Исследование оптимизационных задач электроснабжения электрифицированных железных дорог

Критерием оптимальности в этой задаче является минимум потерь активной мощности:

где

Qi - реактивные нагрузки узлов, соответственно кВар.

Qki - устанавливаемые компенсирующие устройства

Минимум целевой функции ищется при ограничении источников реактивной мощности:

Абсолютный экстремум функции Лагранжа записывается в виде:



Минимальные значение этой функции определяются приравниванием к нулю производных по всем переменным:

Постановляя выражение из первого уравнения во второе, и третье получаем соответственно:

решая которое получите кВар;

откуда кВар. Из последнего уравнения системы (10) вычисляется кВар.

Множитель Лагранжа находится из выражения

Таким образом минимальные потери активной мощности в рассматриваемой схеме электроснабжения при ограничении суммарной мощности компенсирующих устройств составляет:

Выводы по второй главе

1. Наиболее простыми задачами нелинейного программирования являются задачи безусловной оптимизации. В этих задачах ищется абсолютный экстремум целевой функции без ограничений и граничных условий.

2. Одной из важных оптимизационных задач электроэнергетики является задача распределения суммарной активной мощности потребителей энергосистемы между электрическими станциями этой системы. Рассмотрим эту задачу в общем виде для наиболее простого случая, когда в энергосистеме имеются только тепловые электростанции, работающие на одном виде топлива.

3. Для электрифицируемой железной дороги. Приведен инженерный метод и расчет распределения между узлами с реактивами нагрузками заданной суммарной мощности компенсирующих устройств.

Глава 3. Оптимизационные задачи с целочисленными и дискретными переменными

3.1 Задачи с целочисленными переменными

В изложенном выше материале по решению оптимизационных задач методами линейного и нелинейного программирования все искомые переменные имели непрерывный характер. Эти переменные в заданном диапазоне изменения могли принимать любые значения.

При решении достаточно большого количества оптимизационных задач все искомые переменные или их часть должны принимать только значения целых чисел. Математическая модель таких задач аналогична рассмотренным выше линейным и нелинейным моделям и содержит целевую функцию, систему ограничений и граничные условия. Однако система ограничений в задачах с целочисленными переменными дополняется ограничениями типа

хk-целое, k=1,2, ... l (3.1)

где l - количество целочисленных переменных, l п;

п - общее количество переменных.

Оптимизационные задачи, в которых искомые переменные или их часть должны быть целыми числами, решаются методами целочисленного программирования.

Введение дополнительных ограничений по целочисленности переменных существенно увеличивает объем вычислений и усложняет вычислительную процедуру при поиске оптимального решения. Однако в заданном диапазоне изменения переменной целочисленная переменная имеет меньшее количество значений, чем непрерывная переменная. В частности, в диапазоне 0 х 3 целочисленная переменная х имеет четыре значения (х = 0, 1, 2, 3), а непрерывная переменная - бесконечное количество значений.

Попытка решить целочисленную оптимизационную задачу методом полного перебора значений переменных приводит к очень большему объему вычислений. Так, например, в задаче с тремя целочисленными переменными и диапазоном их изменения 0 хk 10, k= 1, 2, 3 количество целочисленных решений составит 113=1331. Ясно, что для реальных оптимизационных задач метод полного перебора не приемлем.

Другая попытка решения целочисленной задачи заключается в решении этой задачи без наложения ограничений вида (3.1). В этом случае решается обычная задача с непрерывными переменными, а полученные непрерывные переменные округляются до целых чисел.

В задаче примера 2, решенной с непрерывными переменными, был получен следующий результат:

x1=0; x2=11,76; х3=8,82 изд.; значение целевой функции Z= 235,29 у.е.

Переменные х1, х2, х3 представляют собой количества изделий 1, 2 и 3-го видов и не могут быть дробными числами. Поэтому округлим непрерывные переменные до ближайших больших и меньших целых чисел. В результате получим 4 решения:

х1 = 0, х2 = 12, х3 = 9, значение целевой функции Z = 240 у.е.; решение недопустимое, поскольку не выполняются первое (20+212+39=51>50) и второе (60+5,512+49=102>100) ограничения;

x1 = 0, х2 - 12, хз = 8, значение целевой функции Z = 228 у.е.; решение допустимое, все ограничения выполняются;

x1 = 0, х2 = 11, х3 = 9, значение целевой функции Z = 229 у.е.; решение допустимое, все ограничения выполняются;

x1 = 0, х2 = 11, хз = 8, значение целевой функции Z = 217 у.е.; решение допустимое, все ограничения выполняются.

Видно, что требование целочисленности, как и каждое дополнительное требование, ухудшает значение целевой функции (прибыль уменьшается);

округление непрерывных переменных до ближайших целых чисел привело к недопустимому решению (x1 = 0, х2 = 12, х3 = 9);

округление непрерывных переменных до целых чисел, как в большую, так и в меньшую стороны, дает некоторое множество допустимых решений. Есть ли среди этого множества допустимых решений оптимальное или нет, неизвестно.

Решение целочисленной задачи можно свести к решению непрерывной задачи, вводя дополнительно более простые ограничения, чем ограничение типа (5.1). Так для задачи примера 2 можно дополнительно ввести ограничения:

х211, х38;

х211,х39;

х212, х38;

х212, х39

и четыре раза решать задачу с непрерывными переменными. Однако и в этом случае нет гарантии, что среди решений будет оптимальное целочисленное решение.

Существуют различные методы решения целочисленных оптимизационных задач: метод отсечений, метод Беллмана, метод ветвей и границ. В частности, метод ветвей и границ основан на переборе допустимых решений, но на переборе не отдельных решений, а их групп. Такой подход сокращает общий объем вычислений.

Однако не будем разбираться в подробностях методов целочисленного программирования, а поручим, как истинный Пользователь, эту разборку компьютеру, поскольку программное обеспечение Excel 7.0 позволяет решать задачи целочисленного программирования.

Ввод исходных данных целочисленной задачи отличается от ввода исходных данных задачи с непрерывными переменными заданием дополнительных ограничений вида (3.1).

Решение задачи примера 2 с требованием непрерывними целочисленности переменных непрерывными и целочисленными переменными представлены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Непрерывные переменные	Целочисленные переменные
x1	x2	x3	Z	x1	x2	x3	Z
0	11,76	8,82	235,29	0	10	10	230

Из сопоставления двух решений можно сделать следующие выводы.

