Метод компьютерного моделирования межвидового взаимодействия "Хищник-Жертва"

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Экологическое моделирование играет огромную роль в исследовании окружающей среды. В той области исследования, где невозможно использовать естественную среду или естественные объекты, используют математические модели, которые позволяют спрогнозировать влияние тех или иных факторов на природный объект. Метод моделирования включает в себя построение, проверку, исследование моделей и интерпретацию полученных результатов. Экологическое моделирование занимается количественной оценкой изменения состояния окружающей среды под воздействием различных факторов, на основе созданных математических моделей. Методы экологического моделирования неотъемлемая часть экологического мониторинга и рационального использования природных ресурсов.

Цель данной работы - познакомиться с методом компьютерного моделирования межвидового взаимодействия «Хищник-Жертва» и понять важность моделирования экологических процессов.

1. Литературный обзор

1.1 Математическое моделирование

Моделирование - это один из основных методов познания. Оно широко применяется во всех отраслях науки, в том числе и в экологии. В ней часто требуется спрогнозировать изменения, которые могут происходить в окружающей среде вследствие воздействия каких-нибудь факторов. При этом модель позволяет подробно изучить проблему и найти оптимальный способ ее решения. Одной из задач экологии является также установление взаимосвязей между организмами и окружающей средой, описание законов, по которым протекают процессы в живой природе. В классической экологии рассматриваются взаимодействия нескольких типов:

взаимодействие организма и окружающей среды;

взаимодействие особей внутри популяции;

взаимодействие между особями разных видов (между популяциями).

Математические модели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. И, хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции развития отдельных популяций, а также сообществ. Кажется удивительным, что люди, занимающиеся живой природой, воссоздают ее в искусственной математической форме, но есть веские причины, которые стимулируют эти занятия. Вот некоторые цели создания математических моделей в экологии:

Модели помогают выделить суть или объединить и выразить с помощью нескольких параметров важные разрозненные свойства большого числа уникальных наблюдений, что облегчает экологу анализ рассматриваемого процесса или проблемы.

Модели выступают в качестве «общего языка», с помощью которого может быть описано каждое уникальное явление, и относительные свойства таких явлений становятся более понятными.

Модель может служить образцом «идеального объекта» или идеализированного поведения, при сравнении с которым можно оценивать и измерять реальные объекты и процессы.

Модели действительно могут пролить свет на реальный мир, несовершенными имитациями которого они являются.

При построении моделей в математической экологии используется опыт математического моделирования механических и физических систем, однако, с учетом специфических особенностей биологических систем:

- сложности внутреннего строения каждой особи;

- зависимости условий жизнедеятельности организмов от многих факторов внешней среды;

- не замкнутости экологических систем;

- огромного диапазона внешних характеристик, при которых сохраняется жизнеспособность систем.

Привлечение компьютеров существенно раздвинуло границы моделирования экологических процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих аналитического исследования, с другой - возникли принципиально новые направления, и, прежде всего - имитационное моделирование.

Развитие математико-экологических моделей можно проследить по эволюции тех научных и прикладных вопросов, для ответа на которые эти модели создавались. Вопросы эти усложнялись по мере развития экологии и совершенствования методики моделирования. Если вначале сами вопросы и результаты математического моделирования представляли отвлеченный теоретический интерес, то в дальнейшем они стали носить конкретный практический характер. Значительная часть работ по моделированию природных экосистем имеет прикладной характер. Эти работы ставят перед собой практические задачи - построение прогнозов поведения во времени реальных биологических систем. Так, например, предприятие, занимающееся разведением рыб в искусственных водоемах, заинтересовано в оптимальном регулировании отлова рыб, количества корма, параметров содержания водоемов и многих других, значимых для жизни и воспроизводства рыб факторов. Оно заинтересовано в привлечении экологов и их математических моделей для правильного ведения дел и получения наибольшей прибыли.

Другой пример - прогнозирование развития эпидемических заболеваний. Системе здравоохранения нужно заранее планировать скорость распространения болезни, готовить запасы лекарственных препаратов, средств профилактики и защиты, медицинский персонал и проводить другие мероприятия. Этот список практических применений результатов математической экологии можно было бы продолжить. В научных исследованиях компьютер нередко выступает как необходимый инструмент экспериментальной работы.

Компьютерный эксперимент чаще всего связан:

с проведением сложных математических расчетов;

с построением и исследованием наглядных и динамических моделей.

Компьютерное моделирование позволяет решать довольно сложные задачи на основе компьютерной модели исследуемого явления.

Преимущества компьютерного моделирования заключаются в том, что оно:

-дает возможность рассчитать параметры и смоделировать явления, процессы и эффекты, изучение которых в реальных условиях невозможно либо очень затруднительно;

-позволяет не только пронаблюдать, но и предсказать результат эксперимента при каких-либо условиях;

-позволяет изучать явления, предсказываемые любыми теориями;

- является экологически чистым и не представляет опасности для природы и человека;

- обеспечивает наглядность;

- доступно в использовании.

Однако важно помнить, что на компьютере моделируется не объективная реальность, а наши теоретические представления о ней. Объектом компьютерного моделирования являются математические и другие модели, а не реальные объекты, процессы или явления.

1.2 Межвидовое взаимодействие «Хищник-Жертва»

В 1931 году Вито Вольтерра, изучая отношения хищник - жертва, вывел следующие законы:

Закон периодического цикла - процесс уничтожения жертвы хищником нередко приводит к периодическим колебаниям численности популяций обоих видов, зависящим только от скорости роста популяций хищника и жертвы, и от исходного соотношения их численности.

