Формирование кредитного портфеля

Результатом является удельная стоимость (на 1 м³) строительства нового объекта в ценах 1969 г.

Укрупненные показатели включают восстановительную стоимость всех общестроительных и специальных строительных работ, в том числе:

- санитарно-технических устройств (центральное отопление, вентиляция, водопровод, канализация и их вводы в здание, мусоропровод и другие виды благоустройства);

- электрических и слаботочных устройств -- освещение, лифт, радио, телефон, телевидение, а также газоснабжение.

При отсутствии данных работ оценщик осуществляет корректировку на расхождение.

2) Удельная стоимость умножается на строительный объем здания, получается стоимость строительства в ценах 1969 года.

3) Полученная стоимость умножается на индекс перехода от цен 1969 г. к ценам 1984 г. Пересчет стоимости строительства здания, сооружения или передаточного устройства в цены 1984 года в соответствии с постановлением Госстроя СССР № 94 от 11.05.83 «Об утверждении индексов изменения сметной стоимости строительно-монтажных работ для пересчета сводных сметных расчетов в цены 1984 года»;

4) Определяется полная стоимость замещения объема в ценах на дату оценки путем умножения на индекс удорожания (источники информации: «Центр по ценообразованию в строительстве» области, в которой расположен оцениваемый объект, распоряжения об утверждении индексов цен по области, индексы удорожания строительных работ для промышленных объектов (сборники КО-ИНВЕСТ).

5) Оценка износа. Износ может быть физическим, функциональным, моральным.

а) Физический износ. Физический износ -- это уменьшение стоимости вследствие старения и изнашивания. Это уменьшение может классифицироваться как устранимое и необратимое. В целях определения этого типа износа учитывается фактический возраст зданий и их состояние. Работы по оценке физического износа можно осуществлять с помощью использования «Правил оценки физического износа жилых зданий», ВСН 53-86 (р), Госгражданстрой, -- М., Прейскурантиздат, 1990.

б) Функциональный износ. Представляет собой потерю стоимости, вызванную появлением новых технологий. Он может проявиться в излишке производственных мощностей, конструкционной избыточности, сверхдостаточности, непривлекательном виде, плохой или неэффективной планировке и дизайне. Функциональной износ обычно вызван качественными недостатками использованных материалов и конструкции здания.

в) Экономический износ. Определяется как снижение функциональной пригодности зданий, сооружений, передаточных устройств вследствие влияния экономического развития или изменения окружающей среды, что является непоправимым фактором для собственника недвижимости. Он может быть вызван общим упадком района, места расположения объекта в районе или состоянием рынка, а также общеэкономическими и внутриотраслевыми изменениями, в том числе сокращением спроса на определенный вид продукции и сокращением предложений или ухудшением качества сырья, рабочей силы, вспомогательных систем, сооружений и коммуникаций, а также правовые изменения, относящиеся к законодательству, муниципальным постановлениям, зонированию и административным распоряжениям. Функциональный и моральный износ, как правило, определяются экспертным путем.

Как правило, при оценке затратным подходом, до момента введения законодательства, регламентирующего продажу земли, стоимость земельного участка в расчет не принимается. В практике при проведении оценки отдельных объектов недвижимости можно оценивать право бессрочного (постоянного) пользования земельным участком.

Теперь рассмотрим доходный подход к оценке имущества.

При применении данного метода анализируется возможность недвижимости генерировать определенный доход, который обычно выражается в форме дохода от эксплуатации и дохода от продажи. Для оценки стоимости доходной недвижимости применяют технику капитализации и дисконтирования. Метод капитализации позволяет на основании данных о доходе и ставке капитализации на момент оценки или перспективу сделать вывод о стоимости объекта.

Техника дисконтирования применяется для приведения потока доходов и затрат, распределенных во времени, к одному моменту для получения текущей стоимости денежного потока как стоимости доходоприносящего объекта.

Расчет величины рыночной стоимости объекта недвижимости при применении Доходного подхода в части Метода капитализации дохода выполняется в следующей последовательности:

1) Сбор информации.

2) Оценка потенциального валового дохода.

3) Оценка предполагаемых потерь от недоиспользования объекта.

4) Фиксация величины действительного валового дохода.

5) Оценка предполагаемых издержек, связанных с эксплуатацией оцениваемого объекта.

6) Оценка Чистого операционного дохода, как разницы между Действительным валовым доходом и издержками, связанными с эксплуатацией объекта.

7) Расчет коэффициента капитализации.

8) Получение итоговой величины рыночной стоимости объекта путем деления Чистого операционного дохода на коэффициент капитализации.

Расчет величины рыночной стоимости объекта недвижимости при применении доходного подхода в части метода дисконтирования денежных потоков выполняется в следующей последовательности:

1) Сбор информации.

2) Составление прогноза будущих доходов за предполагаемый период владения объектом недвижимости.

3) Составление прогноза будущих расходов за предполагаемый период владения объектом недвижимости.

4) Расчет предполагаемой стоимости перепродажи после окончания прогнозного периода времени.

5) Определение ставки дисконта, используемой в расчетах.