Как и следовало ожидать, значение целевой функции Z в целочисленной задаче ухудшилось, поскольку введено дополнительное ограничение: х1, х2, х3- целые.

Округление непрерывных переменных до целых чисел как в большую, так и в меньшую сторону может привести к неоптимальному и даже недопустимому решению.

3. Оптимальным решением целочисленной задачи может оказаться такое решение, в котором переменные не являются ближайшими к переменным в оптимальном решении непрерывной задачи.

3.2 Двоичные переменные

Частным случаем целочисленных задач являются задачи, в которых искомые переменные могут принимать не любые целые значения, а только одно из двух: либо 0, либо 1. Такие переменные называются двоичными или булевыми.

Распространенными задачами с двоичными переменными являются задачи выбора оптимального решения (варианта) из определенного числа заданных решений (вариантов). Если вариант входит в оптимальное решение, то двоичная переменная, соответствующая этому варианту, равна 1. Если вариант не входит в оптимальное решение, то соответствующая двоичная переменная равна 0. Например, если линия электропередачи входит в оптимальную электрическую сеть, то двоичная переменная, соответствующая этой линии равна 1; если линия электропередачи не входит в оптимальную электрическую сеть, то соответствующая двоичная переменная равна 0.

В отличие от традиционных переменных х, двоичные переменные будем обозначать i где i =1,2, ... п.

Применение двоичных переменных позволяет накладывать на решаемую задачу целый ряд логических условий типа «если ... , то...».

Если в оптимальное решение должен входить один из двух (i и j) вариантов, то сумма переменных

(3.2)

Если в оптимальное решение должны входить и i-й и j-й варианты, то сумма переменных

(3.3)

Если в оптимальное решение может входить или не входить, каждый из двух (i и j) вариантов, то сумма переменных

(3.4)

Если при входе (не входе) в оптимальное решение i-го варианта в это решение должен войти (не войти) и j-й вариант, то

(3.5)

Аналогичные условия можно записать для трех и более вариантов. Если из п возможных вариантов в оптимальное решение должны входить только т вариантов (т < п), то

(3.6)

Очевидно, что количество логических условий типа «если ... , то ...» не ограничено.

3.3 Задачи с дискретными переменными

В ряде практических оптимизационных задач заранее известен набор допустимых решений, из которых требуется выбрать оптимальное решение. Например, одно компенсирующее устройство заданной мощности Qk можно разместить в узлах 1,2, ... п системы электроснабжения. Требуется выбрать оптимальный узел размещения компенсирующего устройства, соответствующий выбранному критерию.

В ряде других задач искомые переменные могут принимать не любые, а только определенные значения, из которых требуется выбрать значения переменных, отвечающие оптимальному решению. Например, в заданном узле системы электроснабжения нужно установить компенсирующее устройство, мощность которого может быть равной значениям Qk1, Qk2… Qkn Из этого ряда требуется выбрать оптимальное значение мощности компенсирующего устройства, соответствующее выбранному критерию.

Указанные задачи относятся к задачам выбора вариантов из числа заданных и решаются методами дискретного программирования. В этих методах наряду с традиционными переменными используются двоичные переменные, возможности которых по заданию логических условий рассмотрены в п. 3.2.

Математическая модель задач дискретного программирования аналогична рассмотренным выше моделям и содержит целевую функцию, систему ограничений и граничные условия. Зависимости между переменными в целевой функции и системе ограничений могут быть как линейными, так и нелинейными. Задаваемые значения дискретных переменных могут быть любыми, в том числе и целочисленными.

Пусть в оптимизационной задаче имеется п искомых переменных

xi(i=1, 2, ... n). Дискретные значения каждой переменной заданы. В оптимальное решение должны войти к переменных (k < п). Каждой переменной xi поставим в соответствие двоичную переменную 8,. Если в процессе решения задачи i=1, то переменная xi, войдет в оптимальное решение; если i=0, то переменная xt не войдет в оптимальное решение.

Целевая функция включает в себя и дискретные х1 х2, ... хn двоичные переменные

(3.7)

В систему ограничений входят и дискретные и двоичные переменные

(3.8)

К этой системе добавляются ограничения вида

(3.9)

,- двоичные, i =1, 2, ... п.

Граничные условия, как таковые, не записываем, поскольку возможные значения дискретных переменных являются заданными, а значения двоичных переменных могут быть только 0 или 1.

Не вдаваясь в подробности методов дискретного программирования, отметим, что программное обеспечение Excel 7.0 позволяет решать оптимизационные задачи с дискретными переменными. Поэтому предоставим пользователю составление математической модели оптимизационной задачи и ввод исходной информации в компьютер, а вычислительную процедуру предоставим компьютеру.

Пример. Составить математическую модель для определения в схеме электроснабжения (рис. 3.1) оптимального узла установки компенсирующего устройства, заданной мощности Qk. Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности в схеме.

Исходные данные:

напряжение схемы U= 10 кВ;

сопротивления линий Ri=0,4, i?2=0,5, R3=0,6 Ом;

реактивные нагрузки узлов 1, 2 и 3 Qi=600, <22=500, <2з=400 квар;

мощность компенсирующего устройства Qk =1000 квар

Рис. 3.1 Схема электроснабжения

Решение. В рассматриваемой схеме имеются три узла 1, 2 и 3, в каждом из которых можно установить компенсирующее устройство. Обозначим переменными Qk1, Qk2 и Qk3 мощности компенсирующих устройств, размещаемых соответственно в узлах 1, 2 и 3. Это дискретные переменные, каждая из которых может принимать два значения 0 или 1000 квар.

Каждой переменной Qk1, Qk2 и Qk3 поставим в соответствие двоичную переменную 1, 2 и 3.

Целевая функция, представляющая собой потери мощности в схеме, будет иметь следующий вид:

где ai=Ri/U2 (i=1,2,3).

Выражение для потерь мощности предусматривает возможность установки компенсирующего устройства в каждом из трех узлов. Однако в зависимости от величины двоичной переменной компенсирующее устройство в узле i должно быть установлено при i =1 или не должно быть установлено при i =0.

