Геодезические сети

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГОУ ВПО Саратовский Государственный Аграрный Университет

Им. Н. И. Вавилова

Кафедра землеустройства

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

«Геодезические сети»

Выполнил:

Студент гр З-22

Леонов М.А.

Проверил: профессор Лысов А.В.

Саратов 2012

Оглавление

Введение

1. Устройство геодезических сетей при съемке больших территорий

1.1 Государственные геодезические сети

1.2 Геодезические сгущения

1.3 Съемочные сети

2. Изменения в геодезических сетях

2.1 Устройство и измерение углов теодолитом 3Т2КП

2.2 Устройство и измерение расстояний светодальномером СТ5(Блеск)

2.3 Устройство электронного тахеометра 2Та5.измерение им горизонтальных и вертикальных углов, расстояний координат X ,Y ,H точек местности

3. Погрешности геодезических измерений

3.1 Геодезическое измерение, результат измерения, методы и условия измерений. Равноточные и неравноточные измерения

3.2 Классификация погрешностей геодезических измерений .Средняя квадратичная погрешность. Формулы гаусса и Бесселя для ее вычисления

3.3 Оценка точности по разностям двойных измерений и по невязкам полигонах и ходах

3.4 Функции по результатам измерений и оценка их точности

3.5 Веса измерений

4. Определение дополнительных пунктов.

4.1 Цель и методы определения дополнительных пунктов

4.2 Передача координат с вершины знака на землю (решение примера )

4.3 Решение прямой и обратной засечки

5. Уравнивание системы ходов съёмочной сети

5.1 Общие понятие о системах ходов и их уравнивании

5.2 Упрощенное уравнивание системы теодолитных ходов

6. Тахеометрическая съемка

6.1 Вычисления в ведомости координат тахеометрического хода

6.2 вычисления в ведомости высот тахеометрического хода

6.3 Вычисления в журнале тахеометрической съемки

6.4 Вычерчивание и оформление плана тахеометрической съемки

Выводы

7. Список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ

Геодезия является базовой дисциплиной для студентов специальности «Землеустройство и Земельный кадастр». Целью ее изучения является получение студентами знаний и навыков, позволяющих им самостоятельно выполнять весь комплекс топографических, съемочных и инженерно-геодезических работ. Изучение этой дисциплины позволяет привить студентам интерес к будущей профессии и заложить основы знаний для последующего изучения специальных дисциплин.

В курсовой работе дается описание геодезических приборов:

· теодолита 3Т2КП;

· светодальномера СТ 5 («Блеск»);

· электронного тахеометра.

· тахеометра 2Та5

Последние годы характеризуются стремительным внедрением электроники в область геодезического приборостроения. Открылись широкие возможности для создания точных, высокопроизводительных, с высоким уровнем автоматизации приборов и систем. В связи с этим изменяется и технология производства геодезических работ. Например, применение светодальномеров позволило более широко использовать измерения методом полярных координат, полигонометрия стала наиболее перспективным и экономически целесообразным методом передачи координат. Еще более существенные изменения появились при широком внедрении в производство геодезических изменений электронных тахеометров и как основное условие их эффективности - автоматизированных геодезических систем, в которых электронный тахеометр или агрегат, состоящий из теодолита и светодальномерной приставки, являются основными звеньями системы.

Цель данной курсовой работы по геодезии на тему: «Геодезические сети» - научиться создавать качественное геодезическое обеспечение работ по проведению земельного кадастра, мониторинга, планирования и осуществления строительства, а также других научных и хозяйственных работ.

Задача: освоить современные технологии геодезических работ по тахеометрической съёмке, уравниванию системы теодолитных и нивелирных ходов, определению дополнительных пунктов при сгущении геодезической сети, оценке точности выполненных работ.

1. Устройство геодезических сетей при съемке больших территорий

1.1 Государственные геодезические сети

Государственная плановая геодезическая сеть является главной геодезической основой для выполнения геодезических работ при изысканиях, строительстве и эксплуатации инженерных сооружений, при производстве топографических съёмок, решении научных проблем, а также при обеспечении военных действий. Государственная плановая геодезическая сеть строится в соответствии с принципом перехода от общего к частному и делится на 1, 2, 3, 4 классы, отличающиеся друг от друга по точности измерения углов и линий, размерам сторон и способу закрепления точек на местности.

Государственная сеть 1-го класса служит геодезической основой для построения всех остальных плановых сетей. С помощью этой сети на территории страны вводится единая система координат. Результаты измерения в сетях 1-го класса используются для решения научных геодезических задач.

Государственная геодезическая сеть 1-го класса создаётся в виде триангуляционных рядов, прокладываемых вдоль параллелей и меридианов на расстоянии примерно200 км друг от друга. Ряды, идущие вдоль параллелей и меридианов, пересекаясь друг с другом, образуют полигоны периметром 800-1000 км. Каждая из четырёх сторон этого полигона, называемая звеном, состоит из треугольников, близких к равносторонним, с расстоянием между вершинами не менее 20 км. На концах звеньев, т.е. в вершинах полигонов, измеряют длину одной из сторон с относительной погрешностью не более 1:400 000. в пунктах лежащих на концах таких сторон, выполняют астрономические измерения широты, долготы и азимута. Горизонтальные углы в треугольниках 1-го класса измеряют высокоточными теодолитами со средней квадратической погрешностью 0.7``. в тех районах, где по условиям местности построение триангуляции сопряжено со значительными трудностями, её заменяют ходами полигонометрии 1-го класса.

Государственная сеть 2-го класса делается сплошной. Она заполняет собой полигоны 1-го класса и опирается на их пункты. Треугольники имеют стороны длиной 7-20 км. Горизонтальные углы в треугольниках сети измеряют со средней квадратической погрешностью 1.0``, а стороны - с относительной ошибкой не более 1:300 000. измеряемые стороны располагают равномерно по всей сети, но не реже, чем через 25 треугольников. Допускается замена триангуляции полигонометрическими ходами 2-го класса.

Государственные сети 3-го и 4-го классов предназначены для сгущения сети пунктов 1 и 2 классов. Их строят в виде вставок отдельных пунктов в существующую сеть более высоких классов. Длины сторон треугольников сети 3-го и 4-го классов составляют соответственно 5-8 км и 2-5 км при относительной погрешности измеряемых сторон не более 1:200 000. углы измеряют со средней квадратической погрешностью 1.5 и 2. вместо триангуляции разрешается применять полигонометрические ходы 3 и 4 классов.

