Решение дифференциальных уравнений

Вычисление общего решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Расчет определенного интеграла с точностью до 0,001. Определение вероятности заданных событий, математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 21.10.2012
Размер файла 543,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа №2

Вариант 4

Анастасия Рафальская

24.02.11

Задача 1

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

Разделяем переменные:

Теперь интегрируем обе части полученного равенства:

Это и есть искомое общее решение уравнения.

Задача 2

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее указанному начальному условию.

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде

а искомую функцию представим в виде произведения двух других: . Тогда

Или

В этом случае исходное уравнение сводится к виду

Интегрируя, получаем

А решение исходного уравнения примет вид:

. (*)

Выберем константу в (*) так, чтобы выполнялось дополнительное условие .

Следовательно, .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид:

Задача 3

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Решение. В разложении функции в степенной ряд

заменим x на . Тогда получим

Умножая этот ряд почленно на , будем иметь

Следовательно,

Полученный числовой знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Восьмой член этого ряда по абсолютной величине меньше , поэтому для обеспечения требуемой точности нужно просуммировать первые семь членов ряда и результат округлить до 0,001. Итак,

Задача 4

Студент знает ответы на 15 из 20 вопросов программы. Какова вероятность того, что он знает ответы на все три вопроса, предложенные экзаменатором.

Решение. Рассмотрим события:

{студент знает ответ на первый вопрос};

{студент знает ответ на второй вопрос};

{студент знает ответ на третий вопрос}.

Тогда

Вероятность того, что второй вопрос окажется для студента известным, при условии, что он смог правильно ответить на первый вопрос, т. е. условная вероятность события , равна

Вероятность того, что третьим будет отобран знакомый вопрос, при условии, что уже отобраны два знакомых вопроса, т. е. условная вероятность события , равна

Искомая вероятность того, что все три вопроса окажутся ответными, равна

Задача 5

В группе из 18 студентов имеется 5 отличников. Выбираются наудачу три студента. Какова вероятность того, что все они отличники?

Решение. Рассмотрим события:

{первый студент является отличником};

{второй студент является отличником};

{третий студент является отличником}.

Тогда

Вероятность того, что второй студент окажется отличником, при условии, что первый студент оказался отличником, т. е. условная вероятность события , равна

Вероятность того, что третьим будет отобран отличник, при условии, что уже отобраны два отличника, т. е. условная вероятность события , равна

Искомая вероятность того, что все три отобранных студента окажутся отличниками, равна

Задача 6

Дана вероятность того, что семя злака прорастет. Найти вероятность того, что

а) из семян прорастет ровно ;

б) из семян прорастет ровно ;

в) из семян прорастет не менее , но не более .

Решение.

А) Пусть событие { из семян прорастет ровно }; Вероятность можно определить по формуле Бернулли

где - число сочетаний из элементов по .

В нашем примере искомая вероятность события A

Б) Вычислить искомую вероятность по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:

где .

Из условия задачи

.

Тогда .

Далее находим .

Искомая вероятность равна

В) Вероятность того, что событие в таких испытаниях наступит не менее раз и не более раз определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:

где .

- функция Лапласа.

По условию задачи . Из приведенных выше формул находим и :

Тогда

Задача 7

Задан закон распределения двух независимых случайных величин и . Требуется найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

- 6

8

9

10

- 8

2

0,1

0,1

0,6

0,2

0,4

0,6

Решение. Найдем сначала математические ожидания и дисперсии случайных величин и (для вычисления дисперсий воспользуемся универсальной формулой):

Теперь, воспользовавшись свойствами математического ожидания и дисперсии, а также условием независимости случайных величин и , получаем математическое ожидание

и дисперсию

Задача 8

Непрерывная случайная величиназадана интегральной функцией распределения

.

Найти:

1) дифференциальную функцию распределения (плотность вероятностей);

2) математическое ожидание ;

3) дисперсию и с.к.о. .

Построить графики и .

Решение.

1) Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины называется производная от интегральной функции распределения , то есть .

