Размещено на http://www.allbest.ru/

32

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Полтавський національний педагогічний університет

імені В.Г. Короленка

Фізико-математичний факультет

Кафедра загальної фізики і математики

Курсова робота

Прогресії та середні

Виконала:

студентка IV курсу, групи М-41

Чигрин Оксана Іванівна

Науковий керівник:

старший викладач

Редчук Костянтин Сергійович

Полтава 2011

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ I. СЕРЕДНЄ СТЕПЕНЕВЕ

РОЗДІЛ II. ЗВ'ЯЗОК ПРОГРЕСІЙ ТА ЇХ СЕРЕДНІХ

РОЗДІЛ III. ЗАСТОСУВАННЯ СЕРЕДНЬОГО СТЕПЕНЕВОГО НА ПРАКТИЦІ

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Актуальність дослідження. Розв'язання ряду важливих задач зводиться до вивчення нерівностей певного типу. Вивчення понять та властивостей, пов'язаних із середнім степеневим, дозволяє ефективно досліджувати широкий клас нерівностей.

Об'єкт дослідження -- курс алгебри основної школи.

Предмет дослідження -- послідовності та середні.

Мета дослідження -- аналіз методів доведень алгебраїчних нерівностей за допомогою прогресій та вивчення питання про доцільність застосування середнього степеневого на практиці.

Відповідно до мети визначено такі основні завдання:

· визначити основні особливості теми;

· визначити властивості найважливіших середніх степеневих величин;

· узагальнити середні степеневі величини;

Практичне значення роботи полягає у використанні отриманих формул для розв'язування окремих типів задач.

Структура та основний зміст роботи. Робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел.

У вступі виокремленні такі аспекти, як актуальність теми, об'єкт, предмет, мета і завдання курсової роботи, показано практичне застосування середнього степеневого при розв'язуванні вправ різного типу.

В першому розділі відбувається ознайомлення з новими поняттями, означеннями, різними видами прогресій, подаються основні формули.

У другому розділі описані зв'язки прогресій та їх середніх. Крім самих нерівностей, теорем та їх доведень, тут наведені також і деякі застосування цих нерівностей, а саме до розв'язування різних задач. У цьому розділі розглядаються частинні випадки теореми про порівняння середнього арифметичного з середнім геометричним.

У третьому розділі наводяться основні приклади на застосування середнього степеневого, це доведення нерівностей різними способами, а також задачі на екстремуми (відшукання мінімального і максимального значення функції).

РОЗДІЛ I. СЕРЕДНЄ СТЕПЕНЕВЕ

прогресія нерівність середній степеневий

Як відомо, в арифметичній прогресії

кожний член, починаючи з другого, - середнє арифметичне попереднього і наступного членів:

Так само, в геометричній прогресії з додатними членами

кожний член, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному попереднього і наступного членів:

.

Можна помітити, що ці співвідношення мають багато спільного. Існують й інші послідовності з аналогічними властивостями [4].

Гармонічна прогресія

Гармонічною прогресією називається послідовність виду:

(1)

У гармонічній прогресії кожний член, починаючи з другого, - середнє гармонічне двох прилеглих членів. Справді, для всяких трьох послідовних членів прогресії (1) маємо:

.

Якщо відомі два перші члени і число членів скінченної гармонічної прогресії, можна обчислити останній її член. За означенням гармонічної прогресії, числа, обернені членам цієї прогресії, становлять арифметичну прогресію. Тому

звідки

Отже,

Число - гармонічне чисел і ,

якщо ,

тобто якщо .

В скінченній гармонічній прогресії сума двох чисел, обернених рівновіддаленим від кінців прогресії членам, стала для даної прогресії.

На відміну від арифметичної і геометричної прогресій для гармонічної прогресії не існує загального методу знаходження її суми. Проте суму чисел, обернених членам гармонічної прогресії, знайти легко, справді:

.

Квадратична прогресія

Послідовність, в якій квадрат кожного члена, починаючи з другого, дорівнює сумі квадрата попереднього члена та одного і того самого (спільного для всіх членів послідовності) числа, називається квадратичною прогресією [1].