Закрепление на местности пунктов государственной геодезической плановой сети выполняется специальными устойчивыми и долговременными центрами. В зависимости от характера грунта и других физико-географических условий местности применяют различные конструкции центров. Важнейшей частью любого центра является чугунная марка с небольшим, расположенном посередине, отверстием, которое обозначает закрепляемую точку геодезической сети. Каждый центр имеет несколько дублирующих друг друга чугунных марок, расположенных на разной глубине, но на одной отвесной линии.

Поскольку в государственных геодезических сетях расстояния между пунктами составляют от двух до двадцати и более километров, то обеспечить видимость между такими пунктами с земли невозможно. Кроме того, атмосфера в непосредственной близости от земли существенно влияет на погрешности результатов измерений. По этим причинам на пунктах государственных плановых геодезических сетей строят специальные сооружения, геодезические сигналы или пирамиды.

С помощью геодезических сигналов теодолит при измерении углов устанавливается высоко над землёй. Для геодезиста на уровне, удобном для работы с теодолитом, сооружается специальная площадка с ограждением, лестницей и крышей. На крыше устанавливается визирный барабан для наведения на данную точку со смежных пунктов сети. По конструкции сигналы делятся на простые и сложные. Простые сигналы имеют высоту до 15 м, сложные - 40 м и более. Геодезические пирамиды устроены более просто. Их высота, как правило, не превышает 10 м. материалом для изготовления сигналов и пирамид обычно служит дерево и металл.

Каталоги координат пунктов плановых геодезических сетей являются основным итоговым документом работ по созданию главной геодезической основы. Они составляются в соответствии с установленными требованиями и содержат сведения о названии пунктов, их классе и местоположении, типе центра и знака, даты их постройки. Координаты пункта приводятся в каталоге с указанием системы координат, в которой они получены. Кроме того, в каталог вписывают длины и дирекционные углы сторон сети.

Государственная геодезическая сеть (ГГС) - система закрепленных на местности пунктов, положение которых определено в единой системе координат и высот.

ГГС предназначена для решения следующих основных задач, имеющих хозяйственное, научное и оборонное значение:

- установление и распространение единой государственной системы геодезических координат на всей территории страны и поддержание ее на уровне современных и перспективных требований;

- геодезическое обеспечение картографирования территории России и акваторий окружающих ее морей;

- геодезическое обеспечение изучения земельных ресурсов и землепользования, кадастра, строительства, разведки и освоения природных ресурсов;

- обеспечение исходными геодезическими данными средств наземной, морской и аэрокосмической навигации, аэрокосмического мониторинга природной и техногенной сред;

- изучение поверхности и гравитационного поля Земли и их изменений во времени;

- изучение геодинамических явлений;

- метрологическое обеспечение высокоточных технических средств определения местоположения и ориентирования.

Геодезические высоты пунктов ГГС определяют как сумму нормальной высоты и высоты квазигеоида над отсчетным эллипсоидом или непосредственно методами космической геодезии, или путем привязки к пунктам с известными геоцентрическими координатами. Нормальные высоты пунктов ГГС определяются в Балтийской системе высот 1977 года, исходным началом которой является нуль Кронштадтского футштока. Карты высот квазигеоида над общим земным эллипсоидом и референц-эллипсоидом Красовского на территории Российской Федерации издаются Федеральной службой геодезии и картографии России и Топографической службой ВС РФ.

Масштаб ГГС задается Единым государственным эталоном времени-частоты-длины.

В работах по развитию ГГС используются шкалы атомного ТA (SU) и координированного UTC (SU) времени, задаваемые существующей эталонной базой Российской Федерации, а также параметры вращения Земли и поправки для перехода к международным шкалам времени, периодически публикуемые Госстандартом России в специальных бюллетенях Государственной службы времени и частоты (ГСВЧ).

Астрономические широты и долготы, астрономические и геодезические азимуты, определяемые по наблюдениям звезд, приводятся к системе фундаментального звездного каталога, к системе среднего полюса и к системе астрономических долгот, принятых на эпоху уравнивания ГГС.

Метрологическое обеспечение геодезических работ осуществляется в соответствии с требованиями государственной системы обеспечения единства измерений.

Все геодезические сети можно разделить по следующим признакам:

По территориальному признаку:

1) глобальная

2) национальные (ГГС)

3) сети специального назначения (ГССН)

4) съемочные сети

по геометрической сущности:

1) плановые

2) высотные

3) пространственные

Глобальные сети создаются на всю поверхность Земли спутниковыми методами, являясь пространственными с началом координат в центре масс Земли и определяемые в системе координат ПЗ-90.

Национальные сети делятся на: Государственную геодезическую сеть (ГГС) с определением координат в СК-95 в проекции Гаусса-Крюгера на плоскости и на Государственную нивелирную сеть (ГНС) с определением нормальных высот в Балтийской системе, т.е. от нуля Кронштадтского футштока.

Геодезические сети специального назначения (ГССН) создаются в тех случаях, когда дальнейшее сгущение пунктов ГГС экономически нецелесообразно или когда требуется особо высокая точность геодезической сети. В зависимости от назначения эти сети могут быть плановыми, высотными, планово-высотными и даже пространственными и создаваться в любой системе координат.

Съемочные сети являются обоснованием для выполнения топосъемок и создаются обычно планово-высотными.

ГГС, созданная по состоянию на 1995 год, объединяет в одно целое:

астрономо-геодезические пункты космической геодезической сети (АГП КГС),

доплеровскую геодезическую сеть (ДГС),

астрономо-геодезическую сеть (АГС) 1 и 2 классов,

геодезические сети сгущения (ГСС) 3 и 4 классов,

Пункты указанных построений совмещены или имеют между собой надежные геодезические связи.

ГГС структурно формируется по принципу перехода от общего к частному и включает в себя геодезические построения различных классов точности:

фундаментальную астрономо-геодезическую сеть (ФАГС)

высокоточную геодезическую сеть (ВГС),

спутниковую геодезическую сеть 1 класса (СГС-1)

В указанную систему построений вписываются также существующие сети триангуляции и полигонометрии 1-4 классов. На основе новых высокоточных пунктов спутниковой сети создаются постоянно действующие дифференциальные станции с целью обеспечения возможностей определения координат потребителями в режиме близком к реальному времени.

