Теория управления. Принципы системного анализа

Роли: пулы и дорожки

Артефакты: данные, группы и текстовые аннотации.

Элементы этих четырёх категорий позволяют строить простейшие диаграммы бизнес процессов (ДБП). Для повышения выразительности модели спецификация разрешает создавать новые типы объектов потока управления и артефактов.

Объекты потока управления

Объекты потока управления разделяются на три основных типа: события (events), действия (activities) и логические операторы (gateways).

Рис. 6. Типы событий в BPMN 1.1

События изображаются окружностью и означают какое-либо происшествие в мире. События инициируют действия или являются их результатами. Согласно расположению в процессе события могут быть классифицированы на начальные (start), промежуточные (intermediate) и завершающие (end). Начиная с BPMN 1.1 различают события обработки и генерации. Ниже представлена категоризация событий по типам.

Простые события (plain events) это нетипизированные события, использующиеся, чаще всего, для того, чтобы показать начало или окончание процесса.

События-сообщения (message events) показывают получение и отправку сообщений в ходе выполнения процесса.

События-таймеры (timer events) моделируют события, регулярно происходящие во времени. Также позволяют моделировать моменты времени, периоды и таймауты.

События-ошибки (error events) позволяют смоделировать генерацию и обработку ошибок в процессе. Ошибки могут иметь различные типы.

События-отмены (cancel events) инициируют или реагируют на отмену транзакции.

События-компенсации (compensation events) инициируют компенсацию или выполняют действия по компенсации.

События-условия (conditional events) позволяют интегрировать бизнес правила в процесс.

События-сигналы (signal events) рассылают и принимают сигналы между несколькими процессами. Один сигнал может обрабатываться несколькими получателями. Таким образом, события-сигналы позволяют реализовать широковещательную рассылку сообщений.

Составные события (multiple events) моделирует генерацию и моделирование одного события из множества.

События-ссылки (link events) используются как межстраничные соединения. Пара соответствующих ссылок эквивалентна потоку управления.

События-остановы (terminate events) приводят к немедленному завершению всего бизнес процесса (во всей диаграмме).



Рис. 7. Типы действий в BPMN 1.1

Действия изображаются прямоугольниками со скругленными углами. Среди действий различают задания и подпроцессы. Графическое изображение свёрнутого подпроцесса снабжено знаком плюс у нижней границы прямоугольника.

Задание (task) это единица работы, элементарное действие в процессе.

Множественные экземпляры (multiple instances) действия показывают, что одно действие выполняется многократно, по одному разу для каждого объекта. Например, для каждого объекта в заказе клиента выполняется один экземпляр действия. Экземпляры действия могут выполняться параллельно или последовательно.

Циклическое действие (loop activity) выполняется, пока условие цикла верно. Условие цикла может проверяться до или после выполнения действия.

Свёрнутый подпроцесс (collapsed subprocess) является сложным действием и содержит внутри себя правильную ДБП.

Развёрнутый подпроцесс (expanded subprocess) также является составным действием, но скрывает детали реализации процесса.

Ad-hoc подпроцесс (ad-hoc subprocess) содержит задания. Задания выполняются до тех пор, пока не выполнено условие завершения подпроцесса.

Рис. 8 Типы логических операторов в BPMN 1.1

Логические операторы изображаются ромбами и представляют точки принятия решений в процессе. С помощью логических операторов организуется ветвление и синхронизация потоков управления в модели процесса.

Оператор исключающего ИЛИ управляемый данными (data-based exclusive gateway) Если оператор используется для ветвления, то поток управления направляется лишь по одной исходящей ветви. Если оператор используется для синхронизации, то он ожидает завершения выполнения одной входящей ветви и активирует выходной поток.

Оператор исключающего ИЛИ управляемый событиями (event-based exclusive gateway) направляет поток управления лишь по той исходящей ветви, на которой первой произошло событие. После оператора данного типа могут следовать только события или действия-обработчики сообщений.

Оператор И (parallel gateway), использующийся для ветвления, разделяет один поток управления на несколько параллельных. При этом все исходящие ветви активируются одновременно. Если оператор используется для синхронизации, то он ожидает завершения выполнения всех входящих ветвей и лишь затем активирует выходной поток.

Оператор включающего ИЛИ (inclusive gateway) активирует одну или более исходящих ветвей, в случае, когда осуществляется ветвление. Если оператор используется для синхронизации, то он ожидает завершения выполнения одной входящей ветви и активирует выходной поток.

Сложный оператор (complex gateway) имеет несколько условий, в зависимости от выполнения которых активируются исходящие ветви. Оператор затрудняет понимание диаграммы, так как условия, определяющие семантику оператора, графически не выражены на диаграмме. Вследствие этого использование оператора нежелательно.

Соединяющие объекты

Объекты потока управления связаны друг с другом соединяющими объектами. Существует три вида соединяющих объектов: потоки управления, потоки сообщений и ассоциации.

Рис. 9. Типы потоков управления в BPMN 1.1

Поток управления изображается сплошной линией, оканчивающейся закрашенной стрелкой. Поток управления задаёт порядок выполнения действий. Если линия потока управления перечеркнута диагональной чертой со стороны узла, из которого она исходит, то она обозначает поток, выполняемый по умолчанию.

Рис. 10. Поток сообщений в BPMN 1.1

Поток сообщений изображается штриховой линией, оканчивающейся открытой стрелкой. Поток сообщений показывает какими сообщениями обмениваются участники.

