определение нетто-ствавок по страхованию жизни

2

Оглавление

1.Особенности построения тарифов по страхованию жизни. Понятие об актуарных расчетах 4

2. Таблицы смертности и средней продолжительности предстоящей жизни как основа для построения тарифных ставок 9

3. Норма процента. Ее математическое выражение и влияние на величину тарифных ставок 14

4. Методика построение единовременных нетто-ставок по страхованию на дожитие и на случай смерти. Нетто-ставки страховой ренты 19

5. Понятие коммутационных чисел. Методика расчета нетто-ставок через комутационные числа 25

6. Методика перехода от единовременной к годичной нетто-ставке. Годичная нетто-ставка. Совокупная ставка на случай смерти и дожития, ее анализ 30

 1.Особенности построения тарифов по страхованию жизни. Понятие об актуарных расчетах.

Построение тарифов по страхованию жизни имеет следующие особенности:

1. Расчеты производятся с использованием демографической статистики и теории вероятности.

2. При расчетах применяются способы долгосрочных финансо-вых исчислений.

3. Тарифные ставки-нетто состоят из нескольких частей, каждая из которых призвана сформировать страховой фонд по одному из видов страховой ответственности, включенных в условия страхования.

Сочетание математических методов, применяемых в статистике, теории вероятности и долгосрочных финансовых исчислений породило особую отрасль науки -- теорию актуарных расчетов, на основе которой устанавливаются тарифные ставки и резерв взносов по страхованию жизни. Актуарные расчеты -- это система математических и статистических методов, с помощью которых определяются финансовые взаимоотношения стра-ховщика и страхователя по долгосрочному страхованию жизни.

Тарифная ставка определяет, сколько денег каждый из страхо-вателей должен внести в общий страховой фонд с единицы стра-ховой суммы. Поэтому тарифы должны быть рассчитаны так, чтобы сумма собранных взносов оказалась достаточной для выплат, предусмотренных условиями страхования. Таким образом, тарифная ставка -- это цена услуги, оказываемой страховщиком населению, т.е. своеобразная цена страховой защиты. От чего же зависят ее размеры, как установить цену на тот или иной вид страхования жизни?

Полная тарифная ставка называется брутто-ставкой. Она состоит из нетто-ставки и нагрузки. Задача нетто-ставки -- обеспечить выплаты страховых сумм, т.е. выполнение финансовых обязательств страховщика по договорам страхования. Нагрузка предназначена компенсировать расходы на ведение страховых операций.

Своеобразие операций страхования жизни проявляется при построении нетто-ставки. Условия страхования жизни обычно предусматривают выплаты в связи с дожитием застрахованного до окончания срока действия договора страхования или в случае его смерти в течение этого срока. Кроме того, предусматриваются выплаты в связи с потерей здоровья вследствие травмы и некоторых болезней.

Таким образом, для исчисления объема страхового фонда нужно располагать сведениями о том, сколько лиц из числа застрахованных доживет до окончания срока действия их договоров страхования и сколько из них каждый год может умереть, у скольких из них и в какой степени наступит потеря здоровья. Количество выплат, помноженное на соответствующие страховые суммы, позволит определить размеры предстоящих выплат, т.е. появится возможность узнать, в каких размерах нужно будет аккумулировать страховой фонд.

Продолжительность жизни отдельных людей колеблется в широких пределах. Она относится к категории случайных величии) численное значение которых зависит от многих факторов, настолько отдаленных и сложных, что, казалось бы, их невозможно выявить и изучить. Теория вероятности и статистика исследуют случайные явления, имеющие массовый характер, в том числе смертность населения. Установлено, что демографический процесс смены поколений, выражаемый в изменении уровня повозрастной смертности, подчинен закону больших чисел, сталь однообразному в своих проявлениях и столь достоверному в результатах, что он в состоянии служить основой финансовых расчетов в страховании.