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

2) Если непрерывная случайная величина задана плотностью вероятностей , то ее математическое ожидание определяется формулой

Так как в нашем случае функция при и при равна нулю, то из последней формулы имеем

3) Дисперсию определим, например, по формуле

Тогда

Отсюда имеем:

Строим графики

и

Задача 9

Контролируемый размер деталей, выпускаемых цехом, распределен по нормальному закону. Стандартная величина размера детали (математическое ожидание) равна 30 мм, среднее квадратичное отклонение размера составляет 3 мм.

Требуется найти:

1) вероятность того, что размер наудачу взятой детали будет больше 24 мм, но меньше 33 мм;

2) вероятность того, что размер детали отклонится от стандартной величины не более чем на 1,5 мм;

3) диапазон изменения размера детали.

Решение.

1) Пусть длина детали. Если случайная величина задана дифференциальной функцией , то вероятность того, что примет значения, принадлежащие промежутку , определяется по формуле

Если , то

где - функция Лапласа, .

У нас , то есть

2) Если , то

По условию задачи , поэтому из последней формулы получаем

3) Для нахождения диапазона изменения длины детали воспользуемся правилом "3":

если , то .

В рассматриваемом примере имеем

.

Задача 10

Признак представлен таблицей, которая является выборкой его значений, полученных в результате 100 независимых наблюдений. Требуется:

1. Составить интервальное выборочное распределение.

2. Построить гистограмму относительных частот.

3. Перейти от составленного интервального к точечному выборочному распределению, взяв при этом за значения признака середины частичных интервалов.

4. Построить полигон относительных частот.

5. Вычислить все точечные выборочные оценки числовых характеристик признака: выборочное среднее ; выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию ; выборочное среднее квадратичное отклонение и исправленное выборочное с.к.o. .

6. Считая первый столбец таблицы выборкой значений нормально распределенного признака , построить доверительные интервалы, покрывающие неизвестные математическое ожидание и дисперсию этого признака с надежностью .

54.2

58.0

45.0

46.0

62.2

63.3

88.8

46.0

80.5

62.3

14.0

25.0

49.0

25.5

50.0

48.0

46.5

59.0

53.0

52.7

79.0

67.0

19.3

59.0

50.5

57.0

66.8

82.5

71.0

38.5

53.9

52.8

53.7

73.0

34.0

36.0

26.4

56.0

74.4

61.2

27.8

54.0

75.2

27.0

51.8

51.4

54.8

82.3

31.0

60.6

55.3

62.6

32.4

46.4

58.4

55.7

52.8

53.4

61.5

51.4

37.5

54.0

31.0

43.7

61.5

51.8

22.4

39.6

32.4

41.6

53.5

30.7

58.0

72.6

33.3

66.7

35.2

47.8

48.0

73.1

50.3

80.7

41.1

73.2

43.3

34.0

47.0

50.1

94.0

67.0

34.0

47.8

68.8

26.0

42.8

46.3

68.8

45.0

21.8

34.7

Решение.

1) Построим интервальное выборочное распределение значений признака. Для этого сначала отметим, что у нас , , поэтому размах выборочных значений

.

Теперь определим длину каждого частичного интервала (их также называют классовыми интервалами), воспользовавшись формулой Стерджеса

,

где объем выборки. В рассматриваемом примере

Далее устанавливаем границы частичных интервалов: левую границу первого интервала принимаем равной , далее полагаем , ,…, . На этом указанная процедура заканчивается, т.к. последующие частичные интервалы не будут содержать выборочных значений признака.

Приступаем к распределению по частичным интервалам выборочных значений признака, ставя в соответствие интервалу с номером частоту как число выборочных значений признака, попавших в интервал. При этом договоримся, что если некоторое из выборочных значений совпадет с границей двух соседних интервалов, то будем относить его к предыдущему из них.

В итоге реализации данных рекомендаций получим таблицу 2, в первых двух столбцах которой разместим искомое интервальное распределение выборки, в третьем относительные частоты , а в последнем четвертом плотности распределения относительных частот на частичных интервалах: (величины и нам потребуются в дальнейшем).

Таблица 1

(9; 19)

1

0.01

0.001

(19; 29)

9

0.09

0.009

(29; 39)

14

0.14

0.014

(39; 49)

19

0.19

0.019

(49; 59)

29

0.29

0.029

(59; 69)

14

0.14

0.014

(69; 79)

8

0.08

0.008

(79; 89)

5

0.05

0.005

(89; 99)

1

0.01

0.001

100

1.00

2) Строим гистограмму относительных частот в нашем примере, используя при этом первый и последний столбцы таблицы 1.