6) Получение итоговой величины рыночной стоимости объекта путем суммирования текущей стоимости будущих чистых доходов (доходы после налогообложения, скорректированные на величину текущих расходов) и текущей стоимости перепродажи объекта.

Источниками информации при оценке объектов недвижимости в части Доходного подхода выступают: данные Технического паспорта БТИ в части общей и полезной площади объекта, текущие арендные ставки на рынке недвижимости (данные СМИ), информация и т.п.

Сравнительный подход заключается в определении рыночной стоимости, исходя из анализа имевших место сделок купли-продажи аналогичных объектов.

Метод сравнения продаж наиболее эффективен для объектов недвижимости, по которым имеется значительная информация по сделкам купли-продажи. Как правило, для доходных объектов данный метод задает лишь диапазон вероятной стоимости.

Расчет величины рыночной стоимости при применении метода сравнения продаж выполняется в следующей последовательности:

- подробное исследование сегмента рынка, к которому принадлежит оцениваемый объект с целью получения достоверной информации;

- сбор и проверка информации по объектам аналогам;

- анализ собранной информация и каждый объект - аналог сравнивается с оцениваемым;

- выбор единиц сравнения;

- корректировка единиц сравнения по элементам сравнения с целью корректировки продажных цен объектов сравнения на отличия от объекта оценки;

- согласование скорректированных цен объектов аналогов и вывод итоговой величины рыночной стоимости объекта недвижимости на основе сравнительного подхода.

Основными критериями при выборе сопоставимых объектов аналогов являются:

· Право собственности на недвижимость.

· Условия финансирования.

· Условия и время продажи.

· Местоположение.

· Физические характеристики.

В зависимости от целей и мотивов оценки объектом оценки может выступать либо отдельно взятая машина или единица оборудования (оценка «россыпью»), либо множество условно независимых друг от друга единиц машин и оборудования с учетом имеющихся производственно-технологических связей как между отдельными элементами комплекса, так и между ними, с одной стороны, и окружающей их технической инфраструктурой, с другой («системная оценка» или оценка производственно-технологических систем).

При оценке машин и оборудования в обязательном порядке учитываются происходящие в мировой и отечественной экономике инфляционные процессы, а также изменения в налоговом и таможенном законодательстве. Методика учета указанной группы факторов различна для импортного и отечественного оборудования. При оценке рыночной стоимости оборудования используется, как правило, «оценка потоком», то есть каждый элемент рассматриваемого при этом имущества оценивается самостоятельно и независимо от других элементов.

Наиболее часто используемым подходом является затратный подход. Процедура оценки включает следующие этапы:

1) определение рыночной стоимости аналога (получение информации из СМИ, ресурсов Интернета, прайс-листов и т.п.): при оценке оценщик может ориентироваться на аналогичные объекты путем сопоставления наименований, марок, технических характеристик. Осуществляется подбор организаций, занимающихся производством и продажей оборудования, аналогичного оцениваемому, при этом стоимость оборудования определяется непосредственно у компаний-изготовителей на всей территории России (по телефону или факсу). Также могут использоваться справочные бюллетени «Оптовик», «Промышленный оптовик», «Капитал», справочник «Товары и цены», приложение к «Строительной газете» -- «Панорама цен на строительную продукцию» за 2000 г. Могут быть использованы данные компьютерной программы «АррrаisMach»;

2) определение величины износа имущества: износ для основных машин, оборудования, транспорта и инвентаря определен косвенным методом по следующей классификации (таблица 1.6)

Таблица 1.6 Величина износа для основных машин, оборудования, транспорта и инвентаря

Физический износ, %	Оценка технического состояния	Общая характеристика технического состояния
0 5	Новое	Новое, установленное, но еще не эксплуатировавшееся оборудование, в отличном состоянии
10 15	Очень хорошее	Бывшее в эксплуатации оборудование, полностью отремонтированное или реконструированное, в отличном состоянии
20 25 30 35	Хорошее	Бывшее в эксплуатации оборудование, полностью отремонтированное или реконструированное, в хорошем состоянии
40 50 60	Удовлетворительное	Бывшее в эксплуатации оборудование, требующее некоторого ремонта или замены отдельных мелких частей, таких как подшипники, вкладыши и т.п.
65 70 75 80	Условно пригодное	Бывшее в эксплуатации оборудование в состоянии, пригодном для дальнейшей эксплуатации, но требующее значительного ремонта или замены главных частей, таких как двигатель или подобных
85 90	Неудовлетворительное	Бывшее в эксплуатации оборудование, требующее капитального ремонта, такого как замена рабочих органов основного агрегата
95 100	Негодное к применению или лом	Оборудование, в отношении которого нет разумных перспектив на продажу, кроме как по стоимости основных материалов, которые можно из него извлечь (скраповая  стоимость)

 

Значения износа определяются оценщиком по вышеприведенной классификации по характеристикам фактического состояния по данным Заказчика. /21/

Расчет ликвидационной стоимости осуществляется следующим образом:

1) Анализируется ряд статистических и бухгалтерских документов, к которым относятся: бухгалтерские отчеты на конец каждого квартала, статистические отчеты, промежуточный ликвидационный баланс инвентарные карточки. На основании комплексного финансового анализа делается экспертный вывод о достаточности средств на покрытие задолженности.

