318. Сёмкин Б.И., Селедец В.П., Борзова Л.М., Варченко Л.И., Майоров И.С., Горшков М.В. Методы сравнительного анализа компонентов биоразнообразия ботанических памятников природы // Бот. ж. 2010. №3. С. 408-421.

319. Слинченкова Е.Ф. Криофитно-степные сообщества среднего течения р. Амгуэмы (перешеек Чукотского полуострова) // Бот. ж. 1984. Т. 69. № 11. С. 1509-1519.

320. Смирнов В.С. Изменчивость биологических явлений и коэффициент вариации // Журн. общ. биол. 1971. Т. 32. № 2. С .152-161.

321. Снетков М.А., Вавилин В.А. Оценка степени загрязненности водоёмов по интегральным показателям качества воды // Научные основы контроля вод по гидробиологическим показателям. Л. Гидрометеоиздат, 1977. С. 65-78.

322. Сокал Р.Р. Кластер-анализ и классификация: предпосылки и основные направления // Классификация и кластер. Под ред. Дж. Вэн Райзина. М.: Мир, 1980. С. 7-19.

323. Соколова М.В. Количественные сравнения восьми конкретных флор Таймыра по их таксономической структуре (Арктическая Средняя Сибирь) // Бот. ж. 1984. Т. 69. № 6. С. 840-849.

324. Соломон Г. Зависящие от данных методы кластер-анализа // Классификация и кластер. Под ред. Дж. Вэн Райзина. М.: Мир, 1980. С. 129-148.

325. Сохранение и восстановление биоразнообразия / Колл. авторов. - М.: Научный и учебно-методический центр, 2002. - 286 с.

326. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Физматлит, 1959. - 468с.

327. Сукачёв В.Н. Руководство к исследованию типов лесов. - М.-Л.: Сельколхозгиз, 1931. - 328 с.

328. Суппес П., Зиннес Д. Основы теории измерений // Психологические измерения. М.: 1967. С. 9-110.

329. Суханов В.В. Модель распределения видового обилия на литорали островной гряды // Морская биогеография. Предмет, методы, принципы районирования. М.: Наука, 1982. С. 52-75.

330. Суханов В.В., Жуков В.Е. Оценивание видового богатства сообщества по его видовой структуре на примере макрофитов бухты Витязь Японского моря // Биология моря. 2010. Т.36. №3. С. 221-227.

331. Сэлтон Г.А. Автоматическая обработка, хранение и поиск информации. - М.: Сов. радио, 1973. - 560 с.

332. Тамарин П.В., Шмидт В.М. Сравнительный анализ некоторых коэффициентов сходства // Тр. Ленингр. общ-ва естествоиспытателей «Успехи биометрии». Л.: ЛГУ, 1975. С. 45-54.

333. Терентьев П.В. Дальнейшее развитие метода корреляционных плеяд // Применение математических методов в биологии. Т. 1. Л.: 1960. С 42-58.

334. Терентьев П.В. Математизация биологии // Тр. Ленингр. общ-ва естествоиспытателей «Успехи биометрии». Л.: ЛГУ, 1975. С. 5-8.

335. Терентьев П.В. Метод корреляционных плеяд // Вестн. ЛГУ. № 9. 1959. С. 35-43.

336. Толмачёв А.И. Введение в географию растений. - Л.: ЛГУ, 1974. - 244 с.

337. Толмачёв А.И. К методике сравнительно-флористических исследований. 1. Понятие о флоре в сравнительной флористике // Журн. Рус. бот. о-ва. 1931. Т. 16. № 1. С. 111-124.

338. Толмачёв А.И. Методы сравнительной флористики и проблемы флорогенеза. - Новосибирск: Наука, 1986. - 196 с.

339. Трасс Х.Х. Геоботаника. История и современные тенденции развития. - Л.: Наука, 1976. - 252 с.

340. Трасс Х.Х. Развитие количественно-статистических методов изучения растительного покрова // Бот. ж. 1971. Т. 56. №4. С. 457-464.

341. Уиттекер Р. Сообщества и экосистемы. - М.: Прогресс, 1980. - 327 с.

342. Уланова Н.Г. Математические методы в геоботанике. - M.: МГУ, 1995. - 109 с.

343. Урбах В.Ю. Биометрические методы. - М.: Наука, 1964. - 416 с.

344. Урбах В.Ю. Математическая статистика для биологов и медиков. - М.: Наука, 1963. - 324 с.

345. Усольцева Л.А. Моделирование растительности на картах с использованием средств автоматизации // Автореф. дисс. канд. геогр. наук. Институт геофизики АН СССР. - Киев: 1985. - 20 с.

346. Устинов В.А., Фелингер А.Ф. Историко-социальные исследования, ЭВМ и математика. - М.: Мысль, 1974. - 325 с.

347. Фёдоров В.Д. О методах изучения фитопланктона и его активности. - М.: МГУ, 1979. - 168 с.

348. Фёдоров В.Д., Гильманов Т.Г. Экология. - М.: МГУ, 1980. - 464 с.

349. Фёдоров В.В., Смирнов Н.А. Измерение экологического сходства // Изв. АН СССР. сер. биол. № 5. 1986. С. 762-772.

350. Федотенков А.В. Информационные основы сохранения биологического разнообразия на территориях проживания коренных малочисленных народов России // Автореф. канд. дисс. биол. наук. - Владивосток: 2005. - 26 с.

351. Филатова Л.Д. Использование мер включения для сравнения комплексов стафилинид в разных местообитаниях // Теоретико-графовые методы в биогеографических исследованиях. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1983. С. 66-77.

352. Филипченко Ю.А. Изменчивость и методы её изучения. - М.-Л.: Наука, 1929. - 275 с.

353. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. - М.-Л.: Гостехлит, 1947. - 680 с.

354. Фишер Р.А. Статистические методы для исследователей. - М.: Госсметиздат, 1958. - 286 с.

355. Фрей Т.Э.-А. Биоценометрия - область науки, нуждающаяся в определении // Количественные методы анализа растительности. Тарту: ТГУ, 1969. С. 95-97.

356. Фрей Т.Э.-А. Использование некоторых принципов техники факторного анализа при выделении классификационных единиц // Применение количественных методов при изучении структуры фитоценозов. М.: Наука, 1972. С. 11-16.

357. Фридланд В.М., Рожков В.А. Применение математических методов и ЭВМ для классификации почв // Геогр. сборник. № 5. М.: 1975. С. 336-369.

358. Харари Ф. Теория графов. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 296 с.

359. Харвей Д. Научное объяснение в географии. - М.: Прогресс, 1974. - 503 с.

360. Хеллоуэл Д.М. Сравнительный обзор методов анализа данных в биологическом надзоре // Научные основы контроля вод по гидробиологическим показателям. Л. Гидрометеоиздат, 1977. С. 108.

361. Хинчин А.Я. Цепные дроби. - М.: Физматлит, 1961. 112 с.