Рис. 11. Типы ассоциаций в BPMN 1.1

Ассоциации изображаются пунктирной линией, заканчивающейся стрелкой. Ассоциации используются для ассоциирования артефактов, данных или текстовых аннотаций с объектами потока управления.

Роли

Роли -- визуальный механизм организации различных действий в категории со сходной функциональностью. Существует два типа ролей:

Рис. 12. Типы ролей в BPMN 1.1

Пулы изображаются прямоугольником, который содержит несколько объектов потока управления, соединяющих объектов и артефактов.

Дорожки представляют собой часть пула. Дорожки позволяют организовать объекты потока управления, связывающие объекты и артефакты.

Артефакты

Артефакты позволяют разработчикам отображать дополнительную информацию в диаграмме. Это делает диаграмму более читабельной и насыщенной информацией. Существуют три предопределённых вида артефактов:

Данные показывают читателю какие данные необходимы действиям для выполнения и какие данные действия производят.

Группа изображается прямоугольником с закругленными углами, граница которого -- штриховая линия. Группа позволяет объединять различные действия, но не влияет на поток управления в диаграмме.

Текстовые аннотации используются для уточнения значения элементов диаграммы и повышения её информативности.

Данные	Группа	Текстовая аннотация

Использование BPMN

Моделирование бизнес процессов используется для донесения широкого спектра информации до различных категорий пользователей. Диаграммы бизнес процессов позволяют описывать сквозные бизнес процессы, но в то же время помогают читателям быстро понимать процесс и легко ориентироваться в его логике. В сквозной BPMN модели можно выделить три типа подмоделей:

Частные (внутренние) бизнес процессы

Абстрактные (открытые) бизнес процессы

Процессы взаимодействия (глобальные)

Частные (внутренние) бизнес процессы

Частные бизнес процессы описывают внутреннюю деятельность организации. Они представляют бизнес процессы в общепринятом понимании (business processes или workflows). При использовании ролей частный бизнес процесс помещается в отдельный пул. Поэтому поток управления находится внутри одного пула и не может пересекать его границ. Поток сообщений, напротив, пересекает границы пулов для отображения взаимодействия между различными частными бизнес процессами.

Абстрактные (открытые) бизнес процессы

Служат для отображения взаимодействия между двумя частным бизнес процессами (то есть между двумя участниками взаимодействия) В открытом бизнес процессе показываются только те действия, которые участвуют в коммуникации с другими процессами. Все другие, «внутренние», действия частного бизнес процесса не показываются в абстрактном процессе. Таким образом абстрактный процесс показывает окружающим последовательность событий с помощью которой можно взаимодействовать с данным бизнес процессом. Абстрактные процессы помещаются в пулы и могут моделироваться как отдельно, так и внутри большей ДБП для отображения потока сообщений между действиями абстрактного процесса с другими элементами. Если абстрактный процесс и соответствующий частный процесс находятся в одной диаграмме, то действия, отображённые в обоих процессах могут быть связаны ассоциациями.

Процессы взаимодействия (глобальные)

Процесс взаимодействия отображает взаимодействия между двумя и более сущностями. Эти взаимодействия определяются последовательностью действий, обрабатывающих сообщения между участниками. Процессы взаимодействия могут помещаться в пул. Эти процессы могут моделироваться как отдельно, так и внутри большей ДБП для отображения ассоциаций между действиями и другими сущностями. Если процесс взаимодействия и соответствующий частный процесс находятся в одной диаграмме, то действия, отображённые в обоих процессах могут быть связаны ассоциациями.

Пример

Ниже рассматривается пример бизнес процесса «Регистрация на рейс». Сначала приводится словесное описание процесса, а потом один из вариантов его представления в BPMN 1.1. Данный пример не стремится быть максимально приближённым к реальному процессу, а ставит целью показать использование конструкций нотации BPMN.

Словесное описание бизнес-процесса

Когда пассажир прибывает в аэропорт, его приоритетной задачей является регистрация на рейс. Сотрудник на стойке регистрации приветствует клиента и берёт у него документы: билет на рейс и паспорт. Если документы клиента не в порядке (например, истёк срок действия паспорта), он не может быть зарегистрирован на рейс и процесс завершается. При этом клиент получает документы обратно.

Если паспорт и билет в порядке, то сотрудник авиакомпании регистрирует клиента на рейс и распечатывает посадочный талон. При этом он взаимодействует с информационной системой авиакомпании. Сотрудник отдаёт пассажиру посадочный талон и паспорт, после чего уточняет, нет ли в багаже пассажира запрещённых грузов (например, воспламеняющихся веществ). Если таковые есть, то они изымаются из багажа. Сотрудник авиакомпании забирает багаж и ручную кладь пассажира и регистрирует её. При этом сотрудник снова взаимодействует с информационной системой авиакомпании. Если выясняется, что есть перевес, то сотрудник уведомляет об этом пассажира и сообщает сколько необходимо заплатить. После получения денег от пассажира, сотрудник регистрирует оплату в системе.

В итоге, пассажир получает багажную квитанцию. Сотрудник желает пассажиру приятного полёта, и процесс завершается.

Модель бизнес процесса в BPMN

На иллюстрации, представленной ниже, показана модель бизнес процесса «Регистрация на рейс».



Рис. 13. Пример моделирования бизнес процесса в BPMN 1.1: Регистрация на рейс

BPMN 2.0

The Business Process Model and Notation -- это рабочее название BPMN версии 2.0. Концепция BPMN 2.0 подразумевает создании единой спецификации, описывающей нотацию, метамодель и формат обмена моделей, но с новым именем, которое сохранило бы бренд «BPMN». В настоящий момент опубликованы две заявки, которые рассматриваются в качестве кандидатов на спецификацию BPMN 2.0 (см. BPMN 2.0 Заявка 1 и BPMN 2.0 Заявка 2 в разделе Ссылки).

