Отметим, что так как



Величина

измеряет экспоненциальную скорость роста за попытку. Келли максимизировал ожидаемую величину коэффициента скорости роста, g(f),

Получается, что g(f) = (1/n)E[logXn]- (1/n)logX0, поэтому, для фиксированного n, максимизация g(f) - то же самое, что максимизация E[logXn]. Вычислим производную:

когда f = f * = p -- q.

Так как

то g' (f) убывает строго монотонно на [0, 1],

так как g' (0) = p-q > 0 и lim f>1 - g'(f) = - ?. Вследствие непрерывности g'(f), g (f) имеет единственный максимум в точке f=f *, где g(f *) = p log p + q log q + log 2 > 0. Более того, поскольку g(0) = 0 и lim f>1 - g{f) = - ?, то существует единственное fC > 0, такое что 0 < f* < fC < 1 и g(fC) = 0.

Построим график функции g(f) от f (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1. График функции g(f)

Исходя из максимизации функции g(f), Джоном Келли были сформулированы следующие свойства:

- Если g(f) > 0, тогда почти достоверно, что limn>? Хn = ?, то есть для каждого М, Pr [lim n>? inf Хn > М] = 1. Это свойство показывает что, если бы не конечное время, благосостояние игрока XN превысило бы любой установленный предел М, когда f выбрано в интервале (0, fс).

- Если g(f) < 0, тогда почти достоверно, что limn>? Хn = 0, то есть для каждого е>0, Pr [lim n>? sup Хn < е] = 1, получается, что крах неизбежен.

- Если g(f) = 0, тогда почти достоверно, что lim n>? sup Хn= ? и lim n>? inf Хn = 0. Это утверждение демонстрирует, что, если g(f) = 0, тогда почти достоверно, что lim n>? sup Хn= ? и lim n>? inf Хn = 0.

- Для заданной стратегии Ф*, которая максимизирует E[log Xn] и любой другой "существенно иной" стратегии Ф (не обязательно стратегии фиксированных дробных ставок) почти достоверно, что limn>? Хn(Ф*)/Хn (Ф) = ?.

- Ожидаемое время, необходимое чтобы текущий капитал Xn достиг заранее установленного значения С будет, асимптотически, наименьшим при стратегии, которая максимизирует E[log Xn].

- Если предположить, что отдача от одной ставки на i-ой попытке - биноминальная случайная переменная Ui, далее предположим, что вероятность успеха pi, где 1/2 < pi < 1. Тогда E[log Xn] максимизируется выбором значением для ставки при каждой попытке доли f *i = pi - qi которая максимизирует E[log (1+fiUi)]. Эта часть устанавливает справедливость использования метода Kelly выбора fi* при каждой попытке (даже если от одной попытки к следующей меняется вероятность) для максимизации E[log Xn].

3.3 Пример использования свойств "критерия Келли". Обобщающая формула Келли

Разберем пример:

Игрок А играет против бесконечно богатого противника. Игрок выигрывает одну и ту же сумму при последовательных независимых бросках монеты с вероятностью p =0,53 (независимые события). Игрок А имеет начальный капитал X0 , и капитал может бесконечно делиться. Если мы применим шестое свойство, то получаем * = p - q = 0,53 - 0,47 = 0,06, Таким образом, в каждой игре он должен ставить 6 % текущего капитала, чтобы Xn рос с максимальной скоростью и с нулевой вероятностью краха. Если Игрок А постоянно ставит меньшую долю, чем 6%, Xn также будет расти до бесконечности, но медленнее.

Если Игрок A постоянно ставит долей большей чем 6%, но меньше fс , возникает то же самое. Решая уравнение g(f) = 0,53log (l +f) + 0,47log (l - f) = 0 численно на компьютере получаем fc = 0,11973Ї. Так, если ставка больше чем примерно 12%, то даже при том, что Игрок А может временно наслаждаться быстрой скоростью роста, возможные колебания вниз непременно приведут величину Xn к нулю. Вычисление дает коэффициент роста g(f*)= f (0,06) = 0,001801 так, что после n последовательных ставок логарифм среднего величины капитала Игрока А будет стремиться к значению в 0,001801*n раз превышающему стартовый капитал. Приравнивая 0,001801n = log 2, получаем ожидаемое время, необходимое для удвоения капитала примерно равное n = 385.