362. Хоментовский П.А. Насекомые ксилофаги хвойных пород Камчатки. - Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1983. - 176 с.

363. Хорева М.Г. Флора островов Северной Охотии. - Магадан: ИБПС ДВО РАН, 2003. - 173 с.

364. Цыбулин С.М. Зимне-весеннее население птиц некоторых ландшафтов Приобской лесосистемы // Проблемы зоогеографии и истории фауны. Новосибирск: Наука, 1980. С. 170-190.

365. Чернов Ю.И. О некоторых индексах, используемых при анализе структуры животного населения суши // Зоол. журн. Т. 50. вып. 7. 1971. С 1079-1091.

366. Чернов Ю.И. Природная зональность и животный мир суши. - М.: Мысль, 1975. - 224 с.

367. Чернышев В.Д. О спектральном диффузном отражении света хвои древесных видов Дальнего Востока // Физиология растений. Т. 20. вып. 2. 1973. С. 321-325.

368. Шадрина В.И. Пространственно-типологическая структура населения птиц Забайкалья // Размещение и численность позвоночных Сибири. Новосибирск: Наука, 1982. С. 206-211.

369. Шаткаускас А.В. Некоторые географические особенности восточноевропейских широколиственных лесов // Бот. ж. 1975. Т. 60. № 5. С. 646-662.

370. Шварц Г. Выборочный метод. Руководство по применению статистических методов оценивания. - М.: Статистика, 1978. - 213с.

371. Шеляг-Сосонко Ю.Р., Куковица Г.С. О степени сходства травостоя степных и лесных формаций Подолии // Количественные методы анализа растительности. Мат. 2-го Всесоюз. совещ.: Применение количественных методов при изучении структуры растительности. Тарту: ТГУ, 1969. С. 157-160.

372. Шенников А.П. Введение в геоботанику. - Л.: ЛГУ, 1964. - 447 с.

373. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. - М.: Иностранная литература, 1963. - 830 с.

374. Шитиков В.К., Розенберг Г.С., Зинченко Т.Д. Количественная гидроэкология. Методы, критерии, решения. - М.: Наука, 2005. Кн. 1. 281 с. Кн. 2. 337 с.

375. Шмальгаузен И.И. Определение основных понятий и методика исследования роста // Рост животных. М.-Л.: Биомедгиз, 1935. С. 8-60.

376. Шмидт В.М. Биометрический метод в ботанической систематике // Бот. журн. 1964. Т. 49. № 1. С. 315-324.

377. Шмидт В.М. Статистические методы в сравнительной флористике. - Л.: ЛГУ, 1980. - 176 с.

378. Шмидт В.М., Малышев А.Л. Информационные индексы сложности систематической структуры флор // Журн. общ. биол. 1983. Т. 44. N 1. С. 100-107.

379. Шокин Ю.И., Федотов А.М. Распределенные информационные системы // Вычислительные технологии. Т. 3. № 5. 1998. С. 79-93.

380. Шорыгин А.А. Питание, избирательная способность и пищевые взаимоотношения некоторых Gobiidae Каспийского моря // Зоол. журн. 1939. Т. 18. вып. 1. С. 27-51.

381. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. - М.: Мир, 1971. - 255 с.

382. Шрейдер Ю.А. Сложные системы и космологические принципы // Системные исследования. Ежегодник. 1975. М.: Наука, 1976. С. 149-171.

383. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. - М.: Наука, 1981. - 160 с.

384. Шульц М.М. Теоретико-множественная модель информационно-поисковой системы дескрипторного типа // Прикладная математика. М.: Наука, 1973. С. 377-381.

385. Элтон Ч. Экология животных. - М.-Л.: Биомедгиз, 1934. - 84 с.

386. Юзбашев М.М., Агапова Т.А. О показателях вариации долей отдельных групп совокупностей // Вестн. статистики. 1988. №3. С. 68-71.

387. Юрцев Б.А. Ботанико-географическая характеристика Южной Чукотки // Комаровские чтения. Вып. XXVI. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1978. С. 3-62.

388. Юрцев Б.А. Изучение и сохранение биологического разнообразия: вклад флористики // Мат. IV раб. совещ. по сравнительной флористике «Изучение биологического разнообразия методами сравнительной флористики»: Березинский биосферный заповедник. 1993: СПб: НИИХ СПбГУ, 1998. С. 14-34.

389. Юрцев Б.А. Изучение и сохранение биологического разнообразия и сравнительная флористика // Бот. ж. 1991. Т. 76. №3. С. 305-313.

390. Юрцев Б.А. Некоторые тенденции развития метода конкретных флор // Ботан. журн. 1975. Т. 60. №1. С. 69-83.

391. Юрцев Б.А. О количественной оценке «веса» видов при флористическом районировании // Бот. ж. 1983. Т. 68. № 9. С. 1145-1152.

392. Юрцев Б.А. Флора как базовое понятие флористики: содержание понятия, подходы к изучению // Мат. II раб. совещ. по сравнительной флористике «Теоретические и методические проблемы сравнительной флористики». Неринга. 1983. Л.: Наука. 1987. С. 13-28.

393. Юрцев Б.А. Флора как природная система // Бюлл. МОИП. отд. биол. 1982. Т. 87. вып. 4. С. 3-22.

394. Юрцев Б.А. Флора Сунтар-Хаята. - Л.: Наука, 1968. - 235 с.

395. Юрцев Б.А., Камелин Р.В. Основные термины и понятия флористики. - Пермь: 1991. - 80 с.

396. а Юрцев Б.А., Камелин Р.В. Очерк системы основных понятий флористики // Теоретические и методологические проблемы сравнительной флористики. Л.: Наука, 1987. С. 242-266.

397. б Юрцев Б.А., Камелин Р.В. Программа флористических исследований разной степени детальности // Мат. II раб. совещ. по сравнительной флористике «Теоретические и методические проблемы сравнительной флористики». Неринга. 1983. Л.: Наука. 1987. С. 219-242.

398. Юрцев Б.А., Секретарёва Н.А. Тнэквеемская чозениевая роща на севере Нижнеанадырской низменности // Эколого-ценотические и географические особенности растительности. М.: Наука, 1983. С. 232-248.

399. Юрцев Б.А., Сёмкин Б.И. Изучение конкретных и парциальных флор с помощью математических методов // Бот. ж. 1980. Т. 65. № 12. С. 1706-1718.

400. Юрцев Б.А., Абрамов Н.В., Кучеров И.Б., Ребристая О.В. II Школа-семинар по сравнительной флористике (11-15 сентября 2000 г., Национальный парк «Марий Чодра») // Бот. ж. 1999. Т. 84. № 1. С. 162-166.

401. а Ююкин Н.А., Сёмкин Б.И. Детерминированные и вероятностные аспекты метода разнообразий в исследовании зависимости явлений // Иерархические классификационные построения в географической экологии и систематике. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1979. С. 121-130.