У всякій квадратичній прогресії кожний член, починаючи з другого, - середнє квадратичне двох прилеглих її членів, тобто

Таким чином, гармонічну прогресію можна розглядати як арифметичну, складену з чисел, обернених членам гармонічної прогресії [2].

Послідовність, яка складена з квадратів членів квадратичної прогресії, становить арифметичну прогресію. Доведемо спочатку, що загальний член квадратичної прогресії визначається за формулою:

, (*)

або

Формула правильна, очевидно, при , . Припустимо, що вона правильна для -го члена. Тоді, за означенням квадратичної прогресії,

,

,

звідки .

Отже, формула (*) правильна для будь-якого [1].

Логарифмічна прогресія

За аналогією з арифметичною й геометричною прогресіями означимо ще одну прогресію. Для цього введемо ще одне нове поняття. Середнім логарифмічним чисел і називають один з коренів рівняння . Щоб розв'язати це рівняння, вважатимемо

,

тоді , .

Підносячи обидві частини передостанньої рівності до степеня і враховуючи, що , дістанемо: ,

звідки ;

отже, .

Середнім логарифмічним чисел (або чисел ) називатимемо вираз [2].

Середнє логарифмічне чисел не більше від їх середнього геометричного. Справді, в цьому разі для чисел і за теоремою про середні маємо:

.

Потенціюючи праву частину цієї нерівності і беручи до уваги, що , дістанемо:

,

звідки .

При і матимемо .

Послідовність, в якій кожний член, починаючи з другого, дорівнює одному й тому самому (спільному для всієї послідовності) степеню члена, що безпосередньо йому передує, називатимемо логарифмічною прогресією.

У логарифмічній прогресії кожний член, починаючи з другого, дорівнює середньому логарифмічному двох прилеглих членів [4].

У прогресії або (2)

ми вважаємо і ; загальний член такої прогресії, як неважко довести методом математичної індукції, виражається формулою .

У скінченній логарифмічній прогресії добуток показників степеня членів, рівновіддалених від кінців прогресії, сталий для даної прогресії. Логарифмічну прогресію можна розглядати як геометричну відносно логарифмів членів логарифмічної прогресії. Якщо члени послідовності становлять логарифмічну прогресію, то послідовність складена з логарифмів членів цієї прогресії, взятих за довільною, відмінною від одиниці основою, становить геометричну прогресію. Логарифмічну прогресію можна записати у вигляді: , звідки, за означенням, послідовність, складена з показників степеня членів цієї прогресії, становить геометричну прогресію [1].

Суму логарифмів членів скінченної логарифмічної прогресії можна визначити за однією з формул суми членів геометричної прогресії:

.

Тому добуток членів логарифмічної прогресії знаходимо за формулою

при

або при.

Знайдемо тепер чисел, які разом з даними числами і становлять логарифмічну прогресію .

Отже, задача зводиться до знаходження числа . Для того, щоб члени послідовності становили логарифмічну прогресію, необхідно, щоб задовольнялося рівняння .

Розв'язуючи його відносно, дістанемо

. (3)

Отже, шукана прогресія матиме вигляд:

.

Степенева прогресія

Спочатку введемо поняття середнього степеневого. Середнім степеневим степеня чисел і називається число

. (4)

При =-1,0,1,2 з формули середнього степеневого дістанемо, як окремі випадки, відповідно формули гармонічного, геометричного, арифметичного і квадратичного середніх. У всіх випадках, крім другого, відповідні середні знаходимо, безпосередньо підставляючи значення: -1, 1, 2 у формулу (4); у другому ж випадку безпосереднє підставлення значення у цю формулу приводить до виразу виду . Можна знайти границю цього виразу:

.

