Выделение огибающей сложных периодических сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Обзор методов анализа звуковых сигналов

1.1 Метод преобразования Гильберта

1.1.1 Понятие аналитического сигнала

1.1.2. Преобразование Гильберта

1.1.3. Свойства преобразования Гильберта

1.1.4 Вычисление преобразования Гильберта

1.1.5 Примеры применения преобразования

1.2 Спектральный метод анализа

2. Разработка алгоритма

2.1 Описание средств разработки

2.1.1 MatLAB

2.1.2 CoolEdit Pro

2.2 Описание программ, реализующих алгоритм

2.2.1 Программа выделения огибающей тестовых сигналов

2.2.2 Программа выделения огибающей одиночных звуков

2.2.3 Программа выделения огибающей сложных звуков

3. Результаты экспериментального исследования

3.1 Одиночные звуки.

3.2 Переходы между звуками

3.3 Словосочетания

4. Анализ безопасности и экологичности работы

4.1 Анализ трудового процесса пользователя

4.2 Оценка качественных характеристик трудового процесса

4.3 Разработка мероприятий, снижающих воздействие выявленных вредных факторов

4.4 Экологичность работы

5. Экономическое обоснование работы

Заключение

Литература

Введение

Голос и речь человека несут, как известно, явную индивидуальную информацию в силу уникальности физиологического строения его артикуляторного аппарата и специфики речи. Именно поэтому они привлекают внимание фирм -- разработчиков биометрических систем к применению верификации и идентификации диктора для различных приложений. Особенность голосовой биометрики состоит в том, что помимо прочего она допускает удаленную (по телефону) и скрытую аутентификацию с помощью простых и доступных сенсоров (микрофонов), что иногда невозможно или дорого для иной биометрической информации. Удобство для пользователя, простота, способность легко интегрироваться с другими методами -- также важные факторы, говорящие о целесообразности применения речевых технологий в биометрических системах как отдельно, так и в комплексе с другими методами верификации/идентификации личности.

Верификация диктора предполагает подтверждение или отвержение личности по ее речевой фразе при авторизации, т.е. система решает "да" при принятии решения о признании диктора тем, за кого он себя выдает, или "нет" при попытке обмана системы диктором, пытающимся получить авторизацию под чужим именем. Качество системы верификации личности определяется двумя типами ошибок: FAR -- вероятностью принять "чужака" за "своего" и FRR -- вероятностью отвергнуть "своего". Но иногда критерий качества определяется как среднее этих ошибок EER= (FAR+FRR)/2 при условии их равенства. Система верификации диктора работает хорошо, если вероятность ошибочных решений относительно мала.

Идентификация диктора (31) по его речевой фразе представляет собой определение конкретной личности из заданной группы в N дикторов или вынесение решения, что диктор не принадлежит к этой группе. Решения системы 51 могут быть таковы: правильное определение конкретной личности, входящей в заданную группу; ошибочное определение личности, входящей в указанную группу ("перепутывание"); отвержение "своего"; принятие (и отождествление с одним из членов группы) или отвержение "чужака". Качество системы тем выше, чем меньше вероятность ошибки при вынесении решения. Однако некоторые ошибки могут быть менее значимы, чем другие (например, принятие "чужака" может приводить к более драматическим последствиям, т.е. более высокой цене решения, чем неверная идентификация личности из заданной группы).

Приложения систем верификации и идентификации могут быть самыми разнообразными -- от систем локальной или удаленной (по телефону) авторизации личности, связанной с предоставлением прав (используется при допуске к охраняемым объектам или к информации и финансовым операциям в рамках, например, электронной коммерции) до юридических аспектов аутентификации личности в судебной практике. Надежность верификации или идентификации, а также стоимость решения -- важные вопросы, решение которых зависит от конкретного приложения и имеющихся альтернатив.

Речевая фраза, являющаяся объектом анализа и принятия решения при распознавании диктора, может иметь фиксированный характер (пароль), быть выбранной системой по случайному закону из заданного набора или быть произвольной. Соответственно различают текстозависимый, текстоподсказанный или текстонезависимый режим SVI.

Системы автоматической верификации диктора по речевому сигналу обеспечивают надежность, соизмеримую с надежностью принятия решения человеком, хорошо знакомым с голосом диктора, а в некоторых ситуациях превосходят поточности решения человека (особенно при верификации по телефону). Система должна быть предварительно информирована о том, с каким конкретно диктором она взаимодействует, что обеспечивается вводом PIN-кода в речевой или иной форме. Вероятности ошибки EER на уровне долей процента характерны для продвинутых систем SV. Наиболее низкие значения EER характерны для текстозависимого режима, когда верификация диктора проводится по фиксированной парольной фразе, а искажения речевого сигнала отсутствуют. Предполагается, что диктор сотрудничает с системой, т.е. обеспечивает нормальнее взаимодействие с ней в режиме использования парольных фраз.

При идентификации диктора, входящего в небольшую группу (например, жителей интеллектуального дома или корпоративных пользователей) вероятность ошибки может быть на уровне одного процента или менее при хорошем качестве сигнала. Но с ростом числа дикторов надежность падает. Если для идентификации диктора используется текстонезависимый режим, когда речевая фраза может быть произвольной, то это также может понижать надежность.

1. Обзор методов анализа звуковых сигналов

1.1 Метод преобразования Гильберта

1.1.1 Понятие аналитического сигнала

Аналитический сигнал - это один из способов комплексного представления сигнала, который применяется при анализе данных. Он позволяет ввести в анализ понятия огибающей и мгновенной частоты сигнала.

Рис.1.1.1 Сигнал и его спектральная плотность

Произвольный динамический сигнал s(t), заданный на произвольном участке временной оси (как конечном, так и бесконечном), в общем случае, имеет комплексную двустороннюю (относительно нуля частоты спектральную плотность S(). При раздельном обратном преобразовании Фурье реальной и мнимой части спектра S() сигнал s(t) раскладывается на четную и нечетную составляющие. Пример сигнала (А), его комплексного спектра (В) и восстановления четной и нечетной части сигнала (С) из реальной и мнимой части спектра приведен на рис.1.1.1.

Обратное преобразование Фурье может быть также выполнено раздельно для положительных и отрицательных частот спектра:

s(t) =S()·exp(jt) d + S()·exp(jt) d (1.1.1)

В силу комплексной симметричности полную информацию о сигнале s(t) содержит как левая, так и правая часть спектра S(). Аналитическим сигналом, отображающим вещественный сигнал s(t), называют второй интеграл выражения (1.1.1), нормированный на, т.е. обратное преобразование Фурье спектра сигнала s(t) по положительным частотам:

z(t) = (1.1.2)

Дуальность свойств преобразования Фурье определяет, что аналитический сигнал z_s(t), полученный из односторонней спектральной функции, всегда является комплексным и может быть представлен в виде:

z_s(t) = Re z(t) + j·Im z(t).