402. б Ююкин Н.А., Сёмкин Б.И. Методологические аспекты исследования зависимости явлений при изучении слоистых систем // Системные исследовании в геологии. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1979. С .89-97.

403. Яблоков А.М. Изменчивость млекопитающих. - М.: Наука, 1966. - 364 с.

404. Яблоков А.М. Морфологическая изменчивость в популяциях млекопитающих // Итоги науки. Зоология. 1966. ВИНИТИ, 1968. С. 45-48.

405. Яглом А.М., Яглом И.М. Вероятность и информация. - М.: Наука, 1973. - 512 с.

406. Ярошенко П.Д. Геоботаника. Основные понятия, направления и методы. - М.-Л.: АН СССР, 1961. - 474 с.

407. Ярошенко П.Д. Основы учения о растительном покрове. 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Госгеографлит., 1953. - 351 с.

408. Agrell I. An objective method for characterization of animal and plant communities // K. fisiegr. Sдllsk. Lund Fцrh. 1945. V. 15. P. 63-67.

409. Aguilar D., Oliva B. Topological comparison of methods for predicting transcriptional cooperativity in yeast // BMC Genomics. 2008. № 9. P. 137.

410. Alatalo R.V. Problems in the measurement of evenness in ecology // Oikos. 1981. V.37, P. 199-204.

411. Ashmole N.P. The spider fauna of Shetland and its zoogeographic context // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. B (Biol. sci.). 1978. V. 78. pt. 1/2. P. 63-112.

412. Austin M.P. Models and analysis of descriptive vegetation data // Mathematical models in ecology. Oxford. 1972. P. 61-86.

413. Barkman J.J. Phytosociology and ecology of cryptogamic epiphytes, including a taxonomic survey and description of their vegetation units in Europe. - Assen. Van Gorcum. 1958. 628 p.

414. Baselga A., Jimйnez-Valverde A., Niccolini G. A multiple-site similarity measure independent of richness // Biol. Lett. 2007. № 3. P. 642-645.

415. Berger W.H., Parker F.L. Diversity of planktonic Foraminifera in deep sea sediments // Science. 1970. V. 168. P. 1345-1347.

416. Bertalanffy L. von. An Outline of General System Theory // British Journal for the Philosophy of Science. V. 1. 1950. P. 134-165.

417. Bisby F.A. The Quiet Revolution: Biodiversity Informatics and the Internet // Science. 2000. 289 (5488). P. 2309.

418. Bouxin G. Ordination and classification in the savanna vegetation of the Akagera Park (Ruanda, Central Africa) // Vegetatio. 1975. V. 25. №3. P. 155-167.

419. Braun-Blanquet J. Pflanzensoziologie Grundzьge der Vegetationskunde. - Berlin: Verlaq von Julius springer, 1928. - 330 s.

420. Braun-Blanquet J. Pflanzensoziologie Grundzьge der Vegetationskunde. - Wien: Springer-Verlag, 1951. - 631 p.

421. Braun-Blanquet J. Plant sociology: the study of plant communities. - N.Y.: McGraw-Hill Book Compane, 1932. - 439 p.

422. Bray J.R. A study of mutual occurrence of plant species // Ecology. 1956. V. 37. № 1. P. 21-28.

423. Bray J.R., Curtis J.T. An ordination of the upland forest communities of southern Wisconsin // Ecol. Monogr. 1957. V. 27. № 46. P. 325-349.

424. Bryant J.A., Lamanna C., Morlon H., Kerkhoff A.J., Enquist B.J., Green J.L. Microbes on mountainsides: Contrasting elevational patterns of bacterial and plant diversity // Proc Natl Acad Sci. USA. 2008 August 12; 105(Supplement_1): 11505-11511.

425. Cailleux A. Biogeographie mondiale. - Paris: Presses Universitares, 1953. - 128 p.

426. Cancella da Fonseca J.P. L'outie statistique en biologie du sol // V. Indices de diversite specifique. Rev. d'ecol et biol. du sol. 1969. V. 6. № 1. P. 1-30.

427. Candolle A. de. Gйographie botanique raisonnйe ou exposition des faits principaux et des lois concernant la distribution gйographique des plantes de l'йpoque actuelle. - Paris. V. Masson. Genиve. J. Kessman. 1855. V. 1. XXXII. 606 p., V. 2. P. 607-1365.

428. Cassagnan P. Йcological du sol dans les Pyrйnйcs centrales: Les bioжenoses de Collemboles. - Paris: Hermann, 1961. - 235 p.

429. Иeљka A. Application of association coefficients for estimating the mean similarity between sets of vegetational relevйs // Folia geobot. phytotax. Praha. V. 3. № 1. 1968. P. 57-64.

430. Иeљka A. Estimation of the mean floristic similarity between and within sets of vegetational releves // Folia geobot. phytotax. V. 1. № 2 (1-92). 1966. P. 93-100.

431. Chao A., Hwang W.H., Chen Y.C., Kuo C.Y. Estimating the number of shared species in two communities // Statistica Sinica. 2000. №10. P. 227-246.

432. Cheetham A.H., Deboo P.B. A numerical index for biostratigraphic zonation in the mid-tertiary of the eastern Gulf // Trans. Gulf. Coast Assoc. Geol. Soc. V. 13. 1963. P. 139-147.

433. Cheetam A.H., Hazel J.E. Binary (presence-absence) similarity coefficients // J. Paleontology, V. 43, № 5. 1969. P. 1130-1136.

434. Cheney D.T. (R+C)/P - a new and improved ratio for comparing seaweed floras // J. Phycol. 1977. V. 13. № 2. P. 12.

435. Clausen J.J. A phytosociological ordination of the conifer swaps of Wisconsin // Ecology. 1957. Col. 38. № 4. P. 638-646.

436. Clevardon C.W. The testing of index Language Devices // Aslib Proceedings. 1963. V. 15. № 4. P. 106-130.

437. Conant R.C. Measuring the strength of intervariable relations // Kybernetes. 1973. V. 2. P. 47-52.

438. Crovello T.J. Analysis of character variation in ecology and systematics // Ann. Rev. Ecol. and Syst. 1970. V. 58. P. 55-98.

439. Culberson W.L. 1955. The corticolous communities of lichens and bryophytes in the upland forests of northern Wisconsin // Ecol. Monogr. V. 25. № 2. P. 215-231.

440. Czekanowski J. «Coefficient of racial likeness» auf durchchnittliche Differenz // Anropol. Anz. 1932. Bd. 9. S. 227-249.

441. Czekanowski J. Zur differential Diagnose der Neandertalgruppe // Korrespbl. Dtsch. Ges. Anthropol. 1909. Bd 40. S. 44-47.

442. Dagnelie P. Contribution а ѕйtude des communautйs vйgйtales par ѕanalyse factorielle // Bull. Serv. Carte phytogeograph. ser. B. № 5. 1960. P. 7-71, 93-195.

443. Dahl E.R. Mountain vegetation in South Norway and its relation to the environment // Skr. norskevid.-akad. math.-naturw. Kl. 1957. Bd. 3. S. 1-374.

