Исследование оптимизационных задач электроснабжения электрифицированных железных дорог

Размещено на http://www.allbest.ru/

Магистерская диссертация

5А 520205 - Электроснабжение предприятий железнодорожного транспорта

Исследование оптимизационных задач электроснабжения электрифицированных железных дорог

Научный руководитель

кандидат технических наук

доцент Якубов М.С.

Ташкент - 2011

Введение

Актуальность работы. Развитие рыночных отношений в электроэнергетике, высокие требования к надежности и качеству электрической энергии, интенсификация технологических процессов, влияющих на режимы работы электроустановок неизбежно ведет к необходимости оценки их влияния и на проблему оптимизации схем и параметров электроснабжения. Эти основные часты сохраняются все основные принципиальные черти системного похода при планировании самых различных производственных систем, а также особенностей изучаемой системы и типа решаемой задачи.

В настоящее время задачи оптимизации приобрели большое значение особенно в отрасли электроэнергетики. Электроэнергетика пронизывает всё народное хозяйство и образует иерархию больших управляемых систем, управление развитием и функционированием которых возможно только на основе современных методов оптимизации.

В связи с этим оптимизация задач энергетики как в части производственно - хозяйственной деятельности так и в расчете режимов с применением современных методов и технических средств, с целью обеспечения целесообразных экономических и надежностных показателей является актуальной задачей.

Цель работы. Целью диссертационной работы являются разработка и исследование математической моделей оптимизации периодичности профилактических работ, основного электрооборудования подстанций а также формирование модели, критерия оптимальности а также ограничений при распределении установок реактивной мощности.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

- изучить сущность, техническую и математическую постановку задач оптимизации определения оптимальной периодичности технического обслуживания основного электрооборудования тяговых подстанций;

- провести сравнительный анализ существующих математических моделей задач электроснабжения, целесообразность которых оправдана технически и экономически;

- разработать методологию оптимизационного подхода задач прогноза выработки электроэнергии, изменения напряжения в узлах электрической цепи и.др. основе статических исходных данных;

- рассчитать оптимальное распределение заданной суммарной мощности компенсирующих устройств.

Научная новизна. Впервые к задачам оптимизации электроснабжения сделан методологический подход, объединяющий ряд задач, в в зависимости от технической и экономической исходной информации и целесообразности решения конкретной задачи оптимизационным методом.

Научная и практическая значимость результатов исследования. Разработанный методологический подход к задачам электроснабжения позволяет определенным образцом с группировать более десятков задач электроснабжения с точки зрения свойств системы выражения математическими моделями.

Определены сформированы четыре особенности оптимизационных задач электроснабжения требующих комплексного определения характеристик электроустановок и режимов работы систем, обеспечивающих безотказность заданной структуры с учетом ограничений технических характеристик определяющих качество функционирование.

Важным результатом является вывод о том, что при экономической оптимизации электроснабжения критерий надежности выступает в виде система ограничений.

Применение диссертационной работы при проектировании модернизации и реконструкции систем электроснабжения позволит эффекты решать распределение заданной суммарной мощности компенсирующих установок по узлам радиальной и магистральной структуры электроснабжения, на основе статических данных отказов, электрооборудования вывести показатели надежности по котором определяются и обосновываются оптимальная периодичность проведения технического обслуживания электроустановок.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации доложены и обсуждены на научно-практических конференциях «Ёш илмий тад?и?одчи» с участием зарубежных ученых (Ташкент, 2009-2011г.),

Публикация: По результатом работы опубликовано 2 тезисы доклада на конференциях, проведенных в ТашИИТ.

Работа выполнена в Ташкентском институте инженеров железнодорожного транспорта на кафедре «Электроснабжение и микропроцессорное управление» (2009-2011 г.)

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, общих выводов, заключения, списка использованной литературы, содержащего 31 отечественных и зарубежных источника, и приложения.

1. Глава. Обзор методов оптимизации основных задач электроснабжения

1.1 Основные понятия и определения

Изложим основные понятия и определения оптимизаций системы электроснабжения.

Система электроснабжения - это созданная человеком совокупность электроустановок, взаимно связанных с целью обеспечения производственных объектов электроэнергией номинального качества или и необходимого свойства. Свойство системы осуществлять одновременно и взаимосвязано процессы производства, передачи и распределения электроэнергии присуще системе, но не отдельным её элементам. Например, поток мощности по линии, соответствующий пределу статической устойчивости системы, обычно не равен предельному потоку этой же линии, взятой отдельно.

Структура системы - это строение, устройств системы, определяемое составом основных частей системы, их взаимосвязью и взаиморасположением. Под структурой электроснабжения понимают её основной состав - подстанции и основную электрическую сеть.

Производственно - экономическая система электроснабжения подразделяются на два типа - динамические и статические.

Динамическая система в технико - экономическом смысле - это система с переменными во времени составом параметров и характеристиками.

1.2 Обзор и методология оптимизационного подхода к задачам электроснабжения

Развитие рыночных отношений в электроэнергетике, высокие требования к надежности и качеству электрической энергии, интенсификация технологических процессов, влияющих на режимы работы электроустановок неизбежно ведет к необходимости оценки их влияния и на проблему оптимизации схем и параметров электроснабжения.

На основании анализа ряда фундаментальных работ, посвященных проблеме оптимизации [1,…5,6,7,8,9,10], задачи оптимизации электроснабжения электрифицированных железных дорог, также подразделяется на две основные группы:

К первой группе можно отнести, выбор оптимальных схемных решений электроснабжения, характеристик её электроустановок, а также электрический расчет схем для обеспечения технических характеристик установок в процессе определения эксплуатационно-технических характеристик. Ко второй группе относятся режимные задачи, прогнозирование надежности и стратегии оптимальной периодичности профилактического обслуживания электроустановок и пр.