Рис. 1.1.2 Сигналы z(t) и z*(t)

Аналогичное преобразование первого интеграла выражения (1.1.1) дает сигнал z_s*(t), комплексно сопряженный с сигналом z(t):

z_s*(t) = Re z(t) - j·Im z(t),

что наглядно видно на рис. 1.1.2 (для сигналов по спектру, приведенному на рис. 1.1.1).

При сложении функций z_s(t) и z_s*(t) мы обязаны получить (с учетом нормировки z(t) в (1.2) только на 1/р, а не на 1/2р), как в (1.1.1)):



s(t) = [z_s(t)+z_s*(t)]/2 = Re z(t).

Следовательно, реальная часть аналитического сигнала z_s(t) равна самому сигналу s(t). Мнимая часть сигнала z_s(t) является аналитически сопряженной с s(t) через преобразование Гильберта и называется квадратурным дополнением сигнала s(t). Если принять

Im(z(t)) = = TH[s(t)] = s(t) _* hb(t), (1.1.3)

hb(t) = 1/(рt),

где индексом обозначен сигнал не комплексно, а аналитически сопряженный с s(t), hb(t) - оператор Гильберта, то выражение для аналитического сигнала запишется следующим образом:

z_s(t) = s(t) + j. (1.1.4)

Это означает, что квадратурное дополнение сигнала s(t) представляет собой свертку сигнала s(t) с оператором 1/(рt) и может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами.

= (1/рt)s(t)dt'/(t-t'), (1.1.3')

Аналитический сигнал зависит от действительного аргумента, является однозначным и дифференцируемым. На комплексной плоскости он отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются от аргумента, а проекция сигнала на вещественную ось для любого значения аргумента равна значению исходного сигнала s(t). Какой-либо новой информации аналитический сигнал не несет, так как получен линейным преобразованием из исходного сигнала и представляет собой его новую математическую модель.

Почему оператор Гильберта для получения квадратурного дополнения сигнала определен выражением 1/(рt) и какую физическую операцию он выполняет? Ответ на этот вопрос может быть получен при рассмотрении спектра аналитического сигнала.

Спектральная плотность аналитического сигнала, если он сформирован непосредственно во временной области, определяется обычным преобразованием Фурье:

Z_s(?) = z_s(t) exp(-j?t) dt.

Эта функция, с учетом выражения (1.1.2), должна быть отлична от нуля только в области положительных частот, где ее значения (в силу нормировки на, а не на 2) должны быть равны удвоенным значениям спектральной плотности сигнала s(t):

Z_s() = (1.1.5)

С другой стороны, при непосредственном преобразовании формулы (1.1.4) аналитического сигнала z_s(t), получаем:

Z_s() = S() + j. (1.1.6)



Рис. 1.1.3

Данное выражение действительно для всей оси частот (от - до +) и должно быть равно выражению (1.1.5). А это означает, что левая часть спектра (отрицательные частоты) сигнала (1.1.6) должна быть обращена в ноль. Это может быть выполнено следующим образом.

Если левые части спектра сигнала S умножить на -1, обнулить реальную часть на частоте и оставить без изменения правые части спектра, то будут получены функции, показанные пунктиром на рис.1.1.3), которые дают нули в левой части спектра при сложении с исходной функцией S и увеличивают в 2 раза правые части спектра. Такая операция может быть выполнена умножением спектра S на сигнатурную функцию sgn:

sgn() = (1.1.7)

Однако при этом реальная часть новой функции sgn()·S(), как это можно видеть на рис.1.1.3, становится нечетной, а мнимая часть четной, что не соответствует статусу спектральных функций. Для восстановления статуса полученный результат нужно дополнительно умножить на -j. Применяя для левой и правой части частотных аргументов индексирование соответственно ?_l и ?_r, можно записать подробные выражения для спектров:

S(w) = Re S(w_l) + j·Im(w_l) + Re S(w_r) + j·Im(w_r),

= j·Re S(w_l) - Im(w_l) - j·Re S(w_r) + Im(w_r).

При умножении квадратурной функции на j (для выражения в (1.1.6)):

j·= -Re S(w_l) - j·Im(w_l) + Re S(w_r) + j·Im(w_r).

Отсюда нетрудно видеть результат:

Z_s(w) = S(w) + j = = 2·Re S(w_r) + j·2·Im(w_r) = 2·S(w_r),

что полностью соответствует выражению (2.1.5). В краткой форме:

= , = -jsgn(w)S(w), (1.1.8)

Таким образом, спектральная плотность аналитически сопряженного сигнала образуется из спектра S(w) исходного сигнала s(t) умножением на функцию -jsgn(w). Это обеспечивает при суммировании S(w) + j удвоение амплитуд частотных составляющих в области положительных частот и их взаимную компенсацию в области отрицательных частот.

1.1.2 Преобразование Гильберта

Из выражения (1.1.8) в спектральной области непосредственно следует соответствующая связь функций s(t) и во временной области:

= s(t) _* hb(t), (1.2.1)

где hb(t) = TF[-jsgn()] - обратное преобразование Фурье функции -jsgn():

hb(t) = 1/(t). (1.2.2)

Из выражения (1.1.8) нетрудно получить и обратную связь спектральных плотностей S() и :

S() = jsgn,

из которой следует:

s(t) = -_* hb(t). (1.2.1')

Выражения (1.2.1 и 1') известны в математике под названиями прямого и обратного преобразований Гильберта.

Определение преобразования. Прямое преобразование Гильберта произвольной действительной функции x(t), - < t < , результат которого будем отображать знаком тильды над индексом исходной функции, задается сверткой x(t) с функцией hb(t) = 1/(t):

(t) = H[x(t)] = x(t) _* (1/t), (1.2.3)

(t) = . (1.2.3')



Функция 1/(t-u) называется ядром преобразования Гильберта

Рис. 1.2.1

Интеграл преобразования имеет особую точку при a = t-u 0 и при вычислении используется его главное значение по Коши:

[... +...].

Оператор Гильберта определен по аргументу от - до и имеет полюс в точке t=0 с разрывом значений от - до . Основной участок формы оператора Гильберта и пример преобразования сигнала приведены на рис. 1.2.1.