2) Формируется оцениваемая масса имущества. Отдельно рассматриваются следующие группы активов:

- наиболее ликвидные (оборотные активы).

- менее ликвидные (необоротные активы).

3) Формируется сумма задолженности компании.

4) Разрабатывается календарный график ликвидации. При этом необходимо учитывать, что продажа различных видов активов компании (недвижимого имущества, машин и оборудования, товарно-материальных запасов) требует различных временных периодов исходя из степени ликвидности и требуемого уровня экспозиции на рынке.

5) Обосновываются размеры затрат.

Выделяются: затраты, связанные с ликвидацией, и затраты, связанные с владением активы до их реализации. К числу затрат, связанных с ликвидацией, в первую очередь относятся комиссионные оценочным и юридическим фирмам, а также налоги и сборы, которые платятся при продаже. К числу затрат, связанных с владением активами до их продажи, относятся расходы на охрану объектов, управленческие расходы по поддержанию работы компании до завершения его ликвидации и т.п.

6) Оценивается реализуемое имущество. Оценка имущества, подлежащего реализации, осуществляется с помощью использования всех Подходов оценки. В практике наиболее часто используемым Подходом для оценки объектов недвижимости является сравнительный подход.

7) Определяется ставка дисконтирования с учетом планируемого срока реализации. Причем ставка дисконтирования может устанавливаться для каждого вида оцениваемого актива индивидуально с учетом ликвидности (значительны скидки на низкую ликвидность) и риска возможной «непродажи».

8) Строится график реализации имущества, на основании которого определяется совокупная выручка от реализации текущих, материальных и нематериальных активов.

9) По итогам реализации погашается накопленная сумма текущей задолженности за период ликвидации (электроэнергия, отопление и т.п.) и осуществляются выплаты по обязательствам.

При этом требования кредиторов удовлетворяются в порядке очередности, установленной статьей 64 ГК РФ, в соответствии с которой распределение имущества каждой следующей очереди осуществляется после полного распределения имущества предыдущей очереди.

10) Конечным действием является оценка ликвидационной стоимости, приходящейся на долю собственников (акционеров). Федеральный закон от 26.12.95 г. № 208-ФЗ «Об акционерных обществах» (с изменениями от 13.06.96 г.) предусматривает четкий порядок распределения оставшихся сумм.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ КРЕДИТНОГО ПОРТФЕЛЯ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА НА ОСНОВЕ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ИМУЩЕСТВА ЗАЕМЩИКА

2.1 Математические модели формирования кредитного портфеля банка

Математические модели формирования портфеля банка относятся к так называемым частным моделям банковской деятельности, описывающим конкретную сферу деятельности банка. С достаточной степенью условности банк может быть рассмотрен как разновидность фирмы, функционирующей на рынке денег. В научной литературе это обстоятельство нашло свое отражение в устоявшемся термине: «банковская фирма». В связи с этим при моделировании деятельности банка наряду с другими методами правомерно использовать основные понятия и модели теории фирмы. Не случайным является значительный удельный вес в общем числе математических исследований именно моделей фирмы, адаптированных к специфике банковского дела. /4/

При формировании кредитного портфеля банка исходят из гипотезы о малой управляемости рынка депозитов: банк только принимает денежные вклады, общий поток, которых зависит от экономической ситуации в целом, благосостояния населения и т.д., то есть от тех факторов, которые находятся вне сферы компетенции банка и поэтому должны считаться заданными экзогенно. /5/

Общая модель отображает процесс формирования кредитного портфеля с учетом:

1. наличия собственных средств SK и привлеченных средств k-го вида по депозитной ставке , .

2. необходимых резервов , отчисляемых по норме с каждого вида активов , .

3. распределение долей активов i-го вида по проектам j, .

Критерием оптимальности является общий доход при известной эффективности проекта (,).

Формально модель может быть записана следующим образом.

Целевая функция:

.

При ограничениях:

1. ;

2. , ; (2.1)

3. , ;

4. , , .

Следует отметить, что в условиях переходного периода актуальным является включение в модель фактора риска. Так как переходные процессы обычно характеризуются, во-первых, высокими темпами изменения инфляции, а во-вторых, нестабильностью экономических процессов и отсутствием устоявшихся правовых и этических норм бизнеса, то наиболее важными видами рисков являются риски процентной ставки и невозврата кредита; при этом при моделировании применяется обычно вероятностный подход./2/

При формировании кредитного портфеля, банк получает доход, сопряженный с риском невозврата выданных ссуд. Это позволяет рассматривать формирование кредитного портфеля как создание инвестиционного портфеля. Основной моделью современной теории создания портфеля является модель Марковица./22/

Подход Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денежных средств для инвестирования (приобретение активов). Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени, который называется периодом владения. В конце периода владения инвестор продает активы, которые были куплены в начале периода. Таким образом, подход Марковица может быть рассмотрен как дискретный подход. В начальный момент времени инвестор должен принять решение о покупке конкретных активов, которые будут находиться в его портфеле до конца периода владения. Поскольку портфель представляет собой набор различных активов, это решение эквивалентно выбору оптимального портфеля из набора возможных портфелей.