Отже, середнє степеневе при переходить у середнє геометричне. Нам відомі середні: гармонічне , арифметичне , геометричне і квадратичне пов'язані залежностями

 (5)

Ланцюжок нерівностей (5) можна продовжити в обидві сторони без кінця. Щоб переконатися у цьому, доведемо, що для додатних і цілого справджується нерівність

. (6)

Доведення. Позначимо дріб через . З очевидної нерівності

після виконання деяких перетворень дістанемо

Надаючи числу значень 1, 2, 3, …,, дістанемо нерівностей

Залишивши першу з нерівностей без змін, піднесемо обидві частини другої до квадрата, третьої - до куба і т. д.; обидві частини останньої нерівності піднесемо до -го степеня. Потім, перемноживши відповідні частини здобутих таким чином нерівностей, дістанемо нерівність

.

Повертаючись до значення і виконуючи потрібні перетворення, приходимо до співвідношення (6) [4].

Подамо (6) за допомогою від'ємних показників. Після деяких перетворень матимемо:

,

звідки .

Отже, залежність між степеневими середніми можна подати у вигляді

.

Ці залежності допускають узагальнення і на випадок кількох чисел .

Степеневою прогресією називатимемо послідовність, в якій -тий степінь кожного члена, починаючи з другого, дорівнює -му степеню попереднього члена, що додається до того самого, сталого для даної послідовності, числа. У степеневій прогресії -го степеня кожний член, починаючи з другого, - середнє степеневе сусідніх членів прогресії

.

Щодо степеневої прогресії -го степеня, то про неї можна сказати майже те саме, що й про гармонічну і квадратичну прогресії [1].

Арифметична й геометрична, а також гармонічна і квадратична прогресії належать до класу степеневих прогресій. Логарифмічна прогресія займає дещо інше місце серед прогресій. В арифметичній і геометричній прогресіях перехід від кожного члена до наступного здійснюється за допомогою дій першого і, відповідно, другого степенів. У логарифмічній прогресії для такого переходу треба застосувати дію третього ступеня. Отже, арифметична, геометрична і логарифмічна прогресії належать до класу, який об'єднує прогресії за іншою ознакою, а саме: в кожному з трьох видів прогресій, що входять у цей клас, перехід від будь-якого члена до наступного вимагає застосування дії певного, властивого лише прогресіям даного виду, ступеня.

Для трьох середніх, що відповідають цим прогресіям: арифметичного , геометричного і логарифмічного при і , маємо співвідношення

.

Ці співвідношення допускають узагальнення і на випадок кількох чисел [4].

Нескінченна прогресія

Поняття суми введено для скінченного числа скінченних доданків. Під сумою нескінченної прогресії розуміємо таку границю (якщо вона існує), до якої прямує змінна сума. перших членів прогресії при необмеженому зростанні числа [2].

Отже,

.

Із сумою членів нескінченної прогресії можна поводитись як з числом тільки тоді, коли існує скінченна границя суми її членів. За такої умови прогресію називають збіжною, в противному разі прогресія розбігається. Нескінченна геометрична прогресія збігається тоді і лише тоді, коли модуль її знаменника менший від одиниці, тобто при .

Окремий випадок (при , ) нескінченної гармонічної прогресії (1) становить послідовність

.

нескінченну суму членів якої

(7)

звичайно називають гармонічним рядом. Гармонічний ряд не прямує, як могло б здатися з першого погляду, до якоїсь границі. Подамо ряд (7) так:

Сума перших членів цього ряду - якесь число, а сума членів частини ряду більша за ; так само сума членів частини ряду

більша за , сума членів частини ряду більша за .

Отже, сума членів гармонічного ряду більша за суму

,

тобто більша від усякого як завгодно великого числа. Таким чином, гармонічний ряд не прямує до жодної границі і, отже, розбігається [1].

Нескінченна логарифмічна прогресія

Сума членів нескінченної логарифмічної прогресії, в якої при показник загального члена необмежено зростає, не прямує до жодної границі.

Якщо , то із зростанням числа показник загального члена логарифмічної прогресії спадає, прямуючи при необмеженому зростанні числа членів до нуля; загальний член у цьому процесі, очевидно, прямує до одиниці. Прогресія нескінченна, тому сума її членів не прямує до будь-якої границі. Але добуток членів такої прогресії при необмеженому зростанні числа членів має границю. Справді,

.