По мере развития сетей ФАГС, ВГС и СГС-1 выполняется уравнивание ГГС и уточняются параметры взаимного ориентирования геоцентрической системы координат и системы геодезических координат СК-95.

1.2 Геодезические сети сгущения

В настоящее время наиболее эффективным методом создания геодезической сети, включая и геодезические сети сгущения, является метод, связанный со спутниковыми технологиями (ГЛ0НАСС, GPS). Однако этот метод требует наличия приемной аппаратуры, высокая стоимость которой препятствует широкому ее использованию. Поэтому наряду с высокоэффективными спутниковыми технологиями используют и традиционные методы. Следует заметить, что при выполнении геодезических работ в закрытых помещениях и в стесненных условиях, когда наблюдение созвездия спутников невозможно или затруднительно, традиционные методы являются единственно возможными для решения многих задач. Остановимся на традиционных методах сгущения геодезической сети подробнее.

Геодезические сети сгущения строят методами триангуляции и полигонометрии для сгущения государственной геодезической сети до плотности, необходимой для создания съемочного обоснования съемок крупного масштаба. Триангуляцию 1 и 2-го разрядов развивают в открытой и горной местности. Там, где триангуляцию 1 и 2-го разрядов выполнить по условиям местности невозможно или нецелесообразно, развивают полигонометрическую сеть 4-го класса, 1 и 2-го разрядов. Необходимо отметить, что полигонометрия 4-го класса для крупномасштабных съемок по сравнению с государственной выполняется с пониженной точностью.

Характеристика триангуляции 1 и 2-го разряда и полигонометрии 4-го класса, 1 и 2-го разрядов приведена в таблице 1.

При создании полигонометрии выполняют весь комплекс основных геодезических работ: угловые и линейные измерения, нивелирование. Углы на пунктах полигонометрии измеряют способом отдельного угла или круговых приемов оптическими теодолитами типа. Т1, Т2, Т5 с точностью центрирования 1 мм. Высоты на все пункты полигонометрии передаются нивелированием IV класса или техническим. Линии измеряют непосредственно: светодаль-номерами, подвесными мерными приборами или косвенно -- длины сторон хода вычисляют по вспомогательным величинам.

Таблица1

При проведении различных народнохозяйственных, в том числе и землеустроительных, мероприятий на большой территории необходимы топографические карты и планы, составленные на основе сети геодезических пунктов, плановое положение которых на земной поверхности определено в единой системе координат, а высотное -- в единой системе высот. При этом геодезические пункты могут быть только плановыми или только высотными или одновременно -- плановыми и высотными.

Сеть геодезических пунктов располагается на местности согласно составленному для нее проекту. Пункты сети закрепляются на местности особыми знаками.

Построенная на большой территории в единой системе координат и высот геодезическая сеть дает возможность правильно организовать работу по съемке местности. При наличии такой сети съемка может производиться независимо в разных местах, что не вызовет затруднения при составлении общего плана или карты. Кроме того, использование сети геодезических пунктов приводит к более равномерному распределению по территории влияния погрешностей измерений и обеспечивает контроль выполняемых геодезических работ.

Геодезические сети строятся по принципу перехода от общего к частному, т. е. вначале на большой территории строится редкая сеть пунктов с очень высокой точностью, а затем эта сеть сгущается последовательно по ступеням пунктами, построение которых производится на каждой ступени с меньшей точностью. Таких ступеней сгущения бывает несколько. Сгущение геодезической сети производится с таким расчетом, чтобы в результате получилась сеть пунктов такой плотности (густоты) и точности, чтобы эти пункты могли служить непосредственной опорой для предстоящей съемки.

Плановые геодезические сети строятся в основном методами триангуляции, полигонометрии и трилатерации.

Метод триангуляции состоит в том, что строят сеть треугольников, в которой измеряют все углы треугольников и как минимум две стороны на разных концах сети (вторую сторону измеряют для контроля измерения первой стороны и установления качества всей сети). По длине одной из сторон и углам треугольников определяются стороны всех Треугольников сети. Зная дирекционный угол одной из сторон сети и координаты одного из пунктов, можно затем вычислить координаты всех пунктов.

Метод полигонометрии заключается в построении сети ходов, в которых измеряют все углы и стороны. Полигонометрические ходы отличаются от теодолитных более высокой точностью измерения углов и линий. Этот метод применяется обычно в закрытой местности. Внедрение в производство электромагнитных дальномеров делает целесообразным применение полигонометрии и в открытой местности.

Метод трилатерации состоит в построении сети треугольников с измерением всех сторон треугольников. В некоторых случаях создаются линейно-угловые сети, представляющие собою сети треугольников, в которых измерены стороны и углы (все или в необходимом их сочетании

1.3 Съемочные сети

Съёмочная геодезическая основа представляет собой сеть пунктов, которые используются в качестве станций при съёмке ситуации рельефа. Густота таких пунктов и способ их построения зависят от масштаба и методики съёмки, а также от характера местности. Исходными данными для построения съёмочной геодезической основы служат пункты и стороны опорных сетей. При картографировании небольших территорий съёмочная сеть может развиваться самостоятельно. В любом случае густота съёмочной сети должна быть достаточна для производства съёмки местности в заданном масштабе. Предельная погрешность определения координат точек съёмочной основы относительно исходных пунктов не должна превышать 0.2 мм в масштабе съемки, т.е. 10, 20, 40, 100 см в масштабах соответственно 1:500, 1:1000, 1:2000, 1:5000. для неблагоприятных условий местности ( залесённая или изрытая поверхность ) эти допуски увеличиваются в полтора раза.

Построение съёмочной сети выполняют путём проложения теодолитных, нивелирных, теодолитно-нивелирных, теодолитно-высотных, тахеометрических, мензульных ходов, рядов микро-триангуляции и четырёхугольников без диагоналей, а также разнообразными геодезическими засечками. В съёмочных сетях значения координат вычисляют с точностью до 0.01 м ( в ходах тригонометрического нивелирования ).

Точки съёмочной сети закрепляют на местности обычно временными центрами

2. Изменения в геодезических сетях

2.1 Устройство и измерение теодолитом 3Т2КП

Теодолит 3Т2КП

Теодолит 3Т2КП предназначен для измерения горизонтальных и вертикальных углов и относится к классу точных приборов. Имеет микрометр с ценой деления 1 сек.