Перейдем к системе ограничений. Поскольку компенсирующее устройство может быть установлено только в одном узле, сумма двоичных переменных должна быть равна 1

и - двоичные.

Величина дискретной переменной Qkl будет зависеть от значения соответствующей двоичной переменной i;. Переменная Qk, = Qk при i=l и Qki = 0 при i =0. Запишем эти условия

Qk1= Qk1;

Qk2= Qk2;

Qk3= Qk3.

Граничные условия не записываем, поскольку имеем только двоичные и дискретные переменные.

Результаты решения задачи с помощью программного обеспечения Excel приведены в приложении П5:

1=0, 2 =1, 3 = 0, Qk1 = 0, Qk2 = 1000 квар, Qk3= 0, Р - 2010 Вт.

Таким образом, для обеспечения минимальных потерь мощности компенсирующее устройство мощностью 1000 квар следует установить в узле 2 схемы электроснабжения.

Пример. Составить математическую модель для определения оптимальной мощности компенсирующего устройства в узле 2 схемы электроснабжения (рис. 5.1). Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности.

Исходные данные те же, что и в примере 9. Мощность компенсирующего устройства может принимать следующие дискретные значения: 1100, 1200 или 1300 квар.

Решение. В рассматриваемом примере имеем одну дискретную переменную - мощность компенсирующего устройства во 2-м узле. Эта переменная может принимать три дискретных значения Qk1=1100, Qk2=1200 и Qk3=1300 квар. Каждому значению дискретной переменной поставим в соответствие двоичную переменную и .

Целевая функция, представляющая собой потери мощности в схеме, будет иметь следующий вид:

где ai/U2 (i=l, 2, 3).

Рассмотрим ограничения. Поскольку дискретная переменная должна принять только одно значение, сумма двоичных переменных должна быть равна 1

и - двоичные.

Других ограничений нет.

Граничные условия не записываем, поскольку имеем только дискретную и двоичные переменные.

Результаты решения задачи:

1=0, 2 =1, 3 = 0, Qk1 = 0, Qk2 = 1200 квар, Qk3= 0, Р - 1770 Вт.

Таким образом, для обеспечения минимальных потерь мощности в схеме электроснабжения величину мощности компенсирующего устройства в узле 2 следует принять равной 1200 квар.

Выводы по третьей главе

1. Наиболее простыми задачами нелинейного программирования являются задачи безусловной оптимизации. В этих задачах ищется абсолютный экстремум целевой функции без ограничений и граничных условий.

2. Одной из важных оптимизационных задач электроэнергетики является задача распределения суммарной активной мощности потребителей энергосистемы между электрическими станциями этой системы. Рассмотрим эту задачу в общем виде для наиболее простого случая, когда в энергосистеме имеются только тепловые электростанции, работающие на одном виде топлива.

Глава 4. Оптимизационные задачи при случайной исходной информации и многокритериальные задачи

4.1 Основные понятия

В предыдущих главах рассматривалось решение оптимизационных задач, в которых вся исходная информация была однозначно определена. Такая информация называется детерминированной. Примером детерминированной исходной информации могут служить однозначные значения коэффициентов zi <3у и aij и bj (i=1 1, 2,...п; j=1, 2,...m) в линейной математической модели (2.1). В практических задачах далеко не всегда исходная информация бывает детерминированной.

Достаточно часто исходная информация или ее часть представляют собой случайные величины или случайные функции. В частности, мощности нагрузок в проектируемой системе электроснабжения можно считать случайными величинами, а изменения во времени напряжений в узлах существующей системы электроснабжения - случайными функциями. Для решения оптимизационных задач со случайной исходной информацией используются методы стохастического программирования.

Известно, что случайными величинами занимается раздел высшей математики - теория вероятностей. Поэтому прежде чем перейти к методам решения оптимизационных задач вспомним некоторые понятия этой теории.

Случайной величиной s называется такая величина, которая может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайная величина s может быть непрерывной или дискретной. В заданном диапазоне изменения случайной величины количество значений дискретной случайной величины ограничено, а количество значений непрерывной случайной величины не ограничено. Примером непрерывной случайной величины является величина напряжения в некотором узле системы электроснабжения. Примером дискретной случайной величины является количество генераторов, одновременно работающих в энергосистеме.

Математическим ожиданием случайной величины называется ее среднее значение, полученное в результате п реализаций:

(4.1)

где Si - значение случайной величины в i-й реализации.

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение определяет разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания:

(4.2)

Важной характеристикой случайной величины служит вероятность Р появления этой случайной величины в конкретном интервале значений.

Для количественной оценки вероятности случайной величины вводится функция распределения вероятности. Допустим, что случайная величина s может принимать значения от - до +. Функция распределения P(s) этой случайной величины показывает вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от - до s. Следовательно,

Р(-) = 0, Р(+)=1 (4.3)

Наибольшее распространение на практике получил нормальный закон распределения. В соответствии с этим законом с вероятностью 0,999 случайная величина s (-00 < s < +00) находится в интервале

M[s] - 3[s] s M[s] + 3[s] (4.4)

что и принимается за действительные пределы изменения случайной величины s.

При решении практических задач достаточно часто применяют нормальный стандартный закон распределения. Этот закон описывает вероятность появления стандартной случайной величины , имеющей математическое ожидание М[]=0 и среднеквадратичное отклонение []=1, в интервале -3 3 (рис. 4.1).

С помощью этого графика решаются две обратные друг другу задачи. С одной стороны, определяется, каково должно быть значение случайной величины , чтобы вероятность ее появления составила, например Р()=0,8. Это значение случайной величины составляет 0,84. С другой стороны, определяется вероятность появления случайной величины, не превышающей, например значения 0,84 P (0,84). Эта вероятность составляет Р()=0,8.

Рис. 4.1 Функция распределения нормального стандартного закона

В Excel эти вычисления выполняются с помощью статистических функций НОРМСТОБР(0,8)=0,84 и НОРМСТРАСП(0,84) = 0,8 после обращения к мастеру функций fх в главном меню.

От функции распределения нормального стандартного закона можно перейти к функции распределения нормального закона любой cлучайной величины s оптимизационной задачи. Связь между этой случайной величиной стандартной случайной величиной т) выражается зависимостью

s = M[s] + [s] (4.5)

4.2 Математические модели стохастических задач

Следует иметь в виду, что универсальных методов решения задач стохастического программирования, пригодных для всех классов оптимизационных задач, нет. Поэтому ограничимся рассмотрением математических моделей только одного класса стохастических задач, а именно, стохастических задач линейного программирования.