Якщо ж, в логарифмічній прогресії і , то при необмеженому зростанні числа загальний член прямує до нуля, і сума членів прогресії має границю. Це випливає з того, що множина членів такої прогресії - власна підмножина множини членів нескінченно спадної геометричної прогресії з тим самим першим членом і знаменником, який йому дорівнює [4].

РОЗДІЛ II. ЗВ'ЯЗОК ПРОГРЕСІЙ ТА ЇХ СЕРЕДНІХ

Нехай (=1, 2, …,) є невід'ємні дійсні числа, а . Позначимо

(8)

і назвемо число « середнім степеневим -го порядку» з чисел . При ми дістаємо «середнє арифметичне», при - «середнє квадратичне». Якщо припустити, що , то можна визначити , причому виходить, що , тобто є «середнє геометричне» з чисел . Щоб обґрунтувати правильність зазначеного граничного переходу, досить покластися на такі твердження теорії границь:

1) (де - основа натуральної системи логарифмів);

2) (де );

3) ().

Твердження 2) і 3) є висновками твердження 1). Тепер маємо:

а) ;

б) , де .

Якщо тепер припустити, що

, ,

то на підставі тверджень 2) і 3), ми отримаємо:

де ,

тобто ,

що й треба було довести [1].

Це доведення потребує знань основ теорії границь, тому його не слід вважати елементарним. Отже, ми показали, що середні степеневі величини містять в собі і добре відоме середнє геометричне [1].

Припускаючи, що (=1, 2, …,), у формулі (8) можна брати також і від'ємні значення , так що величину за цих умов можна вважати визначеною при всіх дійсних значеннях . Покладаючи в (8), зокрема, =-1, ми дістаємо так зване «середнє гармонічне» з додатних чисел (=1, 2, …,):

 (9)

Введемо надалі такі позначення:

, , , (10)

де індекс показує на кількість чисел, з яких дістали середні величини. З нерівності ми легко дістаємо нерівність , з якої, якщо , , виходить, що , або , тобто середнє арифметичне з двох невід'ємних чисел не менше за середнє геометричне з цих же самих чисел, причому рівність обох середніх можлива тоді і лише тоді, коли числа дорівнюють одне одному [4].

Виявляється, що цю теорему можна узагальнити і довести, що взагалі , причому рівність можлива тоді і лише тоді, коли всі числа, з яких виведено і , рівні між собою. Почнемо з доведення О. Коші.

Зважаючи на те, що , можна довести, що , і т.д., взагалі .

Справді, припустимо, що . Тоді легко переконатися, що

,

де і середні арифметичні, кожне з чисел.

Тому

,

причому знак рівності можливий тоді і лише тоді, коли , тобто коли всі числа, з яких виведено і , рівні між собою. Тепер, беручи до уваги уже доведену нерівність , можна застосувати принцип математичної індукції і вважати теорему доведеною при будь-якому цілому .

Нехай тепер дано додатних чисел , де не є число виду . Тоді існує таке ціле , що . Приєднаємо до чисел ще - чисел, рівних . Тоді матимемо додатних чисел і, отже, можемо написати:

,

звідки після нескладних перетворень дістанемо: , тобто , де знак рівності вимагає, щоб усі числа були рівні між собою. Таким чином, теорему доведено [1].

Ознайомимося тепер з доведенням Д. О. Граве. Це доведення засноване на лемі.

Лема.

Якщо та цілі додатні числа, причому , і якщо - дійсне число -1, то має силу нерівність

,

де знак рівності можливий лише при .

З цієї леми можна вивести теорему про порівняння середнього арифметичного з середнім геометричним.

Теорема.

Припустимо, що ; визначимо такі числа , щоб було:

(11)

Доведення.

Для цього, очевидно, досить покласти , .

Вважаючи теоремою доведеною, коли всіх чисел є , можна написати

або, на підставі (11),

, (12)

де позначення та запроваджено для скорочення дальшого запису [4].

Неважко переконатися, що нерівність, яку потрібно довести, а саме:

,

можна переписати на підставі (11) у вигляді:

,

а беручи до уваги (12), у вигляді:

. (13)

Отже, потрібно довести нерівність (13), знаючи, що З цієї останньої нерівності маємо

(14)

Зауважуючи, що

,

використовуємо лему при , , і дістанемо:

. (15)

Але ;

тому, зіставляючи співвідношення (15) і (14), ми й доводимо справедливість нерівності (13).

