Основы статистики

Порядок составления и исследование вариационного ряда, первичная обработка полученных данных. Подбор закона распределения одномерной случайной величины и построение регрессионной модели данной системы. Вывод о значимости коэффициента корреляции.

Рубрика Экономика и экономическая теория
Вид лабораторная работа
Язык русский
Дата добавления 15.03.2014
Размер файла 147,6 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторная работа №1

Первичная обработка данных

При проведении экспериментов фиксировались значения случайной величины X, Время простоя состава под скрещением, (в мин.).

Задание: произвести первичную обработку полученных опытных данных с целью изучения свойств случайной величины Х.

1) Составим расчетную таблицу, в которой запишем вариационный ряд (элементы выборки в порядке возрастания признака) и произведем расчеты, необходимые для вычисления числовых характеристик.

Таблица 1 - Расчетная таблица

Номер п/п

Выборка, мин.

Вариационный ряд, , мин.

1

23,3

0,24

-10,2363

104,7825

-1072,5888

10979,3765

2

7,04

0,42

-10,0563

101,1298

-1016,9954

10227,2446

3

2,47

0,55

-9,9263

98,5321

-978,0624

9708,5734

4

39,8

0,68

-9,7963

95,9681

-940,1360

9209,8852

5

0,42

1,46

-9,0163

81,2943

-732,9762

6608,7578

6

15

1,48

-8,9963

80,9340

-728,1094

6550,3145

7

18,1

2,16

-8,3163

69,1614

-575,1693

4783,2993

8

5,5

2,47

-8,0063

64,1014

-513,2170

4108,9861

9

1,48

3,21

-7,2663

52,7996

-383,6595

2787,7978

10

10,8

5,01

-5,4663

29,8808

-163,3384

892,8622

11

16,9

5,3

-5,1763

26,7944

-138,6969

717,9413

12

9,77

5,5

-4,9763

24,7639

-123,2334

613,2504

13

0,55

7,04

-3,4363

11,8084

-40,5776

139,4380

14

26,2

8,96

-1,5163

2,2993

-3,4865

5,2866

15

1,46

9,09

-1,3863

1,9219

-2,6644

3,6938

16

5,3

9,45

-1,0263

1,0534

-1,0811

1,1096

17

9,09

9,77

-0,7063

0,4989

-0,3524

0,2489

18

8,96

10,4

-0,0763

0,0058

-0,0004

0,0000

19

11,7

10,8

0,3237

0,1048

0,0339

0,0110

20

12

11,5

1,0237

1,0479

1,0727

1,0981

21

0,68

11,7

1,2237

1,4974

1,8323

2,2421

22

2,16

12

1,5237

2,3216

3,5373

5,3896

23

0,24

15

4,5237

20,4636

92,5703

418,7573

24

11,5

16,9

6,4237

41,2635

265,0629

1702,6759

25

5,01

18,1

7,6237

58,1203

443,0897

3377,9685

26

19,3

19,3

8,8237

77,8571

686,9850

6061,7270

27

3,21

23,3

12,8237

164,4464

2108,8062

27042,6273

28

26,5

26,2

15,7237

247,2337

3887,4202

61124,4992

29

10,4

26,5

16,0237

256,7579

4114,2029

65924,6158

30

9,45

39,8

29,3237

859,8774

25214,7590

739389,1891

Итого

314,290

314,290

0,0000

2578,7215

29405,0276

972388,8669

2) Найдем размах выборки

= 39,56.

3) Длина интервала

= 6,697.

4) границы интервалов: = 0,24, = 6,937, = = 13,634, = 20,331, = 27,029, = 33,726,

= 40,423.

5) Построим интервальный статистический ряд:

Таблица 2 - Интервальный статистический ряд

Границы интервалов , мин.

Частоты

Частости

Накопленные частости

(0,24; 6,937)

12

12/30

12/30

(6,937; 13,634)

10

10/30

22/30

(13,634; 20,331)

4

4/30

26/30

(20,331; 27,029)

3

3/30

29/30

(27,029; 33,726)

0

0/30

29/30

(33,726; 40,423)

1

1/30

1

Итого

30

1

6) Вычислим числовые характеристики.

В качестве оценки математического ожидания используется среднее арифметическое наблюденных значений. Эта статистика называется выборочным средним.