Выше рассматривались игры с равномерными выплатами. Но, Критерий Кэлли может легко быть расширен на игры с неравными выплатами. Предположим, Игрок А выигрывает b единиц на каждую единицу ставки. Далее предположим, что на каждой попытке вероятность победы p> 0 и pb - q> 0, так что игра выгодна для Игрока А. Методы, подобные рассмотренным, могут использоваться для максимизации:

Вычисления дают f* = (bp -- q)/(b - 1), эта формула является обобщенной формулой Келли, показывающей какую долю от текущего количества денег нужно выделять для каждой отдельной ставки, чтобы максимизировать коэффициент роста g(f). Если адаптировать эту формулу для ставок на спорт, то она приобретает следующий вид:

С = (K*V) - 1)/(K - 1),

где

С -- коэффициент размера следующей ставки,

K -- коэффициент букмекера,

V - оценка вероятности проходимости события игроком.



Глава IV. Программная реализация

4.1 Пример использования программы для расчета букмекерских "вилок"

Необходимо разработать программу, которая по заданным коэффициентам и сумме банка будет находить размеры ставок на каждый итог события, чтобы иметь гарантированную прибыль независимо от результата матча. Также она должна вычислять маржевую прибыль.

Суть программы заключается в следующем:

Имеется какой-либо БАНК (денежная сумма) и КОЭФФИЦИЕНТЫ K1 и K2 (для двух исходного события) и КОЭФФИЦИЕНТЫ K1, K2, KХ (для трех исходного события). Необходимо ввести значения в поле БАНК и в поле КОЭФФИЦИЕНТ нажать кнопку РАССЧИТАТЬ. Программа рассчитает нам маржу между этими коэффициентами (если она положительна, то арбитражная ситуация есть, если она отрицательная или равняется нулю - то, вилки нет) сумму ставки на каждый исход, при которой мы выигрываем одинаковую сумму независимо от результата события и конечную прибыль.

Диалоговые окна программы для расчета двух и трех исходного события изображены на рисунке 4.1. и рисунке 4.2. соответственно.

Рисунок 4.1. Диалоговое окно программы для двух исходного события



Рисунок 4.2. Диалоговое окно программы для трех исходного события

Все значения должны быть представлены в числовой форме, при несоблюдении этого правила программа выдает сообщение об ошибке.

Примеры таких ситуаций представлены на рисунке 3.3. и рисунке 3.4.

Рисунок 4.3. Диалоговое окно "Ошибка ввода данных" для поля КОЭФФИЦИЕНТ.



Рисунок 4.4. Диалоговое окно "Ошибка ввода данных" для поля БАНК.

4.2 Листинг программы для расчета букмекерских "вилок"

Текст модуля формы

unit UnitMain;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, Menus, StdCtrls;

type

TMainForm = class(TForm)

MainMenu: TMainMenu;

DoubleIssue: TMenuItem;

TrippleIssue: TMenuItem;

Label1: TLabel;

EditBank: TEdit;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

LabelX: TLabel;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

EditCoef1: TEdit;

EditCoefX: TEdit;

EditCoef2: TEdit;

EditBet1: TEdit;

EditBetX: TEdit;

EditBet2: TEdit;

EditProfit1: TEdit;

EditProfitX: TEdit;

EditProfit2: TEdit;

LabelCalc: TLabel;

Label4: TLabel;

LabelMargin: TLabel;

procedure TrippleIssueClick(Sender: TObject);

procedure DoubleIssueClick(Sender: TObject);

procedure FormActivate(Sender: TObject);

procedure LabelCalcClick(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

MainForm: TMainForm;

implementation

uses Math;

var

IsDoubleForks: boolean; //указывает на выбранное количество исходов в расчете

{$R *.dfm}

procedure TMainForm.TrippleIssueClick(Sender: TObject);

begin

IsDoubleForks := False;

//изменяем видимость полей

LabelX.Visible := True;

EditCoefX.Visible := True;

EditBetX.Visible := True;

EditProfitX.Visible := True;

//обнуляем поля

EditBet1.Text := '';