444. Dale M.B. On property structure, numerical taxonomy and data handing // Modern methods in plant taxonomy. London: Academic Press, 1970. P. 185-197.

445. Dice L.R. Measures of the amount of ecological association between species // Ecology. 1945. V. 26. № 3. P. 297-302.

446. Digby P.Y.N., Kempton R.A. Multivariate analysis of ecological communities. - London, N.-Y.: Chapman and Hall, 1987. - 208 p.

447. Dirzo R., Loreau M. Biodiversity Science Evolves // Science. 2005. 310 (5750). P. 943.

448. Diserud O.H., Шdegaard F. A multiple-site similarity measure // Biol. Lett. 2007. № 3. P. 20-22.

449. Druehl L.D. Geographical distribution // The biology of seaweeds. Botanical monographs. Blackweel. 1981. 786 p.

450. Dzwonko Z. Application of Jaccard`s and Sшrensen`s formulas in numerical comparison and classification of phytosociological records // Zexz. nauk. UJ. 1978. № 493. P. 23-28.

451. Edwards J.L., Lane M.A., Nielsen E.S. Interoperability of Biodiversity Databases: Biodiversity Information on Every Desktop // Science. 2000. 289 (5488). P. 2312.

452. Ellenberg H. Aufgaben und Methoden der Vegetationskunde // Einfьhrung in die Phytologie; by H. Walter, V. 4. Part I. 1956. Ulmer, Stuttgart. 136 p.

453. Fager E.W. Determination and analysis of recurrent groups // Ecology. 1957. V. 38. № 4. P. 586-595.

454. Fager E.W. Diversity: A sampling study // Amer. Natur. 1972. V. 106. № 949. P. 293-310.

455. Faliсsky J. Zastowanie taksonomii wroctawakiej do fitosocjologii // Acta Soc. bot. Polon. 1960. T. 29. № 3. S. 333-361.

456. Feldman J. Recherches sur la vegetation marine de la Mediterranee. La cote des Alberes // Rev. Algol. 1937. V. 10. P. 1-339.

457. Florek K., Lukaszewicz S., Percal S., Steinhaus H., Zubrzycki S. Taksonomia Wroclawska // Przegl. antropol. 1951. T. 17. S. 193-211.

458. Frosini B.V. Descriptive measures of ecological diversity // In «Environmetrics», A.H. El-Shaarawi e J. Jureckova (Eds.), Encyclopedia of Life Support Systems, EOLSS Publishers, Oxfords, UK. 2003. P. 21. Режим доступа: http://www.eolss.net/ebooks/Sample Chapters/C02/E4-26-01-01.pdf.

459. Godron M. Quelques applications de la notion de frйqence en йcologie vйgйtale // Oecol. Plant. 1968. V. 3. № 3. P. 185-212.

460. Goldberg D.S., Roth F.P. Assessing experimentally derived interactions in a small world // Proc Natl Acad Sci USA. 2003 April 15; 100(8): 4372-4376.

461. Goldsmith F.B., Harrison C.M. Description and analysis of vegetation // Methods in plant ecology. Oxford-London-Edinburgh-Melbourne: Blacwell Scientific Publications, 1976. P. 85-155.

462. Golf G., Gottam G. Gradient analysis: The use of species and synthetic indices // Ecology. V. 48. № 5. 1967. P. 793-806.

463. Goodall D.W. Objective methods for the classification of vegetation. III. An essay in the use of factor analysis // Austral. J. Bot. 1954. V. 2. P. 304-324.

464. Goodall D.W. Sample similarity and species correlation // Handbook of Vegetation science. Part 5. Ordination and classification of vegetation. The Hague, 1973. P. 107-156.

465. Goodall D.W. Statistical plant ecology // Ann. Rev. Ecol. and Syst. 1970. V. 1. P. 99-124.

466. Gounot M. Mйthodes d`etude a quantitative de la vegetation. - Paris. 1969. - 314 p.

467. Greig-Smith P. Quantitative Plant Ecology. - London: Butterworths, 1957. - 198 p.

468. Greig-Smith P. Quantitative plant ecology. 2nd Ed. - London: Butterworths, 1964. - 242 p.

469. Greig-Smith P. Quantitative plant ecology. 3nd Ed. - London: Butterworths, 1983. - 359 p.

470. Hacker H.P. On the distribution of anophelines in the Brickfields Road area of Kuala Lumpur. November 1917 // Rept. Federat. Malay States Bur. 1921. V. 2. № 1. P. 3-28.

471. Hagmeier E.M. A numerical analysis of the distribution patterns of North American mammals. II. Re-evaluation of the provinces // Syst. Zool. 1966. V. 15. № 4. P. 279-299.

472. Hagmeier E.M., Stults C.D. A numerical analysis of the distributional patterns of North American mammals // Syst. Zoology. 1964. V. 13. № 3. P. 125-155.

473. Harper R.M. Vegetation types in Florida // Geol. Surv. 7^th Ann. Rept. 1915. P. 135-188.

474. Hawksworth F.G., Estabrook G.F., Rogers D.J. Application of an information theory model for character analysis in the genus Arcenthobium (Viscaceae) // Taxon. 1968. V. 17. № 6. P. 605-619.

475. Heip C. A new index measuring evenness // J. mar. biol. Ass. U.K. 1974. V 54. P. 555-557.

476. Hill M.O. Diversity and evenness: A unifying notation and its consequence // Ecology. 1973. V. 54. №2. P. 427-432.

477. Hurlbert S.H. The nonconcept of species diversity: a critique and alternative parameters // Ecology. V. 52. №4. P. 577-586.

478. Hutchinson G.E. Concluding remarks // Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. 1957. V. 22. P. 415-427.

479. Hutchinson G.E. The niche. An abstractly inhabited hyper-volume // The ecological theater and the evolutionary play. New Haven: 1965. P. 26-78.

480. Iversen J. Ьber die Korrelationen zwischen den Pflanzenarten in einem grцnlandischen Talgebiet // Vegetation. 1954. V. 5-6. P. 238-246.

481. Jaccard P. Die statistische-floristische Methode als Grundlage der Pflanzensociologie // Handb. Biol. Arbetsmenth. (Aberhalden). 1928. V. 11. № 5. P. 165-202.

482. Jaccard P. Distribution de la flore alpine dans le Bassin des Dranses et dans quelques regions voisines // Bull. Soc. Vaudoise sci. Natur. 1901. V. 37. Bd. 140. S. 241-272.

483. Jaccard P. Gezetre der Pflanzenvertheilung in der alpinen Region. Auf Grund statistisch-floristischer Untersuchungen // Flora. 1902. Bd. 90. S. 351-377.

484. Jaccard P. Nouvelles recherches sur la distribution florale // Bull. Soc. Vaudoise sci. Natur. 1908. V. 44. Bd. 140. S. 223-270.