.

Для оценивания по выборочным данным моды распределения, используется то значение сгруппированного статистического ряда , которому соответствует наибольшее значение частоты. По интервальному статистическому ряду определяется модальный интервал, в который попало наибольшее число элементов выборки, и в качестве точечной оценки моды может использоваться среднее значение этого интервала.

.

Для определения выборочного значения медианы используется вариационный ряд. В качестве оценки медианы принимают средний (т.е. -й) член этого ряда, если значение n - нечётно и среднее арифметическое между двумя средними (т.е. между -м и -м) членами этого ряда, если n - чётно. В нашем случае объем выборки = 40 - четное, т.е. в качестве оценки медианы примем

= .

В качестве оценки дисперсии используется статистика

= .

Оценка среднего квадратического отклонения = .

Оценка коэффициента вариации .

Оценка коэффициента асимметрии

.

Оценка коэффициента эксцесса

.

7) Для приближённого построения эмпирической функции распределения воспользуемся соотношением:

8) Построим гистограмму частот и эмпирическую функцию распределения.

Рисунок 1 - Гистограмма частот

Рисунок 2 - Функция распределения

Вывод. В результате исследования выборки значений непрерывной случайной величины, характеризующей время простоя состава под скрещением, получили следующие результаты, мин.: минимальное время простоя - 0,24, максимальное - 39,8, среднее значение времени простоя состава под скрещением - 10,476, наиболее вероятное время простоя состава под скрещением - 3,589, средневероятное - 9,270, среднеквадратическое отклонение времени простоя состава под скрещением от среднего значения составило 9,430. Оценка коэффициента вариации составила 159,638%, что указывает на большую колеблемость признака относительно среднего значения, оценка коэффициента асимметрии составила 1,209, оценка коэффициента эксцесса составила 1,241.

Лабораторная работа №2

Подбор закона распределения одномерной случайной величины

Цель работы: изучить методику применения критерия Пирсона для проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины.

Задание: с помощью критерия проверить согласование выдвинутой гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины с имеющимися выборочными данными.

Алгоритм применения критерия 2 для проверки гипотезы о виде закона распределения исследуемой случайной величины.

1 Выборочные данные представляются в виде интервального или сгруппированного статистического ряда.

2 Выбирается уровень значимости .

3 Формулируется гипотеза о виде закона распределения исследуемой случайной величины.

4 Вычисляются вероятности pi попадания значений случайной величины Х в рассматриваемые разряды разбиения: , (), где F(x) - гипотетическая функция распределения случайной величины X.

Замечание. Если изучается непрерывная случайная величина, то при вычислении значений необходимо изменить границы первого и последнего частичных интервалов разбиения таким образом, чтобы учесть все возможные значения, которые может принять случайная величина предполагаемого класса. В зависимости от конкретного вида проверяемой гипотезы границы частичных интервалов необходимо изменить следующим образом:

Вид закона распределения

Первый интервал разбиения

Последний интервал разбиения

Равномерный

Экспоненциальный

Нормальный

5 Определяются значения теоретических частот npi (i = 1, 2,…, k). При необходимости для обеспечения условия npi 3 (если объем выборки ), npi 5 (если объем выборки ), объединяются несколько соседних разрядов разбиения.

6 Вычисляется наблюдаемое значение критерия

2: .

7 По таблицам квантилей распределения 2 определяется критическое значение , соответствующее заданному уровню значимости и числу степеней свободы

= k - r - 1.

Если расчётное значение критерия попадает в критическую область, т.е. , то проверяемая гипотеза отвергается (при этом вероятность отклонения верной гипотезы равна ).

В случаях, когда наблюденное значение 2 не превышает критического , считают, что выдвинутая гипотеза не противоречит опытным данным. Подчеркнем, что полученный результат свидетельствует лишь о приемлемом согласовании проверяемой гипотезы с имеющимися выборочными данными и, в общем случае, не является доказательством истинности этой гипотезы.

По таблице, полученной в лабораторной работе №1 и по гистограмме частот выдвигаем нулевую гипотезу о виде закона распределения случайной величины (времени простоя состава под скрещением).

Случайная величина (время простоя состава под скрещением) распределена по показательному (экспоненциальному) закону.

Выбираем уровень значимости .