Спектральная характеристика преобразования. Выполним преобразование Фурье функции (1.2.3). В общей форме:

(f) = TF[(t)] = X(f)Hb(f) (1.2.4)

(f) = (t) exp(-j2ft) dt. (1.2.4')

Заметим, что произведение X(f)Hb(f) не является преобразованием Гильберта спектральной функции X(f). Это не более чем преобразование Фурье свертки функций: x(t)_*hb(t) X(f)Hb(f), которое позволяет вычислить результат преобразования Гильберта во временной области через частотную область:

(t) =(f)exp(j2ft) df =X(f)Hb(f)exp(j2ft) df

Рис. 1.2.2

Функция hb(t)=1/t является нечетной, а спектр этой функции, представленный только мнимой частью, является (с учетом знака мнимой части) обратной сигнатурной функцией (рис.1.2.2):

Hb(f) = TF[1/t] = -jsgn(f) = (1.2.5)

Соответственно, формулы (1.2.3) задают преобразование сигнала x(t) системой, частотная передаточная характеристика которой отображается функцией -jsgn(f). Фурье-образ функции (t):

(f) = -j sgn(f)X(f). (1.2.4")

Рис. 1.2.3

На рис.1.2.3 приведено преобразование радиоимпульсного сигнала x(t) = a(t)cos(_ot) с несущей частотой в сигнал (t) во временной области непосредственно через операцию свертки по (1.2.3). Сигнал x(t) является односторонним каузальным. Спектр сигнала содержит реальную и мнимую составляющие, т.е. может быть записан в виде X(?) = Re(X(?)) + jIm(X(?)). Эти составляющие для сигнала x(t) на рис.1.2.3 показаны непрерывными кривыми на рис. 1.2.4 и 1.2.5.

При выполнении преобразования (1.2.4") реальная и мнимая части спектра X(?) умножается на -jsgn(?). Функция Re(X(?)) (1.2.4) умножается на 1 при ?<0, на 0 при ?=0 и на -1 при ?>0, и тем самым превращается в нечетную мнимую часть Im((?)) спектра (?) функции (t), показанную пунктиром.

Рис. 1.2.4 Преобразование Re(X) Im()

Рис. 1.2.5 Преобразование Im(X) Re()

Аналогично на функцию -jsgn(?) умножается и мнимая функция jIm(X(???, при этом сигнатурная функция инвертируется (-jj = 1), что меняет знак левой части функции Im(X(??? - области отрицательных частот, и превращает ее в реальную четную часть Re((?)) спектра (?) (рис.1.2.5).

Частотную характеристику Hb(f) (1.2.5) можно записать и в следующем виде:



Hb(f) = |Hb(f)|exp(j?_h(f)), где |Hb(f)| = 1

Hb(f) = -jsgn(f) = , (1.2.5')

Если спектр функции x(t) также представить в форме

X(f) = |X(f)|exp(j?_x(f)),

то выражение (1.2.4) преобразуется к следующей форме:

(f) = |X(f)|exp(jj_x(f))exp(jj_h(f)) = |X(f)|exp[j(j_x(f)+j_h(f))], (1.2.4''')

т.е. амплитудный спектр сигнала (t) - как результат преобразования Гильберта сигнала x(t), не изменяется и остается равным амплитудному спектру сигнала x(t). Фазовый спектр сигнала (t) (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90^о при f > 0 и на 90^о при f < 0 относительно фазового спектра сигнала x(t). Но такой фазовый сдвиг означает не что иное, как превращение косинусных гармоник в синусные, а синусных в косинусные. Последнее не трудно проверить на единичной гармонике.

Если x(t) = cos(2f_ot), то имеем следующее преобразование Гильберта через частотную область:

(t) = H[x(t)] TF[H[x(t)]] = -j sgn(f)[d(f+f_o)+d(f-f_o)]/2. (1.2.6)

(f) = -j[-d(f+f_o)+d(f-f_o)]/2 = j·[d(f+f_o)-d(f-f_o)]/2. (1.2.7)

Но последнее уравнение - спектр синусоиды. При обратном преобразовании Фурье:



(t) = TF^-1[(f)] = sin(2f_ot). (1.2.8)

При x(t) = sin(2pf_?t) аналогичная операция дает (t) = -cos(2f_ot). Знак минус демонстрирует отставание (запаздывание) выходного сигнала преобразования, как операции свертки, от входного сигнала. Для гармонических сигналов любой частоты с любой начальной фазой это запаздывание составляет четверть периода колебаний. На рис.1.2.3 этот сдвиг на четверть периода для единичной гармонической составляющей (несущей частоты радиоимпульса) виден достаточно наглядно. Таким образом, преобразование Гильберта, по существу, представляет собой идеальный фазовращатель, осуществляющий фазовый сдвиг на 90⁰ всех частотных составляющих сигналов одновременно.

Сдвиг фазы спектров сигналов x(t) на /2 определяет изменение четности и самих сигналов: четный x(t) нечетный (t), и наоборот.

Преобразование Гильберта позволяет вычислить аналитический сигнал

z(t) = x(t) + j(t) (1.2.9)

по его вещественной части, при этом спектр аналитического сигнала также является комплексным

Z(w) = X(w) + j(w) (1.2.10)

и односторонним, т.е. равным нулю на отрицательных частотах:

Z(w) = 0,--w < 0, (1.2.11)

что обеспечивается соотношением спектров:



X(w) = - j(f) при w < 0. (2.2.12)

В области отрицательных частот, при w < 0, соответствующие компоненты спектров X(w) и (w) гасят друг друга: Re(Z(w)) = 0, Im(Z(w)) = 0. Это и обеспечивает выполнение равенства (2.11).

Для нулевой частоты значения Im(X(w)), Im((w)) и Re((f)) равны нулю, при этом:

Re(Z(0)) = Re(X(0)), Im(Z(w)) = 0. (1.2.13)

Спектры каузальных функций. Допустим, что каузальная (физически осуществимая) линейная система с импульсным откликом h(t), t 0, имеет частотную характеристику H(f):

H(f) = A(f) - jB(f),

где A(f) и B(f) - действительная (четная) и мнимая (нечетная) части частотной характеристики. Осуществим обратное преобразование Фурье для всех частей этого выражения:

h(t) = a(t) + b(t),

a(t) =A(f) cos(2ft) df, b(t) =B(f) sin(2ft) df,

где a(t) и b(t) - соответственно четная и нечетная части импульсного отклика h(t). Условие каузальности для импульсного отклика (h(t) = 0 при t<0) будет выполнено, если при t<0 функции a(t) и b(t) компенсируют друг друга. Тогда общее условие каузальности, с учетом нечетности функции b(t) и b(0) = 0, запишется в следующем виде:



b(t) = -a(t), t < 0, (1.2.14)

b(t) = 0, a(t) = a(0), t = 0,

b(t) = a(t), t > 0.