Щоб нерівність (13) перетворилася в рівність, потрібно, щоб це сталося і з нерівностями (15) і (14). Для цього ж потрібно, щоб , тобто щоб .

З цього випливає, що .

Таким чином, теорему доведено [4].

Щоб вважати її цілком доведеною, залишається ще довести лему.

Доведення леми. Нехай спочатку . Якщо і , цілі додатні числа, то , бо ліву частину цієї нерівності після скорочення на можна записати у вигляді

.

Але, через те що згідно з умовою , дістанемо:

.

Припускаючи тепер, що в доведеній нерівності

, дістаємо з неї нерівність

, (16)

що й треба було довести.

Нехай тепер . Покладемо і припустимо, що є довільне раціональне число, підпорядковане умові . Тоді, на підставі (16), маємо:

або

При і з останньої нерівності дістаємо

. (17)

Нарешті, при маємо:

,

а при ліва частина нерівності збігається з правою. Отже, лему доведено цілком, а тому доведення Д. О. Граве теореми про порівняння середнього арифметичного з середнім геометричним цілком завершено [4].

Теорема 1.

Середнє квадратичне з невід'ємних чисел не менше за середнє арифметичне з цих же чисел, причому рівність обох середніх має місце тоді і лише тоді, коли всі числа, з яких утворені середні, рівні між собою.

Маємо , причому тоді і лише тоді, коли .

Доведення.

Для доведення цієї теореми досить зауважити, що

,

де підсумовування поширюється на всі можливі пари чисел з ряду .

Справді, з цієї нерівності випливає послідовно:

,

, (18)

що й доводить теорему. Знак рівності, очевидно, вимагає, щоб

.

Але сума невід'ємних чисел може дорівнювати нулеві тоді і лише тоді, коли всі числа дорівнюють нулеві. Отже, повинно бути: [3].

Теорема 2.

Середнє гармонічне з додатних чисел не більше за середнє геометричне з цих же чисел, причому рівність між обома середніми справедлива тоді і лише тоді, коли всі числа рівні між собою.

Доведення.

Нехай . Позначимо і застосуємо до чисел теорему про порівняння середнього арифметичного з середнім геометричним. Тоді матимемо:

.

Переходячи в цій нерівності від чисел до чисел , дістаємо:

,

тобто . (19)

Знак рівності вимагає, щоб , тобто, щоб .

Отже, підсумовуючи доведені твердження, маємо:

, (20)

де знаки рівності мають силу тоді і лише тоді, коли [3].

Теорема 3.

Якщо і - ціле , то

, (21)

де знак рівності має силу тоді і лише тоді, коли [1].

Доведення. Позначимо і припустимо, що серед чисел є числа, не рівні . Отже, покладемо, що

(22)

Розглянемо функцію

.

Можна довести, що при

(23)

справедлива нерівність

, (24)

де знак рівності відповідає єдино можливому випадку .

Справді,

.

Звідси, на основі (23),

, ,

дістаємо нерівність (24); знак рівності справедливий тільки тоді, коли [2].

З (22) випливає додатність чисел і , а тому, оскільки

,

то справедлива одна з нерівностей

,

.

Позначимо через найменше з чисел і і використаємо нерівність (24) при і . Тоді дістанемо

, (25)

де знак рівності відповідає єдино можливому випадку .

Нерівність (25), після додавання до обох її частин невід'ємного числа

,

можна подати у вигляді

(26)

де через позначено числа , написані в довільному порядку. Очевидно, що

і .

Від нерівності (26) можна перейти до нерівності

, (27)

де і .

Продовжуючи такі міркування можна дійти до нерівності вигляду

, (28)

де і .

З нерівностей (26), (27), … послідовно знаходимо:

,

або нерівність

, (29)

яка збігається з доводжуваною нерівністю (21). Щоб в (29) мав силу знак рівності, необхідно і досить, щоб перетворювалися в рівності співвідношення (26), (27), …, а для цього повинна виконуватись умова:

.