14.8 Метод анализа иерархий (МАИ): введение

Опыт использования методов математического моделирования и компьютеров в различных сферах целенаправленной человеческой деятельности привел к пониманию многих принципиальных трудностей, возникающих при их внедрении в реальную практику, сотканную из непрерывной череды актов принятия решений. Оказалось, что лицо, принимающее решение, при принятии решения учитывает огромное число разнообразных показателей, представить которые в виде единственного критерия удается только в редких случаях. Стало ясно, что методики естественных наук, успешно применявшиеся при моделировании технологического уровня социально-экономической системы, совершенно недостаточно для решения более сложных проблем, которые по сути своей многокритериальны. При поиске "наилучшего" плана или альтернативы существенное значение имеют факторы, не поддающиеся формализации (социальные, организационные, политические, психологические и т. п.). Поэтому руководитель (ЛПР), анализирующий решение, предложенное ему специалистом по математическому моделированию, и понимающий, что неформализуемые факторы могут оказать более сильное воздействие на результат, чем, например, оптимальное распределение ресурсов, склонен отнестись скептически к такому решению, не учитывающему ясные для ЛПР возможности повышения эффективности принимаемых решений. Если, кроме того, учесть, что ЛПР обычно имеет в голове (но не в модели!) огромное число ограничений, которые он не хотел бы нарушить, то станет ясно, почему он склонен принять собственное решение, отличное от полученного с помощью компьютера.

Один из способов практического преодоления перечисленных трудностей состоит во включении ЛПР в процесс построения моделей и принятия решений на их основе. Для этого предназначены человеко-машинные (имитационные) системы. Одним из классов таких систем являются системы поддержки принятия решений (СППР), в рамках которых опыт и неформализованные знания ЛПР сочетаются с математическим исследованием.

СППР, основанная на методе анализа иерархий (МАИ), является простым и удобным средством, которое поможет структурировать проблему, построить набор альтернатив, выделить характеризующие их факторы, задать значимость этих факторов, оценить альтернативы по каждому из факторов, найти неточности и противоречия в суждениях ЛПР/эксперта, проранжировать альтернативы, провести анализ решения и обосновать полученные результаты.

СППР МАИ может использоваться при решении следующих типовых задач:

- оценка качества организационных, проектных и конструкторских решений;

- определение политики инвестиций в различных областях;

- задачи размещения (выбор места расположения вредных и опасных производств, пунктов обслуживания);

- распределение ресурсов;

- проведение анализа проблемы по методу "стоимость-эффективность";

- стратегическое планирование;

- проектирование и выбор оборудования, товаров;

- выбор профессии, места работы, подбор кадров.

Основные положения метода анализа иерархий были разработаны известным американским математиком Т.Л.Саати и опубликованы в 1977г. Томас Саати является одним из самых ярких представителей прикладной науки. Об этом говорят не только его математическая эрудиция и глубина новых теоретических результатов, но и диапазон приложений. Он был прав, предпослав к одной из своих монографий эпиграф: "Я люблю обе стороны математики: чистую - как возвышенный уход от реальности, прикладную - как страстное стремление к жизни".

МАИ используется для решения слабо структуризованных и неструктуризованных проблем. Методология решения таких проблем опирается на системный подход, при котором проблема рассматривается как результат взаимодействия и, более того, взаимозависимости множества разнородных объектов, а не просто как их изолированная и автономная совокупность.

14.9 Основные принципы МАИ

Человеку присущи два характерных признака аналитического мышления: один - умение наблюдать и анализировать наблюдения, другой - способность устанавливать отношения между наблюдениями, оценивая уровень (интенсивность) взаимосвязей, а затем синтезировать эти отношения в общее восприятие наблюдаемого.

На основе этих свойств человеческого мышления были сформулированы три принципа, реализация которых и является содержанием МАИ:

- принцип идентичности и декомпозиции;

- принцип дискриминации и сравнительных суждений;

- принцип синтеза.

1. Принцип идентичности и декомпозиции

Реализация этого принципа осуществляется на первом этапе применения МАИ, в котором предусматривается структурирование проблемы в виде иерархии. Иерархия строится с вершины - это общая цель или фокус проблемы. В общем случае целей может быть несколько. За фокусом следует уровень наиболее важных критериев. Каждый из критериев может разделяться на субкритерии, за которыми следует уровень альтернатив. ЛПР при построении иерархии вынужден вникнуть в проблему. От этого этапа во многом зависят конечные результаты принятия решений.Формирование множества альтернатив и критериев осуществляется с учетом рекомендаций. Этап является неформализуемым.

Пример

При обсуждении проблемы улучшения жилищных условий семьей была сформулирована цель - покупка дома. Обсуждались и другие цели решения этой проблемы (например, ремонт имеющегося жилья). Из каталога были отобраны три наиболее предпочтительных дома (варианты А, В, С), которые и были осмотрены семьей непосредственно. Для выбора окончательного варианта она решила воспользоваться методом анализа иерархий. Итогом первого этапа МАИ, который явился результатом семейного обсуждения, стала следующая иерархия:

Рис. 14. Иерархия проблемы улучшения жилищных условий

Иерархия - есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием элементов другой группы и в свою очередь оказывают влияние на элементы следующей группы. Считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемые уровнем, кластером, стратой) независимые. Рассмотрим общий вид иерархии.