Демографической статистикой выявлена и выражена с помощью математических формул зависимость смертности от возраста людей. Разработана специальная методика составления так называемых таблиц смертности, где на конкретных цифрах показывается последовательное изменение смертности вслед за возрастом. Этими таблицами страховые организации пользуются для расчета тарифов.

Кроме закономерностей, связанных с процессом доживаемости и смертности, при построении тарифов учитывается долгосрочный характер операций страхования жизни, поскольку эти договоры заключаются на длительные сроки: 3 и более лет. В течение всего времени их действия (или в самом начале срока страхования при единовременной уплате) страховые органы получают взносы. Выплаты же страховых сумм производятся на протяжении срока страхования или по истечении определенного периода от начала действия договора, если наступит смерть застрахованного или он утратит здоровье.

Временно свободные средства, аккумулируемые страховой организацией, используются как кредитные ресурсы. За пользо-вание ими уплачивается ссудный процент. Но если при сберегательной операции доход от процентов присоединяется ко вкладу, то в страховании на сумму этого дохода заранее уменьшаются (дисконтируются) подлежащие уплате взносы страхователя. Для того чтобы заранее понизить тарифные ставки на тот доход, который будет складываться в течение ряда лет, используются методы теории долгосрочных финансовых исчислений.

Брутто-ставка смешанного страхования жизни

Нетто-ставка Нагрузка

На дожитие На случай смерти На случай потери здоровья

Тарифные ставки в страховании жизни состоят из нескольких частей. Возьмем для примера смешанное страхование жизни. В кем объединяются несколько видов страхования, которые могли бы быть и самостоятельными: 1) страхование на дожитие; 2) стра-хование на случай смерти; 3) страхование от несчастных случаев. По каждому из них при помощи тарифа создается страховой фонд, поэтому тарифная ставка в смешанном страховании состоит из трех частей, входящих в нетто-ставку, и четвертой части -- на-грузки. Структура тарифной ставки, а следовательно, и страхово-го фонда представлена на схеме.

Аналогично складывается структура тарифных ставок и по другим видам страхования жизни.

2. Таблицы смертности и средней продолжительности предстоящей жизни как основа для построения тарифных ставок

Таблица смертности содержит расчетные показатели, харак-теризующие смертность населения в отдельных возрастах и доживаемость при переходе в другую возрастную группу. Она имеет следующий вид

Представим себе, что в данном году появилось 100 000 ново-рожденных. Возраст человека обозначим символом х. Тогда х=0. Число лиц, доживающих до каждого возраста, принято обозначать символом lx. Таким образом, число новорожденных lo= 100 000. По таблице можно определить, сколько из них доживет до каждого конкретного возраста. Так, до 18 лет доживет 97 028 человек, т.е. l18=97 028, до 20 лет--96 773, до 40 лет -- 92 246, до 50 лет-- 87 064, а до 85 -- 18 900 человек.

Из этой же таблицы можно узнать, сколько человек каждый год умирает. Число лиц, умирающих в течение года, т.е. при переходе от возраста х к возрасту х + 1 год, обозначим символом dx. Тогда из нашей совокупности новорожденных до 1 года не доживет 1782 человека (do - 1782), до 19 лет -- 121 человек из восемнад-цатилетних (d18 - 121), до 41 года не доживет 374 человека 40-летних (d40), а до возраста 86 лет не доживет 2616 85-летних.

Для удобства расчетов исчисляются показатели вероятности умереть qх в течении определенного года жизни. Вероятность умереть в возрасте х лет, не дожив до возраста х+1 год, равна qх= dx / lx, то есть частному от деления числа умирающих на число доживающих до данного возраста. Например, qо= 0.017 82, q18=0.001 25, q40=0.004 06, а q85=0.138 40. Это означает, что из 1000 000 18-летних до 19 лет не доживет 125 человек, а из 100 000 40-летних до 41 годо - 406 человек.

Располагая показателями вероятности умереть, страховщик с достаточной степенью уверенности может предположить, что в течении ближайшего года из числа застрахованных в возрасте 40 лет может умереть 041 %, в возрасте 41 года - 0,43%, в возрасте 50 лет - 0,84 %. В отдельные годы эти числа могут быть несколько большими или меньшими, но вероятность отклонений чрезвычайно мала.