Зауваження. Якби в наведеному вище доведенні число можна було вважати за довільне раціональне число , то нерівність

(30)

при раціональних та , де , можна довести в такий спосіб. Позначаючи , , використовуємо теорему 3, запишемо:

.

Якщо позначимо в цій нерівності , , то отримаємо нерівність (30) [2].

Зараз зупинимося на одному узагальненні середніх степеневих величин.

Нехай дано невід'ємних чисел , а також невід'ємних чисел , підпорядкованих умові:

.

Візьмемо довільне раціональне число і утворимо величину

. (31)

Ця величина називається зваженою середньою степеневою порядку , утвореною з чисел з допомогою вагових коефіцієнтів .

Означення зваженої середньої степеневої величини можна поширити і на від'ємні значення показника , якщо прийняти, що .

Зважену середню степеневу можна розглядати як границю деякої звичайної середньої степеневої того самого порядку [2].

Нехай

,

де і - цілі додатні числа, причому . Тоді

,

де .

Теорема про монотонність величини поширюється і на величину на підставі зазначеного вище співвідношення між обома середніми. Величина визначається, як і очевидно, є узагальненням середньої геометричної з невід'ємних чисел. Зважені середні під назвою моментів і математичних сподівань вживаються в теорії ймовірностей і її застосуваннях.

РОЗДІЛ III. ЗАСТОСУВАННЯ СЕРЕДНЬОГО СТЕПЕНЕВОГО НА ПРАКТИЦІ

Вираз вигляду

(32)

називається середнім степеневим порядку додатних чисел .

У випадку, коли отримуємо середнє гармонічне

;

при отримуємо середнє арифметичне

;

при отримаємо середнє квадратичне

.

Властивості середнього степеневого:

1) має місце рівність:

, (33)

де - середнє геометричне. Тому приймемо, що .

2) для будь-яких дійсних і , таких, що , має місце нерівність (властивість монотонності):

. (34)

3) нехай - найменше серед чисел , - найбільше серед цих чисел. Тоді

,

.

Звідси витікає такий ланцюжок нерівностей:

.

Рівність виконується лише для [1].

1. Доведення нерівностей

Приклад 1. Довести такі співвідношення:

a) ;

b) ;

c) .

Розв'язування.

a) .

b) запишемо середнє степеневе для :

.

Зведемо цю рівність до степеня , отримаємо:

.

с) спробуємо довести, що . Маємо:

.

Тут була використана нерівність виду , яка, переходить в рівність при , в нашому випадку при

,

тобто при [3].

Приклад 2. Довести, що якщо , , , то

.

Розв'язування.

Використаємо очевидну нерівність: , отримаємо:

.

Після перемножування двох останніх нерівностей, отримаємо необхідний результат.

Приклад 3. Довести нерівність

,

де , , - довжини висот трикутника, - довжина радіуса вписаного круга.

Розв'язування.

Помічаємо, що

,

де - площа трикутника, - довжини його сторін.

Але , так як . Тому

 .

Тепер можемо застосувати властивість при :

,

звідки при , що й треба було довести [2].

Приклад 4. В трикутник вписане коло радіусом і побудовані три кола радіусів , які дотикаються двох сторін трикутника і вписаного кола. Довести, що виконується нерівність:

(1)

при .

Розв'язування.

При розв'язуванні задач такого типу спочатку треба розв'язати чисто геометричну задачу, а вже потім застосовувати властивості середнього степеневого. Виразимо всі радіуси через і величини кутів трикутника .

З малюнка видно, що

.

Звідси, .

Аналогічно, ,

.

Тепер треба попарно комбінувати радіуси, прагнучи знайти зв'язок між компонентами у формі . Тепер спробуємо обрахувати суму квадратних коренів із кожного попарно утворених радіусів. Маємо таку рівність (2):

Помічаємо, що

.

При такому зв'язку між величинами кутів трикутника має місце рівність

.

Виходячи з рівності

,

отримуємо ,

звідки легко отримуємо рівність (3). Отже, вираз в дужках правої частини рівності (2) дорівнює 1, тому

.