Области применения:

построение геодезических сетей сгущения (триангуляция 4 класса, полигонометрия IV класса),

в прикладной геодезии (строительство, изыскания и т.д.), астрономо- геодезических измерениях (определение азимута по Солнцу и по Полярной Звезде).

Модель 3Т5КП предназначена для измерения горизонтальных и вертикальных углов и не имеет микрометра.

Области применения:

создание планово-высотного обоснования при проведении топографических съёмок, выполнение тахеометрических съёмок, при проведении изыскательских работ, маркшейдерских работах. Теодолит 3Т2КП применяют для измерения углов в триангуляции, полигонометрии, в геодезических сетях сгущения, в прикладной геодезии, астрономогеодезических измерениях.

Теодолиты серии 3Т удобны и надежны в работе. Наличие компенсатора при вертикальном круге позволяет производить измерения вертикальных углов быстро и точно. Прибор можно использовать для геометрического нивелирования (горизонтальным лучом).

Теодолиты могут быть использованы для измерения расстояний нитяным дальномером и для определения магнитных азимутов с помощью буссоли. В отличие от зарубежных аналогов теодолиты позволяют выполнить работы при более низких температурах.

Прибор может комплектоваться геодезическим штативом типа ШР-160.

Технические характеристики: 3Т2КП

Средняя квадратическая

погрешность измерения

одним приемом:

горизонтального угла 2"

вертикального угла или

зенитного расстояния 2,4"

Увеличение, крат 30х

Наружный диаметр оправы

объектива, мм 48

Поле зрения 1о35'

Наименьшее расстояние

визирования, м 1,5

Диапазон работы компенсатора

при вертикальном круге ±3'

Цена деления шкалы отсчетного

микроскопа 1"

Погрешность отсчитывания 0,1"

Масса теодолита с подставкой, кг 4,7

Масса штатива, кг 5,6

Диапазон рабочих температур, …-400С…+500С

2.2 Устройство и измерение расстояний светодальномером СТ5

Светодальномер «БЛЕСК» СТ5

Светодальномер «Блеск» СТ5 является основным топографическим светодальномером, выпускаемым отечественной промышленностью. Он предназначен для измерения расстояния до 5 км.

В шифре светодальномера буква Т означает, что светодальномер -- топографический, предназначенный для измерения paсстояний в геодезических сетях сгущения и топографических съемках, а цифра 5 указывает на предел измерения расстояний в км.

Светодальномер можно применять как самостоятельный прибор, и как насадку на теодолиты серии 2Т и ЗТ для одновременного измерения углов и расстояний. Масса светодальномера с основан» составляет 4,5 кг (без основания 3,8 кг). В состав комплект, светодальномера входят отражатели (6-призменный и 1-рриз1 ный), источник питания, разрядно-зарядное устройство и друг принадлежности. (Для измерения расстояний более 3 км число призм отражателя должно составлять 12 или 18 для максимальных расстояний соответственно 4 и 5 км).

В светодальномере использован импульсный метод измерения расстояния с преобразованием временного интервала. Измерение осуществляется с применением двух частот следования излучаемых импульсов: f1 = 14985,5 кГц и f2 = 149,855 кГц. Источником излучения является полупроводниковый лазерный диод с длиной волны излучения 0,86 мкм, приемником -- фотоэлектронный умножитель (ФЭУ).

Перед началом работы необходимо провести внешний осмотр прибора и выполнить его поверки. При внешнем осмотре следует убедиться в отсутствии механических повреждений, сохранности ампул уровней и деталей, крепления органов управления, плавности их действия и четкости фиксации; четкости изображения штрихов сетки и штрихов шкал; работоспособности всех узлов: источников питания, стрелочных приборов, цифровых табло, зуммеров и пр., а также термометров, барометров и других приборов.

Подключение светодальномера (приемопередатчика) СТ5 к аккумулятору производят, когда переключатель 4 установлен в режиме «Выкл». О подключении СТ5 к аккумулятору можно судить по свечению запятой в третьем знаке на цифровом табло.

Порядок измерения линии светодальномером СТ5:

1. В начальной точке линии устанавливают на штативах приемопередатчик, а на конечной точке -- отражатель, приводят их в рабочее положение над центрами пунктов (центрируют и нивелируют) и взаимно ориентируют (наводят зрительную трубу на отражатель, а отражатель на приемопередатчик).

2. Включают и прогревают приемопередатчик.

3. Проверяют напряжение источника питания и выполняют другие контролирующие действия в соответствии с техническими требованиями инструкции по эксплуатации прибора (см. поверки светодальномера).

4. Включают светодальномер в режим «Наведение», для чего переключатель 7 устанавливают в положение «Точно», а 4 -- «Навед». Поворачивают ручку 8 «Сигнал» по часовой стрелке до ограничения, а при большом уровне фоновых шумов в солнечную погоду и при высокой окружающей температуре воздуха -показаний стрелочного прибора не более 20 мкА. Изменяя ориентирование светодальномера в вертикальной и горизонтальных плоскостях с помощью винтов наводящих устройств, добиваются получения сигнала. Наличие сигнала индифицируется звуком и отклонением стрелки прибора 1 вправо по шкале.

Светодальномер наводят по максимуму сигнала, одновременно устанавливая ручкой 8 уровень сигнала в середине рабочей зоны.

5. Устанавливают переключатель 4 в положение «Счет», оценивают свечение индикатора табло (при необходимости ручкой о «Сигнал» подстраивают уровень сигнала), берут три отсчета измеряемого расстояния в режиме «Точно» и записывают их в журнал. В журнал записывают также метеоданные: температуру воздуха и атмосферное давление в месте установки приемопередатчика.

При измерении больших расстояний или значительном перепаде высот концов линии метеоданные определяют как на точке стояния светодальномера, и на точке стояния отражателя.

После этих действий еще два раза производят наведение на отражатель и каждый раз производят три отсчета в режиме «Точно». При измерении расстояний до 400 м на объектив светодальномера надевают аттенюатор.

По окончании измерений переключатель 7 переводят в положение «Контр.» и по табло берут отсчет для определения поправочного коэффициента.

2.3 Устройство электронного тахеометра 2Та5.измерение им горизонтальных и вертикальных углов, расстояний координат X ,Y ,H точек местности

Тахеометр - геодезический прибор для измерения расстояний, горизонтальных и вертикальных углов, превышений, решения инженерных задач.