Пользуясь таблицей смертности, можно узнать вероятность дожить до любого интересующего нас возраста. Она обозначается символом px и равняется 1- qx, то есть на протяжении определенного периода каждый человек либо доживет, либо не доживет до его окончания поэтому сумма вероятностей умереть и дожить равна единице, то есть достоверна. Например, для 40-летнего лица вероятность дожить до 41 года равна p40=1-0.000406=0.9594.

Таблица смертности может содержать показатели средней продолжительности жизни (ех) лиц, достигших определенного возраста, при условии, что повозрастная смертность населения, которая положена в основу построения таблиц смертности, для всего периода предстоящей жизни данного поколения останется неизменной. Таблица показывает, сколько лет в среднем предстоит прожить одному человеку из числа родившихся или из числа достигших данного возраста.

Основными в таблице смертности являются показатели вероятности умереть. Их исчисляют на основе данных переписей населения или наблюдений страхового учреждения.

 3. Норма процента. Ее математическое выражение и влияние на величину тарифных ставок

Взносы, аккумулируемые страховщиком, временно используются в хозяйстве как кредитные ресурсы и приносят определенный доход. Рассмотрим способы, при помощи которых тарифные ставки заранее занижаются на сумму этого дохода.

Размер дохода, приносимого за год единицей денежной суммы, называется нормой процента, или нормой доходности. Обозначают ее символом i. Например, i=0.03 означает, что каждый манат дает три копейки годового дохода, а вся сумма - 3% дохода. Таким образом, 1% равен 100 i. В страховании доход рассчитывается по отношению к одной денежной единице, а не к сотне единиц, как это делается в других случаях.

Абсолютный размер дохода, начисляемого на средства страховой организации помимо нормы доходности (процентной ставки) зависит еще от размера той суммы, которая отдана в кредит, и от времени, в течении которого она находилась в обороте.

Для примера подсчитаем, во что превратится денежная сумма величиной в 100 000 манат через 10 лет. Сумму, которая отдается в кредит обозначим символом А, время, в течении которого она находится в обороте, (10 лет) - п, норму процента (3%) - символом i. Расчет производится по формуле сложных процентов. В конце каждого года образовавшийся за год доход присоединяется к денежной сумме на начало года, и в следующем году процент приносит уже новая, наращенная сумма.

При норме процента i спустя год каждая денежная единица превратится в 1+ i, то есть при i=0.03 в 1030 манат (1000 манат+30 манат). Отсюда А таких единиц будет А(1+i), или 103000 манат (100000 манат*1.03).

Сумму, которая сложится к концу первого года (103000 манат), обозначим символом В1. Тогда В1=А(1+ i). Соответственно к концу второго года (и началу третьего) эта сумма составит:

В2=В1(1+ i)*(1+ i)=А(1+ i)2.

В конце третьего года новая сумма В3=В2(1+ i)=А(1+ i)3

Через 10 лет первоначальная денежная сумма А даст наращенную сумму В10=А(1+ i)10, а через п лет - В=А(1+ i)п.

Величина (1+ i) называется процентным множителем. За п лет он равен (1+ i)п.

На практике применяются таблицы с заранее исчисленными значениями (1+ i) при заданной норме доходности (табл.1).

Таблица 1.

Число лет, п		(1+ i)п при
	i=0.03	i=0.05	i=0.07
1	1.03000	1.05000	1.07000
5	1.15927	1.27628	1.40254
10	1.34392	1.62889	1.96712
20	1.80611	2.65330	3.86261
50	4.38391	11.46740	28.73535

В нашем примере сумма в 100000 манат через 10 лет при i=0,03 будет равна В10(100*1.34392)=134390 манат

Очевидно, что чем выше норма процента, тем быстрее возрастет первоначальная сумма. Так, при 3%-ной норме она удваивается за 23 года, при 5%-ной - за 14 лет, при 7%-ной - за 10 лет.