Вычислим вероятности pi попадания значений случайной величины Х в рассматриваемые разряды разбиения по формуле:

=.

Проверим гипотезу с помощью критерия согласия Хи-квадрат Пирсона.

Вычислим параметр = = = 0,095453244 = 0,095.

Так как изучается непрерывная случайная величина, то при вычислении значений необходимо изменить границы первого и последнего частичных интервалов разбиения. В нашем случае проверяется гипотеза о показательном законе распределения.

Вид закона распределения

Первый интервал разбиения

Последний интервал разбиения

Экспоненциальный

Вычислим вероятности по формуле

.

Пример расчета:

1 - 0,516= 0,484.

Для того чтобы облегчить расчеты, можно с помощью пакета программ выполнить промежуточные расчеты, которые необходимо оформить в виде таблицы:

Таблица 1 - Расчетная таблица вероятностей

Граница интервала

0

0

1

0,484

0,484

6,937

-0,662

0,516

0,244

0,244

13,634

-1,301

0,272

0,129

0,129

20,331

-1,941

0,144

0,068

0,068

27,029

-2,580

0,076

0,036

0,036

33,726

-3,219

0,040

0,040

0,040

-

0

-

-

Итого

-

-

1

30

Таблица 2 - Расчет 2

Границы интервалов

Частоты эмпирические

Вероятности

Частоты теоретические

(0; 6,937)

12

0,484

14,528

0,440

(6,937; 13,634)

10

0,244

7,308

0,992

(13,634; 20,331)

4

0,129

3,856

0,003

(20,331; 27,029)

3

0,068

2,035

(27,029; 33,726)

0

0,036

1,074

(33,726; ?)

1

0,040

1,200

Итого

30

1

30

1,435= 2

Вычислим число степеней свободы = k - r - 1 = 3-1-1= 1, где k = 3 - число интервалов в таблице 2 после объединения, r =1 - число параметров выбранного закона распределения - в нашем случае показательный закон (один параметр ).

По таблицам квантилей распределения 2 определяется критическое значение, соответствующее заданному уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы = 1.

Вывод. Сравниваем полученное значение в таблице = 1,435 с табличным = 3,841. Так как расчетное = 1,435 меньше, чем табличное = 3,841, то гипотеза о показательном законе распределения подтвердилась.

Лабораторная работа №3

Построение регрессионной модели системы двух случайных величин

Цель работы: изучить основные методы регрессионного и корреляционного анализа; исследовать зависимость между двумя случайными величинами, заданными выборками.

Задание: по виду корреляционного поля сделать предположение о форме регрессионной зависимости между двумя случайными величинами; используя метод наименьших квадратов, найти параметры уравнения регрессии; оценить качество описания зависимости полученным уравнением регрессии.

По результатам пятнадцати совместных измерений веса грузового поезда, т, и соответствующего времени нахождения поезда на участке Y, ч, представленных в таблице 1, следует исследовать зависимость между данными величинами. Необходимо определить коэффициенты уравнения регрессии методом наименьших квадратов, оценить тесноту связи между величинами, проверить значимость коэффициента корреляции и спрогнозировать время нахождения поезда на участке при заданном весе поезда (5200 т).

Решение. На величину времени нахождения поезда на участке Y, помимо веса X, влияние оказывает профиль и качество железнодорожного полотна, качество подвижного состава, направление и скорость ветра и другие факторы. Поэтому зависимость между величиной времени нахождения поезда на участке Y и веса поезда X является статистической: при одном весе поезда при различных дополнительных условиях время нахождения поезда на участке может принимать различные значения. Для определения вида регрессионной зависимости построим корреляционное поле.

Рис. 1. Корреляционное поле

Характер расположения точек на диаграмме рассеяния позволяет сделать предположение о линейной регрессионной зависимости .