EditBet2.Text := '';

EditBetX.Text := '';

EditProfit1.Text := '';

EditProfit2.Text := '';

EditProfitX.Text := '';

LabelMargin.Caption := '0%';

end;

procedure TMainForm.DoubleIssueClick(Sender: TObject);

begin

IsDoubleForks := True;

//изменяем видимость полей

LabelX.Visible := False;

EditCoefX.Visible := False;

EditBetX.Visible := False;

EditProfitX.Visible := False;

//обнуляем поля

EditBet1.Text := '';

EditBet2.Text := '';

EditBetX.Text := '';

EditProfit1.Text := '';

EditProfit2.Text := '';

EditProfitX.Text := '';

LabelMargin.Caption := '0%';

end;

procedure TMainForm.FormActivate(Sender: TObject);

begin

DoubleIssueClick(nil);

//значения по умолчанию

EditBank.Text := '100';

EditCoef1.Text := '1,00';

EditCoef2.Text := '1,00';

EditCoefX.Text := '1,00';

end;

procedure TMainForm.LabelCalcClick(Sender: TObject);

var

coef1: double;

coef2: double;

coefX: double;

bank: double;

bet1: double;

bet2: double;

betX: double;

betsum: double;

profit1: double;

begin

//проверка ввода валидных данных в поля банка и коэффициентов

try

bank := StrToFloat(EditBank.Text);

except

MessageBox(Handle ,'В поле "Банк" введены неверные данные!', 'Ошибка ввода данных', MB_OK);

Exit;

end;

try

begin

coef1 := StrToFloat(EditCoef1.Text);

coef2 := StrToFloat(EditCoef2.Text);

if (not IsDoubleForks) then

coefX := StrToFloat(EditCoefX.Text);

end;

except

MessageBox(Handle ,'В поле "Коэффициент" введены неверные данные!', 'Ошибка ввода данных', MB_OK);

Exit;

end;

//рассчет для двойного исхода

if (IsDoubleForks) then

begin

bet1 := Round((bank*coef2/(coef1+coef2))*100)/100;

EditBet1.Text := FloatToStr(bet1);

bet2 := Round((bank*coef1/(coef1+coef2))*100)/100;

EditBet2.Text := FloatToStr(bet2);

betsum := bet1 + bet2;

profit1 := coef1*bet1 - betsum;

EditProfit1.Text := FloatToStr(Round((profit1)*100)/100);

EditProfit2.Text := FloatToStr(Round((coef2*bet2 - betsum)*100)/100);

LabelMargin.Caption := FloatToStr(Round((100*profit1/bank)*100)/100) + '%';

end

else //рассчет для тройного исхода

begin

bet1 := Round((bank*coef2*coefX/(coef1*coef2+coef1*coefX+coef2*coefX))*100)/100;

EditBet1.Text := FloatToStr(bet1);

bet2 := Round((bank*coef1*coefX/(coef1*coef2+coef1*coefX+coef2*coefX))*100)/100;

EditBet2.Text := FloatToStr(bet2);

betX := Round((bank*coef1*coef2/(coef1*coef2+coef1*coefX+coef2*coefX))*100)/100;

EditBetX.Text := FloatToStr(betX);

betsum := bet1 + bet2 + betX;

profit1 := coef1*bet1 - betsum;

EditProfit1.Text := FloatToStr(Round((profit1)*100)/100);

EditProfit2.Text := FloatToStr(Round((coef2*bet2 - betsum)*100)/100);

EditProfitX.Text := FloatToStr(Round((coefX*betX - betsum)*100)/100);

LabelMargin.Caption := FloatToStr(Round((100*profit1/bank)*100)/100) + '%';

end;

end;

end.

4.3 Пример использования программы для расчета суммы ставки по методу "критерий Келли"

Необходимо разработать программу, которая по заданным критериям (коэффициент букмекера, сумма банка и оценка вероятности проходимости события) будет рассчитывать сумму, которую необходимо поставить для увеличения собственной прибыли.

Суть программы заключается в следующем:

Имеется какой-либо банк (денежная сумма) и коэффициент букмекера на спортивное событие, а также личностная вероятностная оценка этого события игроком, выраженная в процентах.