По сути тахеометр представляет собой комплекс состоящий из теодолита, светодальномера и ЭВМ.

С 90-х годов 20 века электронный тахеометр - самый распространенный геодезический прибор. Это связано впервую очередь с его универсальностью. Тахеометр используется для вычисления координат и высот точек местности при топографической съемке местности, при разбивочных работах, выносе в натуру проектных решений и т. п.

В электронных тахеометрах расстояния измеряются по времени прохождения луча лазера до отражателя и обратно, а так же, в некоторых моделях, уточняется по сдвигу фаз. Дальность измерения зависит от технических возможностей модели тахеометра, а также от многих внешних параметров: температура, давление, влажность и т.п. Диапазон измерения расстояний зависит так же от режима работы тахеометра: отражательный или безотражательный. Для режима с отражателем (призмой) - до 5 километров (при нескольких призмах еще дальше); для безотражательного режима - до 1,5 километров. Модели тахеометров, которые имеют безотражательный режим могут измерять расстояния практически до любой поверхности. Однако, следует с осторожностью относиться к результатам измерений, проводимым сквозь ветки, листья, потому как неизвестно, от чего отразится луч, и, соответственно, расстояние до чего он промеряет. Точность угловых измерений современным тахеометром достигает одной угловой секунды (0°00'01), расстояний - до 1 миллиметра.

Назначение 2Та5

Предназначен для выполнения крупномасштабных съёмок при инвентаризации земель создании и обновлении земельного кадастра тахеометром можно производить измерения полярных и треугольных координат, высотных оптических площадей земельных участков, а также горизонтальные проложения.

Результаты измерений могут записаны в модуль оперативной памяти ОП. С помощью адаптера информация может быть передана в персональный компьютер.

Технические характеристики 2Та5

· Погрешность измерения одним приемом : 5"

· Погрешность измерения вертикального угла : 7"

· Наклонное расстояние (5+3DЧ10 )мм

ѓD=(5+3DЧ10 )

например D = 1км = 1000000 мм

ѓD = 5+3Ч 1000000/1000000 = 8м

· Расстояние от 2м до 800м с 1 призменным и до 1500 с 6 призменным

· Время измерения 4-6с

· Увеличение зрительной трубы 29 крат.

· Диапазон визирования от 1,5м до ?

· Изображение прямое.

· Цена деления 30" цилиндрического, а кругового уровня 10'

· Масса (включая источник питания) 5,5 кг

Комплектность

· Тахеометр ---1

· Отражатель ---2

· Источник питания---1

· ЗУ--- 1

· Модуль памяти --- 2

· Адаптер --- 1

· Дискета с программой Adapter --- 1

· Подставка --- 3

· Термометр --- 1

· Штатива --- 3

Устройство

Тахеометр совмещающий в себе электротеодолит, вычислительные устройства и регистратор информации основными частями является колонка с вертикальными и горизонтальными осями, зрительная труба с размещенным в ней светодальномером . датчики вертикальных и горизонтальных углов , узел обработки сигналов с датчиков углов микропроцессорное вычислительное устройство ,модули индикации и управляющее наводящее устройство . Принцип действия датчиков углов основан на формировании оптимального сопряжения . в каждом датчике угла имеются 2 сигнальные ячейки расположенные диагонально противоположно оси лимба с целью усиления влияния его экстрасинстета. считывающая ячейка состоит из светодиода конденсатора, считывающего устройства.

Принцип действия электромагнитного дальномера основан на определении прохождения электромагнитной волны измеряемого расстояния . Для измерения расстояния между точками Аи Б дальномер устанавливают на начальную точку А , а отражатель на конечную точку Б.

Электромагнитные волны посланные дальномером возвращаются в начальную точку посланную дальномером т.е. волна проходит расстояние дважды в прямом и обратном направлении.

Непосредственный способ используют в импульсных дальномерах. Импульсный метод в определении времени не обеспечивает необходимой точности измерений расстояний и применение его ограничено . в дальномерах промежуток времени определяют фазовым и импульсно фазовым методом.

1й метод основан на измерении разности фаз электромагнитных колебании. При измерении расстояний пользуясь электромагнитными колебаниями в воздухе определяют по формуле С = Со/n где n показатель преломления воздуха. В светодольномере 2Та5 применяют фазовый метод. Теоретически он обосновывается уравнением гармонического колебания

U=UnЧsin(wt+цo)

где Un -максимальная амплитуда колебаний

W - круговая циклическая частота

Цo - начальная фаза колебаний

Промежуток времени Т, в течение которого происходит полное колебание называется периодом.

Количество колебаний в одну секунду есть частота, однако одно колебание называется герцем 1000Гц = 1кГц, 100000 = 1МГц. Частота ѓ связана с круговой частотой в соответствии W = 2рѓ подставив это значение в уравнение получим U=UnЧsin (2рѓt+ цo ). Величина 2рѓt+ цo называется мгновенной текущей фазой колебания. Если колебания распространяются вдоль некоторой прямой то в любой её точке возникают колебания с той же частотой, но запаздывающей на ф зависящей от скорости распространения волны и от удаленности точки от источника колебаний. Время запаздывания ф будет равно времени которое затрачивается колебанием для прохождения расстояния до этой точки следовательно ф = D/c. Поэтому для любой точки можно записать

U = UnЧsin(2рѓ(t-ф)+ цo).

Подставив значения ф будем иметь уравнение плоской волны гармонического колебания

U = UnЧsin(2рѓ(t-D/c)+ цo)

Коды режимов работы 2Та5

Код Режимы Сообщение

1. ввод заголовка памяти Data

2. определения места нуля вектора круга H V

3. ввод постоянной поправки дальномера Co

5. поиск блока в модуле памяти по пикету Pnumb

6. определение свободной области памяти %Free

7. контроль масштабной частоты F

8. технологический режим FL

9. отчистка модуля памяти CLR

10. ввод значения частотной поправки F0,F1,…F9

12. переключение режима градусов и гона Degru/Gon

13 переключение верхнего угла

14 режим измерения вертикальной оси

15. режим просмотра записи в модуле памяти

17. измерение площади земельных участков Squar

18. контроль напряжения питания Varc

3. Погрешности геодезических измерений

3.1 Геодезическое измерение, результат измерения, методы и условия измерений. Равноточные и неравноточные измерения

Измерением называется процесс сравнения некоторой физической величины с другой одноименной величиной, принятой за единицу меры.