Принимая решение в начале периода, инвестор должен иметь в виду, что доходность активов, а, значит, и доходность портфеля в предстоящий период владения неизвестна. Однако инвестор может оценить ожидаемую (или среднюю) доходность различных активов, основываясь на некоторых предположениях. Марковиц отмечает, что типичный инвестор хотя и желает, чтобы «доходность была высокой», но одновременно хочет, чтобы «доходность была бы настолько определенной, насколько это возможно». Это означает, что инвестор, стремясь одновременно максимизировать ожидаемую доходность и минимизировать неопределенность (риск), имеет две противоречащие друг другу цели, которые должны быть сбалансированы при принятии решения о покупке в начале периода. /23/

Полезная мера риска должна некоторым образом учитывать вероятность возможных «плохих» результатов и их величину. Вместо того, чтобы измерять вероятности различных результатов, мера риска должна некоторым образом оценивать степень возможного отклонения действительного результата от ожидаемого. Стандартное отклонение - мера, позволяющая это сделать, так как она является оценкой вероятного отклонения фактической доходности от ожидаемой.

В общем случае вычисление стандартного отклонения портфеля, состоящего из n активов, вычисляется по формуле

, (2.2)

где - доля стоимости портфеля, инвестированная в актив i; - ковариация доходностей активов i и j ().

Ожидаемую доходность портфеля можно определить из соотношения:

, (2.3)

где - ожидаемая доходность актива i, .

При этом должно выполняться условие:

. (2.4)

Обозначим R - доходность портфеля, желаемую инвестором. Тогда формально модель создания портфеля может быть записана в следующем виде

; (2.5)

;

.

Таким образом, подход Марковица к проблеме выбора портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы: максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать неопределенность (риск) при заданном уровне ожидаемой доходности. При этом ожидаемая доходность служит мерой потенциального вознаграждения, связанного с портфелем, а стандартное отклонение рассматривается как мера риска портфеля.

Однако применение подхода Марковица к формированию кредитного портфеля банка, не смотря на схожесть задач, ограничено. Трудности применения вызывает сложный математический аппарат, а также наличие развитой системы сбора информации для реализации модели./8/

2.2 Математические модели и методы, применяемые в оценке стоимости имущества заемщика

2.2.1 Оценка стоимости имущества заемщика

2.2.1.1 Использование статистических методов в процессе оценки имущества заемщика

Одним из основных элементов процесса оценки имущества является сбор информации, в частности, об их рыночных ценах. Как правило, здесь оценщик сталкивается с таким явлением, когда цены практически идентичного имущества, полученные из разных источников, отличаются друг от друга. В этом случае говорят, что собранные оценщиком значения цен являются случайными (или стохастическими) величинами. На основе собранной информации оценщику в этом случае приходится определять статистические оценки ряда величин, в частности, среднее значение рыночной цены объекта оценки. При малых объемах собранной информации оценщик должен быть уверен в ее качестве. Поэтому уже на стадии предварительной обработки информации он должен провести отсев резко выделяющихся наблюдений в выборке и проверку гипотезы о нормальности распределения. Только после этого возможно применение методов и соотношений, хорошо разработанных для нормального распределения.

Следующим шагом является оценка погрешности среднего значения цены с использованием, например, интервальных оценок. Далее при построении модели цены объекта оценщику необходимо, используя корреляционные методы, оценить степень влияния на нее различных факторов, провести классификацию факторов и, наконец, построить саму модель в виде уравнения регрессии. Таков далеко не полный перечень задач, когда оценщику может потребоваться математическая статистика.

2.2.1.2 Основные статистические характеристики

Итак, информация, с которой приходится работать оценщику, в значительной степени относится к категории случайных величин.

Случайной величиной называют такую величину, значения которой изменяются некоторым, заранее не предсказуемым образом. В отличие от неслучайных, детерминированных величин для случайной величины нельзя заранее точно сказать, какое конкретное значение она примет в определенных условиях, а можно только указать закон ее распределения. Законом распределения называют совокупность значений случайной величины и вероятностей, с которыми она их принимает. Сумма всех вероятностей всегда равна единице, так как с такой вероятностью величина принимает хоть какое-нибудь из этих значений. Существует много причин, приводящих к тому, что значения рыночных цен в выборке оказываются скорее случайными, чем детерминированными. Часто это вызвано отсутствием информации обо всех факторах, влияющих на цену имущества, или нечеткостью этой информации. Например, как в случае нечеткости информации о степени физического износа имущества, недостаточности данных об условиях сделки купли-продажи и т. п. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества значений и тем самым обуславливать случайность тех величин (в частности, цен), которые они определяют. Поэтому истинное значение цены имущества оказывается недоступным оценщику, и даже усреднение случайных значений цен в выборке не устраняет случайности среднего значения цены. Стохастическая природа данных, используемых оценщиком в процессе определения стоимостей объектов, вызывает необходимость применения адекватных им статистических методов анализа. Базой для применения статистических методов анализа при оценке обычно является множество эмпирических данных, полученных по результатам сбора информации об одной или нескольких случайных величинах (ценах близких аналогов объекта оценки, степени их износа, затратах на ремонт и т.п.). Будем обозначать их заглавными латинскими буквами X, Y, Z... Информация о любой из этих величин состоит из n значений , ,..., этой случайной величины Х, образующих выборку объема n из генеральной совокупности Х.