Из этих условий следует, что нечетная функция b(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией:

b(t) = sgn(t)a(t), (1.2.15)

Осуществляя преобразование Фурье обеих частей данного равенства при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn(t) j/f), получаем:

Im(H(f)) = (j/f) _* A(f),

или, с учетом знака мнимой части:

B(f) = -(1/f) _* A(f) = -(1/) [A(v)/(f-v)] dv. (1.2.16)

Аналогично определяется и действительная компонента спектра по мнимой части:

A(f) = (1/f) _* B(f) = (1/) [B(v)/(f-v)] dv. (1.2.17)

Таким образом, реальная и мнимая части спектра физически осуществимых (односторонних) систем, а равно и произвольных каузальных сигналов, также связаны парой преобразований Гильберта. Они позволяют производить определение любой, действительной или мнимой, части частотной характеристики каузальной функции путем свертки другой ее части с функцией 1/f.



1.1.3 Свойства преобразования Гильберта

Для любых произвольных функций x(t) и y(t), имеющих Фурье - образы X(?), Y(?) и преобразования Гильберта (t) = Н[x(t)] и (t) = Н[y(t)], действительны следующие свойства:

Линейность

Н[ax(t)+by(t)] = a(t)+b(t)

при любых постоянных значениях коэффициентов а и b для любых произвольных функций x(t) и y(t).

Сдвиг

H[x(t-a)] = (t-a).

Преобразование константы, а в силу линейности преобразования, и постоянной составляющей сигнала, равно нулю. Это прямо следует из нечетности ядра преобразования Гильберта. Отсюда следует, что при преобразовании Гильберта из квадратурной составляющей исключается постоянная составляющая.

Свойство четности и нечетности определяется сдвигом всех гармоник сигнала на /2, при этом четные сигналы x(t) дают нечетные сигналы (t), и наоборот. Это действительно и для произвольных сигналов относительно их четных и нечетных частей.

Последовательное двойное преобразование Гильберта возвращает исходную функцию с обратным знаком

H[H[x(t)]] = H[(t)] = -x(t)

Это определяется тем, что при двойном преобразовании все гармоники сигнала сдвигаются на, что изменяет их знак. Однако в силу исключения из сигнала при первом преобразовании постоянной составляющей, при двойном преобразовании сигнал x(t) восстанавливается с исключенным средним значением по интервалу задания.

Обратное преобразование Гильберта, по существу, это второе преобразование в последовательном двойном преобразовании Гильберта с изменением знака результата:

x(t) = H^-1[(t)] = -= (t) _* (-1/t). (1.3.1)

Альтернативная форма вычисления x(t) из (t):

x(t) = TF^-1[(j sgn(f)TF[(t)]]. (1.3.1')

Подобие при изменении масштаба аргумента:

H[x(at)] = (at).

Энергетическая эквивалентность:

x²(t) dt =²(t) dt. (1.3.2)

Это следует из теоремы Парсеваля (энергия сигнала равна сумме энергии всех частотных составляющих сигнала) и равенства модулей спектров сигналов x(t) и (t) (энергия сигнала не зависит от его фазочастотной характеристики).

Свойство ортогональности:

x(t)(t) dt = 0. (1.3.3)

Если все косинусные составляющие сигнала x(t) превращаются в ортогональные им синусные составляющие сигнала , а синусные - в ортогональные им косинусные, то и сигналы x(t) и должны быть ортогональны. Из теоремы Парсеваля следует:

x(t)(t) dt = X^*(f)(f).

Функция

X^*(f)(f) = -X^*j sgn(f)X(f) = -j sgn(f)X(f)²

является нечетной, а поэтому определенный интеграл от этой функции по симметричным относительно нуля пределам равен нулю. Ортогональность сигналов наглядно видна на рис.1.2.1.

Свойство свертки:

H[x(t) _* y(t)] = _* y(t) = x(t) _* (t). (1.3.4)

Это вытекает из следующих соображений. Примем z(t) = x(t) _* y(t), при этом:

Z(f) = X(f)Y(f), (f) = -j sgn(f)Z(f) = -j sgn(f) X(f)Y(f).

(f) = [-j sgn(f) X(f)]Y(f) = Y(f) (t) _* y(t).

(f) = X(f)[-j sgn(f) Y(f)] = X(f)(f) x(t) _*(t).

Отсутствие коммутативности с преобразованием Фурье:

TF[H[x(t)]] H[TF[x(t)]]. (1.3.5)

Свойство модуляции: Модулирующие сигналы u(t), как правило, имеют ограниченный спектр, масимальные частоты которого много меньше значения несущей частоты _o, при этом:

H[u(t)cos(?_ot)] = u(t)sin(?_ot). (1.3.6)

Для четных функций u(t) это свойство очевидно. При переходе в частотную область:

H[u(t)cos(w_o)] -jsgn(w)[U(w) _* (d(w+w_o)+d(w-w_o))].

Множитель -jsgn(w) является знаковой константой по w и может быть внесен под интеграл свертки и умножен на (d(w+w_o)+d(w-w_o), что, как уже рассматривалось ранее (см. 1.2.6 - 1.2.8), при обратном преобразовании Фурье дает u(t)sin(w_ot).

Аналогично можно показать, что

H[u(t)sin(w_ot)] = -u(t)cos(w_ot). (1.3.7)

1.1.4 Вычисление преобразования Гильберта

Преобразование Гильберта аналоговых сигналов целесообразно выполнять не по формулам линейной свертки с оператором 1/t, который стремится к при t 0, а через спектр аналитической функции:

z(t) = x(t) + j(t) X(f) + j(f) = Z(f). (1.4.1)

Заменяя в этом выражении функцию (f) = -j sgn(f)X(f), получаем:

Z(f) = [1+sgn(f)]X(f), (1.4.2)

где функция 1+sgn(f) равна 0 при f < 0, 1 при f = 0 и 2 при f > 0, при этом:

Z(f) = , (1.4.2')

т.е. спектр функции z(t) является односторонним и устанавливается непосредственно по спектру функции x(t) при f 0 (см. также (1.2.13)). Обратное преобразование Фурье функции Z(f) должно давать комплексную функцию z(t), при этом из (1.4.2') следует:

x(t) = Re [2X(f) exp(j2ft) df], (1.4.3)

(t) = Im [2X(f) exp(j2ft) df]. (1.4.3')

В дискретной форме, при общем числе N отсчетов функции x(t) с шагом t и с шагом по частоте f =1/(Nt):

X(n?f) = ?tx(k?t)exp(-j2kn/N), n = 0,1,...,N/2. (1.4.4)

х(k?t) = 2?fRe[X(n?f)exp(j2kn/N)]. (1.4.5')

(k?t) = 2?fIm[X(n?f)exp(j2kn/N)]. (1.4.5)

Рис. 1.4.1

На рис.1.4.1 приведен пример преобразования Гильберта, выполненный через частотную область. На рисунке видно, что сигнал, восстановленный по (1.4.5'), смещен вниз на величину среднего значения исходного сигнала x(t). При формировании аналитической функции по (1.4.1, 1.1.4) в качестве вещественной части функции следует использовать исходный сигнал x(t), а не его форму по (1.4.5').