Сущность задач электроснабжения второй группы заключается в поиске и учете всех определяющих свойств системы, выраженных математическими моделями, с помощью которых можно составить достаточно полную картину поведения системы с экстремальными значениями параметров установок и методы определения оптимальной рабочей области параметров.

В настоящее время методы поиска оптимума можно разделить на две группы: классические и алгоритмические [13].

К классическим методам относятся: дифференциальное исчисление [14], вариационное исчисление [15], динамического программирования максимума Понтрягина.

Алгоритмические методы в свою очередь подразделяются на детерминированные и случайные. К детерминированным методам поиска относятся:

итерационные [14];

градиентные [17];

направленного перебора [18];

линейного программирования [2,7];

нелинейного программирования [19];

к случайным методам поиска относятся;

методы Монте - Карло [14];

методы случайного перебора [4, 20].

Особенностью оптимизационных задач электроснабжения электрифицированных железных дорог является необходимость применения как классических так и алгоритмических методов, так как в них необходимо комплексное определение требуемых характеристик электроустановок и режимов работы систем, обеспечивающих оптимальный уровень безотказности заданной структуры с учетом ограничений технических характеристик, определяющих качество функционирования.

При использовании комплексного метода нахождения оптимума целевой функции необходимо вводить в качестве ограничений формализованные требования:

1) по обеспечению физической реализуемости схемных решений, а также допустимых технических характеристик электроустановок;

2) по обеспечению требуемых уровней выходных параметров (тока, напряжения, мощности, качество электроэнергии, ).

3) ограничения, учитывающие статическую информацию, полученной при длительной эксплуатации и испытаниях аналогичных схем и их элементов;

4) часть ограничений могут иметь неполную или неопределенную информацию о законах изменения их параметров надежности, приводящик к применению оценочных моделей со всеми их достоинствами и недостатками.

Второй особенностью оптимизационных моделей задач электроснабжения являются: необходимость системного подхода, наличие особенностей больших систем, и учет необходимости её развития, т.е. рассмотрение её как динамической системы. Это противоречие нужно решать математически компромиссно, путем взаимных уступок.

Генеральным направлением сохранения надлежащей надежности электроснабжения является математическое формализация нормированных допустимых и необходимых значений, коэффициентов статической устойчивости с сохранением динамической устойчивости [4, 5, 6]. Следовательно при экономической оптимизации электроснабжения критерий надежности выступает в виде системы ограничения. Это является третьей особенностью оптимизационных задач электроснабжения.

Сложность учета этих особенностей заключается в том ,что при этом ограничивается использование упомянутых выше оптимизирующих моделей, имеющие с точки зрения общности решения задач, но с определенными недостатками, заключающиеся в обязательном применении итерационных методов оптимизации, т.к. надёжностные показатели имеют в большинстве случаев нелинейный характер. Например, вероятность безотказной работы однотрансформаторной подстанции, с последовательным соединением ЛЭП, разъединителя, выключателя, силового трансформатора проводов кабелей и пр. через интенсивность отказов определяется как вероятность безотказной работы всех элементов в течении времени t [11]:

где - интенсивность отказов.

А. вероятность безотказной работы систем электроснабжении с резервированием замещением, т.е. параллельном соединении определяется надежностью не только основных электроустановок но и устройств АВР, которые также выражаются через экспоненциальные законы.

Использование для определения экстремума целевой функции аналитических методов в электроснабжении связано со значительными трудностями. Для их преодоления вводится значительное количество допущений и упрощений, приводящих к тому, что результаты аналитической оптимизации даже для простых схем практически трудно реализуемы. От этого недостатка свободны алгоритмические методы, учитывающие только способ отыскания экстремума [9].

Во всех методах оптимизации как и в классической постановке имеются этапы: разработки модели системы, выбор критерия оптимальности, выбор целевой функции и ограничений, поиск оптимального решения и анализ полученных погрешностей.

Модель системы строится исходя из задачи оптимизации с учетом ограничений, требуемой точности и объема имеющейся реальной исходной аналитической информации о системе электроснабжения и функциально - количественной связи электроустановок.

Необходимо сказать, что для получения практической ценности следует использовать реальную исходную информацию.

В этом смысле модели электроснабжения, описываемые математически, устанавливающими количественные связи между элементами модели будут экономическими т.к. электроснабжение относятся к число систем, структура которых считаются достаточно хорошо известными. К ним, например можно отнести вероятностные модели надежности системы и их электроустановок с восстановлением и профилактической [11], логико-вероятностие методы расчета надежности с помощью дерева отказа, периодичность профилактического обслуживания основного силового оборудования на основе параметра потока отказов, выбор места установки батарей компенсирующих реактивную мощность, описываемые в интервале времени нормальной системой независимых дифференцируемых уравнениями, связывающих k выходных параметров системы с параметрами состояния (Е) и управляемыми параметрами (П) (системы профилактически обслуживаю профилактические работы и т.д.).

(1.1)

где

с ограничением в виде

(1.2)

Вторым этапом является выбор критерия оптимальности в качестве которого часто принимаются экономические критерии, представляющие собой минимум финансовых, сырьевых, энергетических, трудовых затрат и пр. местно указать, что во многих задачах электроснабжения, имеющие разные капиталовложения и разные издержки производства в качестве экономического функционала используют так называемые приведенные затраты.

В транспортных задачах электроснабжения, таких как ограничение передаваемой мощности по существующим линиям с учетом допустимых нагревов её проводов, расчет передачи мощности через транспортные узлы и др., целевая функция представляет собой сумму произведений удельных стоимостей Zij на величины передаваемых мощностей Xij от узла i к узлу j:

(1.3)

где n, m- соответственно количество источников и количество потребителей.