Под генеральной совокупностью подразумеваются все возможные значения конкретной случайной величины (например, рыночной цены машины).

Собрать данные обо всех значениях из генеральной совокупности практически невозможно. Поэтому реально оценщик довольствуется выборкой, а методы математической статистики помогают ему по известным свойствам объектов из выборки судить о свойствах всей генеральной совокупности. При использовании данных выборки из-за случайного характера ее получения важно знать, каким вероятностным законам подчиняются значения исследуемого показателя. Существует целый ряд распределений вероятности, которые используются в математической статистике. Одним из наиболее часто используемых распределений и поэтому важных является нормальное распределение. Теоретическим обоснованием роли нормального распределения является центральная предельная теорема. Согласно этой теореме, распределение среднего n независимых случайных величин, распределенных по любому закону, при увеличении числа значений в выборке приближается к нормальному. Когда случайная величина представляет собой общий результат большого числа независимых «небольших» воздействий (имеются в виду воздействия неконтролируемых факторов), то, согласно центральной предельной теореме, можно ожидать, что эта случайная величина будет распределена по нормальному закону.

Случайная величина X имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности описывается уравнением (при )

При описании случайной величины вместо закона распределения можно использовать его параметры µ и у2 -- соответственно математическое ожидание случайной величины и ее дисперсию. Если известны параметры распределения, то плотность вероятности полностью определена.

Однако на практике оценщик всегда пользуется данными выборки из генеральной совокупности данных. В этом случае некоторые основные свойства случайных величин могут быть описаны более просто по данным выборки с помощью оценок параметров их функций распределения, называемых также статистиками. Важнейшими из этих оценок являются: среднее (среднее арифметическое) значение выборки (оценка математического ожидания).

Стандартное отклонение s - мера разброса случайной величины вокруг среднего значения, имеющая размерность, совпадающую с размерностью случайной величины, что полезно при определении погрешностей расчетных оценок. Наряду с упомянутыми статистиками для описания совокупности данных используют и другие.

Медиана, или срединное значение, разделяет случайные величины на равные половины. Для ее вычисления все собранные данные нужно расположить в порядке возрастания или убывания. Затем, если n - нечетное число, то медиану определяют как значение, находящееся в середине упорядоченной последовательности. При четном n медиана - среднее арифметическое двух расположенных в середине значений упорядоченной последовательности. Мода - есть наиболее часто встречающаяся в совокупности данных величина.

К характеристикам разброса данных относится также коэффициент вариации выборки:

, (2.6)

Значение н выражает среднее квадратическое отклонение s в процентах от среднего совокупности данных и поэтому может быть использовано для оценки их точности.

Рассмотренные выше характеристики случайных величин являются так называемыми точечными оценками соответствующих им характеристик генеральной совокупности.

Статистические оценки вычисляют исходя из конкретного закона распределения случайной величины. Обычно предполагается, что цена как случайная величина подчиняется закону нормального распределения. Это, как правило, обосновывается в случае оценки центральной предельной теоремой. Однако процедура формирования оценщиком малой выборки рыночных цен из генеральной совокупности не может гарантировать ее однородности. Поэтому на начальной стадии обработки данных желательно проведение проверки гипотезы нормальности распределения выборочных данных о ценах идентичных объектов. Это позволит оценщику более обоснованно применять статистические оценки данных, соответствующие этому закону. В математической статистике существует ряд методов проверки нормальности распределения. Наиболее известным из них является численный метод применения критерия , разработанный К. Пирсоном. Однако малые выборки, с которыми обычно имеет дело оценщик, не могут дать достаточного количества данных для применения таких критериев. Поэтому покажем здесь более грубые методы, позволяющие судить о нормальности распределения малой выборки.

В математической статистике наряду с точечными оценками широко используются так называемые интервальные оценки - интервалы между статистиками, содержащие с определенной вероятностью истинное значение оцениваемого параметра. Для построения интервальной оценки параметра (например, средней цены Цср ) необходимо найти две статистики L и U такие, при которых справедливо вероятностное утверждение:

. (2.7)

Интервал называется -процентным доверительным интервалом для . Этому интервалу можно дать следующую интерпретацию: с вероятностью (1 - б) в указанном интервале будет находиться истинное значение цены. Статистики L и U называются нижней и верхней доверительными границами интервала соответственно, величина (1 - б) - доверительной вероятностью, а величина б - уровнем значимости (вероятностью ошибки). Если б = 0,1, то интервал называется 90-процентным доверительным интервалом для .

