцию замкнутой системы:

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид:

Составляем матрицу Гурвица:

;

1=a₁=1-T₂ k,

Задача 12. САР описывается дифференциальным уравнением

Определить устойчивость.

Решение:

1. Определим передаточную функцию системы: запишем уравнение в операторной форме:

2. Для определения устойчивости запишем матрицу Гурвица:

,, ,

т.к. 2 < 0, то система не устойчива.

3. Критерий Михайлова. Характеристический полином системы:

Определим вещественную и мнимую части функции D(j):

,

Вычислим X() и Y() для ряда значений частот :

,с-1	0	0,5	1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,45
X()	1	1,125	9	13,2	18,9	26,18	35,5	47,13	41
Y()	0	4,375	5	4,35	3,36	2,02	0,25	-1,875	-0,74

Вывод:т.к. годограф вектора А(р) начинается при =0 на вещественной положительной полуоси и не проходит последовательно через 4 квадранта комплексной плоскости в положительном направлении, т.е. против движения часовой стрелки, система не устойчива.

Задача 13. Найти передаточную функцию электрической цепи относительно выходного U_вых и входного U_вх напряжений, построить AUX.

Решение:

Запишем выражение для передаточной функции:

, ,

=>

где ,

,

Задача 14. Определить устойчивость замкнутой системы по Михайлову методом перемежаемости корней

Решение:

1. Определяем передаточную функцию замкнутой системы:

2. Характеристическое уравнение системы:

, ,

,

X()=0, ; ₁=418440,7; ₂=9559,3

; ;₁=0;_2,3=231,35

Re(0)=500 >0; ; Im'(0)= 9,5 >0,

т.к. Re(0)=500 >0 и Im'(0)= 9,5 >0, то замкнутая система устойчива.

Задача 15. Дана импульсно-переходная характеристика

Используя метод Тасина, построить рекуррентный алгоритм моделирования линейного динамического звена.

Решение:

, ,

Тогда необходимо minT_i, maxT_i:

- число периодов

Используя рекуррентный алгоритм:

, , проведем дискретизацию: пусть t=

по мат трапеции:

соответственно передаточная функция k*(z)

Задача 16. Определить запас устойчивости по модулю и фазе:

; ;

₁ = 2, k₂ = 10, k₃ = 10;

T₁ = 0.05, T₂ = 0.02, T₃ = 0.1.



Решение: передаточная функция разомкнутой системы примет вид:

Строим ЛАЧХ и ЛФЧХ для чего определяем сопрягающие частоты:

, , 20 lg k=20 lg 200 =46

, _СР=70 c^-1

	0	5	10	20	30	40	50	60	70	80
()	0	-46,5	-82,9	-130	-159	-178	-191,9	-202	-210	-217

Вывод:т.к. ЛАЧХ пересекает ось lg позже, чем ЛФЧХ переходит значение -, то замкнутая система неустойчива, т.е. запаса устойчивости нет ни по фазе ни по модулю.

Задача 17. Построить фазовые траектории в общем виде

Задача 18. Система описывается дифференциальным уравнением вида

Построить фазовую траекторию и сделать вывод о характере колебаний.

Решение:

,

Разделим (2) на (1):

=>

, , , , b=c

Фазовые траектории соответствуют эллипсам (в зависимости от начальных условий).

Задача 19. Построить плотность распределения вероятностей.

Задача 20. Определить критическое время запаздывания аналитически

,

T = 0.05, k = 4

Решение:

Находим частоту среза из условия , =>

Задача 22

Составить выражение для определения Кr

Задача 23. Имеется кривая разгона объекта. Определить передаточную функцию объекта

Расчет передаточной функции методом интегральных площадей.

Рассмотрим наиболее применяемый метод. Расчет производится в следующей последовательности:

Выделяем на экспериментальной кривой участок чистого запаздывания.

Выбираем t интервала разбиения кривой. Значение интервала разбиения определяется, исходя из условия, что на протяжении всего графика функция h(t) в пределах 2t мало отличается от прямой.

Строим переходную характеристику в безразмерном виде, где С(t)=T(t)/T_max(t). Для этого значение T(t) делим на T_max(t). Получившиеся значения С(t) заносим в таблицу. По данным этого столбика заполняем столбец (1-C) таблицы и подсчитываем ее сумму.

Определяем площадь F1 по формуле: F1 = t*((1-C(it))-0.5(1-C(0))

Заполняем столбец Q, (1-Q) и (1-Q)(1-С), где Q - безразмерное время.

Q=t/F1=(1-С(it))*(1-Q_i)

Заполняем столбец 1-2Q+Q²/2 и (1-2Q+Q²/2)(1-С)

(1-С(it))*(1-2Q_i+Q_i²/2)

Определяем интегральные площади:

F2 = Q*(1-C(it))*(1-Q_i)-0.5(1C(0))*F1²

F3=Q*(1-С(it))*(1-2Q_i+Q_i²/2)-0.5(1-C(0))*F1³

Выбираем структуру ПФ. Т.к. в момент времени t=0, h(0)=h(0)=h(0)=0, то выбираем ПФ вида:

W(P)=Kе-р/(a3p3+a2p2+a1p+1),

где a1=F1; а2=F2; а3=F3

К=T()/ x_вх

Если значения F_i , то передаточная функция упрощается.

Таблица

t

T(t)

C=T(t)/Tmax

1-C

F1

Q=t/F1

1-Q

(1-C)(1-Q)

1-2Q+Q^2/2

(1-2Q+Q^2/2)(1-C)

F2

F3

Задача 24. Имеется передаточная функция объекта. Определить настроечные параметры: ПИ-регулятора

W (р)_об. = к / (Т_р+1)

Решение:

,

,

, => ; Y_P=-Y_ОБ

Из (2)

,

,

подставим С₀ в (1).

Размещено на Allbest.ru