485. Jaccard P. The distribution of the flora in the alpine zone // New Phytol. 1912. V. 11. P. 37-50.

486. Janssen J.G.M. A simple clustering procedure for preliminary classification of very large sets of phytosociological relevйs // Vegetatio. 1975. V. 30. №1. P. 67-71.

487. Jardine N., Sibson R. Mathematical taxonomy. - N.-Y.: Wiley, 1971. - 286 p.

488. Juhбsz-Nagy P. On association among plant populations. I. Multiple and partial association: a new approach // Acta biologica Debrecina. V. 5. 1967. P. 43-56.

489. Kershaw K.A. Quantitative and dynamics plant ecology. - London: Arnold, 1964. - 183 p.

490. Kershaw K.A., Looney J.H.H. Quantitative and dynamics plant ecology. 3 ed. - London: Arnold, 1985. - 282 p.

491. Koch L.F. Index of biotal dispersity // Ecology. 1957. V. 38. № 1. P. 145-148.

492. Koleff P., Gaston K.J., Lennon J.J. Measuring beta diversity for presence-absence data // J. of Animal Ecology. 2003. V. 72. P. 367-382.

493. Kowal T. Zasady i przyktady systematyki roњlin metoda dendritowa // Prace Wroctawask towazz. Nauk. 1965. B. № 117. 67 s.

494. Kulczinsky S. Zespoly rуslin w Pienach // Bull. intern. acad. polon. sci. lett. Cl. sci. math. natur. Ser. B. 1927. S. 2. P. 57-203.

495. Lambert J.M., Dale M.B. The use of statistics in phytosociology // Advences in ecological research. L: N.Y. 1964. V. 2. P. 59-99.

496. Lance G. N., Willams W. T. A general theory of classification sorting strategies. 1. Hierarchical systems // Comp. J. 1967. № 9. P. 373-380.

497. Legendre L., Legendre P. Numerical ecology. - Amsterdam: Elsevier, 1983. - 853 p.

498. Lennon J.J., Koleff P., Greenwood J.J.D., Gaston K.J. The geographical structure of British bird distributions: diversity, spatial turnover and scale // J. of Animal Ecology. 2001. V. 70. P. 966-979.

499. Levandowsky M., Winter D. Distance between sets // Nature. V. 234. № 5323. 1971. P. 34-35.

500. Long Ch.A. Mathematical formulas expressing faunal resemblance // Trans. Kansas Acad. Sci. 1963. V. 66. P. 138-146.

501. Loreau M., Naeem S., Inchausti P., Bengtsson J., Grime J.P., Hector A., Hooper D.U., Huston M.A., Raffaelli D., Schmid B., Tilman D., Wardle D.A. Biodiversity and ecosystem functioning: current knowledge and future challenges // Science. 2001. 294 (5543). P. 804.

502. MacArthur R.H. Fluctuations of animal populations, and measure of community stability // Ecology. 1955. V. 36. № 7. P. 353-356.

503. Maddocks R.F. Distribution patterns of living and subfossil podocopid ostracodes in the Nosy Bй area, northern Madagascar. - Univ. Kansas Paleont. Contr., 1966. - 72 p.

504. Magurran, A.E. Ecological diversity and its measurement. - New Jersey: Princeton University Press, 1988. - 179 p.

505. Magurran, A.E. Measuring biological diversity. - Oxford, UK.: Blackwell Publishing, 2004. - 256 p.

506. May R.M. Patterns of species abundance and diversity // In: Ecology and evolution of communities. Cambridge: Harvard University Press, 1975. P. 197-227.

507. Malde K., Jonassen I. Repeats and EST analysis for new organisms // BMC Genomics. 2008. № 9. P. 23.

508. Marczeqski E., Steinhaus H. 1958. On a certain distance of sets and the corresponding distance of functions // Coll. Math. V. 6. P. 319-327.

509. Matuszkiliewicz W., Polakowska M. Materially do fitosocjologicznej sistematyki borrow milszanych w Polsce // Acta soc. bot. Polon. 1955. T. 24. № 2. S. 421-458.

510. Mauchline J. Assessing similarity between samples of plankton // J. Mar. Biol. Assoc. India. 1972. V. 14. № 1. P. 26-41.

511. Mello J.F., Buzas M.A. 1968. An application of cluster analysis as a method of determining biofacies // J. Paleont. V. 42. № 3. P. 747-758.

512. Molinari J.A. Calibrated index for the measurement of evenness // Oikos. 1989. V.56. P.319-326.

513. Monod T. Sur un cas exceptionnel de richesse areale: le sables de la Mauritanie orientale // Rec. Trav. Univ. Montpellier, Ser. Bot. 1955. №7. P. 63-67.

514. Mueller-Dombois D., Ellenberg H. Aims and methods of vegetation ecology. - N.-Y.: Willey and Sons, 1974. - 547 p.

515. Nakahama H., Nishioka S. Statistical dependency between intervals in neuronal impulse sequences // J. Theoret. Biol. 1966. V. 12. № 1. P. 140-146.

516. Nakahama H., Nishioka S., Otsuka T., Aikawa S. Statistical dependency between interspike intervals of spontaneous activity in thalamic lemniscal neurons // J. Neurophysiol. 1966. V. 29. № 5. P. 291-934.

517. Ochiai A. Zoogeographical studies on the soleoid fishes found Japan and its neighboring regions. II // Bull. Jap. Soc. sci. Fish. 1957. V. 22. № 9. P. 526-530.

518. Odum E.P. Bird populations of the Highlands (North Carolina) Plateau in relation to plant succession and avian invasion // Ecology. 1950. V. 31. № 4. P. 587-605.

519. Oltz D.F. Numerical analyses of palynological data from Creaceous and Early Tertiary Sediments in east central Montana // Paleobiographica. 1969. Bd. 128 B. № 3-6. P. 90-166.

520. Oosting H.J. The study of plant communities. - San Francisco: W.H. Freeman and Co., 1953. - 143 p.

521. Orloci L. Multivariate analysis in vegetation research. - Boston: The Hague, 1975. - 276 p.

522. Orloci L. Multivariate analysis in vegetation research. 2 ed. - Boston: The Hague, 1978. - 451 p.

523. Patil G.P., Taillie C. An overview of diversity // In: Ecological diversity in theory and practice. - Burtonsville: International Co-operative Publishing House, 1979. P. 3-27.

524. Peters J.A. A computer program for calculating degree of biogeographical resemblance between areas // Syst. Zoology. 1968. V. 17. № 1. P. 64-69.

525. Pielou E.C. Ecological diversity. - N.-Y.: Wiley-Interscience, 1975. - 166 p.

526. Pielou E.C. An introduction to mathematical ecology. - N.-Y.: Wiley-Interscience, 1969. - 286 p.

527. Pielou E.C. Mathematical ecology. 2 ed. - N.-Y.-Chichester-Brisbane-Toronto: Willey-Interscience Publication, J. Wiley and Sons, 1977. - 385 p.