2.2.1.3 Классификация данных. Кластерный анализ

При проведении оценки и, особенно, массовой оценки имущества на первом этапе весь массив оцениваемых объектов обычно разбивают на группы однородных по совокупности признаков имущества, то есть решают задачу классификации. Имущество, включаемое в одну группу, по возможности, должно находиться на небольшом расстоянии друг от друга в пространстве выбранных признаков. Для решения подобных задач может быть использовано несколько подходов. Обычно используют эвристический подход к группированию объектов, опирающийся на разного рода классификации (ОКОФ, отраслевые классификаторы и т.п.). Основой подхода часто являются интуитивные соображения. При недостаточно знакомом оценщику имуществе этот подход может оказаться затруднительным. При решении задачи в этом случае нередко встречаются ситуации, когда, с одной стороны, есть желание укрупнить группы оцениваемых объектов, а с другой, - нет уверенности в их классификационной однородности. Другим способом решения задачи группирования объектов является статистический подход, позволяющий в ряде случаев в значительной степени формализовать процесс. Если объекты оценки имеют несколько признаков, задача может быть решена методами кластерного анализа, специально предназначенного для разбиения совокупности n объектов на однородные в некотором смысле группы (или классы), называемые кластерами. Так как метод является формальным, необходимо иметь некоторый критерий качества разбиения, который позволит сопоставлять альтернативные варианты группировок. В качестве критерия качества классификации объектов может быть использована возможность содержательной интерпретации найденных групп. Как правило, исходная информация имеет вид прямоугольной таблицы, строками которой являются объекты оценки, а столбцами - их классификационные признаки, в роли которых обычно выступают наиболее важные показатели (факторы) объектов x. Пусть в общем случае имеется n объектов, обладающих k признаками. Тогда таблица приобретет вид матрицы X:

(2.8)

Если объекты х, образующие матрицу, имеют несколько признаков
(), задача классификации может быть решена методами кластерного анализа.

Обычно стараются сформировать матрицу Х так, чтобы ее элементы соответствовали переменным одного типа, обычно количественным. Качественные и ранговые переменные заменяют числами натурального ряда.

Кластерный анализ обычно начинается с определения расстояний между каждой парой входящих в матрицу Х объектов. Объекты, у которых расстояние окажется меньше некоторого заданного порогового значения, считаются однородными, принадлежащими одному кластеру.

Выбор метода определения расстояния и задание его порогового значения являются важными моментами кластерного анализа.

В наиболее общем случае обычно используют обобщенное (взвешенное) расстояние Махаланобиса /21/

, (2.9)

где , - i-й и j-й векторы-строки матрицы X;

Л - диагональная матрица весовых коэффициентов;

У - ковариационная матрица.

Существуют и другие формулы для определения расстояний, которые являются частными случаями формулы (2.9).

Например, если факторы (признаки) объектов взаимно независимы и предварительно нормированы, то можно использовать обычное Евклидово расстояние:

. (2.10)

Предварительное нормирование каждого из признаков производится по правилу

, (2.11)

где - значение l-го признака у i-го объекта;

- среднее арифметическое значение l-го признака;

- среднее квадратическое отклонение l-го признака. (2.12)

2.2.1.4 Корреляционный анализ

Корреляционный анализ предполагает изучение зависимости между случайными величинами с одновременной количественной оценкой степени неслучайности их совместного изменения.

Изменение случайной величины y, соответствующее изменению случайной величины x, разбивается на две составляющие - стохастическую, связанную с неслучайной зависимостью y от x, и случайную (или статистическую), связанную со случайным характером поведения самих y и x.

Стохастическая составляющая связи между y и x характеризуется коэффициентом корреляции

, (2.13)

где , - соответственно математическое ожидание и дисперсия случайной величины z.

Коэффициент корреляции показывает, насколько связь между случайными величинами близка к строго линейной. Если у и x распределены нормально, равенство указывает на отсутствие линейной связи между ними. Значение соответствует строго линейной связи между y и x (знак указывает на направление связи).

Рассмотрим нормально распределенные случайные величины y и x - , , …, ,…, . Выборочной оценкой коэффициента корреляции является случайная величина

, (2.14)

где ;; n - объем выборки.

При малых значениях n () лучшей оценкой коэффициента корреляции является

, (2.15)

При n>200 распределение выборочного коэффициента корреляции удовлетворительно аппроксимируется нормальным законом со средним и дисперсией :

, , (2.16)

При n>10 распределение случайной величины

, (2.17)

удовлетворительно аппроксимируется распределением Стьюдента с степенями свободы./19/

Приведенные аппроксимации распределения выборочного коэффициента корреляции позволяют строить статистические критерии для проверки гипотез о существенности корреляционной связи и о возможных значениях коэффициента корреляции.

На практике наибольший интерес представляет задача проверки гипотезы о значимости корреляционной связи между случайными величинами, т. е. значимости отклонения коэффициента корреляции с от нуля. В принятых обозначениях проверяется нулевая гипотеза H0: против альтернативы H1: .