Для оптимизации таких функций составляется транспортная матрица с применением симплекс-метода, распределительного метода потенциалов

Особую группу составляют оптимизационные задачи при случайной исходной информации. К ним можно отнести, например, задачи расчетов мощности нагрузок, изменения напряжений в узлах эксплуатируемых систем электроснабжения, расчет оптимальной периодичности проведения профилактических ремонтов основного электрооборудования и др., решаемых методами статического программирования. В этих задачах случайные величины, являющиеся коэффициентами целевой функции, должны быть заменены их математическими ожиданиями с последующим получением детерминированного эквивалента целевой функции:

(1.4)

Если случайными величинами являются коэффициенты или , то, детерминированными эквивалентами -го ограничения будут соответственно выражения:

(1.5)

где - значение стандартной случайной величины, вычисляемое по значению вероятности каждого ограничения.

Обобщенная целевая функция многокритериальных многопараметрических задач электроснабжения записывается следующим образом:

(1.5)

где zk - целевая функция, выражающая k-й критерий.

Zkнор - нормированное значение k-й целевой функции;

- коэффициент века k-й целевой функции;

S - количество принятых критериев.

Деленные zk на нормированное значение Zkнор приводит каждую целевую функцию к единым относительным единицам.

Решение многокритериальных задач не требует специфики по сравнению с однокритериальной задачей.

Решение выше приведенных систем выполняется известными методами вычислительной математики. При линейной системе используется метод Гаусса, а при нелинейной - метод Ньютона с помощью программного обеспечения Excel. 7.0.

1.3 Перечень задач электроснабжения, рекомендуемые решению оптимизационными методами

Вопрос оптимального управления ресурсами в системе электроснабжения в настоящее время имеет первостепенное значение. В литературе имеется достаточное число опубликованных работ, отражающих управление ресурсами при решении вопросов обеспечения надежности и качества электроэнергии. Назрела необходимость разрешить перечень задач, решаемых оптимизационными методами как на стадии практирования так на стадии эксплуатации, модернизации и реконструктирования.

Необходимо сказать что оптимизационные методы приминяются при решении прямой задачи, обеспечивающие наиболее эффективное значение рассматриваемы показателей надежности и качества электроэнергии при заданных затратах, так и решении обратной задачи, при котором заданное значение показателей достигается при минимальных затратах.

Ниже приведем основные задачи электроснабжения электрифицированных железных дорог решаемых на различных стадиях с учетом известных в настоящая время математических методов оптимизации.

1. Оптимизация схемы электрической сети по критерию минимума удельных затрат.

2. Выбор поперечного сечения подвески тяговой сети с учетом минимума потерь энергии в тяговых сетях.

3. Расчет расстояний между тяговыми подстанциями и их нагрузок:

4. Расчетные режимы и расчетные сроки для определения основных параметров устройств тягового электроснабжения.

5. Оптимальное резервирование тяговых подстанций по мощности.

6. Распределение заданных компенсирующих устройств по узлам потребления с учетом минимума суммарные затраты и минимума потерь активной мощности.

7. Увеличение нагрузочной способности контактной сети с помощью постов секционирования и постов параллельного соединения.

8. Оптимизация технического с учетом экономического обслуживания ущерба.

9. Оптимизация периодичности профилактического обслуживания тяговых трансформаторов.

10. Одноцелевая оптимизация при вероятностной и неопределенной информации.

11. Электроэнергии и охраны окружающей среды.

12. Задачи оптимального распределения суммарной активной мощности потребителей между подстанциями.

13. Оптимизация нагрузок ТП с учетом их внешних характеристик.

14. Оптимизация расчетов по заданному графику движения.

15. Расчет допустимой несимметричности нагрузки трехфазной системы (критерий напряжение обратной последовательности).

16. Оптимизация компенсирующих устройств и коэффициента мощности при поперечной и продольной мощности.

17. Расчет оптимальных уровней напряжения в системе электроснабжения.

18. Оптимальное распределение числа поездов и интервалов в рассматриваемой зоне.

19. Оптимальный уровень напряжения в тяговой сети.

20. Оптимизация показателей надежности система электроснабжения.

21. Оптимальное резервирование элементов системе электроснабжения.

22.Оптимизационные задачи электроснабжения с целочисленными и дискретными переменными.

23. Оптимизационные стохастические задачи электроснабжения.

24. Оптимизационные задачи электроснабжения по обобщенной целевой функции.

1.4 Математические модели основных элементов систем электроснабжения

При технико - экономическом исследовании, заключающемся в экономическом обосновании принимаемых технических решений, необходимо иметь математическую модель, отражающую основные свойства и закономерности исследуемого объекта.

Рассматриваемые в данной работе математические модели элементов системы электроснабжения характеризуется не только физическими величинами, но и стоимостными показателями. Их можно назвать технико-экономическими моделями.

Ознакомимся с методикой получения моделей элементов систем электроснабжения.

А. Линия электропередачи (ЛЭП). Пусть имеем ЛЭП длиной l, км, и напряжением u, кв. Затраты на потери электроэнергии в линии З, т.руб/год. определяются, как известно, выражением [3]:



где S - передаваемая мощность, кВ.А;

F - сечение проводов, мм2;

Зэ - удельные затраты на компенсацию потерь электроэнергии,

сум/кВт.ч.;

p - удельное сопротивление материала проводов линии;

- время потерь, ч/год.

Рассматриваемый показатель зависит от ряда свойств ЛЭП, которые характеризуются соответствующими величинами. Каждая из этих величин с математической точки зрения может рассматриваться в качестве независимой переменной, получающей новое численное значение при изменении исходных условий. Изменение любой из этих величин приведет к образованию нового варианта и изменению затрат. Однако с экономической точки зрения существенным для изменения затрат оказывается изменение не отдельных величин, а их вполне определенные совокупности. Например, если уменьшились удельные затраты Зэ , а время потерь во столько раз увеличилось, то затраты Зэ - остаются неизменными.

Существенные величины, значения которых требуется обосновать в процессе решения технико-экономических задач, называются оптимизируемыми параметрами. Все же остальные величины, объединяем в обобщенные константы. Они характеризуют исходные данные решаемой задачи.

