Методы численного дифференцирования функций

54

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Ключевая цель реферата это изучение и сравнительный анализ методов численного дифференцирования; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного дифференцирования на ЭВМ.

При решении практических задач часто нужно найти производные функции y = f(x), заданной таблично. Возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции f(x) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях прибегают к численному (приближенному) дифференцированию.

Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию f(x) на интересующем отрезке [a, b] интерполирующей функцией P(x), чаще всего полиномом, а затем полагают, чтопри .

Если для интерполирующей функции P(x) известна погрешность , то погрешность производной P(x) выражается формулой , т.е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции.

Следует отметить, что численное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование.

1. Вычисление производной по ее определению

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет производную в этой точке. Это означает, что существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

, (1)

где .

Значение производной в точке x₀ можно получить, заменяя предел выражения (1) пределом по последовательности целых чисел. Здесь

Это приращение уменьшается при увеличении числа n, где (x)₀ - некоторое начальное приращение аргумента. Поскольку (y)_n = f(x₀ + (x)_n) - f(x₀), формулу (1) можно представить следующим образом:

.

При больших n получаем:

.

Условие прекращения вычислений:

.

2. Вычисление производной с помощью конечных разностей

В отличие от предыдущего раздела, где рассматривалась задача определения производной в точке x₀, здесь решается следующая задача: по заданной таблице значений функции y_i = f(x_i), , требуется определить таблицу значений производных в этих же точках x_i .

Пусть точки x_i расположены таким образом, что x₀ < x₁ < … < x_n, и шаг является постоянным, т.е. x_i - x_i-1 = h = const . Используя значения конечных разностей производные функции в точках x_i можно определить как

.

Рассмотрим случай, когда используются правые конечные разности . Отсюда значения производных:

, (1)

Данная формула позволяет определить значения производных во всех точках, кроме конечной x_n. Вычислить производную в этой точке можно по аналогичной формуле, в которой используются левые конечные разности . Отсюда

, (2)

Очевидно, что формула (2) позволяет определить значение производной во всех точках, кроме x₀.

Рассмотрим геометрический смысл формул (1) и (2). Истинное значение производной в точке x_i определяется наклоном касательной в этой точке, т.е. . Получение приближенных значений производной в точке x_i с помощью правых () и левых () конечных разностей иллюстрирует рис. 1.

Нетрудно заметить, что лучшее приближение производной может быть получено как , где ₀ - угол наклона прямой, проведенной через точки N₁ и N₂, как это показано на рис. 1. Соответствующая формула имеет вид:

== , (3)

где - центральная конечная разность.

54

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Вычисление производных на основе первой интерполяционной формулы Ньютона

Пусть функция y(x) задана в равноотстоящих точках x_i отрезка [a, b] с помощью значений y_i = f(x_i). Для нахождения значений производных y = f(x) на этом отрезке функцию y(x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона, построенным для системы узлов x₀, x₁, …, x_k (k n):

,

где ; (i = ).

Производя перемножение биномов, получим:

.

Учитывая, что , расчетная формула для определения производных будет иметь следующий вид:

. (4)

Следует отметить, что при нахождении производной в заданной точке x в качестве x₀ следует выбирать ближайшее табличное значение аргумента.

Иногда требуется определить производные функции y(x) в узлах таблицы, т.е. в точках x_i . В этом случае формула (4) упрощается, поскольку каждое табличное значение можно считать начальным. Положим x = x₀, t = 0 и тогда получим:

.

4. Вычисление производных на основе интерполяционных многочленов Лагранжа

Предположим, что некоторая функция задана таблицей значений y_i = f(x_i), с постоянным шагом аргумента h = x_i - x_i-1 . Для того, чтобы выразить значение производной через значения функции в узлах интерполяции, запишем интерполяционный многочлен Лагранжа степени m, удовлетворяющий условиям L_m(x_k) = y_k = f(x_k), :

,

где лагранжевы коэффициенты вычисляются как

.

Дифференцируя этот многочлен, можно получить приближенные значения производных в узлах интерполирования x_k .

В частности, для m = 1 получим:

;

.

численный дифференцирование производная интерполяционный

Пусть m = 2. Тогда

, (5)

, (6)

. (7)

В целом для отрезка [x₀, x_n] рекомендуется вычислять производные следующим образом:

а) значение y(x₀) - по формуле (5), где x_i = x₀;

б) значения y(x_i) - по формуле (6), где x_i+1 ;

в) значение y(x_n) - по формуле (7), где x_i+2 = x_n.

5. Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка)

Пусть поставлена задача Коши, где функция f(x,y) 4 раза непрерывно дифференцируема. Необходимо найти решение этой задачи на [x₀,b],

x_k=x₀+k*h, k=0,n; h=(b-x₀)/n.

(16.1)

Многошаговые методы. Метод прогноза и коррекции Адамса.

Идея многошаговых методов заключается в том, что при расчете значения искомой функции к некоторой последующей точке x_k+1 используют значение функции в нескольких предыдущих точках x_k-1 , x_k-2….общая точность метода равна количеству испытаний точек. Все m -шаговые методы можно описать формулами:

16.2

При ₀=0 мы получаем явные методы, при 0 - неявные методы.

Обьединение идей явных и неявных методов, позволило получить методы прогноза и коррекции. Их суть в том, что на шаге может быть получено значение отношения приближенного значения. у(х) от точного, и при необходимости, приближенное значение может быть исправлено, откорректировано на эту ошибку.

у(х₀)-определяется из условия задачи Коши

у(х₁),у(х₂),у(х₃)…у(х_m-1) находится при помощи явных методов Рунге-Кутта. Многошаговые методы удобно применять на длинных отрезках [x₀,b].

Рассмотрим методы погноза и коррекции Адамса 4 порядка.

Пусть поставлена задача Коши 15.3 необходимо найти значение у(х) на [x₀,b] в т.x_k

[x₀,b] x_k=x₀+k*h k=0,n; h=(b-x₀)/n

Локальная точность

Известно, что на шаге точное значение функции в т.х_к уЮ(х_к) отличается от приближенного значения х_к на величину.

16.4

16.5

где е заданная точность

Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений

Наиболее и лучше всего иследована система дифференциальных уравнений

1-го порядка. Система из n уравнений имеет вид:

16.6

В векторном виде система 16.6 записывается так:

Начальные условия системы 16.6 имеют вид:

 16.7

В общем виде система 16.6 имеет множество решений, а с начальным условием может иметь единственное решение.

Задачей Коши для системы из n дифференциальных уравнений 1-го порядка называются 16.6 с начальным условием 16.7.

Пример:

Пусть есть некоторый продукт. Известна скорость выпуска этого продукта (производительность). Необходимо составить модель, позволяющую прогнозировать колво продукции и общие затраты предприятия на ее изготовление и хранение. Пусть V-объем.

Заключение

В данном реферате были исследованы методы численного дифференцирования функций.

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.

Для более глубокого анализа численных методов мы использовали средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования.

Список используемой литературы

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых знаний, 2000. 624 с.

2. Элементы вычислительной математики / Под ред. С.Б. Норкина. М.: Высш. шк., 1966. 208 с.

3. Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1982. 256 с.

4. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 575 с.

5. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1977. 584 с.

Размещено на Allbest.ru