Эта гипотеза проверяется сравнением выборочного значения коэффициента корреляции r с его критическим значением , являющимся б-квантилью распределения r при . Корреляция между случайными величинами признается значимой, если .

2.2.1.5 Регрессионный анализ в оценке в оценке стоимости имущества заемщика

После выявления статистически значимых связей между переменными (в частном случае, между параметрами и ценой) с помощью методов корреляционного анализа обычно переходят к математическому описанию этих связей методами регрессионного анализа. Пусть в общем случае есть зависимая переменная, например, цена y, которая зависит от k независимых переменных , которые не являются случайными величинами. Связь между этими переменными в условиях, когда y является случайной величиной, описывает математическая модель, называемая уравнением множественной регрессии. Регрессионная модель должна аппроксимировать совокупность собранных оценщиком данных о параметрах и цене объекта оценки. Обычно истинная функциональная связь переменных неизвестна, и оценщику приходится выбирать подходящую функцию для аппроксимации . В частности, для аппроксимации широко используются полиномиальные модели. Регрессионный анализ включает решение следующих задач:

1) определение существенных параметров и выбор диапазонов их изменения;

2) выбор вида регрессионной модели ;

3) определение оценок неизвестных параметров модели;

4) проверка адекватности модели.

Проблема выбора существенных параметров. Обычно параметрами модели являются основные размеры и показатели машины, определяющие ее потребительские свойства. Например, для технологических машин это - один-два основных размера, какой-либо показатель производительности, уровень автоматизации и класс точности.

Диапазоны изменения значений параметров модели не следует принимать слишком широкими, так как это может привести к необходимости построения нелинейной модели, которая требует значительно большего количества данных для построения. Часто лучше иметь несколько более простых моделей (линейных) для разных диапазонов, чем одну нелинейную. Выбор вида регрессионной модели. Неизвестную функцию в окрестностях точки, соответствующей средним уровням каждого фактора, можно представить отрезком степенного ряда. Если интервалы варьирования факторов невелики, то можно ограничиться линейным приближением в виде линейной модели множественной регрессии:

, , (2.18)

где - неизвестные параметры модели, , - значение фактора (регрессора) в наблюдении t, , - ошибки регрессии, ./19/

Основные гипотезы линейной модели множественной регрессии:

1. , - спецификация модели.

2. - детерминированные величины. Векторы , линейно независимы в .

Ошибки регрессии должны обладать следующими свойствами:

3a. , - не зависит от t.

3b. при - статистическая независимость (некоррелированность) ошибок для разных наблюдений.

3c. Ошибки , имеют совместное нормальное распределение .

Если есть основания предполагать существование нелинейной зависимости , то в модель регрессии можно добавить квадратичные члены (более высокий порядок применяется редко). Могут использоваться и другие модели, например, экспоненциальные и степенные, которые разными способами могут быть преобразованы в линейные модели относительно параметров .

Пусть - вектор-столбец наблюдений цены размерности n; - вектор-столбец коэффициентов регрессии размерности k, - вектор-столбец ошибок регрессии размерности n;

- матрица объясняющих переменных размерности .

Тогда уравнение множественной линейной регрессии можно записать в векторно-матричной форме

, (2.19)

Определения оценок осуществляется с использованием метода наименьших квадратов, который минимизирует сумму квадратов остатков регрессии

. (2.20)

Здесь - предсказанные значения по модели, , - остатки регрессии.

Выражая через X и в, можно получить выражение

, (2.21)

Необходимые условия минимума получаются дифференцированием по вектору :

, (2.22)

откуда находятся оценки коэффициентов метода наименьших квадратов:

, (2.23)

В качестве оценки дисперсии коэффициента принимают величину

, (2.24)

где -- несмещенная оценка дисперсии ошибок ; -- i-й диагональный элемент матрицы .

2.2.1.6 Проверка адекватности модели

Под адекватностью уравнения регрессии понимается статистическая неразличимость результатов вычислений по уравнению регрессии и наблюдаемых случайных величин.

Вариацию значений вокруг среднего можно представить в виде двух частей: объясненную регрессионным уравнением и необъясненную (связанную с ошибками):

или . (2.25)

Здесь - вариация значений вокруг среднего; - вариация, объясненная регрессионным уравнением; - необъясненная вариация.

Долю объясненной регрессии или коэффициент детерминации можно определить по формуле

, (2.26)

Коэффициент показывает качество подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям , принимает значения из интервала [0,1]. Однако при увеличении количества регрессоров возрастает. Если взять число регрессоров равным числу наблюдений, всегда можно добиться того, что , но это вовсе не будет означать наличие содержательной (имеющей экономический смысл) зависимости y от регрессоров.

Попыткой устранить эффект, связанный с ростом при возрастании числа регрессоров, является коррекция на число регрессоров. Скорректированным называется

, (2.27)

Для проверки статистической значимости регрессии необходимо рассчитать статистику

, (2.28)

Статистика F имеет распределение Фишера и ее можно использовать для проверки гипотезы H₀: (если - константа, и она включена в состав регрессоров). А именно, гипотеза H₀ отвергается (регрессия статистически значима) на уровне значимости б, если .