Оператор дискретного преобразования Гильберта hb(k?t) 1/t на интервале от -Т до Т с шагом ?t можно получить обратным преобразованием Фурье частотной характеристики Hb(f) (выражение 1.2.5) в интервале от -f_N до f_N (f_N=1/2?t). При ?t=1:

hb(k?t) =Hb(f) exp(j2fk?t) df =j exp(j2fk?t) df -j exp(j2fk?t)

df =

= [1/(2kt)][1-exp(-jkt)-exp(jkt)+1] =

= [1/(k?t)][1-(exp(-jk?t)+exp(jk?t)/2] =

= [1/(k?t)](1-cos(k?t)) = [2/(k?t)] sin²k?t/2). (1.4.6)

hb(k?t) = 2/(??t), k = 1, 3, 5, ... , (1.4.6')

hb(k?t) = 0, k = 0, 2, 4, ... .

Нетрудно убедиться, что коэффициент усиления постоянной составляющей оператора равен нулю, а коэффициент усиления дисперсии помех равен 1.

В частотной области при выполнении преобразования Гильберта спектральных функций оператор свертки hb(k?f)1/f не отличается от приведенного для временной области.

1.1.5 Примеры применения преобразования

Параметры сигналов

Огибающая и мгновенная фаза сигналов

Рис. 2.5.1

Зададим радиоимпульсный сигнал x(t) с информационной составляющей u(t) и одной несущей частотой w_o:

x(t) = a(t)cos(w_ot) + b(t)sin(w_ot).

u(t) =. (1.5.1)

С учетом свойства модуляции преобразования Гильберта, имеем:

(t) = a(t)sin(w_оt) - b(t)cos(w_ot).

z(t) = x(t) + j(t).

Квадрат модуля сигнала z(t):

|z(t)|² = x²(t)+²(t) = a²(t)[cos²(w_ot)+sin²(w_ot)] + b²(t)[cos²(w_ot)+sin²(w_ot)]

= u²(t).

Отсюда, огибающая и мгновенная фаза сигнала x(t):

u(t) =. (1.5.2)

j(t) = arctg[(t)/x(t)] = arctg[tg(w_ot)] = w_ot. (1.5.3)

Мгновенная частота сигнала определяется по скорости изменения фазы:

t = dj(t)/dt = = w_o, (1.5.4)

Для амплитудно-модулированных сигналов с одной несущей частотой эти результаты достаточно очевидны (см. рис.1.5.1). Но выражения (1.5.2-1.5.4), полученные из общих соображений, остаются действительными и для любых произвольных сигналов.

Рис. 1.5.2

На рис.1.5.2. представлен сигнал, сложенный двумя гармониками:

x(t) = a(t)cos(w₁t) + b(t)cos(w₂t).

Сопряженный и аналитический сигналы:

(t) = a(t)sin(w₁t) + b(t)sin(w₁t).

z(t) = x(t) + j(t).

Огибающая такого сигнала, как это можно видеть на рисунке 1.5.2, должна вычисляться по формуле (1.5.2). Для данного сигнала:

u(t) =



Мгновенная фаза сигнала, график которой приведен на рис.1.5.3, зависит от времени нелинейно:

Рис. 2.5.3

Рис. 2.5.4

(t) =

Мгновенная частота сигнала (рис.1.5.4) также имеет нелинейную зависимость от времени, причем ее значения могут существенно превышать даже суммарное значение частот, составляющих сигнал:

(t) =

Аналогичная методика определения огибающих и мгновенных значений фазы и частоты применяется и для анализа случайных процессов. Изображения полей параметров преобразования Гильберта применяются при интерпретации геофизических данных.

Анализ каузальных систем

Каузальная (физически осуществимая) линейная система (равно как и произвольная причинно обусловленная функция) задается односторонним импульсным откликом (выражением) h(t), t 0, и имеет частотную характеристику H(f):

H(f) = X(f) - jY(f), (1.5.5)

где X(f) и Y(f) - действительная (четная) и мнимая (нечетная) части частотной характеристики. Осуществим обратное преобразование Фурье для всех частей выражения раздельно:

h(t) = x(t) + y(t),

x(t) =X(f) cos(2ft) df, (1.5.6)

y(t) =Y(f) sin(2ft) df, (1.5.7)

где x(t) и y(t) - четная и нечетная части функции h(t). Условие каузальности для функции h(t), h(t) = 0 при t<0, будет выполнено, если при t<0 функции x(t) и y(t) компенсируют друг друга. Общее условие каузальности, с учетом нечетности функции y(t) и y(0) = 0, запишется в виде:

y(t) = x(t) = h(t)/2, t > 0. (1.5.8)

y(t) = 0, x(t) = h(0), t = 0,

y(t) = -h(t)/2, x(t) = h(t)/2, t < 0,

Из этих условий следует, что нечетная функция y(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией x(t):

y(t) = sgn(t)x(t). (1.5.9)

С учетом выражений (1.5.6-7) соответствующая связь между действительной и мнимой частями спектра каузальных функций:

X(f) cos(2ft) df =Y(f) sin(2ft) df, (1.5.10)

Осуществляя обратное преобразование Фурье обеих частей равенства (1.5.9) при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn(t) -j/(f)), получаем:

TF[y(t)] = (-j/f) _* X(f) = (-j/)[X(u)/(f-u)] du.

Отсюда:

Y(f) = (1/)[X(u)/(f-u)] du = H[X(f)], (1.5.11)

т.е. мнимая часть спектра импульсного отклика каузальной системы (и любой каузальной функции) является преобразованием Гильберта действительной части спектра. Соответственно, уравнение для определения действительной компоненты спектра по мнимой части:

X(f) = -H[Y(f)] = -(1/)[Y(u)/(f-u)] dv. (1.5.12)

1.2 Спектральные характеристики звуковых сигналов

Реальные звуковые сигналы редко бывают периодическими колебаниями или одиночными импульсами, поэтому традиционные формы рядов и интегралов Фурье мало подходят для описания их спектральных характеристик. Для анализа сигналов с ограниченной мощностью, заданных на бесконечном промежутке времени, пользуются понятием «мгновенный спектр»: представляет собой преобразование Фурье отрывка сигнала на промежутке ф, предшествующем текущему моменту времени t. Формула (1.2.2) позволяет построить адекватное описание работы спектроанализатора, выполненного по схеме на рис. 1.2.1. Частотную характеристику фильтра будем полагать прямоугольной, а интегратор -- идеальным с памятью меры ф, т.е. с прямоугольным импульсным откликом.