528. а Raijski C. A metric space of discrete probability distributions // Information and Control. 1961. V. 4. № 4. P. 371-377.

529. б Raijski C. Entropy and metric spaces // C. Cherry (ed.). Information Theory. London: Butterworths, 1961. P. 41-45.

530. Шehak R.P., Шehakova B. Mмrмne statisicka zбvilosti nominбlnich znaki // Sociologicky Иasopis. 1973. № 4. S. 404-417.

531. Ramsay D.M. 1964. Some recent work on savanna vegetation-sail relationships // Proc. 1^st, Nigerian For. Conf., Kaduna. P. 156-159.

532. Redfearn J. OECD to Set Up Global Facility on Biodiversity // Science. 1999. 285 (5424). P. 22.

533. Renkonen O. Statististisch-цkologische Untersuchungen ьber die terrestrische Kдferwelt finischen Bruchmoore // Acta zool. Soc. zool.-bot. fenn. «Vanamo». 1938. V. 6. fasc. 1. P. 1-231.

534. Rйnyi A. (1961) Om the measures of entropy and information // Proceedings of the 4th Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and Probability. 1960. P. 547-561.

535. Romaniszyn W. An attempt at interpreting agglomerative tendencies of animals based on definition of similarity and distance // Wiad. Ekol. 1970. Bd. XVI. zes. 4. S. 306-327.

536. Roux G., Roux M. A propos du quelques mйthodes de classiffication en phytosociologie // Rev. statist. appl. 1967. V. 15. № 2. P. 59-72.

537. Ruћiиka M.K. Anwendung mathematiseh-statistiseher Methoden in der Geobotanik (sintetischa Bearbeitung von Aufnahmen) // Biologia. 1958. Roи. 13. и. 9. S. 647-661.

538. Ruћiиka M.K. Motykovej (Czekanowskйno) metode v geobotanike // Biologia. 1953. Roи. 8. и. 1. S. 17-25.

539. Savage J.M. Evolution of a peninsular herpetofauna // Syst. Zoology. 1960. V. 9. P. 184-212.

540. Segawa S. Colour illustrations of the seaweeds of Japan. - Osaka: 1962. - 175 p.

541. Semkin B.I., Gorshkov M.V., Varchenko L.I. Multiyears and seasonal changing of water containing in annual sprouts of wood plants in temperate climatic zone // Proceedings from International conference: Ecology and diversity of forest ecosystems in the Asiatic part of Russia. Kostelec nad Иernэmi lesy, Czech Republic, 2009. P. 85-91.

542. Sepkovski J.J. Quantified coefficients of association and measurement of similarity // J. Int. Ass. Math. 1974. V. 6. № 2. P. 135-152.

543. а Shannon C. A mathematical theory of communication // Bell System Tech. J. 27. 1948. №3. P. 379-423.

544. б Shannon C. A mathematical theory of communication // Bell System. Tech. J. V. 27. 1948. № 3. P. 379-423, № 4, P. 623-656.

545. Shannon C., Weaver W. The mathematical theory of communication. - Urban: University of Illinois Press, 1949. - 345 p.

546. Sheldon A.L. Equitability indices: dependence on the species count // Ecology. 1969. P. 466-467.

547. Simpson G.G. Holarctic mammalian faunas and continental relationship during the Cenozoic // Bull. Geol. Sci. America. 1947. V. 58. P. 613-688.

548. Simpson G.G. Mammals and nature of continents // Amer. J. Sci. 1943. V. 241. № 1. P. 1-31.

549. Simpson G.G. Notes on the measurement of faunal resemblance // Amer. J. Sci. 1960. V. 258A. P. 300-311.

550. Sneath P.H.A., Sokal R.R. Numerical taxonomy: The principles and practices of numerical classification. - San-Francisco: Freeman, 1973. - 573 p.

551. Snedecor G.W., Cochran W.G. Statistical methods. 8 th ed. - Ames. Iowa.: Iowa Univ. Press, 1989. - 503 p.

552. Snitkin E.S., Gustafson A.M., Mellor J., Wu J., DeLisi C. Comparative assessment of performance and genome dependence among phylogenetic profiling methods // BMC Bioinformatics. 2006. № 7. P. 420.

553. Sokal R.R., Sneath P.H.A. Principles of numerical taxonomy. - San Francisco: London: Freeman, 1963. - 359 p.

554. Sцrensen T. A method of establishing groups of equal amplitude in plant sociology based on similarity of species content // Kongelige Danske Videnskabernes Selskab. Biol. krifter. Bd V. № 4. 1948. P. 1-34.

555. Stephenson W., Williams W.T., Lance G.N. Numerical approaches to the relationships of certain American swimming crabs (Crustacea : Poetunidea) // Proc. U.S. Natl. Mus. 1968. V. 124. P. 1-25.

556. Stugren B., Radulescu M. Metode matematice in zoogeografia regionala // Stud. biol. 1961. T. 12. № 1. P. 8-24.

557. Szafer W. Ogolna geographia roslin. - Warsawa: 1964. - 433 s.

558. Szymkiewicz D. Une contribution statistique a la gйographie floristique // Acta Soc. Bot. Polon. 1934. T. 34. № 3. P. 249-265.

559. Tamura S., Hiquchi S., Tanaka K. Pattern classification based on fuzzy relation // IEEE transaction on systems, man, and cybernetics, 1971, SMC 1, № 1, P. 61-67.

560. Tanimoto T.T. IBM Internal Report 17th Nov. 1957.

561. Townsend C.R., Hildrew A.G. Resource partitioning by two freshwater invertebrate predators with contrasting foraging strategies // J. of Animal Ecology. 1979. V. 48, № 3. P. 909-920.

562. Urbani C.B., Collingwood C.A. A numerical analysis of the distribution of British Formicidae (Hymenoptera, Aculeata) // Vreh. Naturforsch. Ges. Basel. 1976. Bd 85. № 1/2. P. 51-91.

563. Valentine J.W. 1966. Numerical analysis of marine molluscan ranges on the extratropical Northeastern Pacific Shelf // Limnology and Oceanography, V. 11. № 2. P. 198-211.

564. Venn J. Symbolic Logic. 2nd. ed. Reprint of the 1894 ed. - N.-Y.: Chelsea Pub. Co., 1971. - 498 p.

565. Wolda H. Similarity Indices, Sample Size and Diversity // OecoIogia (Berl). 1981. №50. P. 296-302.

566. Ward J.H. Hierarchical grouping to optimize an objective function. - J. of the American Statistical Association, 1963. - 236 р.

567. Weirauch M.T., Wong C.K., Byrne A.B., Stuart J.M. Information-based methods for predicting gene function from systematic gene knock-downs // BMC Bioinformatics. 2008. № 9. P. 463.

568. Wiener N. Cybernetics or control and communication in the animal and mashine. N.Y.: Wiley and sons, Paris: Hermann et cie., 1948. - 194 p.