Тепер, застосовуючи властивість монотонності середнього степеневого при , отримуємо:

,

звідки слідує рівність (1).

2. Задачі на екстремуми

Питання знаходження екстремальних значень функції розглядають в курсі диференціального числення, однак багато задач на екстремуми можна розв'язувати спираючись на властивості середніх величин при .

1) виконується нерівність , тобто

.

2) якщо - стала величина, то приймає найменше значення при .

3) якщо - стала величина, то приймає найбільше значення при цій же умові.

Із нерівності Коші витікають дві теореми: про найменше значення суми при постійному значенню змінних і при найбільшому значенні при постійній сумі. В обох випадках екстремум наступає при [1].

Приклад 1. Знайти найбільше і найменше значення функції

на .

Розв'язування.

Скористаємося нерівністю (властивість монотонності середнього степеневого), отримаємо:

.

Таким чином, при .

Для знаходження найбільшого значення функції можна скористатися такими нерівностями:

і

(так при умові і ). Склавши ці нерівності, отримаємо:

Відповідь: , .

Приклад 2. Знайти найбільше і найменше значення функції

,

якщо відомо, що

, ,

де - додатні числа [2].

Розв'язування.

Скористаємося нерівністю Буняковського-Коші:

і застосуємо її до нашої нерівності

,

або ,

звідки отримуємо: .

Значить, , .

Відповідь: , .

Приклад 3. Точка М лежить всередині трикутника, - відстань від М до сторін трикутника, - відповідні висоти. Знайти найменше значення виразу

при .

Розв'язування.

Маємо:

,

де - площа трикутника.

Поділимо обидві частини рівності на :

.

Так як і ,

то .

Використовуючи властивість монотонності середнього степеневого отримуємо:

при .

Отже, найменше значення даного виразу дорівнює .

Відповідь: .

Висновок

Вивчення властивостей середнього степеневого забезпечує оптимальне розв'язання широкого класу математичних задач. Разом з цим, переважна більшість матеріалу, викладеного в даній роботі, доступна для сприйняття учням старших класів загальноосвітньої школи, особливо - учням класів з поглибленим вивченням математики.

Досвід проведення гурткової і факультативної роботи свідчить про те, що вивчення у школі матеріалу, пов'язаного із властивостями середнього степеневого, дозволяє учням глибоко засвоїти основні поняття та ідеї шкільного курсу алгебри, сприяє належній підготовці до участі в математичних олімпіадах різного рівня, стимулює інтерес до вивчення математики.

Я вважаю, що мету яку я ставила для даної роботи я виконала, розглянувши та обґрунтувавши доцільність використання задач на дослідження властивостей середнього степеневого для заданих числових послідовностей та нерівностей. Поглиблене вивчення поняття «прогресія» дозволяє учням активізувати учнівську пошукову та наукову роботу, яку можна підтримувати на спеціальних семінарах.

Знання учнів найпростіших прогресій - арифметичної та геометричної, дають змогу перейти до вивчення більш складніших прогресій, та встановити зв'язок між ними.

Існує багато завдань, які зводяться до використання властивостей середнього степеневого, зокрема, це доведення нерівностей, задачі на екстремуми та геометричні задачі на визначення максимального і мінімального значення. Вивчення прогресій та їх середніх відіграє важливу роль в шкільному курсі алгебри, адже в подальшому вони знадобляться для розв'язування більш складних завдань.

Список використаних джерел

1. Зморович В.А. Алгебра. Збірник статей./ Зморович В.А., Гельфанд М.Б. - К., Державне учбово-педагогічне видавництво «Радянська школа», 1951.

2. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре/ Л.Я. Окунев. - М., «Просвещение», 1964.

3. Михайловський В.І. Практикум з розв'язування задач з математики/ Михайловський В.І., Тарасюк В.Є., Ченакал Є.О. та ін. - 3-тє вид., перероб. і доп. - К.: Вища школа. Головне вид-во, 1989. - 423 с.

4. У світі математики. Збірник науково-популярних статей. Вип. 8. - К., «Радянська школа», 1977.

Размещено на Allbest.ru