Таблица 1 - Результаты промежуточных вычислений

Вес грузового состава, т,

Время нахождения поезда на участке, час.,

4435,68

4,098

-463,381

214722

-0,057

0,003

26,274

5100,58

4,190

201,519

40610

0,035

0,001

7,114

4885,41

4,156

-13,651

186

0,001

0,000

-0,018

5416,94

4,225

517,879

268198

0,070

0,005

36,407

4496,66

4,108

-402,401

161927

-0,047

0,002

18,792

4722,08

3,950

-176,981

31322

-0,205

0,042

36,228

5537,91

4,200

638,849

408128

0,045

0,002

28,940

5074,01

4,180

174,949

30607

0,025

0,001

4,426

4807,09

4,145

-91,971

8459

-0,010

0,000

0,892

4046,02

4,050

-853,041

727680

-0,105

0,011

89,313

4683,93

4,130

-215,131

46281

-0,025

0,001

5,314

4872,42

4,154

-26,641

710

-0,001

0,000

0,019

4003,22

4,040

-895,841

802532

-0,115

0,013

102,753

4628,01

4,122

-271,051

73469

-0,033

0,001

8,863

4293,44

4,274

-605,621

366777

0,119

0,014

-72,251

5035,70

4,175

136,639

18670

0,020

0,000

2,774

5780,28

4,274

881,219

776546

0,119

0,014

105,129

4752,14

3,970

-146,921

21586

-0,185

0,034

27,136

6115,63

4,320

1216,569

1480039

0,165

0,027

201,099

4788,77

4,143

-110,291

12164

-0,012

0,000

1,290

5140,42

4,189

241,359

58254

0,034

0,001

8,279

5856,44

4,285

957,379

916574

0,130

0,017

124,746

5243,49

4,200

344,429

118631

0,045

0,002

15,603

5007,53

4,170

108,469

11765

0,015

0,000

1,660

5321,63

4,210

422,569

178564

0,055

0,003

23,368

5296,32

4,300

397,259

157814

0,145

0,021

57,722

4046,73

4,050

-852,331

726469

-0,105

0,011

89,239

4051,41

4,050

-847,651

718513

-0,105

0,011

88,749

4795,27

4,146

-103,791

10773

-0,009

0,000

0,903

4736,68

4,137

-162,381

26368

-0,018

0,000

2,874

Итого 146972

125

0

8414339

0

0,239

1044

Найдем уравнение прямой линии методом наименьших квадратов

.

Средний вес грузового состава:

= .

Среднее значение времени нахождения поезда на участке:

=

Коэффициенты уравнения:

Уравнение регрессии имеет вид: .

Для линейной связи коэффициенты:

- постоянная регрессии, показывает точку пересечения прямой с осью ординат

- коэффициент регрессии, показывает меру зависимости переменных y от х, указывает среднюю величину изменения переменной у при изменении х на одну единицу, знак В1 определяет направление этого изменения.

Вычислим линейный коэффициент корреляции

= 0,735247869.

Таблица 2 - Расчет значений времени нахождения поезда на участке по уравнению регрессии

Вес грузового состава, т,

Время нахождения поезда на участке, час.,

4435,68

4,098

4,097226427

5100,58

4,19

4,179694528

4885,41

4,156

4,153006814

5416,94

4,225

4,218932922

4496,66

4,108

4,104789828

4722,08

3,95

4,132748858

5537,91

4,2

4,233936932

5074,01

4,18

4,176399029

4807,09

4,145

4,143292719

4046,02

4,05

4,048896573

4683,93

4,13

4,128017082

4872,42

4,154

4,151395653

4003,22

4,04

4,043588053

4628,01

4,122

4,121081277

4293,44

4,274

4,079584282

5035,7

4,175

4,171647408

5780,28

4,274

4,263998285

4752,14

3,97

4,136477225

6115,63

4,32

4,305592025

4788,77

4,143

4,141020474

5140,42

4,189

4,184635916

5856,44

4,285

4,273444473

5243,49

4,2

4,197419774

5007,53

4,17

4,168153459

5321,63

4,21

4,207111544

5296,32

4,3

4,203972323

4046,73

4,05

4,048984635

4051,41

4,05

4,049565099

4795,27

4,146

4,141826674

4736,68

4,137

4,134559708

Итого 146971,84

124,641

124,641

Рис. 2. Корреляционное поле и линия регрессии

Спрогнозируем время нахождения поезда на участке при заданном весе грузового состава (5200 т).

Качественная оценка тесноты связи между величинами выявляется по шкале Чеддока (таблица 3).