Используя таблицу смертности, страховщих определяет величину страхового фонда Вп, необходимого для выплаты в обусловленные сроки страховых сумм. Нам же нужно найти цифровое значение величины А, то есть определить, каким фондом можно располагать в начале страхования до начисления на него процентов.

Очевидно, что

или

Например, если В10=134390манат, п=10, i=0.03, то

А=134,39/(1+0.03)10=134.39/1.3439=100

Для упрощения расчетов вводится показатель V, называемый дисконтирующим множителем, или дисконтом, и равный 1/(1+ i).

Возведя его в степень п, получим дисконтирующий множитель за п лет, то есть

Дисконтирующий множитель Vn позволяет узнать, сколько нужно внести средств сегодня, чтобы через несколько лет иметь определенной величины денежный фонд с учетом заданной нормы процента, то есть определить современную стоимость этого фонда.

Например, дисконтирующий множитель за 5 лет (V5) при 3% дохода равен 0.86261, а за 10 лет (V10) - 0.74409. Значит, чтобы при 3%-ной норме через 5 лет сложилось 100000 манат., сегодня достаточно иметь 86260 манат. - это современная стоимость 100000 манат. Если нам нужно, чтобы 100000 манат были в наличии через 10 лет, сегодня можно иметь 74410 манат. При норме доходности 5% достаточно было бы иметь лишь 61390 манат.

Тарифные ставки по страхованию жизни исчисляются исходя из предположения, что поступившие в виде страховых взносов денежные суммы за определенный отрезок времени, принеся какой-то доход, увеличатся, то есть они исчисляются исходя из современной стоимости страховых фондов.

Применяя показатель Vn, формулу для определения величины Ф можно представить в следующем виде: А=ВпVп.

Абсолютные значения показателя V, так же как и показателя (1+i)n, обычно помещаются в специальной таблице, которой пользуется затем на практике при расчете тарифов (табл. 2).

Таблица 2.

Число лет, п		Дисконтирующий множитель Vn при
	i=0.03	i=0.05	i=0.07
1	0.97087	0.95238	0.93458
2	0.94260	0.92456	0.90703
3	0.91514	0.83900	0.86384
4	0.88849	0.85480	0.82270
5	0.86261	0.78353	0.70638
10	0.74409	0.61391	0.50364
20	0.55367	0.37689	0.25602
50	0.22811	0.08720	0.03363

4. Методика построение единовременных нетто-ставок по страхованию на дожитие и на случай смерти. Нетто-ставки страховой ренты

Тарифные ставки бывают единовременные и годичные.

Единовременная ставка предполагает уплату взноса в начале срока страхования. Экономическая сторона страховых операций основана на так называемом принципе нуля, который предполагает равенство финансовых обязательств страховщика и страхователя. При единовременном взносе страхователь сразу при заключении договора погашает все свои обязательства перед страховщиком и договор в дальнейшем действует без уплаты взносов.

Годичная ставка предполагает постепенное погашение финансовых обязательств страхователя перед страховщиком. Взносы уплачиваются раз в год. На практике для уплаты годичного взноса предоставляется еще и помесячная рассрочка.

Вначале исчислим единовременные тарифные ставки, а затем годичные. Например, надо рассчитать нетто-ставку по дожитию по договору страхования для лица в возрасте 40 лет (х=40) на срок 5 лет (п=5) со страховой сумы 100000 манат. (S=100000).

По истечении 5 лет предстоит выплатить определенное количество страховых сумм. Сколько будет выплат? Из таблицы смертности видно, что до 45 лет доживет 90 096 человек. Значит, и выплат будет 90 096. Страховая сумма каждого договора 100000 манат. Следовательно, страховой фонд должен составить 9 009 600 000 манат. Однако в начале страхования этот фонд может быть меньше с учетом того, что каждый год на него будет нарастать 3 сложных процента годового дохода. Чтобы соответственно уменьшить этот фонд, то есть найти его современную стоимость, прибегнем к помощи дисконтирующего множителя, равного в этом случае 0,862 61. Отсюда современная стоимость равна 7 771 771 000 манат.(9 009 600 000*0.86261).