Например, если оптимизируемым параметром является сечение проводов F, то выражение (6) можно записать в виде



Если же оптимизируемыми параметрами будут величины F и u то выражение (7) примет вид:

Таким образом, в зависимости от характера решаемой задачи одна и та же величина может выступать то как константа, известная до решения задачи, то как оптимизируемый параметр, численное значение которого требуется экономически обосновать в процессе решения задачи. Так как в практических расчетах приходится учитывать не один эффект, а несколько, модель линии электропередачи усложняется. Например, если в качестве технико-экономической модели линии принять выражение приведенных затрат, то модель ЛЭП будет иметь вид [4]:

Здесь , руб./км, и , руб./км мм2, характеризуют соответствующие удельные затраты на строительство характеризуют соответствующие удельные затраты на строительство 1 км линии.

С увеличением сечения проводов затраты на строительство ЛЭП увеличиваются, а затраты на потери энергии снижаются, т.е. по сечению проводов в формуле затрат образуются конкурирующие группы эффектов. Само же сечение можно рассматривать в качестве оптимизируемого параметра, численное которого нужно определить на стадии анализа исследуемого объекта. Объединяя все величины, за исключением оптимизируемого параметра ?, в обобщенные константы отдельных эффектов в формуле (9), можно записать в виде

Это формула и рассматривается в дальнейшем как один из возможных вариантов обобщенной технико-экономической модели линии электропередачи. В некоторых случаях в качестве оптимизируемого параметра также рассматривают u. В этом случае в качестве другой модели линии можно иметь в виду формулу

В этой модели два оптимизируемых параметра: сечение проводов F и напряжение линии u. По каждому из оптимизируемых параметров в модели имеются конкурирующие эффекты. Обобщенные константы и объединяют целую совокупность свойств отдельных эффектов исследуемого объекта, но не включают оптимизируемые параметры.

Рассмотренные технико-экономические модели (9), (11) справедливы для линии электропередач переменного тока напряжением до 110 кВ включительно. для линий напряжением выше 110 кВ необходимо применять более сложные модели, учитывающие большее количество эффектов, характерных для электропередач данного класса напряжений (например, корона).

Выводы по первой главе

1. Особенностью оптимизационных задач электроснабжения электрифицированных железных дорог является необходимость применения как классических так и алгоритмических методов, так как в них необходимо комплексное определение требуемых характеристик электроустановок и режимов работы систем, обеспечивающих оптимальный уровень безотказности заданной структуры с учетом ограничений технических характеристик, определяющих качество функционирования.

2. Второй особенностью оптимизационных моделей задач электроснабжения являются: необходимость системного подхода, наличие особенностей больших систем, и учет необходимости её развития, т.е. рассмотрение её как динамической системы. Это противоречие нужно решать математически компромиссно, путем взаимных уступок.

активный мощность энергосистема целочисленный

ГЛАВА 2. Нелинейные оптимизационные задачи электроснабжения

2.1 Общие положения

Общая задача оптимизации заключается в отыскании экстремума целевой функции

(2.1)

п переменных, при т ограничениях, заданных в форме равенств и (или) неравенств

(2.2)

и граничных условиях, задающих диапазон изменения переменных

(2.3)

Если в математической модели оптимизационной задачи имеются нелинейные зависимости, для решения этой задачи используются методы нелинейного программирования.

Большинство реальных оптимизационных задач являются нелинейными.

Как уже отмечалось, нелинейная целевая функция может иметь один или несколько экстремумов. Существующие методы нелинейного программирования позволяют найти один экстремум целевой функции и не дают ответа на вопрос: является ли этот экстремум локальным или глобальным?

Поэтому при многоэкстремальной целевой функции диапазон изменения переменных (1.3) разбивается на ряд более узких диапазонов, например

(2.4)

в каждом из которых ищется локальный экстремум целевой функции. Из полученных локальных экстремумов выбирается глобальный экстремум.

Для случая (1.4) оптимизационная задача решается трижды: в диапазоне изменения переменных в диапазоне а, и в диапазоне В результате получаем три локальных экстремума. Из трех локальных экстремумов выбирается глобальный экстремум.

Наиболее простыми задачами нелинейного программирования являются задачи безусловной оптимизации. В этих задачах ищется абсолютный экстремум целевой функции без ограничений и граничных условий.

Из курса высшей математики известно, что в точке экстремума (минимума, максимума) нелинейной функции все ее частные производные равны нулю. Следовательно, для нахождения экстремума нелинейной функции п переменных необходимо определить ее частные производные по всем переменным и приравнять их к нулю. Решение полученной системы п уравнений с п неизвестными даст значения переменных, при которых достигается экстремум функции.

Следует отметить, что точное решение системы уравнений, в общем случае системы нелинейных уравнений, представляет собой достаточно сложную задачу. Поэтому для отыскания экстремума нелинейной функции часто используются другие методы, в частности градиентные методы.

Задачи безусловной минимизации на практике встречаются редко, однако методы их решения являются основой решения большинства практических задач условной оптимизации. В этих задачах ищется условный экстремум целевой функции, т.е. экстремум функции при наличии ограничений и граничных условий.

В большинстве практических оптимизационных задач искомые переменные принимают только положительные или нулевые значения. В этом случае граничные условия имеют вид

(2.5)

Ниже будут рассматриваться задачи безусловной и условной оптимизации, в которых ищется один экстремум целевой функции при граничных условиях вида (4.5).

2.2 Графическая иллюстрация задачи нелинейного программирования

Графическую иллюстрацию нелинейной оптимизационной задачи рассмотрим для случая двух переменных х1 и х2. Пусть нелинейная целевая функция

(2.6)

имеет вид, показанный на рис. 2.1.