Напомним, что математическая модель задачи линейного программирования, включающая в себя целевую функцию, ограничения и граничные условия, имеет следующий вид:

(4.6)

В детерминированной постановке оптимизационной задачи коэффициенты zi, аji и bj (i=1,2,... n; j=1,2,... m) и границы di и Di диапазона изменения переменных однозначно определены.

Если коэффициенты zi целевой функции являются случайными величинами, ищется экстремальное значение математического ожидания целевой функции

М[Z] extr (4.7)

Если коэффициенты аji и (или) bj системы ограничений являются случайными величинами, то для каждого j-го ограничения задается значение вероятности Рзад j, с которой должно выполняться это ограничение. Вероятность выполнения каждого j-го ограничения должна быть не меньше заданной

(4.8)

Граничные условия в практических оптимизационных задачах, как правило, не содержат случайных величин и записываются без изменения.

Итак, математическая модель задачи стохастического программирования имеет следующий вид:

М[Z] extr;

(4.9)

4.3 Детерминированный эквивалент стохастической задачи

Стохастические задачи, математические модели которых представлены в виде (4.9), непосредственно решены быть не могут. Как правило, задачи со случайной исходной информацией сводят к их детерминированному эквиваленту. Для этого случайные величины заменяются их характеристиками (математическим ожиданием, стандартным отклонением) и считается, что случайная величина имеет нормальный закон распределения.

Если случайными величинами являются коэффициенты Z; целевой функции, эти коэффициенты заменяются их математическими ожиданиями. В результате такой замены получим детерминированный эквивалент целевой функции

M[Z] = M[z1]x1+M[z2]x2+...M[zn]xn extr. (4.10)

Для каждого j-го ограничения задается вероятность Рзад j с которой должно выполняться это ограничение. По значению Рзад j находится значение стандартной случайной величины . С учетом соотношения (4.5) осуществляется переход от стандартной случайной величины к случайным величинам оптимизационной задачи аji и bj

Если случайной величиной являются коэффициенты аji то детерминированный эквиваленту j-го ограничения будет иметь вид

(4.11)

Если случайной величиной являются коэффициенты аji, то детерминированный эквиваленту j-го ограничения будет иметь вид

(4.12)

Граничные условия остаются без изменения в виде

Таким образом, математическая модель стохастической задачи сводится к детерминированному эквиваленту (4.10), (4.11) и (4.12).

Следует отметить, что в основной массе стохастических задач далеко не все коэффициенты zi, аji 1 и bj (i=1,2,...n; j=1,2,...m) могут быть случайными величинами. Часто такими величинами могут быть один или несколько коэффициентов.

Пример. Составить математическую модель задачи распределения ресурсов (примеры 1 и 2) для случая, когда количество сырьевого ресурса на предприятии является случайной величиной. Известна поставка сырья за некоторый предыдущий период.

Решение. В примерах 1 и 2 была получена следующая детерминированная математическая модель задачи:

В п. 4.1. к этой модели было добавлено условие целочисленности переменных:

В поставленной задаче коэффициент Ь3 (количество сырьевого ресурса) является случайной величиной.

Поставка сырья за некоторый предыдущий период представлена в виде табл. 6.1.

Таблица 4.1

День	1	2	3	4	5	6
Поставка сырья, е.с.	180	150	125	120	170	155	150	23,9

В этой же таблице приведены рассчитанные по выражениям (4.1) и (4.2) значения математического ожидания и стандартного отклонения ст сырьевого ресурса. Отметим, что математическое

ожидание сырьевого ресурса равно его детерминированному значению (150 е.с).

Поскольку в 3-м ограничении b3 является случайной величиной, перепишем это ограничение в соответствии с выражением (4.11):

или

4x1+ 6х2+$х3<150 +23,9.

Зададимся вероятностями выполнения 3-го ограничения Рзад 3 = 0,4; 0,5 и 0,6.

Тогда в соответствии с рис. 6.1 стандартная случайная величина будет соответственно равна = - 0,25; 0 и 0,25. Рассматриваемое 3-е ограничение будет иметь вид

4х2+6х2< 150 - 0,2523,9

или

4x1+ 6x2+8 х3< 150

или

4x1+ 6х2+8 х3 < 150 + 0,2523,9.

Видно, что при вероятностных исходных данных в ограничении появляется дополнительный сырьевой ресурс. Величина и знак этого дополнительного ресурса зависят от Рзад 3 задаваемой вероятности выполнения ограничения.

Полученный детерминированный эквивалент рассматриваемой стохастической задачи имеет следующий вид:

целевая функция

Z = 8x1+llx2+12x3 max;

ограничения

2х1+ 2х2 + Зх350,

6x1+5,5x2+4x3100,

4х1+ 6х2+8 х3 150 + 23,9;

х1+х2+х5 15;

условие целочисленности

хi - целое;

граничные условия

xi0, i=l, 2, 3.

Решение этой стохастической задачи полностью аналогично решению линейной целочисленной задачи.

Приведем несколько примеров.

Периодичность плановых предупредительных ремонтов, Тпл служащие для технико - экономического обоснования правил технической эксплуатации оптимизируется обычно по критерию минимума ежегодных затрат и недоотпуска энергии:

где - суммарная стоимость предупредительных ремонтов; - суммарная стоимость видов аварийных ремонтов и недоотпуска электроэнергии;

- виды отказов, характеризуемых интенсивностью. Последнее выражение однозначно соответствует критерию минимума удельных затрат:

где - параметр потока отказов; Тпл - периодичность предупредительных ремонтов; - параметр потока видов отказов, аппроксимируемых функцией

Дифференцируя последнее по Тплj и приравнивая соответствующие частные произведения к нулю, получим условие оптимума по каждому Тплj:

Значение Тпл, удовлетворяющее условию (6) является оптимальным.



Рис. 4.2 Графическое изображение оптимальной периодичности техобслуживания при многофакторный отказа

4.3 Оптимизационные задачи при недетерминированной исходной информации

В реальных оптимизационных задачах часто приходится искать решение в условиях неопределенности. Основной причиной неопределенности является недостаток исходной информации. Применительно к области электроэнергетики примером неопределенной (недетерминированной) информации может служить перспективный рост мощностей в развивающейся электроэнергетической системе.