Единица меры - значение физической величины, принятой для количественной оценки величины того же рода.

Результат измерений - это число, равное отношению измеряемой величины единицы меры.

Различают следующие виды геодезических измерений:

1. Линейные, в результате, которых получают наклонные иррациональные расстояния между заданными точками. Для этой цели применяют ленты, рулетки, проволоки, оптические свето- и радиодальномеры.

2. Угловые, определяющие величины горизонтальных углов. Для выполнения таких измерений применяют теодолит, буссоли, эклиметры.

3. Высотные, в результате, которых получают разности высот отдельных точек. Для этой цели применяют нивелиры, теодолиты-тахеометры, барометры.

Различают два метода геодезических измерений: непосредственные и посредственные (косвенные).

Непосредственные - измерения, при которых определяемые величины получают в результате непосредственного сравнения с единицей измерения.

Косвенные - измерения, при которых определяемые величины получаются как функции других непосредственно измеренных величин.

Процесс измерения включает:

· Объект - свойства которого, например, размер характеризуют результат измерения.

· Техническое средство - получать результат в заданных единицах.

· Метод измерений - обусловлен теорией практических действий и приёмов технических средств.

· Исполнитель измерений - регистрирующее устройство

· Внешняя среда, в которой происходит процесс измерений.

Измерения различают равноточные и неравноточные. Равноточные - это результаты измерений однородных величин, выполняемые с помощью приборов одного класса, одним и тем же методом, одним исполнителем при одних и тех же условиях. Если хотя бы один из элементов, составляющий совокупность, меняется, то результат измерений неравноточный.

Измерением называется процесс сравнения некоторой физической величины с другой одноименной величиной, принятой за единицу меры.

Единица меры - значение физической величины, принятой для количественной оценки величины того же рода.

Результат измерений - это число, равное отношению измеряемой величины единицы меры.

Различают следующие виды геодезических измерений:

1. Линейные, в результате, которых получают наклонные иррациональные расстояния между заданными точками. Для этой цели применяют ленты, рулетки, проволоки, оптические свето- и радиодальномеры.

2. Угловые, определяющие величины горизонтальных углов. Для выполнения таких измерений применяют теодолит, буссоли, эклиметры.

3. Высотные, в результате, которых получают разности высот отдельных точек. Для этой цели применяют нивелиры, теодолиты-тахеометры, барометры.

Различают два метода геодезических измерений: непосредственные и посредственные (косвенные).

Непосредственные - измерения, при которых определяемые величины получают в результате непосредственного сравнения с единицей измерения.

Косвенные - измерения, при которых определяемые величины получаются как функции других непосредственно измеренных величин.

Процесс измерения включает:

· Объект - свойства которого, например, размер характеризуют результат измерения.

· Техническое средство - получать результат в заданных единицах.

· Метод измерений - обусловлен теорией практических действий и приёмов технических средств.

· Исполнитель измерений - регистрирующее устройство

· Внешняя среда, в которой происходит процесс измерений.

Измерения различают равноточные и неравноточные. Равноточные - это результаты измерений однородных величин, выполняемые с помощью приборов одного класса, одним и тем же методом, одним исполнителем при одних и тех же условиях. Если хотя бы один из элементов, составляющий совокупность, меняется, то результат измерений неравноточный.

3.2 Классификация погрешностей геодезических измерений. Средняя квадратическая погрешность. Формы Гаусса и Бесселя для её вычисления

Геодезические измерения, выполняемые даже в очень хороших условиях, сопровождаются погрешностями, т.е. отклонение результата измерений L от истинного значения Х нумеруемой величины:

? = L-X

Истинное - такое значение измеряемой величины, которое идеальным образом отражало бы количественные свойства объекта. Недостижимое условие - истинное значение - понятие гипотетическое. Это величина, к которой можно приближаться бесконечно близко, оно не достижимо.

Точность измерений - степень приближения его результата к истинному значению. Чем ниже погрешность, тем выше точность.

Абсолютная погрешность выражается разностью значения, полученного в результате измерения и истинного измерения величины. Например, истинное значение l = 100 м, однако, при измерении этой же линии получен результат 100,05 м, тогда абсолютная погрешность:

E = Xизм - X

E = 100,05 - 100 = 0,05 (м)

Чтобы получить значение достаточно произвести одно измерение. Его называют необходимым, но чаще одним измерением не ограничиваются, а повторяют не менее двух раз. Измерения, которые делают сверх необходимого, называют избыточными (добавочными), они являются весьма важным средством контроля результата измерения.

Абсолютная погрешность не даёт представления о точности полученного результата. Например, погрешность в 0,06 м может быть получена при измерении l = 100 м или l = 1000 м. Поэтому вычисляют относительную погрешность:

C = Eср / X

C = 0,06 / 100 = 1/1667, т.е на 1667 м измеряемой l допущена погрешность в 1 метр.

Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к истинному или измеренному значению. Выражают дробью. По инструкции линия местности должна быть измерена не грубее 1/1000.

Погрешности, происходящие от отдельных факторов, называются элементарными. Погрешность обобщенная - это сумма элементарных.

Возникают:

· грубые (Q),

· систематические (O),

· случайные (?).

Грубые погрешности измерений возникают в результате грубых промахов, просчётов исполнителя, его невнимательности, незамеченных неисправностях технических средств. Грубые погрешности совершенно недопустимы и должны быть полностью исключены из результатов измерений путем проведения повторных, дополнительных измерений.

Систематические погрешности измерений - постоянная составляющая, связанная с дефектами: зрение, неисправность технических средств, температура. Систематические погрешности могут быть как одностороннего действия, так и переменного (периодические погрешности). Их стремятся по возможности учесть или исключить из результатов измерений при организации и проведении работ.

Случайные погрешности измерений неизбежно сопутствуют всем измерениям. Погрешности случайные исключить нельзя, но можно ослабить их влияние на искомый результат за счет проведения дополнительных измерений. Это самые коварные погрешности, сопутствующие всем измерениям. Могут быть разные как по величине, так и по знаку.

геодезический сеть съемка погрешность

E = Q + O +?

Если грубые и систематические погрешности могут быть изучены и исключены из результата измерений, то случайные могут быть учтены на основе глубокого измерения. Изучение на основе теории вероятностей.