Рис. 4.1. Нелинейная целевая функция и ее представление линиями равного уровня

Пересечем функцию Z плоскостями, параллельными горизонтальной плоскости. Точки пересечения спроектируем на плоскость х1, х2. На плоскости х1, х2 получим замкнутые концентрические кривые. На каждой из этих замкнутых кривых значение целевой функции неизменно

(2.7)

Полученные замкнутые кривые Z = const называются линиями равного уровня целевой функции Z. Напомним, что для линейной задачи линии равного уровня Z=const представляли собой прямые линии (рис. 2.2).

Таким образом, нелинейную функцию двух переменных Z(х1, х2) можно представить в двумерной плоскости х1, х2 линиями равного уровня Z=const. Эти концентрические линии стягиваются в точку с координатами х10 и х20, являющуюся минимумом целевой функции Z.

Ограничения (4.2) могут быть линейными и нелинейными, заданными в виде неравенств или равенств. Как было показано при рассмотрении задач линейного программирования, линейные ограничения представляют собой прямые линии. Очевидно, что нелинейные ограничения будут представлять собой кривые линии. При ограничениях-равенствах допустимые значения переменных принадлежат прямой (кривой) линии, при ограничениях-неравенствах допустимые значения переменных принадлежат полупространству, расположенному по одну сторону от прямой (кривой) линии.

На рис. 2.2 показан случай, когда два ограничения 1 и 2 являются линейными неравенствами, а одно ограничение 3 - нелинейным неравенством. Штриховка у каждого ограничения направлена в сторону допустимых значений переменных.

Рис. 2.2. Иллюстрация области допустимых значений переменных и относительного минимума функции Z

Как и в случае линейной задачи, система ограничений (4.2) образует в пространстве переменных х1, и х2 область допустимых значений переменных. В общем случае эта область представляет собой замкнутый многогранник (многогранник аbс на рис. 2.2) с прямолинейными и криволинейными гранями.

При рассмотрении линейной задачи было показано,, что оптимальное решение всегда лежит в одной из вершин многогранника . Для нелинейной оптимизационной задачи это условие может не выполняться. Оптимальное решение может лежать на одной из граней области или внутри этой области.

Для случая, приведенного на рис. 2.2, оптимальному решению соответствует точка с координатами и лежащая на грани ас области . Эта точка представляет собой относительный минимум функции Z, т.е. минимум функции Z при наличии ограничений.

2.3 Градиентные методы

Как следует из названия, эти методы решения нелинейных оптимизационных задач используют понятие градиента функции. Градиентом функции Z(x1, х2 ... хn) называется вектор

(2.8а)

где - единичные вектора (орты).

Величина этого вектора определяется по выражению

(2.8)

Из (4.8) и (4.8а) видно, что функция, градиент которой определяется, должна быть дифференцируемой по всем п переменным.

Физический смысл градиента функции в том, что он показывает направление (2.8а) и скорость (2.8) наибольшего изменения функции в рассматриваемой точке. Если в некоторой точке , функция в этой точке не изменяется (не возрастает и не убывает). Эта точка соответствует экстремуму функции.

Сущность градиентных методов решения нелинейных оптимизационных задач поясним для случая отыскания абсолютного минимума функции двух переменных Z(х1,х2), иллюстрируемого рис. 2.3.

Этот минимум находится в точке с координатами x10 и x20.

В соответствии с граничными условиями (2.5) областью допустимых значений переменных будет первый квадрант системы координат и х1 и х2. В этой области произвольно выберем исходное (нулевое) приближение - точку с координатами . Значение целевой функции в этой точке составляет Z0. В соответствии с выражением (2.8) вычислим в этой точке величину градиента функции Z.

Рис. 2.3 Иллюстрация градиентного метода с постоянным шагом =1

Выполним шаг единичной длины (=1) в направлении убывания функции Z. В результате выполненного шага получим первое приближение - точку с координатами . Значение целевой функции в этой точке составляет Z1.

Далее вычислительная процедура повторяется: последовательно получаем 2-е, 3-е и 4-е приближения - точки с координатами ; и . Значения целевой функции в этих точках соответственно составляют Z2, Z3 и Z4.

Из рис. 2.3 видно, что в результате вычислительного процесса последовательно осуществляется "спуск" к минимуму функции Z. Вычислительная процедура заканчивается, когда относительное изменение целевой функции на предыдущем i-м и последующем (i+1)-м шагах оказывается меньше заданной точности вычислений е:

(2.9)

Рассмотренная вычислительная процедура носит название градиентного метода с постоянным шагом. В этом методе все шаги выполнялись одинаковой длины Метод достаточно прост. Основной его недостаток - большая вероятность зацикливания вычислительного процесса в окрестности минимума функции Z. В соответствии с рис. 4.3 вычислительный процесс зациклится между точками с координатами и . При этом в качестве искомого решения следует принять одну из этих точек.

Для получения более точного результата необходимо выбрать шаг меньшей длины. При этом объем вычислений (количество шагов) увеличится.

Таким образом, точность и объем вычислений в градиентном методе с постоянным шагом определяются величиной этого шага.

Метод покоординатного спуска. Как и в предыдущем методе, выберем исходное (нулевое) приближение - точку с координатами (рис. 2.4). Значение целевой функции в этой точке составляет z . В соответствии с выражением (2.8) вычислим частные производные целевой функции Z. Из совокупности частных производных выберем наибольшую по модулю производную. Пусть это будет производная Следовательно, в направлении переменной х2 функция Z имеет наибольшее изменение. Если производная положительная, при увеличении переменной х2 функция увеличивается. Если производная отрицательная, при увеличении переменной х2 функция уменьшается.



Рис. 2.4 Иллюстрация метода покоординатного "спуска"

Осуществляем "спуск" по переменной х2 в направлении уменьшения целевой функции (выполняем единичные шаги ). Последовательно получаем 1-е, 2-е, 3-е приближения - точки с координатами На каждом шаге вычисляем значение целевой функции: Пусть

Следовательно, 3-й шаг в направлении переменной х2 выполнять нецелесообразно, целевая функция начинает увеличиваться. Осуществляется возврат в предыдущую точку с координатами .