Для решения оптимизационных задач с недетерминированной информацией методы математического программирования не пригодны. Здесь используется вычислительный аппарат теории игр.

В соответствии с этой теорией оптимизационная задача представляется игрой двух игроков. Первый игрок - человек, который принимает решение. В приведенном примере человек должен принять решение по расположению в энергосистеме новых электростанций, строительству линий электропередачи и подстанций. Человек -разумный игрок. Его стратегия - максимальный выигрыш или минимальный проигрыш. Другими словами - человек минимизирует затраты.

Второй игрок - энергосистема, а точнее перспективные мощности потребителей энергии. Как будет развиваться энергосистема, каковы будут мощности потребителей в перспективе -однозначно неизвестно. Стратегия энергосистемы - случайная. Она не стремится к максимальному выигрышу. Следовательно, энергосистему нельзя считать разумным игроком.

При решении оптимизационной задачи составляется платежная матрица, которая представляет собой таблицу затрат в игре двух игроков. Строки матрицы соответствуют решениям (ходам), которые может принять первый игрок. Столбцы - ходам, которые может сделать второй игрок. Процесс составления платежной матрицы достаточно сложен и в каждом конкретном случае может быть различным. Этот этап решения задачи позднее рассмотрим на конкретном примере.

Допустим, что платежная матрица составлена (табл.4.1).

Имеется набор ходов человека, которые обозначим как x1, х2, ... хп. Имеется набор ходов энергосистемы у1, у2,…ут. Если человек выберет ход хi, а система ответит ходом уj то затраты при таком раскладе составят zij Оптимальное решение выбирается в результате анализа платежной матрицы.

Таблица 4.2

	у1	у2	…	уj	…	уm
x1	z11	z12	…	Z1j	…	z1m
x2	z21	z22	…	Z2j	…	z2m
…	…	…	…	…	…	…
xi	ZI1	zi2	…	zij	…	zim
…	…	…	…	…	…	…
xn	ZN1	zn2	…	znj	…	znm

Рассмотрим основные стратегии выбора решения, которые предлагает теория игр.

1. Стратегия минимума средних затрат. В соответствии с этой стратегией для каждого хода х; человека определяются средние затраты по всем возможным ходам системы

(4.13)

Выбирается решение, отвечающее минимуму из совокупности i -1, 2, ... п средних затрат

(4.14)

При этой стратегии считается, что все ходы системы имеют одинаковую вероятность, равную 1/т. Для реальных задач такое предположение, как правило, не является истиной.

2. Миниминная стратегия. В соответствии с этой стратегией считается, что на каждый ход хi человека система ответит ходом уj соответствующим минимальным затратам

(4.15)

Выбирается решение, отвечающее минимуму из совокупности i =1, 2, ... п минимальных затрат

 (4.16)

Принятие решения по этой стратегии может привести к крупным просчетам, поскольку здесь учитывается самая благоприятная ситуация. Систему нельзя считать разумным игроком, однако она не будет играть и в поддавки.

3. Минимаксная стратегия. В соответствии с этой стратегией считается, что на каждый ход хi человека система ответит ходом yj соответствующим максимальным затратам:

(4.17)

Выбирается решение, отвечающее минимуму из совокупности i =1, 2, ... п максимальных затрат:

(4.18)

В этой стратегии учитывается самая неблагоприятная ситуация. Считается, что система является разумным игроком и стремится к максимальному выигрышу. Такое предположение не соответствует действительности.

4. Стратегия Гурвица. Эта стратегия учитывает как самую благоприятную, так и самую неблагоприятную ситуации. Здесь решение выбирается по условию

(4.19)

где коэффициенты k и (1-k) играют роль весовых коэффициентов, с которыми учитываются минимаксная и миниминная стратегии. При k=1 имеем минимаксную стратегию, а при k=0 имеем миниминную стратегию.

Наибольшую трудность при применении этой стратегии представляет определение величины весовых коэффициентов k и (1-k). Теория игр ответа на этот вопрос не дает. Для каждой конкретной задачи весовые коэффициенты определяются индивидуально, на основе имеющегося опыта.

Таким образом, для решения оптимизационной задачи при недетерминированной исходной информации теория игр выдвигает ряд стратегий. Поскольку формально все стратегии равноправны, окончательное решение должно выбираться на основе:

анализа решений, полученных по каждой стратегии;

опыта проектировщика;

особенностей конкретной задачи.

Пример. В развивающейся энергосистеме требуется определить оптимальный объем ввода генерирующих мощностей электростанций. Перспективный рост энергопотребления в системе недостаточно определен. Известно лишь, что суммарная мощность потребителей энергосистемы в будущем может иметь значения 15, 20, 25 и 30 е.м. (единиц мощности).

На момент принятия решения мощность собственных электростанций энергосистемы составляет 10 е.м. Затраты на ввод каждой новой единицы мощности составляют 5 у.е./е.м.

В перспективе энергосистема может оказаться на самобалансе (будет обеспечивать потребителей за счет собственных электростанций) или при дефиците мощности. Во втором случае недостающую мощность можно получить из соседней энергосистемы. При этом за каждую единицу мощности, взятую из соседней системы, необходимо платить 7 у.е./е.м.

Решение. Имеем четыре возможных хода энергосистемы (y1=15; y2=20; y3=25; y4=30 е.м.) Примем четыре возможных хода человека (x1=15; x2=20; x3=25; x4=30е.м.). Составим платежную матрицу и заполним ее (табл. 4.3).

Таблица 4.3

	у1=15	у2=20	у3=25	у4=30
x1=15	25	60	95	130
x2=20	50	50	105+57	120
х3=25	75	75	75	110
x4=30	100	100	100	100

Процесс заполнения платежной матрицы поясним на следующем примере. Человек выбирает ход х2 = 20 е.м., а энергосистема - ход у3 = 25 е.м. В соответствии с ходом человека дополнительно вводятся 10 е.м. Затраты на их ввод составят 105=50 у.е. В соответствии с ходом энергосистемы дефицит мощности составит 5 е.м. Эту мощность необходимо купить в соседней энергосистеме. Затраты на покупку составят 57=35 у.е. Итоговые затраты составят 50+35=85 у.е. Остальные клетки платежной матрицы заполняются аналогично.