Рис. 15. Общий вид иерархии

Математически иерархия и ее свойства могут быть описаны следующим образом. На множестве объектов i = {1,2,...,N} определяется иерархическая структура путем задания орграфа G = (i,W), W ? i ? i, который:

a) разбивает вершины на непересекающиеся уровни :

b) (i,j)?W означает, что вес Z_i объекта i непосредственно зависит от веса Z_i объекта j ;

c) если (i,j) - дуга графа G, т. е. (i, j)?W, то объекты i и j находятся на смежных уровнях, т. е. найдется такое k, что i ? V_k+1, j ? V_k

d) веса Z_i объекта i ? V_k+1 определяются через веса Z_j вершин множества L_i = {j | (i,j) ? W} ? V_k, в которые ведут дуги из вершины i с помощью феноменологически вводимой зависимости:

где ?_ij - вес дуги (i,j) .

2. Принцип дискриминации и сравнительных суждений

Данный принцип реализуется на втором этапе МАИ. Суть его заключается в том, что, используя суждения ЛПР/эксперта и определенные алгоритмы их обработки, устанавливаются веса ?_ij дуг (i,j)?W и веса Z_j объектов первого уровня ( j ? V1 ). Если на первом уровне один объект, то вес его принимается за 1 ( Z₁ = 1).

Суждения ЛПР/эксперта являются результатом исследования его структуры предпочтений. При этом исследовании применяется метод парных сравнений, содержание которого состоит в следующем. Пусть задано некоторое фиксированное множество объектов , которые сравниваются попарно с точки зрения их предпочтительности, желательности, важности и т. п. Результаты записываются в виде матрицы парных сравнений .

Результат сравнения отражает не только факт, но и степень (силу, интенсивность и т.п) превосходства. При этом используется шкала относительной важности, выбор которой зависит от следующих требований:

- шкала должна давать возможность улавливать различия в ощущениях людей, когда они проводят сравнение;

- диапазон измеряемой интенсивности шкалы должен соответствовать результатам когнитивной психологии.

Удовлетворяет этим требованиям шкала, приведенная в табл.

Шкала относительной важности

Количественная оценка интенсивности относительной важности	Качественная оценка интенсивности относительной важности	Пояснения
1	Равная важность	Равный вклад двух объектов
3	Умеренное превосходство одного над другим	Опыт и суждения дают легкое превосходство одного объекта над другим
5	Существенное или сильное превосходство	Опыт и суждения дают сильное превосходство одного объекта над другим
7	Значительное превосходство	Один объект имеет настолько сильное превосходство, что оно становится практически значительным
9	Очень сильное превосходство	Очевидность превосходства одного объекта над другим подтверждается наиболее сильно
2,4,6,8	Промежуточные решения между двумя соседними суждениями	Применяются в компромиссном случае
Обратные величины приведенных выше чисел	Если объекту i при сравнении с объектом j приписывается одно из приведенных выше чисел, то действию j при сравнении с i приписывается обратное значение

Из шкалы следует свойство гомогенности (однородности) объектов. Это свойство соответствует способности людей сравнивать объекты, которые не слишком сильно отличаются друг от друга. Гомогенность существенна для сравнения объектов одного порядка, т.к. человеческий разум склонен к допущению больших ошибок при сравнении несопоставимых элементов. Когда эта несопоставимость большая, объекты располагаются в отдельные кластеры сравниваемых размеров, что выдвигает идею об уровнях и их декомпозиции.

Пример

Рассмотрим метод парных сравнений на примере покупки дома.

Рис. 16. Иллюстрация к методу парных сравнений

Допустим необходимо оценить предпочтения ЛПР/эксперта на множестве вариантов А, В, С относительно критерия - размера дома. Лучше всего эту задачу свести к заполнению таблицы:

Матрица парных сравнений

Размер дома	Вариант А	Вариант В	Вариант С
Вариант А	1	1/3	5
Вариант В	3	1	1/7
Вариант С	1/5	7	1

Размерность таблицы определяется количеством дуг, которые входят в рассматриваемую вершину. Элементы таблицы r_ij, i, j = 1, 3 являются количественной оценкой интенсивности предпочтения i - го объекта, находящегося в i - й строке, относительно j - гo объекта, находящегося в j - м столбце, в соответствии с вышерассмотренной шкалой. При этом сравнении ЛПР/эксперту задавался следующий вопрос : насколько один вариант (например А) превосходит по размеру другой вариант (например С)? Ответом ЛПР/эксперта, как следует из таблицы, было следующее суждение: существенное или сильное превосходство.

Таким же образом осуществляется оценка предпочтений ЛПР/эксперта относительно остальных критериев путем заполнения еще пяти аналогичных матриц размерностью 3x3. После чего метод парных сравнений распространяется на множество самих критериев относительно Цели - покупки дома. В этом случае ЛПР/эксперту задается следующий вопрос: насколько важнее один критерий (например, размер дома) для Реализации цели по сравнению с другим (например, финансовые условия)? Как следует из иерархии, размерность этой таблицы 6x6.

Принимая во внимание свойство матрицы, т. е.:

и, как следствие, r_ii =1, количество вопросов равно n*(n-1)/2

Формализацией понятия непротиворечивости для метода парных сравнений является выполнение следующего равенства:

r*_ij = r*_ik ? r*_kj ?i,j,k (1)

где r*_ij - это элементы матрицы полученные в результате идеально согласованного эксперимента. Соотношение (1) соответствует правилу логического вывода, которое в этом случае формулируется следующим образом: если i-й объект предпочтительнее k-го объекта на r*_ik и k-й объект предпочтительнее j-го объекта на r*_kj , то i-й объект предпочтительней j-го объекта на r*_ij, причем r*_ij = r*_ik ? r*_kj .