(1.2.1)

где щ(t₁)-- временное окно. В простейшем случае

Тогда мгновенный спектр

(1.2.2)

Рис. 1.2.1 Структурная схема спектроанализатора: 1 -- полосовой фильтр; 2 -- квадратор; 3 -- интегратор; 4 -- индикаторное устройство

Среднеквадратическая погрешность измерения напряжения флюк-туационных сигналов зависит от произведения ширины их спектра на время усреднения измерительной цепи, падает с его увеличением и достигает 10 % при значении названного произведения, равном 100. Если приближенно оценить длительность импульсного отклика полосового фильтра как, то по условию допустимой погрешности измерений должно быть, откуда. Это означает, что единственным носителем функции временного окна можно считать интегратор, а его импульсный отклик длительностью ф отождествлять с временным окном. Действительно, показание измерителя представляет собой функцию

(1.2.3)

т.е. средний квадрат фильтрованного сигнала. Этой функции должен быть поставлен в соответствие мгновенный спектр (1.2.2), в котором ф в точности равно аналогичной величине из формулы (1.2.3), т.е. времени интеграции фильтра 3.

В силу теоремы Рейли о равенстве энергий сигнала и его спектрального разложения средний квадрат сигнала до фильтра

(1.2.4)

и после фильтра

(1.2.5)

Спектральную плотность мощности оценивают величиной , отнесенной к полосе пропускания фильтра 1, равной 1 Гц. С учетом этого определения из формулы (1.2.5) получаем

(1.2.6)

Это не что иное, как средний (по полосе пропускания фильтра 1) квадрат модуля мгновенного амплитудного спектра во временном окне ф, т.е. результат двух усреднений: по частоте - спектральным окном и по времени - временным окном ф.У однородных флуктуационных процессов при (T₀-- интервал однородности) G не зависит от времени t.

В звукотехнике применяются измерители спектральной плотности, у которых полоса пропускания ДF не зависит от частоты настройки F₀, и спектрометры, у которых от частоты настройки не зависит величина , называемая относительной полосой пропускания. Выпускаются третьоктавные (д=0,23), полуоктавные (д=0,35) и октавные (д=0,71) спектрометры со стандартными частотными характеристиками. Результат спектрального анализа выражают в децибелах

(1.2.7)

где s²_и0 и s_и0 значения, соответствующие нулю шкалы уровней, и называют уровнем спектральной плотности, или просто спектральным уровнем. Для стационарных сигналов при фиксированном значении ф уровень N(F₀, t, ф) = N(F₀) является только функцией частоты настройки фильтра анализатора. В этом случае можно построить график называемый спектрограммой. Если измерения проводились при ДF=const то спектрограмма представляет собой уровень спектральной плотности мощности в функции частоты, а если при д=const спектральные уровни в третьоктавных, полуоктавных или октавных полосах.

У реальных звуковых сигналов функция (1.2.6) существенно зависит от аргументов t и ф. При фиксированном ф ее можно представить рельефом G над плоскостью F₀, t, но извлечь практическую пользу из этого сложно. Поэтому идут тремя путями.

Первый, наиболее старый, состоит в разбиении множества звуковых сигналов на такие подмножества, что для каждого из них оценка спектра не вызывает затруднений: звуковые импульсы (импульсные шумы, звуки представляет собой преобразование Фурье отрывка сигнала на промежутке ф, предшествующем текущему моменту времени t. Формула (1.2.2) позволяет построить адекватное описание работы спектроанализатора, выполненного по схеме на рис. 1.2.1. Частотную характеристику фильтра будем полагать прямоугольной, а интегратор -- идеальным с памятью меры ф, т.е. с прямоугольным импульсным откликом

Рис. 1.2.2 Спектральные функции белого (1), розового (2) и речевого (3) шумов: а -- графики спектральной плотности мощности; б-- третьоктавные спектрограммы

Собраны обширные сведения о спектрах звуков разговорных и певческих голосов, музыкальных инструментов, природных и индустриальных шумов. Обобщения накопленных сведений носят описательный характер, бедны числовыми оценками.

С точки зрения передачи сигнала по звуковому тракту полезной числовой оценкой спектра, полученной на этом пути исследований, служит частотный диапазон звуков. Сопоставляя его с полосой пропускания тракта ЗВ, судят о наличии или отсутствии частотных искажений выходного сигнала. Определить частотный диапазон источника звука по спектрограмме не всегда возможно из-за отсутствия объективных критериев значимости спектральных составляющих для слухового восприятия, поэтому прибегают к слуховым экспертизам. За верхнюю или нижнюю границу спектра источника звука F_гр принимают частоту среза обрезного фильтра F_ср. при которой ограничение частотного диапазона замечает 75 % слушателей.

Рис. 1.2.3 Заметность ограничения частотного диапазона сигналов речи (а) и музыки (б): 1 -- разговорная речь; 2-- певческая речь; 3-- симфонический оркестр; 4 -- эстрадный оркестр; 5 -- фортепьяно

В табл. 1.2.1 приведены сведения о частотных диапазонах некоторых источников звука, а на рис. 1.2.3 представлены статистические кривые заметности ограничения полосы частот звукового тракта сверху и снизу для ряда звуковых программ.

Таблица 1.2.1

Источник звука	Граничная частота, Гц
	нижняя	верхняя
Мужской голос	100	7000
Женский голос	200	9000
Рояль	100	5000
Скрипка	200	14000
Флейта	250	14000
Тарелки	400	12000
Литавры	65	3000
Шум шагов	100	10000
Аплодисменты	150	15000

Второй путь спектрального анализа звуковых сигналов ведет к следующей цели: внести определенность в результат измерений согласно формуле (1.2.6) максимально возможным увеличением временного окна ф; чем больше ф тем меньше спектральная плотность мощности зависит от t. Этот подход позволил перейти от звуков отдельных источников к звуковым программам и получить надежные результаты измерения спектра речи, сольного и хорового пения, симфонической и эстрадной музыки и т.д. Результатом анализа оказывается спектральная плотность средней мощности. Она дает оценку положения спектра на шкале частот и представление о мощности сигнала на разных ее участках, но не позволяет судить о частотном диапазоне звуковой программы. Энергетический критерий ширины спектра должен применяться только для оценки мощностей и тепловых режимов электронных и акустических систем тракта ЗВ, например, для рационального выбора мощностей громкоговорителей в многополосных акустических системах.