Гистограмма относительных частот

3) Перейдем от интервального распределения выборки к точечному (дискретному) распределению, взяв за новые выборочные значения признака середины частичных интервалов. В рассматриваемом примере такое распределение, очевидно, имеет вид следующей таблицы 2.

Таблица 2

14

24

34

44

54

64

74

84

94

1

9

14

19

29

14

8

5

1

4) По полученной таблице 2 может быть построен полигон относительных частот, который является, как и гистограмма относительных частот, статистической оценкой кривой распределения признака. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках . В рассматриваемом случае в соответствии с первой строкой таблицы 2 и третьим столбцом таблицы 1 полигон относительных частот имеет следующий вид.

Полигон относительных частот

5) Определим теперь основные числовые характеристиками признака , такие как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (с.к.o.). Точечными выборочными оценками этих параметров служат соответственно выборочное среднее , выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия , выборочное с.к.o. и исправленное выборочное с.к.o. , которые вычисляются по формулам

;

, где ;

;

; ,

где выборочные значения признака , частоты этих значений, объем выборки.

Воспользовавшись перечисленными формулами, найдем точечные выборочные оценки генеральных параметров распределения признака , используя при этом данные из таблицы 3.

1.

2. Выборочная дисперсия:

4.

5. ;

6) Для нормально распределенного признака (первый столбец исходной таблицы), представленного выборкой объема , доверительные интервалы, покрывающие с надежностью его неизвестные математическое ожидание и дисперсию , имеют соответственно вид

, ; (1)

. (2)

Здесь значения являются критическими точками распределения . Они ищутся в зависимости от заданного уровня значимости и числа степеней свободы .

Величины и являются критическими точками распределения. Их находят в зависимости от числа степеней свободы , а также уровней значимости и соответственно. При заданных условиях имеем

;

Погрешность математического ожидания при заданной надежности

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания при заданной надежности

Доверительный интервал неизвестной дисперсии , имеют соответственно вид

Задача 11

Даны таблицы с выборками пар значений признаков и .

1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и сделать выводы о тесноте и направлении линейной корреляционной зависимости между признаками X и Y.

2. При уровне значимости проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

3. Составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на X, построить полученную прямую в системе координат вместе с исходными данными и дать оценку качества регрессии, основываясь на визуальных соображениях.

4. Вычислить коэффициент детерминации и оценить качество регрессии.

5. При уровне значимости оценить значимость регрессии с помощью критерия Фишера.

6. При уровне значимости получить доверительные интервалы для оценки генеральных параметров регрессии и сделать выводы об их значимости, а также о значимости регрессии.

2

5

8

4

3

13

9

5

4

9

12

6

8

16

16

6

Решение.

1. Проводим вычисление выборочного коэффициента корреляции:

Таким образом, линейная корреляционная зависимость сильная, прямая (положительная).

2. Проверяем значимость коэффициента корреляции.

Вычисляем ошибку репрезентативности:

.

Находим и (по таблицам приложения 6):

.

Так как , то при уровне значимости можно утверждать достоверность коэффициента корреляции (значимость отличия от нуля), т.е. линейная корреляционная зависимость между рассматриваемыми признаками существует не только в выборочной, но и в генеральной совокупности.

3. Подставляем полученные результаты в выборочное уравнение прямой регрессии

и получаем

или после простых преобразований

.

Построим и проанализировать график прямой и исходных данных.

Прямая регрессии, построенная в системе координат вместе с исходными данными в виде точек той же плоскости, хорошо «притягивает» эти точки, что свидетельствует о достаточно сильной корреляционной зависимости исходных данных.

4. Находим модельные значения () отклика Y, присоединив их к таблице исходных данных:

2

5

8

4

3

13

9

5

4

9

12

6

8

16

16

6

4,86

8,32

11,79

7,17

6,01

17,57

12,95

8,32

Теперь вычисляем

.

.

Полученное значение коэффициента детерминации близко к 1, поэтому полученное выборочное уравнение прямой регрессии хорошо (адекватно) объясняет отклик Y.

5. Исследуем зависимость с помощью критерия Фишера:

;

.