Теорема. Если матрица R* обладает свойством (1), то тогда существуют такие числа ?*_i > 0, что имеет место равенство:

(2)

Числа отождествляются с весами дуг (это множество W в графе G) либо с весами объектов первого уровня (это Z_i, i ? V1).

Матрица R* имеет единичный ранг, , собственный вектор матрицы, где n - соответствующее ей собственное число.

Действительно,

(3)

Практически добиться полной согласованности (т.е. непротиворечивости) суждений ЛПР/эксперта далеко не всегда возможно. Поэтому в общем случае r_ij будут отклоняться от "идеальных"

вследствие чего соотношения 1, 2, 3 не будут иметь место.

Для дальнейшего анализа полезными являются следующие два факта из теории матриц:

- Во-первых, если ?₁, ..., ?_n , являются собственными числами матрицы R и если

Согласно этому утверждению, если имеет место (3) (т.е. матрица является идеально согласованной), то все собственные числа ее - нули, за исключением одного, равного n.

- Во-вторых, если элемент положительной обратносимметричной матрицы R незначительно изменить, то собственные числа этой матрицы также изменятся незначительно, т.е. они являются непрерывными функциями ее элементов.

Объединяя эти результаты, находим, что при малых изменениях r_ij от r*_ij наибольшее собственное число ?_max (практически получаемой матрицы R при использовании метода парных сравнений) остается близким к n, a остальные собственные значения - близкими к нулю.

Отсюда можно сформулировать следующую задачу: для нахождения весов дуг или объектов первого уровня по полученной в результате метода парных сравнений матрице R необходимо определить собственный вектор , соответствующий максимальному собственному числу, т.е. решить уравнение :

(4)

Так как малые изменения в вызывают малое изменение ?_max, отклонение последнего от n является мерой согласованности. Она может быть выражена с помощью индекса согласованности (ИС):

(5)

Если ИС? 0,1, то практически считается, что мера согласованности находится на приемлемом уровне.

Индекс согласованности матрицы парных сравнений, элементы которой сгенерированы случайным образом, называется случайным индексом (СИ). Ниже представлена таблица соответствия порядка и среднего значения СИ, определенная на базе 100 случайных выборок.

Таблица средних значений СИ

Порядок матрицы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
СИ	0,00	0,00	0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Значение ОС меньшее или равное 0,10 считается приемлемым. Обычно ИС и ОС указываются в процентах. Согласно определению, ИС можно трактовать как отклонение от идеально проведенного эксперимента (метода парных сравнений), а ОС указывает, на сколько оцениваемая степень согласованности сходится со степенью согласованности самого неидеально проведенного эксперимента.

Таким образом, МАИ допускает несогласованность (как неотъемлемую часть метода), признавая, что человеческие суждения находятся в постоянном процессе изменения и эволюции (поэтому не следует настаивать на 100% согласованности, так как суждения могут измениться после того, как проблема решена). Но надежные решения не могут быть приняты без приемлемого уровня согласованности.

Существуют два метода решения уравнения R?V = ?_max?V .Это прямой и итерационный.

Рассмотрим прямой метод. Проверим алгоритм данного метода. R - идеально согласованная матрица, т. е.



1. Определим среднее геометрическое каждой строки R:

2. Вычислим сумму средних геометрических

4. Разделим среднее геометрическое каждой строки R на сумму средних геометрических строк:

5.

т. е. получили нормированное значение собственного вектора.

Для получения ?_max выполним следующие шаги:

1. Определим сумму элементов для каждого столбца матрицы R:



2. Определим скалярное произведение векторов:

что соответствует максимальному собственному числу для идеально согласованной матрицы.

Итерационный метод основан на следующей теореме:

Для положительной квадратной матрицы R собственный вектор V, соответствующий максимальному собственному значению ?_max, с точностью до постоянного сомножителя C определяется по формуле:

где e = (1, 1, ..., 1)^T - единичный вектор

k = 1, 2, 3,… показатель степени

C - константа

Т - знак транспонирования

Вычисление собственного вектора V производится до достижения заданной точности:

e^T?|V^(l) - V^(l-1)| ??

где l - номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k = 1; l = 2, k = 2 и т. д.

? - допустимая погрешность

С достаточной для практики точностью принимается равной 0,01 независимо от порядка матрицы.

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

?_max = e^T?R?V

3. Принцип синтеза

Реализация принципа синтеза составляет содержание третьего этапа. Искомые веса объектов определяются последовательно, начиная со второго уровня иерархии в соответствии с решающим правилом

(9)

Рис. 17. Фрагмент иерархии

Веса объектов, принадлежащих уровню альтернатив, можно считать как результат измерения их в шкале отношений в диапазоне [0,1].

Согласованность всей иерархии С определяется по следующему выражению:

(10)

где D = I / V_m; ИС_i, СИ_i, - соответственно индекс согласованности и случайный индекс таблицы парных сравнений, рассмотренной относительно i-го объекта. Если i ? V1 и i > 1, то для ?i ? V₁ ИС_i = ИС₁ и СИ_i = СИ₁; ИС₁ и СИ₁ - соответствующие параметры таблицы парных сравнений, которая была сформирована для определения весов объектов первого уровня.