569. Williams W.T., Dale M.B. Fundamental problems in numerical taxonomy // Adv. Bot. Res. 1965. V. 2. P. 35-68.

570. Williams W.T., Lance G.N. Logic of computer-based intrinsic classifications // Nature. 1965. V. 207. № 4993. P. 159-161.

571. Wishart D. An algorithm for hierarchical classifications // Biometrics, 1969, V. 25, №1. P. 165-170.

572. Whittaker R.H. Evolution and measurement of species diversity // Taxon. 1972. №2. P. 213-251.

573. Whittaker R.H. A study of summer foliage insect communities in the Great Smoky Mountains // Ecol. Monogr. 1952. V. 22. № 1. P. 1-44.

574. Whittaker R.H. Communities and ecosystems. - N-Y.: London: Macmillan., 1970. - 162 p.

575. Whittaker R.H. Gradient analysis of vegetation // Bot. Rev. 1967. V. 42. P. 207-264.

576. Whittaker R.H., Fairbanks C.W. A study of plankton copepod communities in the Columbia Basin, Southeastern Washington // Ecology. 1958. V. 39. № 1. P. 46-65.

577. Whittington H.B., Hughes C.P. Ordovican geography and faunal provinces deduced from trilobite distribution // Phil. Trans. Roy. London, ser. B. 1972. V. 263. № 850. P. 235-278.

578. Yasuichi H. A note entropic metrics // Information and Control. 1973. V. 22. № 4. P. 403-404.

579. Yule G.U. The statistical study of literary vocabulary. - London: Cambridge Univ. Press, 1944. - 306 p.

580. Zakharov Y.D. The importance of paleobiogeographical data for the solution of the problem on the Lower Triassic division. // Schriftenreihe Erdwiss. Komm. Цsterr. Akad. Wiss., 1974. Bd. 2, Wien-New York, S. 237-243.

581. Zangerl A.R., Bazzar F.A. Responses of an early and late successional species of Polygonum to variations in resource availability // Oecologia. 1983. V. 56. № 2-3. P. 397-404.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А. Математические основания теории мер близости

А.1 Аксиоматический подход к введению мер. Теория S-функций

Истоки аксиоматического подхода можно найти в попытках количественной оценки сходства описаний и серий описаний растительного покрова, а также в использовании для этих целей различных коэффициентов и индексов. Для того чтобы сформулировать систему аксиом необходимо выполнить ряд методологических процедур:

1. Провести экспликацию понятия «описание» в виде математического объекта - конечного множества, дескриптивного множества (набора) или других и определить на этих объектах отношения и алгебраические операции.

2. Провести анализ свойств различных коэффициентов и индексов, оценивающих сходство объектов для целей определения аксиом.

3. Провести формальную (математическую) запись выделенных свойств в виде системы аксиом.

4. Рассмотреть примеры использования абстрактных (математических) мер сходства для решения конкретных практических задач.

5. Проверить систему аксиом на непротиворечивость и независимость.

Традиционный подход к изучению отношений сходства в биологических науках состоит в том, чтобы сначала определить меры сходства, а затем исследовать взаимное расположение сходных объектов (Шрейдер, 1971; 1976). Для того чтобы ввести меры, измеряющие различные отношения, необходимо формально определить объекты, установить операции и отношения на них. Меры сходства, различия, включения определяются на формальных объектах (конечных множествах и дескриптивных наборах). Понятие «дескриптивный набор», отношения и операции пересечения и объединения двух и более наборов, а также различные меры на дескриптивных наборах широко используются в сравнительной флористике, геоботанике и экологии благодаря работам Б.И. Сёмкина (Сёмкин, 1973 а; 2007; 2008; Сёмкин, Горшков, 2008; Сёмкин, Горшков, 2009 а).

Проблема сравнительного анализа объектов, экспликацей которых являются дескриптивные наборы, состоит в том, что отношения на этих объектах частичные и нетранзитивные, т.е. не все объекты сравнимы и из сравнимости каждого из двух объектов с третьим ещё не следует их сравнимость между собой (нетранзитивность). В связи с этим приходится измерять степень сравнимости двух объектов и определять «наиболее сильные» связи для анализа взаимного расположения совокупности объектов. Для этих целей используется аксиоматический подход к введению первичных абстрактных понятий и разработка систем аксиом различных мер на совокупности первичных объектов. С помощью мер и задания пороговых величин строятся различные нетранзитивные (или даже транзитивные) отношения, содержательно интерпретируемые как эмпирические закономерности.

История сравнительного метода, использующего различные эмпирические показатели сходства для биологических объектов (описаний сообществ, списков видов флор и фаун), показывает насколько трудно отделить арифметические операции и отношения от конкретных естественных структур. Например, с точки зрения логики существует только одна абстрактная (математическая) мера сходства, а не отдельный коэффициент сходства на каждый случай (например, «коэффициент демографического сходства», «коэффициент биомассы и энергетического сходства населения» и т.д. (Константинов, 1969), «индекс биотической дисперсии» (Koch, 1957), «мера гетеротопности» и ряд других (Миркин, Розенберг, Наумова, 1989)).

Следовательно, чтобы использовать сравнительные методы для различных практических ситуаций необходимо выделить математические структуры, установить на них отношения и операции, определить меры сходства посредством системы аксиом. Это позволит «оторвать» измерение сходства и различия от конкретных естественных объектов, что необходимо для создания общей теоретической основы сравнительного анализа.

В настоящее время в биологии и социально-экономических науках используются различные коэффициенты, меры и индексы для измерения отношений сходства, различия, совместимости и зависимости. Для упорядочивания совокупности указанных коэффициентов и мер предлагались различные системы аксиом (Воронин, 1971; 1991; Раушенбах, 1985; Викентьев, Лбов, 1981; Викентьев, Лбов, 1998), позволяющие обосновать для использования только один индекс или меру. Интересны также работы по формальному обоснованию географии и ландшафтоведения (Харвей, 1974; Нееф, 1974). Обобщая накопленный опыт по решению указанной проблемы, были разработаны теоретические основания введения мер близости, используемых в экологии и других смежных областях (Сёмкин, 1987 а; Сёмкин, Горшков, 2008; Сёмкин, Горшков, 2009а).

В основе данной теории лежит аксиоматической подход (Сёмкин, 1972 а, б) на основе системы субаддитивных симметричных функций (Сёмкин, 1987 а; Сёмкин, Горшков, 2008). Нами вводятся субаддитивные симметричные функции с целью разработки общего подхода к введению мер, измеряющих отношения сходства, различия, совместимости и зависимости (Сёмкин, Горшков, 2008). Свойства этих функций совпадают с некоторыми из свойств информационных функций.

Строгое определение субаддитивных симметричных функций (обозначим их через S) вводим посредством следующей системы аксиом.

Определение 1. Пусть E - произвольное множество. Функция S есть отображение произведения EЧE в множество R действительных чисел, обладающее следующими свойствами (аксиомами):

I. (неотрицательность);

II. (симметричность);

III. («целое больше части»);

IV. (субаддитивность).

Посредством функции S вводятся меры дивергенции и конвергенции.