Третий путь состоит в объединении спектрального и статистического методов исследования сигналов для того, чтобы оценить изменчивость мгновенного спектра во времени вероятностной мерой. Временное окно ф можно выбирать достаточно малым, а спектральное окно ДF для сокращения трудоемкости измерений должно быть широким. Обычно проводят спектрально-статистический анализ звуковых сигналов в октавных полосах. Рассмотрим процедуру спектрально-статистического анализа с помощью графиков на рис. 1.2.4.

На выход октавного фильтра со средней частотой F₀₁ включают самописец для записи уровнеграммы или статистический анализатор и получают функцию распределения уровней сигнала F(N,F₀₁). Для примера на рис. 1.2.4,а показаны три функции распределения уровней одного и того же отрывка симфонической музыки в октавных полосах со средними частотами F₀₁=0,5 кГц, F₀₂=1 кГц и F₀₃=2 кГц. Затем на шкале вероятностей выбирают ряд значений F₁, F₂, … и переносят на частотный бланк (рис. 1.2.4,6) соответствующие этому ряду квантили распределений N(F₁,F₀₁), N(F₂,F₀₁), …; N(F₁,F₀₂), N(F₂,F₀₂),

Рис. 1.2.4 Спектрально-статистический анализ ЗВ (симфонический оркестр): а -- функции распределения уровней в октавных полосах; б-- спектрально-статистическая диаграмма

Одноименные квантили соединяют линиями равной вероятности, совокупность которых образует спектрально-статистическую диаграмму октавных уровней сигнала (иногда такие диаграммы называют спектрами уровней, что не вполне соответствует предмету измерения).

Наглядность спектрально-статистических диаграмм объясняется тем, что линии равной вероятности нигде не пересекаются: это следует из того, что функции распределения F(N,F_0k) -- неубывающие. Линия N(F_а, …) обязательно проходит выше линии N(F_b, …) если F_а> F_b.

У реального звукового сигнала уровни во всех октавных полосах -- переменные величины, функции времени N(t). Значения уровней, лежащих на одной линии равной вероятности, не превышаются уровнями в полосах N(t, t_0k) с вероятностью, равной параметру этой линии. Медиана уровней (на рис. 1.2.4,б показана штриховой линией) проходит через наивероятнейшие значения уровней в октавных полосах. Так как распределение уровней приблизительно гауссовское, медиана распределения совпадает с его математическим ожиданием и характеризует также средние значения уровней в октавных полосах.

Рис. 1.2.5 Спектральные кривые средней мощности ЗС (симфонический оркестр): 1 -- октавная спектрограмма; 2 -- линия поправок; 3 -- уровень спектральной плотности мощности

Одновременно со спектрально-статистической диаграммой измеряют уровни средней мощности в тех же частотных полосах, а результаты измерений часто наносят на тот же график. Поэтому надо помнить, что спектрограмма средней мощности представляет собой самостоятельный результат измерения, выполненного при большом времени усреднения г; она не имеет прямого отношения к спектрально-статистической диаграмме и не может быть из этой диаграммы вычислена. Из спектрограммы средней мощности (кривая 1 на рис. 1.2.5) можно получить график спектральной плотности мощности (кривая 3), сложив ее ординаты с ординатами линии поправок 2 -- прямой с наклоном --3 дБ/октава. Этим способом пользуются всегда, когда нужно перейти от результатов измерений, выполненных при д=const, к уровням спектральной плотности. Можно, например, преобразовать спектрально-статистическую диаграмму октавных уровней в диаграмму спектральной плотности мощности.

На рис. 1.2.6 приведены три спектрально-статистические диаграммы речи и музыки, совмещенные со спектральными кривыми уровня средней мощности в октавных полосах.

Часто возникает необходимость определить уровень сигнала во всем его частотном диапазоне F₁, F₂ по данным спектрального анализа. Если результаты измерений представлены уровнями N_k в октавных (1/2-октавных, 1/3-октавных) полосах, то суммарный уровень

Если же задан уровень спектральной плотности мощности N(F₀), то

(1.2.8)

Обычно промежуток F₁, F₂ разбивают на неперекрывающиеся полосы частот ДF_k с уровнями N_k и заменяют интеграл суммой:

(1.2.8a)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1.2.6. Спектрально-статистические диаграммы: а -- речи; б - фортепьяно; в -- эстрадной музыки (штриховыми линиями показаны октавные спектрограммы средней мощности)

Таблица 1.2.2

Номер полосы	1	2	3	4	5	6	7	8
Уровень, дБ	-22	-12	-6	-4	0	-3	-9	-11
100,1N	0,006	0,06	0,25	0,4	1	0,5	0,13	0,08

Таблица 1.2.3

Полоса частот, Гц	20...45	45...90	90. ..700	700.. .1400	1400...2800	2800...5600
Уровень, дБ	-10	-3	0	-6	-15	-20
Ширина полосы ДFk, Гц	25	45	610	700	1400	2800
100,4N	0,1	0.5	1	0.25	0,03	0,01
ДFk.100,1N	2,5	22,5	610	175	52	28

Для примера рассчитаем уровень мощности сигнала по спектрограммам на рис. 1.2.5 в полосе частот 20.. .5600 Гц. Нулю уровней в данном случае соответствует мощность в октавной полосе 350.. .700 Гц со средней частотой 500 Гц. Исходные данные по кривой 1 и результаты вычислений по формуле (1.2.7) сведены в табл. 1.2.2.

Сумма элементов последней строки С = 2,46, N = 10lgС = 3,9 дБ. Теперь вычислим ту же величину по формуле (1.2.8а) и кривой 3. Нулем децибел для кривой 3 является мощность сигнала в полосе 1 Гц. Она меньше мощности в октавной полосе на N₀ = 10lg(700 -- 350) = 25.4 дБ. Найдем сначала суммарный уровень относительно нуля децибел кривой 3, а потом внесем поправку. Исходные данные по кривой 3 и результаты вычислений по формуле (1.2.8а) даны в табл. 1.2.3.

Сумма элементов последней строки С₁ = 890, N₁ = 10lgС₁ = 29,5 дБ, N = N₁ -- N₀ = 29,5 -- 25,4 = 4,1 дБ. Расхождение с предыдущим результатом на 0,2 дБ вполне приемлемое.

Заметим в заключение, что установить закон распределения уровней широкополосного сигнала по спектрально-статистической диаграмме с помощью аналогичных вычислений невозможно, так как уровни в разных октавных полосах не являются независимыми случайными величинами.