Находим по таблицам приложения 7

.

Так как , гипотеза отвергается и регрессия признается значимой с 95% уровнем надежности.

6. Теперь построим доверительные интервалы, покрывающие генеральные параметры регрессии и оценим значимость этих параметров.

Вычисляем

.

Подставляем полученные результаты в формулы для интервалов

,

В результате получаем доверительные интервалы, покрывающие генеральные параметры регрессии с надежностью

Тот факт, что доверительный интервал для генерального коэффициента регрессии не содержит нулевое значение, еще раз подтверждает гипотезу о значимости регрессии.

Задача 12

На предприятии имеется сырье видов I, II, III. Из него можно изготавливать изделия типов А и В. Пусть запасы видов сырья на предприятии составляют , , ед. соответственно, изделие типа А дает прибыль ден. ед., а изделие типа В - ден. ед. Расход сырья на изготовление одного изделия задан в условных единицах таблицей.

Составить план выпуска изделий, при котором предприятие имеет наибольшую прибыль. Решить задачу графически и симплексным методом.

Изделие

Сырье

I

II

III

40

34

46

1

2

А

2

1

3

В

2

2

1

Решение.

1. Составим математическую модель задачи. Обозначим: - количество выпускаемых изделий типа , количество выпускаемых изделий типа . Тогда с учетом расходов сырья на изготовление изделия каждого типа получим следующие ограничения на и , учитывающие запасы сырья каждого вида:

(1)

По смыслу задачи

(2)

Прибыль предприятия при плане , равна

. (3)

Итак, математическая модель задачи получена: необходимо найти значения , , удовлетворяющие неравенствам (1), (2), для которых функция (3) достигает max. Полученная задача - стандартная задача линейного программирования.

2. Решим полученную задачу графически. Для этого введем систему координат и изобразим в ней множество решений систем неравенств (1), (2) (область допустимых решений ОДР) в виде множества точек плоскости.

Условию (2) удовлетворяют точки первой четверти. Для получения полуплоскостей, соответствующих неравенствам системы (1), построим их границы, т.е. прямые линии:

Имя прямой

Уравнение Прямой

Таблица для построения прямой

(а)

0

20

20

0

(б)

0

34

17

0

(в)

0

15,333

46

0

Пересечение построенных полуплоскостей с первой четвертью - искомая ОДР (многоугольник OABCD).

Ищем координаты вершин ОДР и значения целевой функции F в этих вершинах:

;

;

;

;

.

Отсюда

Вывод: предприятию выгодно выпустить 17 изделий типа B () и не выпускать изделия типа A (). При этом его прибыль будет наибольшая и составит 34 ден. ед. Такая же прибыль будет получена при выпуске 6 изделий типа A и 14 изделий типа B. Такая же прибыль получается при любых реализациях , расположенных на отрезке AB:

3. Решим задачу симплексным методом. Для этого приведем стандартную задачу к каноническому виду, добавив в левые части неравенств (1) дополнительные неотрицательные переменные , равные разностям правых и левых частей этих неравенств и представляющие собой остатки сырья каждого вида после реализации намеченного плана выпуска изделий. Получим задачу:

; (4)

(5)

(6)

Выбираем в качестве базисных добавленные переменные . Тогда оставшиеся переменные будут свободными. Положим и . Тогда , т.е. получаем первое базисное решение . При этом .

АНАЛИЗ 1. Структура целевой функции из условия (4) позволяет утверждать, что ее значения могут быть увеличены за счет увеличения значений как свободной переменной , так и свободной переменной (коэффициенты при этих переменных в положительные). Отсюда следует, что найденное базисное решение оптимальным не является.

Назначим другой набор базисных переменных, который обеспечит увеличение значений целевой функции. С этой целью будем увеличивать значения свободной переменной , оставляя , и определим из системы (5), какая из базисных переменных первой станет отрицательной (чего нельзя допустить!), и назовем ее проблемной.