Из точки с координатами продолжаем "спуск" в направлении другой переменной х1 Единичные шаги () в направлении переменной Xi выполняются до тех пор, пока целевая функция не начнет увеличиваться Получаем точки с координатами

Вычислительная процедура повторяется до достижения точности, соответствующей выбранному шагу. Если в некоторой точке, например с координатами единичный шаг по любой переменной приводит к увеличению целевой функции, процесс заканчивается. Точка с координатами находится в окрестности минимума целевой функции Z.

Метод скорейшего спуска. Как было отмечено выше, точность и объем вычислений в градиентных методах с постоянным шагом X определяются величиной этого шага. При увеличении длины шага объем вычислений (количество шагов) уменьшается, однако уменьшается и точность определения минимума целевой функции. При уменьшении длины шага точность увеличивается, однако объем вычислений (количество шагов) возрастает.

Поэтому вопрос о выборе рациональной длины шага в градиентных методах является своего рода оптимизационной задачей.

Один из способов определения оптимальной длины шага иллюстрируется на рис. 2.5 и носит название метода скорейшего "спуска".

Рис. 2.5 Иллюстрация метода скорейшего "спуска" (а) и параболическая аппроксимация целевой функции для выбора оптимального шага (б)

Начало вычислительной процедуры такое же, как и в градиентном методе с постоянным шагом:

принимается исходное (нулевое) приближение ;

вычисляется значение целевой функции в этой точке Z0;

в соответствии с выражением (2.8) для этой точки вычисляется grad Z.

Из исходной точки в направлении убывания целевой функции выполним два единичных шага (). В конце каждого шага вычислим значения целевой функции Z1 и Z2.

Итак, имеем три значения целевой функции Z0,Z1 и Z2, отвечающие нулевой (=0), единичной (=1) и двойной (=2) длинам шага (рис. 2.5,6). Эти три значения характеризуют сечение целевой функции Z в выбранном направлении "спуска".

Известно, что через три точки можно провести единственную параболу

(2.10)

где а, b, с - постоянные коэффициенты.

Определим координату минимума этой параболы, для чего приравняем к нулю первую производную функции (4.10) по переменной

(2.11)

откуда = -b/2а.

Полученное значение и будем считать оптимальной длиной шага опт.

Выполненная процедура называется параболической аппроксимацией сечения целевой функции Z. Заметим, что для аппроксимации сечения целевой функции Z могут использоваться и другие стандартные кривые, например гипербола.

Итак, из исходной точки (рис. 2.5,а) следует выполнить шаг длиной опт. В результате получается первое приближение - точка с координатами Вычисляется значение целевой функции в этой точке Z1.

Из точки с координатами вычислительная процедура повторяется. Получаем следующее приближение - точку с координатами и значением целевой функции Z2 . Процесс продолжается до достижения требуемой точности в соответствии с соотношением (2.9).

В методе скорейшего спуска, по сравнению с градиентным методом с постоянным шагом, количество шагов меньше, точность получаемого результата выше, отсутствует зацикливание вычислительного процесса, однако объем вычислений на одном шаге больше.

Метод проектирования градиента. Рассмотренные выше градиентные методы предполагали отыскание абсолютного минимума целевой функции Z. При наличии в математической модели ограничений (2.2) ищется уже не абсолютный, а относительный минимум целевой функции Z.

Рассмотрим один из методов отыскания относительного минимума целевой функции, получивший название метода проектирования градиента. Для упрощения алгоритма метода допустим, что имеется одно ограничение в виде линейного неравенства

(2.12)

При наличии указанного ограничения минимум целевой функции следует искать в области , расположенной по одну сторону от прямой , например выше этой прямой (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Иллюстрация метода проектирования градиента

Начало вычислительной процедуры такое же, как и в предыдущих методах:

в области принимается исходное (нулевое) приближение ;

вычисляется значение целевой функции в этой точке z ;

в соответствии с выражением (2.8) в этой точке вычисляется градиент целевой функции grad Z;

из исходной точки в направлении убывания целевой функции выполняется шаг.

Выбор величины шага может осуществляться различным образом. Выберем шаг в соответствии с алгоритмом метода скорейшего "спуска" и получим первое приближение - точку с координатами . Вычисляется значение целевой функции в этой точке Z1.

Необходимо проверить, принадлежит ли точка с координатами области Q допустимых значений переменных. Для этого проверяется неравенство (4.12), в которое подставляются координаты :

(2.13)

Если это неравенство выполняется, вычислительный процесс продолжается.

Из точки с координатами Х\1, х2 выполняется следующий шаг. В результате этого шага имеем второе приближение - точку с координатами . Значение целевой функции в этой точке Z .

Пусть для этой точки неравенство

не выполняется. Следовательно, точка с координатами вышла из области Q и необходимо выполнить возврат в эту область.

Возврат в область Q выполняется следующим образом. Из точки с координатами опускается перпендикуляр на прямую , т.е. конец вектора () проектируется на эту прямую. В результате получается новое приближение - точка с координатами которая принадлежит области Q. В этой точке вычисляется значение целевой функции Z3.

Дальнейший "спуск" к относительному минимуму целевой функции продолжается из точки . На каждом шаге вычисляется значение целевой функции и проверяется принадлежность нового приближения к области Q. Вычислительный процесс заканчивается при выполнении условия (2.9).

2.4 Метод неопределенных множителей Лагранжа

Естественно что решение задач условной оптимизации значительно сложнее решения задач безусловной оптимизации. Естественно стремление сведения задачи условной оптимизации (поиска относительного экстремума) к более простой задаче безусловной оптимизации (поиска абсолютного экстремума). Такая процедура осуществляется в методе Лагранжа. Рассмотрим сущность этого метода.