Рассмотрим выбор решений по различным стратегиям теории игр.

Средние затраты для каждого хода человека составят:

Zcp1= (25+60+95+130)/4 = 77,5 у.е.

Z cp2= (50+50+85+120)/4 = 76,25 у.е.

Zcp3= (75+75+75+110)/4 = 83,75 у.е.

Zcp4= (100+100+100+100)/4 = 100 у.е.

По стратегии средних затрат следует принять решение х2, соответствующее вводу 10 е.м.

Минимальные затраты для каждого хода человека составят:

Zmin1= min(25+60+95+130) =25 у.е.

Zmin2= min(50+50+85+120) = 50 у.е.

Zmin 3= min(75+75+75+l 10) = 75 у.е.

Zmin4= min(100+100+100+100) = 100 у.е.

По миниминной стратегии следует принять решение x4, соответствующее вводу 5 е.м.

Максимальные затраты для каждого хода человека составят:

Zmax1= max(25+60+95+130) =130 у.е. Zmax2=max(50+50+85+120)= 120 у.е. Zmax3=max(75+75+75+110)= 110 у.е. max(100+100+100+100) = 100 у.е.

По минимаксной стратегии следует принять решение х4, соответствующее вводу 20 е.м.

При применении стратегии Гурвица примем коэффициент k=0,5. При таком коэффициенте миниминная и минимаксная стратегии учитываются с одинаковым весом, поскольку k=0,5 и (1-k)=0,5.

Затраты для каждого хода человека составят:

Z1= 0,5130+0,525= 77,5 у.е.

Z2= 0,5120+0,5-50 = 85 у.е.

Z3= 0,5110+0,575 = 92,5 у.е.

Z4= 0,5100+0,5100 = 100 у.е.

Руководствуясь стратегией Гурвица, следует принять решение х2 соответствующее вводу 5 е.м.

Итак, по стратегии средних затрат следует принять решение х2 (ввод 10 е.м.); по миниминной стратегии - решение x1 (ввод 5 ем); по

минимаксной стратегии - решение х4 (ввод 20 е.м.); по стратегии Гурвица - решение х1 (ввод 5 е.м.).

Разные стратегии предлагают разные решения. Причем две стратегии предлагают одинаковое решение х1. Окончательный выбор остается за человеком.

Поскольку решение х3 (ввод 15 е.м.) не дала ни одна стратегия, это решение не принимаем.

Не будем принимать решения х1 и х4, диктуемые самой благоприятной и самой неблагоприятной ситуациями развития энергосистемы. Остается решение х2, отвечающее вводу в энергосистеме 10 е.м. Это решение и будем считать оптимальным.

4.4 Многокритериальные оптимизационные задачи

Рассмотренные выше решения оптимизационных задач выполнялись по одному критерию (по одной целевой функции). На практике не всегда удается свести задачу к одному критерию, поскольку желаемых целей может быть несколько.

Задачи, в которых оптимизация проводится по нескольким критериям, называют задачами многокритериальной оптимизации. Такая оптимизация представляет собой попытку найти компромисс между принятыми критериями.

Важным моментом нахождения такого компромисса является назначение коэффициентов веса каждого критерия. В конечном итоге решение многокритериальной задачи сводится к оптимизации по одному обобщенному критерию, в который входят все принятые критерии со своими весовыми коэффициентами.

Существует достаточно много способов определения весовых коэффициентов. Рассмотрим один из них, а именно, способ экспертных оценок. Суть этого способа заключается в следующем.

Пусть для решения оптимизационной задачи приняты, например, три критерия (критерий А, критерий В и критерий С). Собирается группа экспертов - специалистов в той области, к которой относится оптимизационная задача. Пусть, группа экспертов состоит, например, из трех человек (1-й эксперт, 2-й эксперт и 3-й эксперт). Каждому эксперту предлагается оценить в баллах от 0 до 1 каждый критерий. При этом выдвигается условие, чтобы сумма баллов каждого эксперта по всем критериям была бы равна 1.

В табл. 4.4 представлены результаты экспертизы. В качестве весового коэффициента i-го критерия (i=A, В, С) принимается среднее значение оценок каждого эксперта по этому критерию (последняя строка табл. 4.4).

Таблица 4.4

	Критерии
Эксперты	А	В	С	Сумма
1-й	0,2	0,2	0,6	1,0
2-й	0,4	0,3	0,3	1,0
3-	0,3	0,2	0,5	1,0
Коэф.веса	0,3	0,23	0,47	1,0

4.5 Оптимизация по обобщенной целевой функции

Одним из возможных решений многопараметрической задачи является оптимизация по обобщенной целевой функции, в которую входят все принятые к рассмотрению критерии со своими весовыми коэффициентами. Эта обобщенная функция записывается следующим образом:

(4.20)

Zk - k-я целевая функция, выражающая k-й критерий;

Zk норм - нормированное значение k-й целевой функции;

аk - коэффициент веса k-й целевой функции;

s - количество целевых функций (принятых критериев).

Если k-я целевая функция максимизируется, перед ней под знаком суммы ставится плюс. Если k-я целевая функция минимизируется, перед ней под знаком суммы ставится минус.

Весовые коэффициенты могут быть определены, например, с помощью экспертных оценок (см. п. 4.5).

Нормированное значение k-й целевой функции Zk норм принимается по результатам решения оптимизационной задачи только по одному k-му критерию.

Целевые функции в общем случае имеют разные единицы измерения. Поэтому в (8.1) введено деление каждой целевой функции на ее нормированное значение. Такое действие приводит все целевые функций к единой размерности (к относительным единицам, о.е.).

Составление ограничений и граничных условий для многокритериальной задачи не имеет специфических особенностей по сравнению с однокритериальной задачей.

Пример. Рассмотрим задачу распределения ресурсов {примеры 1 и 2), в которой требуется определить оптимальный выпуск изделий трех видов (х1, х2 и х3), обеспечивающий предприятию максимальную прибыль при минимальном расходе энергетических ресурсов.

Решение. Решение задачи только по критерию максимальной прибыли вйполнено ранее (см. приложение П.З) и дало следующий результат:

x1=0, х2=10, xз=10, прибыль Z1=230 y.e.