Переписав систему (5) в более удобном для анализа виде

заключаем, что проблемной является базисная переменная из второго равенства системы. Выводим ее из состава базисных и обмениваем ее на свободную переменную : . В результате новыми базисными переменными стали , а новыми свободными ? . Выражаем в системе (5) новые базисные переменные через новые свободные, начиная с ее проблемного второго равенства. Через эти же свободные переменные выражаем целевую функцию из условия (4):

В результате математическая модель решаемой задачи принимает следующий вид:

; (4')

(5')

(6)

Полагаем свободные переменные . Тогда базисные переменные согласно системе (5') принимают значения , т.е. получаем второе базисное решение. При этом из (4') .

АНАЛИЗ 2. Структура целевой функции из условия (4') позволяет утверждать, что ее значения не могут быть увеличены за счет увеличения значений как свободной переменной , так и свободной переменной (коэффициенты при этих переменных в не положительные). Отсюда следует, что найденное базисное решение является оптимальным: . При этом .

Поскольку F не зависит от свободной переменной , то ее увеличение не влияет на размер прибыли, так что найденное решение не является единственным.

Ответ. Для получения максимальной прибыли в количестве 34 ден. ед. предприятие должно выпустить 17 изделий типа B и не выпускать изделия типа A, либо выпустить 2, 4 или 6 изделий типа А и 16, 15 или 14 изделий типа B соответственно. При этом соответствующие остатки сырья приведены в следующей таблице:

Выпущено изделий

Остатки сырья

A

B

I

II

III

0

17

6

0

29

2

16

4

0

24

4

15

2

0

19

6

14

0

0

14

Задача 13

уравнение интеграл вероятность дисперсия

Методом потенциалов решить следующую транспортную задачу.

На трех базах имеется однородный груз в количествах условных единиц соответственно. Этот груз требуется перевезти в четыре пункта потребления в количествах условных единиц соответственно. Стоимости перевозок единицы груза от поставщиков потребителям указаны в матрице стоимостей С.

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

244.

а1 = 90, а2 = 40, а3 = 70;

b1 = 85, b2 = 37, b3 = 40,

b4 = 38.

Решение. Эта задача является закрытой транспортной задачей, так как . Для ее решения воспользуемся таблицей, в которой будем составлять последовательно планы перевозок.

Составим первый план перевозок. В этом плане отличными от нуля перевозками могут быть лишь значений (базисные переменные), где m число поставщиков, n число потребителей. Остальные значения заведомо равны нулю (свободные переменные). Будем их в таблице помечать прочерком.

Для составления плана последовательно заполняют клетки таблицы так, чтобы на каждом шаге исчерпывалась или потребность какого-либо потребителя, или возможность какого-либо поставщика. В соответствующем столбце или строке ставят в остальных пустых клетках прочерки. Если при этом одновременно исчерпывается и потребность и возможность, то вычеркивается что-то одно (столбец или строка). При таком построении плана перевозок заполненными окажутся ровно клетки, а остальные прочеркнутся.

При построении первого плана (таблица 2) начнем с клетки с наименьшими затратами и на каждом шаге будем выбирать такого типа клетку (метод наименьших затрат). Значения будем записывать в левом верхнем углу клетки. В ее центре будем проставлять значения .

Заполняем клетку (14), так как наименьшее, значением . При этом вычеркивается четвертый столбец.

На втором шаге заполняем клетку (31), т.к. наименьшее, значением . При этом вычеркивается третья строка.

В оставшихся клетках наименьшее , поэтому заполняем клетку (13) значением . При этом вычеркивается третий столбец.

На четвертом шаге заполняем клетку (21), т.к. наименьшее, значением . При этом вычеркивается первый столбец.

На следующем шаге заполняем клетку (12), т.к. наименьшее, значением . При этом вычеркивается первая строка.

Оставшуюся клетку (22) с , заполняем оставшимся значением . При этом таблица становится полностью заполненной.

Число заполненных клеток при этом составляет . Стоимость перевозок F при данном плане

F=2·12+1·40+0·38+2·15+4·25+1·70=24+40+30+100+70=264 (ден. ед.)

Для проверки оптимальности полученного плана воспользуемся методом потенциалов. Введём строку потенциалов и столбец потенциалов . Полагаем , а остальные и найдём так, чтобы для заполненных клеток выполнялись равенства

.

Вычисляем оценки прочеркнутых клеток по формулам

.