Необходимо найти условный экстремум нелинейной функции

(2.14)

п переменных, при т ограничениях

 (2.15а)

Ограничения-неравенства преобразуются в равенства, а свободные члены переносятся в левые части ограничений, т.е. система (2.15а) приводится к виду

(2.15)

В соответствии с методом Лагранжа вместо относительного экстремума функции (2.14) при ограничениях (2.15) ищется абсолютный экстремум функции Лагранжа, которая имеет следующий вид:

(2.16)

где , ,...- неопределенные множители Лагранжа, являющиеся, как и переменные , искомыми переменными.

Видно, что в функцию Лагранжа входит целевая функция плюс каждое ограничение, умноженное на множитель Лагранжа.

Доказано, что относительный экстремум целевой функции (2.14) при ограничениях (2.15) совпадает с абсолютным экстремумом функции Лагранжа (2.16).

Поиск абсолютного экстремумам функции (2.16) выполняется известными методами. В частности, определяются и приравниваются к нулю частные производные функции Лагранжа:

(2.17)

Последние т уравнений представляют собой ограничения (2.15) оптимизационной задачи.

Система (2.17) содержит (т+п) уравнений и такое же количество неизвестных.

Решение системы (2.17) даст координаты абсолютного минимума функции Лагранжа (2.16) или относительного минимума целевой функции (4.14) при ограничениях (2.15).

Решение системы (2.17) выполняется известными методами вычислительной математики. Если система (2.17) линейная, используется, как правило, метод Гаусса. Если система (2.17) нелинейная - метод Ньютона.

2.5 Задача оптимального распределения активной мощности в энергосистеме

Одной из важных оптимизационных задач электроэнергетики является задача распределения суммарной активной мощности потребителей энергосистемы между электрическими станциями этой системы. Рассмотрим эту задачу в общем виде для наиболее простого случая, когда в энергосистеме имеются только тепловые электростанции, работающие на одном виде топлива.

В существующей энергосистеме необходимо так распределять активную нагрузку между электростанциями, чтобы затраты на выработку электроэнергии были бы минимальными. Основной составляющей этих затрат является стоимость топлива. Поэтому в качестве минимизируемой целевой функции примем суммарный расход топлива в энергосистеме.

Пусть в энергосистеме имеется п тепловых электростанций. Для агрегатов каждой электростанции известны расходные характеристики, т.е. зависимости расхода топлива В от активной мощности Р; вырабатываемой станцией. Эти расходные характеристики имеют нелинейный характер и следующий общий вид:

(2.18)

Целевая функция будет представлять собой сумму таких нелинейных зависимостей

(2.19)

В энергосистеме должен соблюдаться баланс мощностей, в соответствии с которым сумма вырабатываемых станциями мощностей должна быть равна суммарной потребляемой мощности

(2.20)

Выражение баланса активной мощности (2.20) и является техническим ограничением в рассматриваемой оптимизационной задаче.

Граничными условиями будут неотрицательные значения искомых мощностей электростанций

(2.21)

Соотношения (2.19), (2.20) и (2.21) представляют собой математическую модель поставленной оптимизационной задачи.

Для решения воспользуемся методом Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

Для определения минимума функции Лагранжа вычислим все ее частные производные и приравняем их к нулю:

(2.23)

Из системы (2.23) следует, что она имеет решение при условии

 (2.4)

и выполнении баланса мощности (2.20).

Таким образом, оптимальное распределение активной мощности между электростанциями имеет место при равенстве между собой производных от расходных характеристик каждой станции.

2.6 Задачи оптимального распределения компенсирующих устройств в системах электроснабжения

Большинство потребителей электроэнергии кроме активной мощности потребляет и реактивную мощность. В отличие от активной мощности реактивную мощность можно получить непосредственно у потребителей от специальных источников реактивной мощности.

Расстановка источников реактивной мощности в схеме электроснабжения называется компенсацией реактивной мощности, а сами источники - компенсирующими устройствами. Подробно вопросы компенсации реактивной мощности рассматриваются в специальных курсах.

Основная идея компенсации реактивной мощности заключается в следующем. Рассмотрим простейшую схему электроснабжения (рис. 2.7), включающую в себя линию с активным сопротивлением R, связывающую источник питания напряжением U и потребитель мощностью P+jQ.

Рис. 2.7. Простейшая схема компенсации реактивной мощности

Потери активной мощности в линии при отсутствии у потребителя компенсирующего устройства (Qk=0) составляют

(2.25)

при установке у потребителя компенсирующего устройства (Qk0) эти потери уменьшатся до величины

(2.26)

Таким образом, компенсация реактивной мощности позволяет уменьшить потери активной мощности в схеме электроснабжения и, следовательно, улучшить технико-экономические показатели этой схемы.

Из выражений (2.25) и (2.26) видно, что потери мощности АР имеют две составляющие: потери от протекания по линии активной мощности Р и потери от протекания по линии реактивной мощности Q или (Q-Qk). Поскольку компенсация реактивной мощности влияет только на вторую составляющую потерь, в дальнейшем будем рассматривать потери от протекания по линиям только реактивных мощностей.

При проектировании схемы электроснабжения, как правило, минимизируются денежные затраты на эту схему. Снижение потерь мощности за счет установки компенсирующих устройств уменьшает затраты на схему, поскольку каждый потерянный кВт мощности необходимо выработать на электростанциях и, следовательно, затратить на это денежные средства. Однако и компенсирующие устройства требуют денежных затрат.

В связи с этим возникает задача определения оптимальной мощности компенсирующих устройств, отвечающей минимуму суммарных затрат. Такая задача относится к задаче безусловной оптимизации и может быть решена, например, градиентными методами.