А.1.1 Дивергенция и конвергенция

Исходя из III-й аксиомы, определим неотрицательную функцию, которую назовём односторонней дивергенцией.

Определение 2. Функция

(1)

называется односторонней дивергенцией элемента x от y. Из аксиом (I) и (II) следуют следующие свойства односторонней дивергенции:

, .

Меняя местами элементы x и y в аксиоме (III) и используя аксиому (II), получим направленную дивергенцию элемента y от x:

(2)

Сумма двух односторонних дивергенций (1) и (2) называется двухсторонней дивергенцией или просто дивергенцией.

Определение 3. Функция

(3)

называется дивергенцией элементов x и y. Подставляя выражения (1) и (2) в (3) получим:

(4)

Аксиома (IV) позволяет ввести также неотрицательную функцию, которую мы назовём конвергенцией.

Определение 4. Функция

(5)

называется конвергенцией двух элементов x и y.

Из аксиомы (IV) следует свойство неотрицательности функции (5), т.е. . Очевидны также следующие свойства этой функции:

,

.

В дальнейшем, для краткости записи будем использовать следующие обозначения:

,

,

,

,

,

,

.

Соотношения между дивергенциями и конвергенциями можно наглядно изобразить в виде простой схемы (рис. 1А).

Рис. 1А. Графическое изображение дивергенций и конвергенций

Используя приведённую схему, можно проверить следующие соотношения между дивергенциями и конвергенциями и функцией :

,

,

.

Рассмотрим нормированные дивергенции и конвергенции, значения которых заключены в интервале [0, 1].

Определение 5. Функция называется относительной направленной дивергенцией элемента x от y, если она обладает следующими свойствами:

1. ; (6)

2. ; (7)

3. ; (8)

Символ читается как «тогда и только тогда когда» (эквиваленция). Например, указанным свойствам удовлетворяет функция

.

Перестановкой элементов x и y определяется относительная дивергенция y от x. Относительная направленная конвергенция определяется как двойственная функция относительной направленной дивергенции.

Определение 6. Функция

(9)

называется относительной направленной конвергенцией элемента x от у.

Очевидны следующие свойства относительной направленной конвергенции :

1. ; (10)

2. ; (11)

3. . (12)

Определение 7. Функция называется относительной дивергенцией элементов x и y, если справедливы следующие свойства:

1. ; (13)

2. ; (14)

3. ; (15)

4. . (16)

Относительная конвергенция определяется как функция, дополняющая до единицы относительную дивергенцию.

Определение 8. Функция

(17)

называется относительной конвергенцией x и у.

А.1.2 Метрические относительные симметричные субаддитивные функции

Совокупность S-функций можно сузить, наложив на них некоторые ограничения.

Определение 9. S-функции удовлетворяющие кроме аксиом (I-IV) ещё аксиоме:

V. , (18)

называются метрическими.

Некоторые дивергенции и относительные дивергенции удовлетворяют аксиомам расстояния.

Определение 10. Пусть Е - некоторое множество. Расстояние в Е есть отображение d произведения ЕЕ в множество R действительных чисел, обладающее следующими свойствами:

I. ; (19)

II. ; (20)

III. (симметричность); (21)

IV. (неравенство треугольника); (22)

V. . (23)

Если не выполняется аксиома (V), то в этом случае функция называется квазирасстоянием.

А.1.3 Семейство относительных мер конвергенций

Одним из общих способов получения относительных конвергенций является метод симметризации относительных направленных конвергенций (Сёмкин, 2009). Симметризацию будем производить путём взятия степенного среднего из двух относительных направленных конвергенций (Сёмкин, 1979; 1987б).

Приведём самые распространённые формулы для получения степенных мер (см. например, Джини, 1970). Общая формула нахождения средней степенной:

.

При з = - 1 получаем среднюю гармоническую, при з = 0 - среднюю геометрическую (в итоге получаем неопределённость, раскрывается с помощью известного в математике правила Лопиталя (см. например, Джини, 1970)). При з = 1 - средняя арифметическая, а при з = 2 - средняя квадратическая. В результате осреднения получим множество относительных конвергенций, упорядоченных двумя параметрами (ф и з):

, (24)

где , ,

, , , .

В случае з-класса меры разных классов не эквивалентны друг другу. При з = -1 получаем класс средней гармонической, в который входят такие известные меры Сёренсена (22S), Жаккара (24S), Сокала и Снита (31S). При з = 0 - получаем класс средней геометрической, в этом классе можно отметить меру Охаи (23S). При з = 1 - класс средней арифметической, здесь можно найти известную меру Кульчинского (24S). При з = 2 - класс средней квадратической. Существует и более трудоёмкий способ получения классов мер. В этом случае необходимо определить меру K₀ для данного класса.

Центральным понятием в теории мер близости является понятие эквивалентности мер (Сёмкин, Двойченков, 1973). Естественно считать, две меры близости эквивалентными, если результаты оценки «близости» при замене одной меры другой, останутся более «близкими», а более «удалённые» - более «удалёнными». Понятие эквивалентности позволяет упорядочить огромное количество существующих мер и дать алгоритмы для получения неограниченного количества любых аналогичных мер близости. Приведём строгое определение эквивалентности мер близости.

Определение 11. Пусть и две меры близости, определённые на EЧE. Если существуют монотонно возрастающая функция такая, что , то и называются эквивалентными. Эквивалентные меры будем обозначать: . Определение 12. Пусть K и F две меры близости, если существует строго монотонно убывающая функция g и , то K и F называются коэквивалентными. Рассматриваемые нами функции и коэквивалентны (Сёмкин, Двойченков, 1973).

В настоящее время существует несколько классов мер, объединённых одной монотонной зависимостью. Первым из исследованных был ф-класс, например при з = - 1 объединяющий такие меры, как коэффициент Сёренсена, коэффициент Жаккара, коэффициент Сокала и Снита (Сёмкин, Двойченков, 1973). Коэффициенты, входящие в один ф-класс являются эквивалентными (недавно выяснилось, что при осреднении эквивалентными являются меры одного класса ф только при з = - 1, - ? и + ?). Взаимозависимость коэффициентов сходства данного ф-класса можно представить графически (рис. А.2). Например, на рисунке при ф = 0 мы получаем коэффициент Сёренсена, при ф = 1 получим коэффициент Жаккара, а при ф = 3 получаем коэффициент Сокала и Снита. Вышеуказанная монотонная зависимость для мер сходства описывается формулой (20S).

Ещё одним довольно оригинальным способом получения мер является использование отношения средних величин числителей и знаменателей индивидуальных отношений, также известное как медианта. Понятие медианты двух дробей введено А.Я. Хинчиным (Хинчин, 1961) в теории цепных дробей для целей лучшего уяснения взаимного расположения и закона последовательного образования промежуточных дробей. Медиантой двух дробей и с положительными знаменателями называется дробь .