Следовательно, чтобы через 5 лет иметь средства для выплаты страховых сумм по дожитию, страховщик в начале страхования должен располагать фондом в размере 7 771 771 000 манат. Эту сумму и нужно единовременно собрать со страхователей. Разница между величиной сбора и выплат будет покрыта за счет 3%-ого дохода на собранные средства.

Сколько же должен внести в страховой фонд каждый страхователь? Для этого 7 771 771 000 манат надо разделить на 92 246 человек, вступивших в страхование, то есть на число лиц, доживающих по таблице смертности до начала страхования - в примере до 40 лет. Получим 84250 манат , а не 97670 манат, которые нужно было бы вносить, если не начислять 5% годового дохода.

Таким образом, единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте 40 лет сроком на 5 лет на 100000 манат составит 84250 манат.

Представим этот расчет в виде формулы, пользуясь указанными выше символами:

где пЕх - единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте х лет при сроке страхования п лет,

lп+х - число лиц, доживших до окончания срока страхования,

lх -число лиц, заключивших договор в возрасте х лет,

V- дисконтирующий множитель

S - страховая сумма.

Чем моложе застрахованный, тем дороже ему обходится договор страхования на дожитие, так как тем больше число доживающих до окончания срока. Чем длиннее срок, тем ниже ставка, так как больше дохода от процентов.

Теперь исчислим единовременную нетто-ставку по страхованию при тех же условиях, обозначив ее символом 5А40. Число умирающих на каждом году страхования, взятое из таблицы смертности, умножаем на соответствующие дисконтирующие множители и делим на число лиц, вступивших в страхование:

5А40=(374*0.97087+399*0.94260+427*0.91514+458*0.88849+492*0.86261)*100/92246= 2130 манат

Таким образом, страховая сумма составляет 100000 манат, ее страховая стоимость равна 2130 манат. При выплате по случаю смерти застрахованного все недостающие средства перераспределяются из взносов тех, кто дожил до окончания срока страхования, к ним добавляется доход от процентов.

Представим формулу в общем виде:

где пАх - единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти для лица в возрасте х лет сроком на п лет.

dx, dx+1 ,..., dx+п-1 - числа умирающих в течении срока страхования,

V - дисконтирующий множитель, S - страховая сумма.

Рассмотрим теперь принципы построения единовременных ставок по страхованию пенсии или ренты.

Страхование ренты - это вид личного страхования, по которому страховщик обязуется уплачивать застрахованному лицу в установленные сроки регулярный доход. Одной из самых распространенных разновидностей такого страхования является страхование пенсии.

Страхование ренты бывает пожизненным или временным, немедленным или отсроченным, в зависимости оттого, выплачивается регулярный доход сразу после уплаты взносов или по истечении обусловленного периода.

Для вывода соответствующих формул применим следующий ход рассуждений. Допустим, что страховая организация обязалась выплачивать застрахованному лицу в возрасту х лет в течении всей его жизни ежегодно определенную денежную сумму и что эта выплата будет производиться с первого же года страхования в начале каждого года. Ее размер составляет 100000 манат. Предположим далее, что договоры заключили все лица в возрасте х лет. Тогда первая выплата будет произведена всем лицам lх немедленно после заключения договора страхования и составит lх манат.

Во втором году будет выплачено lх+1 манат. С момента заключения договора современная стоимость выплаты равна lx+1V манат.

Современная стоимость выплаты третьего года равна lx+2V2 манат, четвертого - lx+3V3, пятого и так далее. Последняя выплата будет спустя w-х лет, где w - предельный возраст таблицы смертности. Современная стоимость последней выплаты lwVw-x манат.

Современная стоимость финансовых обязательств страховщика, относящихся ко всем lx лицам, выразится суммой:

lх+ lх+1V+ lх+2V2+...+ lwVw-x.