Для системы электроснабжения величина суммарной мощности компенсирующих устройств Qk может быть заданной какими-то техническими условиями. В этом случае заданную мощность Qk требуется оптимальным образом распределить внутри системы электроснабжения. Это уже задача условной оптимизации и решается, например, методом Лагранжа.

Рассмотрим такую задачу для радиальной схемы электроснабжения (рис. 2.8). Источник питания имеет напряжение U. От этого источника питаются п потребителей с реактивными мощностями Q1, Q2…Qn. Активные сопротивления линий между источником и потребителями составляют R1, R2, … Rn. У каждого i-ro потребителя может устанавливаться компенсирующее устройство мощностью Qki.

Требуется найти оптимальное распределение между потребителями 1, 2,…п заданной суммарной мощности «компенсирующих устройств Qk. Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности в схеме.

Подлежащая минимизации целевая функция, представляющая собой потери активной мощности в схеме, имеет следующий вид:

(2.27)

Рис.2.8 Радиальная схема электроснабжения

Относительный минимум целевой функции ищется при ограничении

 или (2.28)

Запишем функцию Лагранжа:

(2.29)

(2.30)

(2.31)

Рассмотрим задачу оптимального распределения заданной мощности компенсирующих устройств Qk между потребителями 1, 2,...п в магистральной схеме электроснабжения (рис. 2.9).

Подлежащая минимизации целевая функция имеет следующий вид:



Рис. 2.9 Магистральная схема электроснабжения

Относительный минимум целевой функции ищется при ограничении

или (2.33)

Запишем функцию Лагранжа

(2.34)

Для отыскания минимума функции L вычислим ее частные производные и приравняем их к нулю:



(2.35)

где

Из 1-го уравнения системы (4.35) следует, что

 (2.36)

С учетом этого соотношения из 2-го уравнения системы следует, что

(2.37)

Подставив соотношения (4.36) и (4.37) в 3-е уравнение системы, получим

(2.38)

и так далее. Из третьего снизу уравнения системы (4.35) получим, что

(2.39)

Из предпоследнего уравнения системы получим

или (2.40)

Как следует из (4.40), у последнего n-го потребителя следует установить компенсирующее устройство мощностью, равной реактивной мощности этого потребителя. В таком случае говорят о полной компенсации реактивной мощности потребителя.

Из (2.39), (2.38) и (2.37) следует, что у (n-1)-го, ... 3-го и 2-го потребителей также следует выполнить полную компенсацию реактивной мощности.

Однако при расстановке компенсирующих устройств необходимо учитывать ограничение - последнее уравнение системы (2.34).

Таким образом, в магистральной схеме электроснабжения компенсирующие устройства следует устанавливать в соответствии с условиями полной компенсации реактивной мощности Qki = Qi начиная от конца магистральной схемы к ее началу (от п-го потребителя к 1-му потребителю), до выполнения условия Qki = Qk, i=l, 2,... п.

Если у i -гo потребителя это условие выполнилось, то у потребителей 1, 2, ... i-1 компенсирующие устройства не устанавливаются.

Пример. В существующей схеме электроснабжения (рис. 2.10) требуется определить мощности компенсирующих устройств QKl и Qk2 в узлах 1 и 2 исходя из условия минимума суммарных затрат на установку этих устройств и покрытие потерь активной мощности в схеме.

Исходные данные:

напряжение схемы U= 10 кВ;

сопротивления линий Ri=6 Ом, R2=4 Ом;

реактивные нагрузки узлов 1 и 2 Qi=600 квар и Q2=800 квар;

удельные затраты на установку компенсирующих устройств zo=0,5 у.е./квар;

удельные затраты на покрытие потерь активной мощности со=10 у.е./кВт.

Рис. 2.10 Схема электроснабжения

Решение. Целевая функция, представляющая собой суммарные затраты на установку компенсирующих устройств и покрытие потерь активной мощности в схеме, имеет следующий вид

где

Введение числового коэффициента 1O'J необходимо для приведения всех составляющих целевой функции к одной размерности (у.е.).

Для решения задачи выберем метод покоординатного "спуска". Определим частные производные целевой функции Z по переменным Qki и Qk2.

Примем исходное приближение: Для этих значений вычислим значения целевой функции и ее частных производных:

Очевидно, что в направлении переменной Qk2 целевая функция Z убывает сильнее, чем в направлении переменной Qk1, поскольку

В направлении переменной Qk2 и начнем "спуск".

Примем величину шага =400 квар. Первое приближение (первый шаг) будет квар. Значение целевой функции

Второй шаг: квар. Значение целевой функции Z2=616y.e.

Третий шаг: квар. Значение целевой функции Z3 = 689 у.е.

Очевидно, что "спуск" по координате Qk2 целесообразно прекратить, поскольку Z:>>Z1, и вернуться к значениям переменных квар, полученным на втором шаге.

Выполним новый третий шаг =400 квар в направлении другой переменной квар, квар. Значение целевой функции Z3 = 624 у.е. Движение в направлении переменной Qk1 нецелесообразно, поскольку Z3>Z2.

Точка с координатами Qk1=0, квар находится в окрестности минимума целевой функции Z. При принятой длине шага ,=400 квар более точное решение получено быть не может.

Решение этой нелинейной задачи производится с помощью программного обеспечения Excel 7.0. Результаты решения следующие:

Qk1=183 квар, квар, Z=596 у.е.

Это решение более точное, значение целевой функции на 28 у.е. меньше, чем в методе покоординатного спуска с постоянным шагом.

Пример. В схеме электроснабжения контактной сети электрифицированной железной дороги следует распределить между узлами 1,2,3, соответственно с реактивными нагрузками Q1, Q2, Q3, заданную Q суммарную мощность компенсирующих устройств (см. рис. 1)

Рис. 2.11

Напряжение схемы кВ. cсопротивления линий Ом; реактивные нагрузки узлов кВар;

Суммарная мощность компенсирующих устройств 500 кВар.