Таблица 3 - Шкала Чеддока

Теснота связи

Значение коэффициента корреляции при наличии

прямой связи

обратной связи

Слабая

0,1-0,3

(-0,1) - (-0,3)

Умеренная

0,3-0,5

(-0,3) - (-0,5)

Заметная

0,5-0,7

(-0,5) - (-0,7)

Высокая

0,7-0,9

(-0,7) - (-0,9)

Весьма высокая

0,9-0,99

(-0,9) - (-0,99)

Вывод. Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости. Т.к. = 0,735, то можно говорить о том, что между величинами X и Y существует линейная прямая, высокая связь.

Чтобы сделать статистический вывод о значимости коэффициента корреляции (при проверке линейности регрессионной зависимости) выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии линейной зависимости между исследуемыми с. в. против альтернативной гипотезы о наличии линейной связи.

корреляция регрессионный распределение вариационный

,

.

Если гипотеза H0 отклоняется, то считается, что уравнение регрессии Y по X действительно имеет линейный вид.

Для проверки гипотезы H0 вычисляется t-статистика

= 5,74.

При условии справедливости гипотезы H0 рассчитанная t-статистика имеет распределение Стьюдента с n - 2 степенями свободы. Найденное значение t = 5,74 сравнивается с критическим значением t, при = n - 2 = 30-2 = 28 степенях свободы. В нашем случае t, = t =0.05, =28 = 1,701. Так как расчетное значение 5,74 по абсолютной величине превосходит табличное 1,701 для заданного уровня значимости, то нулевая гипотеза H0 с. в. отклоняется, и с вероятностью ошибки можно утверждать, что между исследуемыми величинами существует линейная зависимость.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Понятие и назначение, порядок и правила построения вариационного ряда. Анализ однородности данных в группах. Показатели вариации (колеблемости) признака. Определение среднего линейного и квадратического отклонения, коэффициента осцилляции и вариации.

    контрольная работа [354,6 K], добавлен 26.04.2010

  • Первичный анализ экспериментальных данных. Построение эмпирической плотности распределения случайной анализируемой величины и расчет ее характеристик. Определение вида закона распределения величины и расчёт его параметров при помощи метода моментов.

    курсовая работа [1,2 M], добавлен 23.05.2009

  • Нахождение закона распределения переменной и построение гистограммы. Определение наиболее типичного значения переменной и средний разброс ее значений. Оценивание распределения переменной. Составление спецификации гиперболической регрессионной модели.

    курсовая работа [620,9 K], добавлен 06.01.2016

  • Группировка предприятий по различным признакам. Построение статистического ряда распределения предприятий. Определение дисперсии, среднеквадратического отклонения, коэффициента вариации. Исследование средней численности населения города и его районов.

    контрольная работа [268,5 K], добавлен 27.11.2012

  • Расчет коэффициентов корреляции Пирсона и ранговой корреляции Спирмена по регионам Российской Федерации для заданных показателей. Построение линейной и нелинейной (квадратической) модели регрессии. Проведение проверки значимости для полученных данных.

    контрольная работа [464,0 K], добавлен 28.05.2012

  • Основные категории статистики. Группировка - основа научной обработки данных статистики. Содержание сводки и статистическая совокупность. Построение вариационного, ранжированного и дискретного рядов распределения. Группировка предприятий по числу рабочих.

    контрольная работа [23,3 K], добавлен 17.03.2015

  • Законы распределения случайных величин. Закон распределения Пуассона. Свойства плотности вероятности. Критериальные случайные величины. Свойство коэффициента корреляции. Закон больших чисел и его следствия. Предельные теоремы теории вероятностей.

    курс лекций [774,3 K], добавлен 11.03.2011

  • Построение диаграммы рассеивания (корреляционного поля). Группировка данных и построение корреляционной таблицы. Оценка числовых характеристик для негруппированных и группированных данных. Выборочное значение статистики. Параметры линейной регрессии.

    контрольная работа [150,5 K], добавлен 14.12.2010

  • Построение таблицы и графиков ряда распределения. Показатели центра и структуры распределения. Характеристика формы распределения. Распределение показателей регионов России по показателям оборота малых предприятий. Ранжирование вариационного ряда.

    курсовая работа [344,1 K], добавлен 21.03.2014

  • Составление закона распределения случайной величины X—числа студентов, успешно сдавших экзамен. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины. Таблица накопленных частот для сгруппированной выборки.

    курсовая работа [1,8 M], добавлен 11.01.2015

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.