Чтобы получить современную стоимость взаимных обязательств страховщика и страхователя по отношению к одному лицу, то есть найти единовременную нетто-ставку по страхованию пожизненной ренты - пренумерандо, то есть выплачиваемой застрахованному лицу в начале каждого страхового года, надо эту сумму поделить на число лиц, вступивших в страхование:

wax=(lх+ lх+1V+ lх+2V2+...+ lwVw-x)/lx

где wax - единовременная нетто-ставка по страхованию пожизненной ренты (пенсии) - пренумерандо.

Если рента выплачивается не пожизненно, а в течении определенного числа лет в начале каждого страхового года (пренумерандо) формула приобретет вид:

nax=(lх+ lх+1V+ lх+2V2+...+ lx+n-1Vn-1)/lx

если же в конце страхового года (постнумерандо):

nax=( lх+1V+...+ lx+nVn)/lx

5. Понятие коммутационных чисел. Методика расчета нетто-ставок через коммутационные числа

Показатели, необходимые для вышеуказанных расчетов, изменяются в таблицах смертности и дисконтирующих множителей. Однако, поскольку на практике приходится исчислять тарифные ставки для многих возрастов и на несколько различных сроков, пришлось бы складывать, перемножать и делить очень длинные ряды крупных чисел, что очень трудоемко. С целью упрощения расчета тарифов применяются специальные технические показатели - коммутационные числа:

Dx=lxVx

Nx=Dx+Dx+1+...+Dw

Cx=dxVx+1

Mx=Cx+...+Cw

Rx=Mx+...Mw

Рассмотрим принцип перевода в коммутационные числа формул, применяемых для расчета тарифов, на примере единовременной нетто-ставки по дожитию.

Известно, что, если числитель и знаменатель дроби умножить на одинаковое число, абсолютная величина ее не изменится.

Умножим правую часть формулы на Vx/Vx. Поскольку Vx/Vx=1, абсолютная величина останется той же. Таким образом,

(1)

В результате аналогичных преобразований остальные формулы примут следующий вид:для исчисления единовременной нетто-ставки на случай смерти на определенный срок

(2)

для пожизненного страхования на случай смерти

пожизненной ренты пренумерандо

временной ренты пренумерандо

Размер временной ренты постнумерандо. То есть выплачивается не в начале, а в конце года, исчисляется по формуле

Приведем в сокращенном виде таблицу коммутационных чисел. (Табл. 3)

Таблица 3.

х	Dx	Nx	Cx	Mx	Rx
0	100 000	2 894 942	1 730	15 674	832 317
1	95 360	2 794 942	174	13 944	816 643
2	92 406	2 699 582	88	13 770	802 699
3	89 632	2 607 176	60	13 682	788 929
4	86 957	2 517 544	55	13 622	775 247
5	84 367	2 430 587	51	13 567	761 625
6	81 861	2 347 220	47	13 516	748 058
7	79 428	2 264 359	43	13 469	734 542
8	77 070	2 184 931	38	13 426	721 073
...	...	...	...	...	...
18	56 994	1 509 203	69	13 031	588 340
19	55 266	1 452 209	74	12 962	575 309
20	53 583	1 396 943	78	12 888	562 347
21	51 938	1 343 360	80	12 810	549 459
...	...	...	...	...	...
25	45 836	1 144 976	83	12 482	498 706
26	44 419	1 099 140	84	12 399	486 224
...	...	...	...	...	...
31	37 914	890 437	88	11 972	425 076
...	...	...	...	...	...
35	33 341	745 815	96	11 611	377 721
36	32 270	712 474	98	11 515	366 110
...	...	...	...	...	...
40	28 283	589 505	111	11 101	320 651
41	27 341	561 222	115	10 992	309 548
42	26 436	533 881	120	10 877	298 556
43	25 538	507 445	125	10 757	287 679
44	24 676	481 907	130	10 632	276 922
45	23 825	457 231	136	10 502	266 290
46	22 992	433 410	141	10 366	255 788
...	...	...	...	...	...
50	19 859	346 216	163	9 776	215 191
51	19 122	326 357	169	9 607	205 421
...	...	...	...	...	...
55	16 300	254 171	198	8 888	168 035
56	15 622	237 871	204	8 690	159 147
...	...	...	...	...	...
61	12 472	166 202	225	7 624	117 788
...	...	...	...	...	...
65	10 187	119 799	247	6 693	88 662
66	9 641	109 612	253	6 446	81 969
...	...	...	...	...	...
70	7 566	74 202	275	5 399	57 727
71	7 069	66 636	280	5 124	52 328
...	...	...	...	...	...