Приемлемым является значение С меньше или равное 10%. В противном случае качество суждений следует улучшить. Возможно, следует пересмотреть формулировку вопросов при проведении парных сравнений. Если это не поможет улучшить согласованность, то, вероятно, задачу следует более точно структурировать.

14.10 Общая оценка МАИ как метода принятия решений

Принятие решений складывается в многодисциплинарную область исследований, в которой работают психологи, математики, программисты, экономисты, инженеры. Отметим, что эта многодисциплинарность является как бы переходным этапом к появлению новой дисциплины, в рамках которой специалисты будут обладать необходимыми научными знаниями из приведенных выше дисциплин, а также новыми знаниями по проблемам, ранее не изучавшимся.

Рассмотрим, насколько удовлетворяет МАИ ряду требований к научному обоснованию методов принятия решений:

1. В МАИ способы получения информации от ЛПР/эксперта соответствуют данным когнитивной психологии о возможностях человека перерабатывать информацию. Действительно, гомогенность и принцип иерархической декомпозиции приводят в соответствие проблему получения оценок с психометрическими возможностями человека.

2. В МАИ имеется возможность проверки информации, полученной от ЛПР/эксперта на непротиворечивость, посредством индекса и отношения согласованности как для отдельных матриц, так и для всей иерархии.

3. Любые соотношения между вариантами решений в МАИ объяснимы на основе информации, полученной от ЛПР/экспертов. Так, анализ весов объектов по нисходящим уровням иерархии позволяет понять, как получено то или иное значение веса.

4. Математическая правомочность решающего правила в МАИ прозрачна и базируется на методе собственных значений и принципе иерархической композиции, имеющих четкое математическое обоснование.

Таким образом, МАИ удовлетворяет четырем основным критериям обеспечивающим всестороннюю научную обоснованность метода принятия решений.

Решающим преимуществом МАИ над большинством существующих методов оценивания альтернатив является вклад в анализ структуры проблемы и отчетливое выражение суждений.

Сложность, как было уже отмечено, характеризуется большим числом взаимодействий между многими субъективными и объективными факторами различного типа и степени важности, а также группами людей с различными целями и противоречивыми интересами. Эти факторы определяют вероятность или невозможность выбора одной из альтернатив, которая приемлема для всех с определенной степенью компромисса.

Чтобы разобраться с этой сложностью, нужна систематическая процедура для представления групп, их целей, критериев и поведения, обусловленных этими целями, альтернативных исходов и ресурсов, распределяемых по этим альтернативам. В МАИ эта процедура сводится к построению иерархии проблемы.

Общая цель (фокус) проблемы (например, выбор наилучшего автомобиля, построение наилучшей системы, распределение ресурса в соответствии с важностью) является обычно высшим уровнем иерархии. За фокусом следует уровень наиболее важных критериев (таких, как стоимость, стиль, комфортабельность и размеры автомобиля, или же в планировании - прибыльность инвестиции, конкуренция и т.д.). Каждый из критериев может разделяться на субкритерии. За субкритериями следует уровень альтернатив, число которых может быть очень большим.

Как будет показано, в некоторые иерархии может быть включен уровень действующих сил (акторов), который расположен ниже уровня общих критериев. Уровень определяет, какой из акторов наибольшим образом воздействует на исход. За этим уровнем для каждого актора следует уровень целей акторов, за которым следует уровень политик акторов, и далее уровень альтернативных исходов.

В общем, декомпозиция проблемы в иерархию зависит от хода мыслей ЛПР (его концепции решения проблемы), интуиции и опыта.

С целью иллюстрации этапов МАИ рассмотрим задачу о выборе работы.

Пример 1

Со студентом, только что получившим диплом, беседовали о трех возможных местах работы (А, Б и В). Он решил использовать МАИ для осуществления выбора. В результате первого этапа применения МАИ была получена следующая иерархия.

Рис. 17. Иерархия проблемы выбора работы

Уровень цели:

1. Удовлетворение работой.

Уровень критериев:

2. Исследовательская работа;

3. Рост;

4. Доходы;

5. Коллеги;

6. Местонахождение;

7. Репутация.

Уровень альтернатив:

8. А;

9. Б;

10. В.

Выполнение второго этапа связано с заполнением нижеприведенных таблиц по методу парных сравнений с применением шкалы относительной важности. В результате обработки таблиц получаем собственные вектора, которые определяют веса соответствующих дуг.

?_max = 6,35; ИС = 0,07; ОС = 0,06

В таблице пары критериев сравниваются с точки зрения их относительного вклада в общее понятие "удовлетворение работой". Задавался вопрос: который из заданной пары критериев представляется вносящим больший вклад в понятие "удовлетворение работой" и насколько? Например, число 5 в третьей строке и четвертом столбце показывает, что "доходы" намного важнее, чем "общество коллег".

В следующей таблице представлены результаты парных сравнений относительно соответствующих критериев.