Для проверки значимости коэффициентов регрессии, а именно для проверки гипотезы H₀: , необходимо рассчитать статистику

, (2.29)

Статистика t имеет распределение Стьюдента с n-k степенями свободы . Гипотеза H₀ отклоняется на уровне значимости б, если

.

2.2.1.7 Временные ряды

Временными рядами обычно называют расположенные в хронологической последовательности значения тех или иных статистических показателей. Для оценщика временные ряды представляют несомненный интерес, так как могут содержать информацию об изменении цен или иных экономических показателей различных объектов во времени (ставок налогов, доходов, создаваемых объектами оценки, спроса на определенные группы товаров и т.п.). Каждый временной ряд состоит из двух групп элементов:

1)моментов или периодов времени, к которым относятся изучаемые статистические данные;

2)значений статистических показателей, которые характеризуют изучаемый процесс или объект в определенный момент или за указанный период времени.

Одной из основных задач, возникающих при анализе рядов динамики, является установление закономерности изменения уровней изучаемого показателя во времени. Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества факторов и в том числе различного рода случайных обстоятельств. Изучая реальные ситуации, можно заметить, что различные временные ряды могут складываться из четырех составляющих:

· тренда, или систематической составляющей;

· колебаний относительно тренда с большей или меньшей регулярностью;

· эффекта сезонности;

· случайной составляющей.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Под трендом обычно понимают некое устойчивое, систематическое изменение изучаемого показателя в течение длительного периода. В понятие тренда заложено то обстоятельство, что изменение на протяжении длительного периода представляется как бы сглаженным. Это означает, что составляющую, соответствующую тренду, обычно можно представить в виде полинома от времени t. Хотя полиномы являются наиболее удобными с математической точки зрения функциями, для его описания могут быть использованы и другие функции.

Наиболее легко обнаружить в составе временного ряда эффект сезонности. Обычно это регулярные колебания с периодом в один год или с периодом, равным какому-либо другому известному фиксированному временному интервалу. В ряде случаев такие колебания вообще могут отсутствовать в составе временного ряда.

Выделив тренд и сезонные изменения, получим ряд, представляющий более или менее регулярные колебания. Это так называемый остаточный ряд. Основная задача при анализе остаточного ряда - выяснить, подчинены ли колебания некоторому закону и, следовательно, предсказуемы, или любая их часть абсолютно случайна. Колебания первого типа называют систематическими, второго типа - случайными.

Наиболее распространенным случаем исследования временных рядов является выявление основной закономерности изменения уровней ряда, в некоторой мере свободной от случайных составляющих. Обычно основную закономерность отражает тренд, а методы его обнаружения называются в теории временных рядов методами аналитического выравнивания. Методы выравнивания позволяют построить математическую модель тренда временного ряда. В таблице 5 приведены различные виды трендовых моделей, наиболее часто используемые для моделей трендов.

Таблица 2.1 Трендовые модели

Название функции (модели тренда)	Описание функции
Линейный тренд
Гипербола
Экспоненциальный тренд	или
Тренд в форме степенной функции
Парабола второго и более высоких порядков
Логарифмическая

Линейная модель является самым простым видом тренда. Она подходит для отображения примерно равных изменений (роста или падения) показателей процесса за равные периоды времени. Практика показывает, что такой характер изменения рядов динамики встречается довольно часто. Причиной этого обычно является наличие большого числа факторов, влияющих на изучаемый процесс.

Параболы второго и более высоких порядков применяются для описания процессов, которые на некотором, обычно непродолжительном, временном интервале имеют примерно постоянное ускорение абсолютного прироста уровней. Так бывает, например, при ускоренном увеличении дохода в фазе циклического подъема. Параболические модели 2-го порядка более распространены по сравнению с моделями 3-го порядка, особенно при ограниченной длине временного ряда.

Экспоненциальная модель тренда характерна для процессов, не имеющих ограничений для роста уровня. На практике так может быть лишь на ограниченном интервале времени.

Логарифмическая модель подходит для описания процесса, когда при постоянном абсолютном изменении значений изучаемого показателя во времени темп этих изменений замедляется, но не прекращается совсем. Если, наоборот, наблюдается замедляющееся снижение уровней процесса, причем эти уровни стремятся к некоторому пределу, для описания тренда хорошо подходит гиперболическая модель. /22/

Перечисленные примеры не исчерпывают всего разнообразия моделей, применяемых для описания трендов. Поэтому задача выбора подходящей модели не является простой и однозначной. Основанием для выбора модели может быть содержательный анализ сущности развития изучаемого процесса. Можно опираться на результаты предыдущих исследований или анализ диаграммы, построенной по табличным данным, соответствующим собранной информации. В последнем случае трудности могут возникнуть из-за того, что истинная тенденция изменения показателей процесса может быть замаскирована наложенными на нее колебаниями уровней временного ряда.

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка , рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда.

, (2.30)

где ; .

Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому сравнению скорректированного коэффициента детерминации и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.

2.3 Математические модели формирования кредитного портфеля на основе оценки стоимости имущества заемщика