Пользуясь табл. 3 , рассчитаем единовременные нетто-ставки по дожитию и на случай смерти, например, при условии х=40, п=5 по формулам (1) и (2):

5Е40=D45/D40*100=23825/28283*100=84 манат 25 коп

5А40=M40-M45/D40*100=11103-10502/28283*100=2 манат 13 коп

6. Методика перехода от единовременной к годичной нетто-ставке. Годичная нетто-ставка. Совокупная ставка на случай смерти и дожития, ее анализ

Ранее при расчетах нетто-ставки мы предполагали, что сумма подлежащих уплате взносов погашается единовременно в момент заключения договора страхования. Однако случаи единовременной оплаты страховых взносов практически встречаются редко. Большинству страхователей удобнее вносить платежи в течении всего срока страхования. Для этого исчисляются годичные нетто-ставки.

Уплачивая страховой взнос единовременно, страхователь расходует меньше денег, чем при уплате взносов в течении нескольких лет. Во-первых, при единовременной уплате большая денежная сумма поступает сразу в хозяйственный оборот и на нее нарастают проценты. При годичных же взносах часть дохода, получаемого за счет процентов, теряется и, следовательно, годичные ставки не могут быть заранее уменьшены на такую же величину, как единовременные. Во-вторых, при единовременном взносе все страхователи уплачивают свои взносы, при годичной же уплате по ряду договоров взносы не будут уплачены полностью, поскольку часть застрахованных умирает в течении срока страхования.

Следовательно, исчисляя размер годичной нетто-ставки, нельзя механически поделить единовременную ставку на число лет страхования. Нужно осуществить особый расчет с тем чтобы годичные ставки учитывали как потерю дохода на процентах, так и уменьшение числа застрахованных вследствии смертности.

Переход от единовременной нетто-ставки к годичной осуществляется посредством применения коэффициентов рассрочки.

Обычно условия страхования, предоставляют страхователю право помесячной уплаты взносов, ориентируются на возможность погашения полной суммы годичного взноса к концу страхового года. В ходе дальнейших рассуждений этот факт надо будет иметь ввиду.

Каким должен быть размер ежемесячного взноса? Представим, что все 40-летние лица (см. Таблицу смертности) обязались в конце каждого года страхования в течении 5 лет вносить страховой организации 10 000 манат. Тогда в конце первого года будет внесено 922 460 000 манат (l41*10 000 манат). Современная стоимость этой суммы равна lх+1V, то есть 922 460 000 манат * 0,97087, современная стоимость взносов второго года - lx+2V2, третьего - lx+3V3, п-го года - lx+nVn. Для каждого из вступивших в страхование сумма современных стоимостей годичных взносов составит:

(lx+1V+...+lx+nVn)/lx

Выше мы получили формулу для исчисления временной ренты - постнумерандо, которая послужит коэффициентом рассрочки:

nax=

Коэффициент рассрочки (рента - постнумерандо или пренумерандо) представляет собой стоимость взносов в размере 10 000 манат, производимых в течении определенного срока в конце или начале каждого страхового года.

В таблице 5 приведены коэффициенты рассрочки.

Таблица 5.

Срок уплаты, лет		Возраст, лет (х)
	20	30	40	50
5	4.55	4.54	4.51	4.45
10	8.45	8.41	8.30	8.06
15	11.77	11.67	11.43	10.91
20	14.59	14.41	13.96	13.07

Теперь рассчитаем годичные ставки.