Необходимо ввести значение в поля ВАША ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ, КОЭФФИЦИЕНТ БУКМЕКЕРА И БАНК и нажать кнопку ВЫЧИСЛИТЬ. Программа рассчитает сумму ставки и выведет результат в поле СТАВКА ИГРОКА.

Диалоговое окно программы для расчета суммы ставки по методу "критерий Келли" изображено на рисунке 4.5.

Рисунок 4.5. Диалоговое окно программы при нажатии кнопки ВЫЧИСЛИТЬ

Значение, вводимое в поле ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ, должно лежать в пределах от 1 до 100. При несоблюдении этого критерия программа выдает сообщение об ошибке. Пример такой ситуации представлен на рисунке 4.6.



Рисунок 4.6. Диалоговое окно "Ошибка ввода данных" для поля ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ

При незаполнении полей КОЭФФИЦИЕНТ БУКМЕКЕРА и БАНК программа выдает ошибки ввода, представленные на рисунках 4.7 и 4.8 соответственно.

Рисунок 4.7. Диалоговое окно "Ошибка ввода данных" для поля КОЭФФИЦИЕНТ БУКМЕКЕРА



Рисунок 4.8. Диалоговое окно "Ошибка ввода данных" для поля БАНК

Если в результате вычисления суммой ставки окажется отрицательное число, то можно сделать вывод, что такая ставка не выгодна для игрока. Пример такого вычисления представлен на рисунке 4.9.

Рисунок 4.9. Диалоговое окно программы с отрицательным результатом вычислений

Результат нажатия кнопки СБРОС, обнуляющей значения всех полей представлен на рисунке 4.10.



Рисунок 4.9. Диалоговое окно программы при нажатии кнопки СБРОС

4.4 Листинг программы для расчета суммы ставки по методу "критерий Келли"

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls;

type

TForm1 = class(TForm)

Label1: TLabel;

Edit1: TEdit;

Label2: TLabel;

Edit2: TEdit;

Label3: TLabel;

Edit3: TEdit;

Button1: TButton;

Label4: TLabel;

Edit4: TEdit;

Button2: TButton;

procedure Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure Button2Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

if not(key in ['0'..'9',#8,'.']) then key:=#0;

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

Var k,c,b:real;

r,v:integer;

begin

Val(Edit1.Text,v,r);

if r<>0 then

Begin

ShowMessage('Некорректный ввод вероятности');

exit;

End;

if not (v in [1..100]) then

Begin

ShowMessage('Вероятность должна лежать в пределах [1..100]');

exit;

End;

Val(Edit2.Text,k,r);

if r<>0 then

Begin

ShowMessage('Некорректный ввод коэфициена букмекера');

exit;

End;

Val(Edit3.Text,b,r);

if r<>0 then

Begin

ShowMessage('Некорректный ввод банка игрока');

exit;

End;

c:=(k*(v/100)-1)/(k-1);

Edit4.Text:=FloatToStrF(c*b,ffFixed,12,4);

end;

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

Edit1.Text:='';

Edit2.Text:='';

Edit3.Text:='';

Edit4.Text:='';

end;

end.



Заключение

В данной работе были подробно разобраны арбитражные ситуации, они были доказаны и описаны с помощью простых линейных неравенств. Была рассказана суть букмекерских контор, принципы их работы. Была разобрана и математически обоснованна стратегия ставок с использованием критерия Келли. Были разработана программа в среде Delphi, которая считает прибыль вилки, также разработана еще одна программа в среде Delphi, рассчитывающая сумму ставки игрока при использовании критерия Келли.



Список использованной литературы

1. А. Изодин, И. Миклин, Букмекерство для начинающих, М.: Айрис-пресс, 2012.

2. О. Марьин, Арбитражные ситуации в букмекерских конторах, М.: Айрис-пресс, 2011.

3. Эдвард О. Торп, Критерий Келли в спортивных тотализаторах, 2010.

4. В.Е. Гмурман, Теория вероятностей и математическая статистика, М.: Высшее образование, 2009.

5. http://www.sportsarbitrageguide.com

6. http://www.livelines.ru

7. http://www.surebet-forum.com

8. http://www.betbrain.com

Размещено на Allbest.ru