Результатом третьего этапа (синтеза) является определение весов согласно соотношению (9). Так как уровень 1 имеет одну цель, то Z₁ = 1. Отсюда:

Z₂ = ?₂₁?Z₁ = 0,16;

Z₃ = ?₃₁?Z₁ = 0,19;

Z₄ = ?₄₁?Z₁ = 0,19;

Z₅ = ?₅₁?Z₁ = 0,05;

Z₆ = ?₆₁?Z₁ = 0,12;

Z₇ = ?₇₁?Z₁ = 0,30;

Вычислив веса критериев, переходим к вычислению весов альтернатив (т.е. объектов третьего уровня):

Z₈ = ?₈₂?Z₂ + ?₈₃?Z₃ + ?₈₄?Z₄ + ?₈₅?Z₅ + ?₈₆?Z₆ + ?₈₇?Z₇ = 0,16?0,16 + 0,33?0,19 + 0,45?0,19 + 0,77?0,05 + 0,25?0,12 + 0,69?0,3 = 0,45

Z₉ = ?₉₂?Z₂ + ?₉₃?Z₃ + ?₉₄?Z₄ + ?₉₅?Z₅ + ?₉₆?Z₆ + ?₉₇?Z₇ = 0,59?0,16 + 0,33?0,19 + 0,09?0,19 + 0,05?0,05 + 0,05?0,12 + 0,09?0,3 = 0,25

Таким образом, в конечном счете альтернатива А имеет вес 0,45, Б - 0,25 и В - 0,3.

Пример 2

Задача определения приоритетов отраслей промышленности. Она возникает при распределении энергии для нескольких крупных потребителей в соответствии с их общим вкладом в реализацию различных целей общества. Иерархия решения этой задачи имеет следующий вид:



Рис. 18. Иерархия задачи определения приоритетов отраслей промышленности

Первый уровень иерархии имеет одну цель: общее благосостояние страны (1).

Второй уровень иерархии имеет три цели: сильная экономика (2), здравоохранение (3) и национальная оборона (4). Приоритеты этих целей получаются из таблицы парных сравнений относительно цели первого уровня.

Объектами третьего уровня являются отрасли промышленности (5,6,7,8). Задача заключается в определении влияния отраслей промышленности на общее благосостояние страны через промежуточный второй уровень.

Пример 3

Применение МАИ для сравнительного анализа различных технических систем. Например, необходимо осуществить оценку четырех современных систем аккумулирования энергии на основе шести критериев. Соответствующая иерархия имеет следующий вид:



Рис. 19. Иерархия сравнительного анализа технических систем

В таблице представлены результаты парных сравнений относительно соответствующих критериев.

В качестве критериев принимались следующие:

2. Экологический.

3. Экономический.

4. Социальный.

5. Выбор места.

6. Время, требуемое для постройки.

7. Совместимость с энергосистемой.

Множество систем аккумулирования энергии включало:

8. Накопление сжатого воздуха.

9. Подземная гидроаккумуляция.

10. Электрические батареи.

11. Накопление энергии водорода.

Матрица парных сравнений к примеру 3

	2	3	4	5	6	7	Собственный вектор
2	1	1/5	2	1/3	1/2	2	0,09
3	5	1	7	2	3	7	0,42
4	1/2	1/7	1	1/5	1/2	1	0,05
5	3	1/2	5	1	2	5	0,25
6	2	1/3	2	1/2	1	3	0,14
7	1/2	1/7	1	1/5	1/3	1	0,05

?_max = 6,05; ИС = 0,01; ОС = 0,01.

После проведения этапа синтеза получено следующее ранжирование аккумулирующих систем:

- электрические батареи - 0,36;

- накопление сжатого воздуха - 0,26;

- накопление энергии водорода - 0,24;

- подземная гидроаккумуляция - 0,14.

Литература

1. Ильина Н.В. Системный анализ и моделирование процессов в техносфере: Учеб. пособие / Н.В. Ильина, Д.Д. Лапшин, В.И. Федянин. - Ч. 1. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет, 2008. - 206 с.

Лекция 15. Метод конечных элементов

15.1 Общий ход решения задачи на основе метода конечных элементов

Решение задач анализа при функциональном моделировании сводится к определению вектора V, который удовлетворяет исходным уравнениям задачи и граничным условиям. Часто искомую функцию задают в виде ряда

(1)

где - базисные функции от независимых переменных,

- неизвестные постоянные коэффициенты.

Методы определения постоянных коэффициентов весьма разнообразны. Так, в методе Ритца их находят из условия минимума потенциальной энергии системы, в методе коллокаций - из условия удовлетворения дифференциальных уравнений задачи в отдельных точках и т. д. Выбор базисных функций в конечном счете определяет успех решения задачи: если эти функции подобраны удачно, решение получается простым, в противном случае приходится удерживать большое число членов ряда (9.1), что существенно затрудняет расчет и не всегда приводит к желаемым результатам. Для простых случаев разработаны рекомендации по выбору базисных функций, в сложных случаях проблема назначения этих функций может оказаться не проще решения неходкой задачи.

Идея метода конечных элементов (МКЭ) заключается в том, что вместо поиска единого аналитического представления функции v используют ее кусочно-линейную аппроксимацию, т.е. всю область решения разбивают на подобласти конечных размеров, достаточно малых, чтобы обеспечить требуемую точность линеаризации.

Рассмотрим основы МКЭ на примере одномерной задачи, точное решение которой описывается кривой, изображенной на рис. 1, а. Прежде всего разбейте область на конечные элементы и т. д. В пределах длины каждого элемента искомую функцию можно считать линейной (рис. 1, б):

. (2)

Если тем или иным способом вам удастся определить значения искомой функции в узлах, то задача будет решенной, поскольку с учетом равенства (2) вы получите возможность вычислить приближенные значения функции в любой точке. Рассмотрим, как можно определить значения искомой функции в узлах .