На практике сложность заключается в том, что измерения проводятся какое-то ограниченное количество раз и поэтому для оценки точности измерений используют приближённую оценку среднего квадратического отклонения, которую называют среднеквадратической погрешностью (СКП).

Гауссом была предложена формула среднеквадратической погрешности:

?2ср = (?21 + ?22 +… +?2n) / n,

?2 = m2 = (?21 + ?22 +… +?2n) / n,

? = m,

?ср = m = v(??2i / n)

Формула применяется, когда погрешности вычислены по истинным значениям.

Формула Бесселя:

m = v(?V2i / (n-1))

Средняя квадратическая погрешность арифметической середины в n раз меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения

М=m/n

При оценке в качестве единицы меры точности используют среднеквадратическую погрешность с весом равным единице. Её называют средней квадратической погрешностью единицы веса.

µ2 = PЧm2 - µ = mvP, m = µ / vP,

т.е. средняя квадратическая погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1 (µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P).

При достаточно большом числе измерений можно записать ?m2P=??2P (так как ? = m):

µ = v(?(?2ЧP)/n),

т.е. средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби в числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе - число неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины по формуле:

M0 = µ / v?P

Подставив вместо µ её значение получим :

M0 = v(??2ЧP/n) / (v?P) = v[(??2ЧP) / nЧ(?P)]

M0 = v[ (?12P1 + ?22P2 +… + ?n2Pn) / nЧ(P1 + P2 + … + Pn) ] - формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их веса, а знаменатель - произведение количества измерений на сумму их весов.

µ = v [?( V2ЧP ) / (n-1)] Это формула Бесселя для вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям. Она справедлива для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит погрешности: mµ = µ / [2Ч(n-1)] .

Контрольная задача 1

Для исследования теодолита им был многократно измерен один и тот же угол. Результаты оказались следующими: 39?17.4'; 39?16.8'; 39?16.6'; 39?16.2'; 39?15.5'; 39?15.8'; 39?16.3'; 39?16.2'. Тот же угол был измерен высокоточным угломерным прибором, что дало результат 39?16'45". Приняв это значение за точное, вычислить среднюю квадратическую погрешность, определить надёжность СКП, найти предельную погрешность.

Решение:

№ измерения		Погрешности ? = Xi-X	Vi2
1	39?17.4'	0?01ґ09Ѕ	4761
2	16.8	00ґ33	1089
3	16.6	00ґ21	441
4	16.2	00ґ33	1089
5	15.5	01ґ15	5625
6	15.8	01ґ33	8649
7	16.3	01ґ03	3963
8	16.2	00ґ57	3249
Xo=39?16ґ45Ѕ			28 886

39?16'45" = 39?16.7'

Средняя квадратическая погрешность: m = v([?2]/n),

m = v(28886/8) = 60ґ08Ѕ.

Оценка надёжности СКП: mm = m / v2n,

mm =60,08/4=15ґ02Ѕ

Предельная погрешность: ?пр = 3Чm,

?пр = 3Ч60'08Ѕ = 180'24Ѕ.

Контрольная задача 2

Дана совокупность невязок треугольников триангуляции объёмом 50 единиц. Считая невязки истинными погрешностями, вычислить среднюю квадратическую погрешность и произвести надёжность СКП, вычислить предельную погрешность. На данной совокупности проверить свойство случайных погрешностей:

Lim[?] / n =0, для чего вычислить W = [W] / n.

N	W ?2	N	W ?2	N	W ?2	N	W ?2	N	W ?2
1	+1,02 1.0404	11	-1,72 2,9584	21	-0,90 0,81	31	+2,80 7,84	41	-0,44 0,1936
2	+0,41 0,1681	12	+1,29 1,6641	22	+1,22 1,4884	32	-0,81 0,6561	42	-0,28 0,0784
3	+0,02 0.0004	13	-1,81 3,2761	23	-1,84 3,3856	33	+1,04 1,0816	43	-0,75 0,5625
4	-1,88 3,5314	14	-0,08 0,0064	24	-0,44 0,1936	34	+0,42 0,1764	44	-0,80 0,64
5	-1,44 2,0734	15	-0,50 0,25	25	+0,18 0,0324	35	+0,68 0,4624	45	-0,95 0,9025
6	-0,25 0,0625	16	-1,89 0,5721	26	-0,08 0,0064	36	+0,55 0,3025	46	-0,58 0,3364
7	+0,12 0,0144	17	+0,72 0,5184	27	-1,11 1,2321	37	+0,22 0,048	47	+1,60 2,56
8	+0,22 0,0484	18	+0,24 0,0576	28	+2,51 6,3001	38	+1,67 2,7889	48	+1,85 3,4225
9	-1,05 1,1025	19	-0,13 0,0169	29	-1,16 1,3456	39	+0,11 0,0121	49	+2,22 4,9284
10	+0,56 0,3136	20	+0,59 0,0481	30	+1,65 2,7225	40	+2,08 4,3264	50	-2,59 6,7081

[?]2 = 2.51І = 6,3001

m = 76.5703 - 6.3001/8 = 75.7827

W = [W] / n, W = +2,51 / 50 = 0,05

Среднюю квадратическую погрешность в данном случае целесообразно вычислять по формуле:

m = v( [W2] - [W]2/n ) ч (n-1),

m = v( 76,5703 - (2,512)/50) ч 49 = 1,249

Оценку надёжности СКП по формуле: mm = m / v2(n-1),

mm = 1,249/ v(2Ч49) = 0,13.

Предельная погрешность по формуле: ?пр = 3Чm,

?пр = 3Ч1,249= 3,747.

Контрольная задача 6

Один и тот же угол измерен 5 раз с результатами: 60?41'; 60?40'; 60?40'; 60?42'; 60?40'. Произвести математическую обработку этого ряда результатов измерений.

Решение:

№		?x=x1-x	?xІ
1	60°41ґ	04Ѕ	16Ѕ
2	60°40	-04Ѕ	16Ѕ
3	60°40	-04Ѕ	16Ѕ
4	60°42	01ґ04Ѕ	100Ѕ
5	60°40	-04Ѕ	16Ѕ

? = 164Ѕ

m =v 164/4 = 6.4

mm = m/v2(n-1); 6.4/v8 = 2.26

?пр = 3m ; 3 Ч 2,26 =6,78 = 7,18Ѕ

Контрольная задача 7

Произвести математическую обработку результатов измерения планиметром площади одного и того же контура :26,31; 26,28; 26,32; 26,26; 26,30га.