Таблица 3

85

37

40

38

90

5

5

2

0

1

0

0

0

0

-

12

40

38

40

2

0

4

0

3

0

6

4

- 2

15

25

-

-

70

1

0

3

0

4

2

2

1

- 1

70

-

-

-

0

-2

-1

0

Оценки клеток будем записывать в правых верхних углах клеток. Для оптимального плана должно выполняться условие для всех клеток.

Таким образом, построенный нами план перевозок является оптимальным.

По этому плану поставщик перевозит 12 ед. потребителю , 40 ед. потребителю , 38 ед. потребителю ; поставщик 15 ед. потребителю , 25 ед. потребителю ; поставщик А3 70 ед. потребителю .

Так как среди оценок в прочеркнутых клетках есть нули, это говорит о том, что оптимальный план не единственный.

Задача 14

Двум предприятиям выделено единиц средств на 4 года. Как распределить эти средства между ними для получения максимального дохода, если в первый год средства распределяются между предприятиями в полном объеме, во второй год распределяется неосвоенная за первый год часть средств (остаток) и т.д., а также известно, что

- доход от единиц средств, вложенных на год в первое предприятие, равен ;

- доход от единиц средств, вложенных на год во второе предприятие, равен ;

- остаток средств к концу года на первом предприятии составляет ;

- остаток средств к концу года на втором предприятии составляет .

Номер задачи

13.

1000

3x

0,1x

2y

0,5y

Решение. Решим эту задачу методом динамического программирования.

Пусть в начале года (произвольного) мы должны распределить единиц средств. Обозначим через средства, выделяемые второму предприятию. Тогда первое получит ед. средств. Обозначим суммарный доход за этот год при таком распределении через . Очевидно,

.

Остаток средств через год обозначим через . Очевидно,

.

Здесь состояние системы в начале года определяется имеющимися средствами, т.е. числом , а управление способом распределения средств, т.е. числом . Для состояния при управлении система к концу года перейдет в состояние, определяемое остатком средств, т.е. значением .

Обозначим характеристику состояния в начале года через , а условное оптимальное управление для этого состояния через . Тогда для

.

Так как функция убывает по переменной на отрезке , то ее наибольшее значение достигается при , т.е.

,

где условное оптимальное управление на четвертом этапе.

Для справедливо рекуррентное соотношение

,

поэтому для имеем

.

Функция возрастает по на отрезке , поэтому

.

Для

Функция возрастает по поэтому ее максимальное значение на отрезке достигается при , т.е.

.

Для

.

Функция возрастает по, поэтому

.

Теперь вычисляем

(ед.).

Получили наибольший суммарный доход, который может быть получен при заданных условиях за 4 года. При этом средства следует распределять следующим образом: в первые три года все отдавать второму предприятию , а в последний год первому предприятию .

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.

    контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012

  • Уравнения с разделяющимися переменными, методы решения. Практический пример нахождения частного и общего решения. Понятие о неполных дифференциальных уравнениях. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной, разделения переменных.

    презентация [185,0 K], добавлен 17.09.2013

  • Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.

    лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012

  • Характеристика уравнений с разделяющимися переменными. Сущность метода Бернулли и метода Лагранжа, задачи Коша. Решение линейных уравнений n-го порядка. Фундаментальная система решений - набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

    контрольная работа [355,9 K], добавлен 28.02.2011

  • Виды дифференциальных уравнений: обыкновенные, с частными производными, стохастические. Классификация линейных уравнений второго порядка. Нахождение функции Грина, ее применение для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями.

    курсовая работа [4,8 M], добавлен 29.04.2013

  • Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.

    контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010

  • Уравнение с разделяющимися переменными. Однородные и линейные дифференциальные уравнения. Геометрические свойства интегральных кривых. Полный дифференциал функции двух переменных. Определение интеграла методами Бернулли и вариации произвольной постоянной.

    реферат [111,0 K], добавлен 24.08.2015

  • Определение вероятностей различных событий по формуле Бернулли. Составление закона распределения дискретной случайной величины, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины, плотностей вероятности.

    контрольная работа [344,8 K], добавлен 31.10.2013

  • Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.

    курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015

  • Анализ методов решения систем дифференциальных уравнений, которыми можно описать поведение материальных точек в силовом поле, законы химической кинетики, уравнения электрических цепей. Этапы решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.

    курсовая работа [791,0 K], добавлен 12.06.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.