Рис. 1. Одномерные конечные элементы

Узловые значения функций вы можете искать различными способами, исходя из физического смысла задачи. Задача может быть задана в форме дифференциальных уравнений, либо в виде некоторого функционала . В первом случае удобно воспользоваться методом Бубнова - Галеркина, минимизируя ошибку приближенного решения, во втором - каким-нибудь вариационным принципом, обеспечивающим минимизацию функционала. Используя кусочно-линейное представление функции и записывая функционал в виде , вы обеспечите реализацию минимума энергии, приравнивая нулю частные производные:

В результате будет получена система уравнений

решение которой позволит вычислить вектор , т.е. найти значения искомой функции в узлах и тем самым решить задачу.

Унификация вычислительных процедур накладывает некоторые особенности на реализацию МКЭ, для уяснения которых вновь обратимся к решению одномерной задачи (рис. 1).

В общем случае алгоритм МКЭ состоит из четырех этапов:

выделение конечных элементов (разбиение заданной области на конечные элементы);

определение аппроксимирующей функции для отдельного конечного элемента (определение функции элемента);

объединение конечных элементов в ансамбль;

определение вектора узловых значений функции.

Первый этап. Первый этап расчета с использованием МКЭ состоит в разбиении области на конечные элементы. Такое разбиение начинают обычно от границы области, стараясь наиболее точно повторить ее конфигурацию, затем производят разбиение внутренних областей. Сначала выделяют достаточно крупные подобласти, которые отличаются по свойствам материала, геометрии, напряженному состоянию и пр. Затем каждую подобласть разбивают на конечные элементы принятой формы, чаще всего треугольные, при этом размеры конечных элементов могут быть приняты различными (рис. 2) в зависимости от требуемой точности описания. Резкого изменения размеров конечных элементов на границах подобластей стараются избегать.

Важное значение имеет нумерация узлов конечных элементов. Дело в том, что матрицы коэффициентов систем алгебраических уравнений в МКЭ представляют собой сильно разряженные матрицы ленточной структуры. Ненулевые элементы таких матриц располагаются параллельно главной диагонали, при этом ширина полосы зависит от числа степеней свободы узлов и их нумерации (от разности номеров соседних узлов). Выбор оптимальной нумерации узлов способствует существенному сокращению затрат вычислительных ресурсов компьютера.

Информация о разбиении области на конечные элементы и нумерации узлов является исходной для последующих этапов расчета. Обычно требуется указывать тип конечного элемента, его порядковый номер, номер узла сети, координаты этого узла, значения физических параметров в пределах конечного элемента и др. Такая топологическая информация обычно содержит примерно в шесть раз больше чисел, чем количество узлов сетки разбиения. Для объектов средней сложности объем такой информации измеряется сотнями тысяч. Понятно, что ручной ввод этой информации, помимо чрезвычайной утомительности, может сопровождаться ошибками.

Рис. 2. Пример разбиения подобласти на конечные элементы

Процедуры по вводу информации оптимальной нумерации узлов удается формализовать, что позволило разработать специальные программы, называемые препроцессорами, которые либо существуют в виде автономных программ, либо непосредственно включаются в состав программных комплексов, реализующих МКЭ.

В данном примере суть его понятна без пояснений: выделено шесть конечных элементов в общем случае разных по длине.

Второй этап. Рассмотрим (рис. 1, б) один из выделенных элементов (одномерный симплекс-элемент). Для определения коэффициентов а и b полинома (2) запишем граничные условия:

при

при

Подставляя эти значения в равенство (2), получим систему двух уравнений, решив которую относительно а и b, имеем

.

Подставляя эти коэффициенты в формулу (2), можно записать:

(3)

Члены уравнения (3), заключенные в скобки, называют функциями формы одномерного симплекс-элемента:

. (4)

С учетом обозначений (4) уравнение (3) принимает вид:

, (5)

или в матричной форме

, (6)

где - матрица-строка,

- вектор-столбец.

Полученные здесь формулы (4), (6) полностью характеризуют одномерный симплекс элемент. Они являются общими пригодными для решения любых задач, включающих одномерные прямолинейные конечные элементы.

Третий этап - объединение конечных элементов в ансамбль. Основу этого этапа составляет замена номеров узлов i и j в уравнении (5) на номера, присвоенные узлам в процессе разбиения рассматриваемой области. Для примера, приведенного на рис. 1, будем иметь:

Полученная система уравнений представляет собой математическую модель исследуемой задачи. Запишем эту систему в расширенной форме:

 (7)

что соответствует векторной записи модели

(7а)

Четвертый этап - определение вектора узловых значений функции. Этот этап не является формальным, и мы не можем ограничиться ссылкой на рис. 5.1 абстрактного примера. Нужно знать конкретное дифференциальное уравнение или конкретный функционал исследуемого явления.

Допустим, что в нашем примере этот функционал имеет простейший вид:

(8)

Разобьем пределы интегрирования в соответствии с делением области на конечные элементы, тогда

Первый член подынтегрального выражения определим, возведя в квадрат равенство (5), второй - путем его дифференцирования с учетом обозначений (4). Выполняя интегрирование и простейшие преобразования, можем записать:

(9)

где

Для того, чтобы определить минимум функционала (9), приравняем нулю частные производные, предварительно развернув выражения сумм для всех шести конечных элементов и заменяя индексы i, j номерами соответствующих узлов:

Таким образом, получена следующая система уравнений:

или

. (10)

Матрицу С называют матрицей жесткости, а вектор - вектором нагрузок. Эти названия пришли из строительной механики. Они отвечают сущности рассматриваемых там задач, поскольку МКЭ первоначально был разработан и в основном сформировался применительно к расчетам строительных конструкций. Затем метод конечных элементов был распространен на другие предметные области, а термины строительной механики сохранились и стали общепринятыми, хотя и отражали иную физическую сущность.