2. Разработка алгоритма

2.1 Описание средств разработки

2.1.1 MatLAB

MatLAB - это высокопроизводительный язык для технических расчетов. Он включает в себя вычисления, визуализацию и программирование в удобной среде, где задачи и решения выражаються в форме, близкой к математической. Типичное использование MatLAB - это:

- математические вычисления

- создание алгоритмов

- моделирование

- анализ данных, исследования и визуализация

- научно инженерная графика

- разработка приложений включая создание графического интерфейса

Система MatLAB (сокращение от MATrix LABoratory -- МАТ-пичная ЛАБоратория) является интерактивной системой для выполнения инженерных и научных расчетов, ориентированной на работу с массивами данных. Система использует математический сопроцессор и допускает возможность обращения к программам, написанным на языках FORTRAN, С и C++.

Привлекательной особенностью системы является то, что она содержит развитую встроенную матричную и комплексную арифметику. Система поддерживает выполнение операций с векторами, матрицами и массивами данных, реализует сингулярное и спектральное разложения, расчет ранга и чисел обусловленности матриц, поддерживает работу с алгебраическими полиномами, решение нелинейных уравнений и задач оптимизации, интегрирование в квадратурах, решение дифференциальных и разностных уравнений, построение различных видов графиков, трехмерных поверхностей и линий уровня. В ней реализована удобная операционная среда, позволяющая формулировать проблемы и получать решения в привычной математической форме, не прибегая к рутинному программированию.

Основным объектом системы MatLAB является прямоугольный числовой массив, который допускает комплексные элементы и ввод матриц без явного указания их размеров. Система позволяет решать лпогие вычислительные задачи за значительно меньшее время, нежели то, которое необходимо для написания соответствующих программ на языках FORTRAN, Basic и С.

Система MatLAB выполняет операции с векторами и матрицами даже в режиме непосредственных вычислений без какого-либо программирования. Ею можно пользоваться как мощнейшим калькулятором, в котором наряду с обычными арифметическими и алгебраическими действиями могут использоваться такие сложные операции, как обращение матрицы, вычисление ее собственных значений и векторов, решение систем линейных алгебраических уравнений и много других. Однако основная отличительная черта системы -- это легкость ее модификации и адаптации к конкретным задачам пользователя. Пользователь может ввести в систему любую новую команду, оператор или функцию и пользоваться затем ими так же просто, как и встроенными операторами и функциями. При этом, в отличие от языков программирования, таких как Basic, Pascal или С, нет необходимости в их предварительном описании. Новые программы, функции и процедуры в системе MatLAB сохраняются в виде файлов, имеющих расширение .m. Это делает набор операторов и функций практически неограниченным.

2.1.2 Cool Edit Pro 2

Редактор звуков Cool Edit создан всего одним человеком -- Дэвидом Джонсом. Правами на распространение программы обладает фирма Syntrillium Software Corporation. Редактор является свободно распространяемым (Share Ware), его всегда можно найти в Internet на сайте www.syntrillium.com. А если у вас нет возможности прогуляться по всемирной паутине, то Cool Edit можно приобрести в сборниках программ, распространяемых на CD-ROM.

На протяжении ряда лет автор программы непрерывно улучшал свое детище и практически достиг совершенства. Последняя на момент написания книги версия программы Cool Edit 96 представляет собой звуковой редактор, обладающий практически всеми возможностями, какие только могут быть у программ такого класса. Cool Edit 96 работает под управлением MS Windows 95 или MS Windows NT.

Многие специалисты дают этой программе самые высокие оценки. Так, например, в статье ее автор, рекламирующий Cool Edit 96, перечисляя многочисленные достоинства программы, отыскал в ней единственный недостаток: «Из недостатков же можно отметить отсутствие инструментов для создания звуковых циклов (loop) с целью последующего их использования в сэмплере». На самом деле средство для зацикливания в ней имеется. Получается, что Cool Edit вообще не имеет недостатков. Хотя, конечно, в мире не может быть ничего абсолютно совершенного. Возможно, и Cool Edit 96 присущи какие-либо недостатки, которые пока остались незамеченными. Но в том, что звуковой редактор оправдывает свое название («Cool» -- крутой), мы уверены на все 200 %.

2.2 Описание программ, реализующих алгоритм

2.2.1 Программа выделения огибающей типовых сигналов

При разработке алгоритма выделения огибающей была использована стандартная функция MatLAB hilbert которая позволяет провести преобразование Гильберта для любого процесса и возвращает реальную и мнимую части сигнала. Для начала было проведено несколько исследований работы алгоритма выделения огибающей для типовых сигналов: синусоида, радиоимпульс, амплитудно-модулированное колебание (АМК) и АМК с примесью шума в модулирующее колебание.

Программа выделения огибающей гармонического сигнала:

s = zeros(1,256);

s(1:256) = cos(pi/8*(1:256));

sa = hilbert(s);

Xi=imag(sa);

Xr=real(sa);

A=sqrt((Xi.^2)+(Xr.^2));

f = (-128:127)/128;

subplot(2,1,1);

plot(f, Xr);

subplot(2,1,2);

plot(f, abs(A));YLIM([0 2]);

Рис. 2.1 Гармонический сигнал

Рис. 2.2 Огибающая гармонического сигнала

Программа выделения огибающей радиоимпульса:

s = zeros(1,256);

s(64:196) = cos(pi/8*(64:196));

sa = hilbert(s);

Xi=imag(sa);

Xr=real(sa);

A=sqrt((Xi.^2)+(Xr.^2));

f = (-128:127)/128;

subplot(2,1,1);

plot(f, Xr);

subplot(2,1,2);

plot(f, abs(A));YLIM([0 2]);

Рис. 2.3 Радиоимпульс

Рис. 2.4 Огибающая радиоимпульса

Программа выделения огибающей АМК:

s = zeros(1,256);

s(1:256) = (1+0.5*cos(pi/64*(1:256))).*cos(pi/4*(1:256));

sa = hilbert(s);

Xi=imag(sa);

Xr=real(sa);

A=sqrt((Xi.^2)+(Xr.^2));

f = (-128:127)/128;

subplot(2,1,1);

plot(f, Xr);

subplot(2,1,2);

plot(f, abs(A));YLIM([0 2]);

Рис. 2.5 Амплитудно-модулированное колебание

Рис. 2.6 Огибающая АМК

Рис. 2.7 Амплитудно-модулированное колебание с другой несущей частотой

Рис. 2.8. Огибающая АМК

Как видно из последних графиков частота несущего колебания не влияет на вид огибающей сигнала.