Решим эту задачу с учетом только второго критерия -минимального расхода энергоресурсов. Подлежащая минимизации целевая функция, представляющая собой затраты энергоресурсов на выпуск продукции, имеет следующий вид:

Z2=2xl+ 2х2 +3х3 -> min. (4.21)

Из системы ограничений исключаем неравенство, ограничивающее расход энергоресурсов (2x1+2x2+3x350), поскольку левая часть этого неравенства стала целевой функцией. В результате имеем следующую систему ограничений, состоящую из. трех неравенств:

6 х1+ 5,5x2 +4х3 100, (4.22)

4 х1+ 6х2 + 8 х3150,

x1+ x2 15.

Условия целочисленности переменных

xi - целое, i=1, 2, 3 (4.23)

и граничные условия

xi 0, i=2=1,2,3 (4.24)

остаются без изменений.

Решение задачи по 2-му критерию Z2 min дает следующий результат:

x1 =0, x2=15, х3=0, расход энергии Z2 = 30 е.э. (единиц энергии).

Для решения двухкритериальной задачи сформируем обобщенную целевую функцию

Zo6 = 1Z1/Z1 норм - 2Z2/Z2Hopм max.

Предположим, что в результате экспертных оценок получены следующие весовые коэффициенты:

1= 0,6 и 2= 0,4.

Обобщенная целевая функция будет иметь следующий вид.

Zoб=0,6(8 x1 + 11 х2 + 12х3) / 230 - 0,4(2х1 2х2 + 3х3) /30.

Система ограничений остается в виде (4.3), условие целочисленности переменных - в виде (4.4), граничные условия - в виде (4.5).

Решение рассматриваемой двухкритериальной задачи дает следующий результат:

х1=4, х2=1, х3=16;

обобщенная целевая функция

Zоб= 0,6 235 / 230 + 0,458 / 30 = 0,28 о.е.

Результаты решений (значения переменных х1, х2, х3), полученных при максимизации прибыли (Z1 max), минимизации энергетических ресурсов (Z2 min) и максимизации обобщенной целевой функции (Z0б max), приведены в табл.

Таблица 4.5

	Z1max	Z2min	Zобmax
x1	0	0	4
x2	10	15	1
х3	10	0	13

Видно, что результат решения двухкритериальной задачи отличается от результатов решения задачи по каждому из двух критериев.

Выводы по четвертой главе

1. Для решения оптимизационных задач со случайной исходной информацией используются методы стохастического программирования.

В Excel эти вычисления выполняются с помощью статистических функций НОРМСТОБР(0,8)=0,84 и НОРМСТРАСП(0,84) = 0,8 после обращения к мастеру функций fх в главном меню.

2. Составлена обобщения модель оптимизации периодичности проведения технического обслуживания и ремонтов по критерию минимума приведенных ежегодных затрат и недоотпуска энергии.

С учетом видов отказов происходящих по стохасти ческами законам.

Заключение

1. Изучая те или иные частные задачи оптимизации электроснабжения нужно отметить что их успешное решения возможно только тогда, исследователь обладает достаточным потенциальном в данной области, математическими знаниями а также непременно пониманием сущности и особенностей задачи в целом.

2. Слагающими математической, физической и технико-экономических знаний к проблеме оптимизации задачи электроснабжения является системный подход и системный анализ, методы вычислительной математически, программирования и рассмотрение её как динамической системы.

3. Особенностью оптимизационных задач электроснабжения является необходимость применения как классических так и алгоритмических методов, так как в них необходимо комплексное определение требуемых характеристик электроустановок и режимов работы систем, обеспечивающих оптимальный уровень безотказности заданной структуры с учетом ограничений технических характеристик, определяющих качество функции.

4. Оптимизация транспортных задач электроснабжения в части пропускной способности ЛЭП необходимо решать методом потенциалов, распределительным методом и симплекс-методом. Причем при решении транспортных задач с транзитом мощности целевая функцию необходимо представить как сумму производный удельных стоимостей на величину передаваемой мощности.

5. Оптимизационные задачи электроснабжения являются нелинейными с одним или несколькими экстремумами. Простые задачи оптимизации, как например, расчет распределения заданной суммарной реактивной мощности по узлам электроснабжения целесообразно решать как задачу безусловной оптимизации.

6. В электроснабжении особую роль играют критерии надежности и критерии качества электроэнергии, которая должна формализоваться математически как ограничения.

7. Особую группу оптимизационных задач электроснабжения при случайной исходной информации. К ним относятся задачи расчетов мощности нагрузок, изменение напряжений в узлах эксплуатируемых систем электроснабжения, расчет оптимальной периодичности проведения профилактических ремонтов основного электрооборудования, решаемых методами статистического программирование.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУР

1. Воронин А.А., Мишин С.П. Оптимальные иерархические структуры. М.: ИПУ РАН, 2003-210 с.

2. Применение цифровых вычислительных машин в электроэнергетике. Под.ред. О.В. Шербачева. -Л.: Энергия, 1980.

3. Авакумов В.Г. Постановка и решение электроэнергетических задач исследования операции. -Киев: Выща школа, 1983.

4. Модели и методы оптимизации развития энергосистем. Арзамасцев Д.А., Липес А.В., Мызин А.Л.-Свердловск, 1976.

5. Методология установления норм на электрические параметры полупроводниковых приборов./ВВ. Ведерников, В.М. Дроневич, Н.Н. Горюнов - Электронная техника. Сер 8, 1978, вып. 2(20).18с.

6. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Новиков Д.А., Шульженко Н.А. Модели и механизмы в управлении организационными системами. М.: Изд. «»Тульский полиграфист», 2003. Том 1.-560 с. Том 2., 380.

7. Баркалов С.А., Бурков В.Н., Курочка П.Н. Образцов. Задачи управления материально техническими снабжением в рыночной экономике.

8. Бурков В.Н., Багатурова О.С., Иванова С.И. Оптимизация обменных производственных схем в условиях нестабильной экономики. М.: ИПУ РАН, 1996-48 с.

9. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами ЕXCEL 7.0-СПБ.: ВHV-Санкт-Петербург, 1997.