?сред. = 26,294га

№		?x=x1-x	?xІ
1	26,31га	-0,016га	0,000256
2	26,28га	0,014га	0,000196
3	26,32га	0,026га	0,000676
4	26,26га	-0,034га	0,001156
5	26,30га	0,006га	0,000036

? = 0,00232га

m = v0.00232/4 =0.02408

mm = m/v2(n-1); 0.02408/v8 =0.00851

?пр = 0.00851Ч3 = 0.09224.

Контрольная задача 8

При исследовании сантиметровых делений нивелирной рейки с помощью женевской линейки определялась температура в момент взятия отчета. Для пяти сантиметровых отрезков получены значения: 20,3?; 19,9?; 20,1?; 20,2?; 20,4?. Провести математическую обработку результатов измерения.

?сред. =20.18

№		?x=x1-x	?xІ
1	20,3?	0.12	0.0144
2	19,9?	0.28	0.0784
3	20,1?	-0.08	0.0064
4	20,2?	0.02	0.0004
5	20,4?	0.22	0.0484

? = 0.148

m = v0.148/4 = 0.192

mm = m/v2(n-1) ;0,192/v8 = 0.067

?пр = 3Ч0.067=0,201

3.3 Оценка точности по разностям двойных измерений и по невязкам полигонах и ходах

В практике геодезических работ часто одну и ту же величину измеряют дважды. Например, стороны теодолитного хода в прямом и обратном направлении, углы двумя полуприемами, превышения - по черной и красной стороне вех. Чем точнее произведены измерения, тем лучше сходимость результатов в каждой паре.

mlср. = Ѕ v?d2/n

где d - разности в каждой паре; n - количество разностей.

Формула Бесселя:

mlср = Ѕ v?d2/n-1

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию, например, сумма внутренних углов треугольника должна быть 180?, то точность измерений можно определить по невязкам получающимся в результате погрешностей измерений.

м=v? [f2 /n]/N,

где - СКП одного угла;

f - невязка в полигоне;

N - количество полигонов;

n - количество углов в полигоне.

Контрольная задача 19

В таблице приведены невязки в полигонах гнометрического нивелирования и примеры полигонов.

Номера полигонов.	L ,км	fh ,мм	fІ/n
1	6	+18	54
2	12	- 14	16
3	8	+24	72
4	10	+30	90
5	15	+34	77
? = 309

м=v? [f2 /n]/N; v309/5 = 7,86

считаем что в 1км приходится 10 станций. Получим СКП на 1км по формуле : mкм =mст Чv10

mкм = 7.86Чv10 = 24.8

Контрольная задача 20

Произвести оценку точности измерения углов по невязкам в полигонах.

№полигонов	Число углов в полигонах	fp	fІ/n
1	20	-2.5	0.31
2	24	+4.8	0.96
3	10	-0.5	0.025
4	31	-2.8	0.25
5	15	+3.0	0.6
6	28	+5.2	0.96 ? = 3,105

м=v? [f2 /n]/N; v3,105/6 = 0,719

mкм = 0,719Чv10 = 2,273

Контрольная задача 21

По невязкам в треугольниках триангуляции произвести оценку точности угловых измерений.

№ треугольника	fЅ	fІ/n
1	+10	33
2	-9	27
3	-5	8
4	+2	1
5	+2	1
6	-8	21
7	+6	12
8	+6	12
? = 117

Число углов в треугольнике равняется 3 следовательно n = 3

м = v117/8 = 3.82

mкм =mст Чv10; 3,82Ч v10 = 18,08

3.4 Функции по результатам измерений и оценка их точности

В практике геодезических работ искомые величины часто получают в результате вычислений, как функцию измеренных величин. Полученные при этом величины (результаты) будут содержать погрешности, которые зависят от вида функции и от погрешности аргументов по которым их вычисляют.

При многократном измерении одной и той же величины получим ряд аналогичных соотношений:

?U1 = k?l1

?U2 = k?l2

…………..

?Un = k?ln

Возведём в квадрат обе части всех равенств и сумму разделим на n:

(?U12 + ?U22 + … + ?Un2) / n = k2Ч(?l12 + ?l22 + ... + ?ln2) / n;

??U2 / n = k2Ч(??l2 / n);

m = v(??U2 / n);

m2 = k2 Ч ml2,

где ml - СКП дальномерного отсчёта.

m = k Ч ml.

СКП функции произведения постоянной величины на аргумент равна произведению постоянной величины на СКП аргумента.

Функция вида U = l1 + l2

Определить СКП U, где l1 и l2 - независимые слагаемые со случайными погрешностями ?l1 и ?l2. Тогда сумма U будет содержать погрешность:

?U = ?l1 + ?l2.

Если каждую величину слагаемого измерить n раз, то можно представить:

?U1 = ?l1' + ?l2' - 1-е измерение,

?U2 = ?l1" + ?l2" - 2-е измерение,

…………………

?Un = ?l1(n) + ?l2(n) - n-е измерение.

После возведения в квадрат обеих частей каждого равенства почленно их сложим и разделим на n:

??U2 / n = (??l12)/n + 2Ч(??l1Ч?l2)/n + (??l22)/n.

Так как в удвоенном произведении ?l1 и ?l2 имеют разные знаки, они компенсируются и делим на бесконечно большое число n, то можно пренебречь удвоенным произведением.

mU2 = ml12 + ml22;

mU = v( ml12 + ml22 ).

СКП суммы двух измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП слагаемых.

Если слагаемые имеют одинаковую СКП, то:

ml1 = ml2 = m;

mU = v(m2 + m2) = v2m2 = mv2.

В общем случае:

mU = mvn,

где n - количество аргументов l.

Функция вида U = l1 - l2

mU = mvn;

mU = v( ml12 + ml22).

СКП разности двух измерений величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП уменьшаемого и вычитаемого.

Функция вида U = l1 - l2 + l3

mU = v( ml12 + ml22 + ml32…)

СКП суммы n измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов СКП всех слагаемых.

Линейная функция вида U = k1l1 + k2l2 + … + knln

mU = v[ (k1ml1)2 + (k2ml2)2 + … + (knmln)2],

т.е. СКП алгебраической суммы произведений постоянной величины на аргумент равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянной величины на СКП соответствующего аргумента.

Функция общего вида U = ѓ( l1, l2, …, ln)