Единовременная нетто-ставка, как было показано ранее, равна современной стоимости финансовых обязательств страховщика и страхователя. При единовременной оплате страхователь все свои финансовые обязательства выполняет в момент заключения договора. При годичных взносах он рассчитывается со страхователем постепенно. Очевидно, что общая сумма годичных взносов должна быть эквивалентна единовременному взносу. Однако она не равна ему в связи с двумя обстоятельствами. Во-первых, в течении срока страхования будет нарастать доход в виде процентов (i), во-вторых, часть страхователей не сможет полностью расплатиться вследствии смертности. Иначе говоря, единовременная нетто-ставка является современной стоимостью суммы годичных взносов, поскольку это рассроченные финансовые обязательства страхователя.

Мы установили, что современная стоимость годичного взноса в 10 000 манат представляет собой коэффициент рассрочки. Отсюда можно составить следующую пропорцию. Искомый годичный взнос так относится к 10 000 манат, как современная стоимость всех годичных взносов в размере 10 000 манат (коэффициенту рассрочки), или

nPx : 1=nEdx : nax

где пРх - годичный взнос

пЕдх - единовременный взнос

пах - коэффициент рассрочки

Следовательно, nPx=

то есть годичная нетто-ставка равна единовременной, деленной на коэффициент рассрочки, и наоборот, единовременная ставка равна годичной, умноженной на коэффициент рассрочки.

Абсолютные значения коэффициентов рассрочки близки к значению п - срока страхования, но несколько ниже его. В результате размеры годичных ставок получаются более высокими, чем если бы мы просто делили единовременную ставку на количество лет страхования. Таким путем возмещаются потери на процентах и учитывается постепенное уменьшение числа лиц, производивших взносы. Применив коэффициент рассрочки, исчислим годичные ставки для лица в возрасте 40 лет , заключившего договор страхования на 5 лет на сумму 100 000 манат. Годичная нетто-ставка по дожитию равна 18680 манат (84250 манат : 4,51): на случай смерти - 470 манат. (2130 коп: 4,51).

Поделив единовременные нетто-ставки на коэффициент рассрочки через коммутационные числа, получим рабочие формулы для исчисления годичных нетто-ставок постнумерандо:

на дожитие nPx=

на случай смерти nPx=

из приведенных в таблице 6 примеров видна закономерность изменения размеров нетто-ставок под влиянием вступительного возраста застрахованного и срока страхования.

Таблица 6.

Вступительный возраст застрахованного, лет	Нетто-ставка по страхованию, манат
	на дожитие	на случай смерти
	Срок страхования 5 лет
20	18.76	0.16
30	18.73	0.25
40	18.68	0.47
50	18.42	0.99
60	18.00	2.03
	Срок страхования 10 лет
20	8.64	0.18
30	8.59	0.29
40	8.45	0.56
50	8.16	1.20
60	7.59	2.45

Таким образом, чем моложе застрахованный, тем выше нетто-ставка на дожитие и тем ниже по страхованию на случай смерти. При этом размер ставок на дожитие в несколько раз превышает ставки на случай смерти. Однако эта разница по мере увеличения возраста уменьшается. Так, при 5-летнем сроке для 20-летнего лица нетто-ставка по дожитию равна 18760 манат , а по страхованию на случай смерти - лишь 160 манат. Для 60-летнего лица они соответственно равны 18000 манат. И 2030 манат.

Нетто-ставки по страхованию на дожитие и по страхованию на случай смерти в том виде, в каком мы их рассмотрели, входят как составные части в тарифы по смешанному страхованию жизни - наиболее распространенному виду долгосрочного страхования. В совокупной нетто-ставке на дожитие и на случай смерти преобладающий удельный вес имеет ставка по дожитию.

Список используемой литературы:

1. Страховое дело, Москва, 1985

2. Страхование от А до Я, ред. Л.И. Корчевская, Москва, 1996 год

3. Налогообложение банков и страховых фирм, Р.П. Крованов, Москва, 1996 г.