10. Оптимизация радиоэлектронной аппаратуры. Под.ред. проф. А.Я. Маслова. М.: Радио и связь. 19982.

11. Ю.Б. Гук. Теория надежности в электроэнергетике. Ленинград.: Энергоатомоиздат. 1990. 207 с.

12. Бурков В.Н., Горгиазде И.А. Ловецкий С.Е. Прикладные задачи теории графов. Тбилиси.: Мацниереба, 1974-234 с.

13. Монсеев Н.Н. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978.-351 с.

14. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1970-664 с.

15. Воробьев Л.М. Воробьева Т.М. Нелинейные преобразования в прикладных вариационных задачах. -М.: Энергия, 1972,-208с.

16. А.В. Котельников, А.В. Наумов, А.А. Наумов, Е.Э. Закиев, Оптимизация параметров цепей обратного тока тягового электроснабжения в уcловиях интенсификации движения и повышения весовых норм поездов. Вес
тник ВНИЖТ, №1, 2006.

17.Мелентьев Л.А. Системние исследования в энергетике элементы теории, напрвления развития. 2-е изд.-М.: Наука,1983.-454 с.

18. Гук Ю.Б. Теория надежности в электроэнергетике Л.: Энергоатомиздат 1990, 204 с.

19. Руденко .Ю .Н Ушаков И. А. Надежность систем энергетики. Новосибирск, Наука 1968, 252 с.

20. Макаров А.а., меленнтьов Л.А. методы исследования и оптимизации энергетического хозяйства. - Новосибирск: наука. Сиб. Отд. 1973.-274 с.

21. Арзамасцев Д.А. Веление в многоцеловую оптимизацию энергосистем.-свердловск: Изд. УПК, 1984-82 с.

22. Липес А.В. Применение методов математической статистики для решения электроэнергетических задач.-Свердловск: Изд. УПИ, 1983-86с.

23. Проблемы оптимизационных задач электроснабжения электрофицированных железных дорог. Якубов Б. Материалы IX-межвузовской научно-практической конференции студентов бакалавриатура, магистратура стажеров и соискателей на базе ГАЖК «УТЙ» и ТашИИТ 5-7 апреля 2011. Ташкент, изд. ТашИИТ. 2011.

24. Горидиевский И.Г., Лордкипанидзе В.Д. Оптимизация параметров электрических сетей.-М.: Энергия, 1978-144 с.

25. Ходли Д. Нелинейное и динамическое программирование: пер. с англ/под.ред Г.П. Акилова. -М.: Мир, 1967-506 с.

26. Растригин Л.А. Статические методы поиска. -М.: Наука, 1986-376 с.

27. А.В. Котельников, А.В. Наумов, Е. Закиев. Оптимизация параметров цепей обратного тока тягового электроснабжения в условиях интенсификации движения и повышения весовых норм поездов. Вестник ВНИИНОСТ, №1, 2006.

28. Фазилов Х.Ф., Насыров Т.Х. Установившиеся режимы электроэнергетических систем и их оптимизация.-Т.: Молия, 1999.-370 с.

29. Идельчик В.И. Расчеты и оптимизация режимов электрических сетей и систем.-М.: Энергоатомиздат, 1988.

30. Аллаев К.Р. Электромеханические переходные процессы.-Т.ТГТУ, 2008,-287 с.

31. К.Г. Маркварт. Электроснабжение электрофицированных железных дорог. Москва «Транспорт» 1982. 527 с.

Приложение

Общие сведения об Excel

Материал приложений рассчитан на пользователя, знакомого с основами работы в Excel. Напомним лишь некоторые основные моменты. Общий вид электронной таблицы показан на рис. П.1. В верхней части таблицы указано имя файла, с которым работает пользователь (Книга 1), ниже располагается главное меню (Файл, Правка, ... Сервис, ...), далее - панель инструментов, строка ввода и рабочее поле электронной таблицы

Рабочее поле состоит из строк (1, 2, 3, ...) и столбцов (А, В, С, ...). На пересечении строк и столбцов находятся рабочие ячейки. Каждая ячейка таблицы имеет свой адрес, например Л1,54, С7, ...

В рабочие ячейки заносится различная информация:

текстовая или комментарии (слово «задача» в ячейке В2; комментарий «Z=» в ячейке ВЗ);

цифровая (число «7,34» в ячейке С6; число «12,5» в ячейке D6);

вычислительная.

Рассмотрим подробнее вычислительную информацию. Вычисления могут выполняться по различным выражениям,, как с числами, так и с содержимым рабочих ячеек.

В ячейку F4 занесено выражение «=5,3+3,5*2». Это выражение автоматически вьиисляется и в ячейке F4 приводится результат (12,3).

В ячейку F6 занесено выражение «=C6+D6». Это выражение автоматически вычисляется и в ячейке F6 приводится результат суммы содержимых ячеек С6 и D6 (19,84).

В ячейку Е2 занесено выражение «4,5-С6». Это выражение автоматически вычисляется и в ячейке Е2 приводится результат разности между числом 4,5 и содержимым ячейки Св. Этот результат равен -2,84.

Таким образом, после внесения в рабочую ячейку вычислительной информации внешний вид ячейки и ее содержание отличаются по виду. Внешний вид отражает результат вычислений, а содержание - вычисляемое выражение.

Содержимое любой ячейки можно просматривать, изменять и удалять. Для этого к ячейке мышкой подводится курсор, и после нажатия левой кнопки мышки (МЛ) ячейка выделяется. Содержимое ячейки отражается в строке ввода. На рис. П.1 в строке ввода показано содержимое ячейки Е2.

Для исправления или удаления содержимого ячейки мышкой вводится курсор в строку ввода, МЛ курсор фиксируется на нужном месте и с клавиатуры компьютера вводится исправление или удаление содержимого ячейки.

Последовательность операций при решении оптимизационных задач с помощью программного обеспечения Excel следующая [1]:

1. Размещение комментариев и исходной информации в ячейках рабочего поля.

2. Вызов из главного меню МЛ команды «Сервис»; из содержания этой команды вызвать МЛ команду «Поиск решения»; на экране появляется диалоговое окно «Поиск решения»; в это диалоговое окно вводится исходная информация (адрес ячейки целевой функции, вид экстремума целевой функции, адреса ячеек искомых переменных, ограничения).

Размещено на Allbest.ur