Закон сохранения средних величин - средняя численность популяции для каждого вида постоянна, независимо от начального уровня, при условии, что специфические скорости увеличения численности популяций, а также эффективность хищничества постоянны.

Закон нарушения средних величин - при сокращении популяций обоих видов пропорционально их численности, средняя численность популяции жертвы растет, а популяции хищников - падает.

Хищник - жертва - это взаимосвязь между хищником и жертвой, в результате которой эволюционно выигрывают оба. В процессе естественного отбора, обусловленного этими взаимоотношениями, в обеих популяциях выживают наиболее здоровые и приспособленные к условиям среды особи. Взаимоотношения "Хищник - Жертва" обычно приводят к регулярным циклическим колебаниям численности.

Хищниками обычно называют животных, питающихся другими животными, которых они ловят и умерщвляют. Для хищников характерно специальное охотничье поведение. Добыча жертвы требует от них значительных затрат энергии на поиск, погоню, захват, преодоление сопротивления жертв. Если размеры жертв намного меньше размеров питающихся ими животных, численность объектов питания высока и сами они легкодоступны - в этом случае деятельность плотоядного вида превращается в поиск и простой сбор добычи и называется собирательство.

Хищничество, способ добывания пищи и питания животных, при котором они ловят, умерщвляют и поедают других животных. Хищничество наблюдается уже у простейших: инфузория дидиний является хищником для других простейших (напр., инфузорий - туфелек, парамеций). Примеры хищничества высших животных в природе многочисленны (акулы, жабы, змеи, соколы, белый медведь, гепард и др.). Убивая и поедая жертв, хищники сокращают численность популяций видов-жертв. Большей частью хищникам удаётся поймать ослабленных (больных), очень молодых или старых животных, уже не принимающих участия в размножении. Тем самым хищники являются наиболее действенными «механизмами» естественного отбора.

Взаимоотношения хищник - жертва. В среде, не имеющей укрытий для размножения, хищник рано или поздно уничтожает популяцию жертвы и после этого вымирает сам. В естественных условиях возникает следующая временная и причинно-следственная цепь: размножение жертвы размножение хищника резкое сокращение численности жертвы падение численности хищника размножение жертвы и т. д. Эта кибернетическая система с отрицательной обратной связью приводит к устойчивому равновесию. Волны флуктуаций хищника и жертвы следуют друг за другом с постоянным сдвигом по фазе, а в среднем численность как хищника, так и жертвы остается постоянной.

Защита от врагов. Она может быть активной: укусы, уколы, удары, включая электрические (у скатов и других рыб), взбрызгивание секретов и т.д., использование укрытий. А гораздо чаще пассивной, к которой относятся маскирующая (миметическая) внешность, предостерегающая внешность (так называемая мимикрия), маскирующее или предостерегающее поведение. У растений развиваются колючки, шипы, жгучие волоски, яды.

Маскирующая внешность состоит в подражании несъедобным предметам (палочки и гусеницы пядениц имитируют сучки) или зрительном слиянии с окружающим фоном: зеленая окраска обитателей листвы (гусеницы, клопы, кузнечики и др.), коричневая у наземных обитателей (жаворонки, песочники, самки уток). Приспособление к цвету и узору субстрата может осуществляться и путем физиологического изменения окраски тела (камбала, каракатицы, квакши, скаты) или переменой окраски при очередной линьке, например кузнечики.

Предостерегающая внешность может использоваться для отпугивания агрессора необычным рисунком, глазчатыми пятнами, появляющимися у многих бабочек, когда они раскрывают крылья, имитацией змеиной головы (имеется у многих гусениц) или животных, опасных для нападающего (отпугивающая внешность). Другое использование предостерегающей внешности - предупреждение яркими сигнальными цветами и бросающимся в глаза рисунком о реальных отрицательных для нападающего свойствах жертвы: горьком вкусе, несъедобности, ядовитости, умении кусать или жалить. В качестве примеров можно назвать таких, как божьи коровки, клопы арлекины, пестрые гусеницы, осы. Следует отметить, что при этом приносится в жертву какая-то часть популяции, на которой агрессор усваивает горький опыт. Нередко безвредные организмы имитируют предупреждающую окраску опасных видов. Например, мухи-журчалки, бабочки-бражники, многие жуки-усачи подражают внешности ос. Эта мимикрия не что иное, как обман.

2. Моделирование взаимодействия типа «Хищник - Жертва»

2.1 Постановка задачи

Провести качественное и компьютерное моделирование отношений типа «Хищник - Жертва», описываемого системой уравнений:

dx1/dt =c1x1 - a12x1x2=P(x1,x2) (1)

dx2/dt =-c2x2+ a21x1x2= Q(x1,x2)

где, x1- численность популяции первого вида;

х2- численность популяции второго вида;

c1 и с2 - коэффициенты естественного прироста;

a12, a21 - коэффициенты взаимного сотрудничества;

Для системы уравнений (1) первое слагаемое соответствует естественному приросту, а второе слагаемое - описывает внутривидовую конкуренцию. Из системы уравнений (1) видно, что наличие второго вида приводит к повышению эффективной ёмкости первого вида и наоборот, поэтому происходит снижение эффекта внутривидовой конкуренции. Проведем качественное исследование данной системы уравнений. Для качественного исследования в системе найдем точки равновесия (особые точки системы), которые определяют стационарные численности популяции.

2.2 Нахождение особых точек

Определим стационарные точки системы уравнений, которые являются алгебраическими корнями системы уравнений.

с1х1-а12х1х2=0 (2)

c2x2+a21x1x2=0

Стационарные точки - это точки равновесия, определяемые из условия:

dx1/dt=dx2/dt=0

Вынесем за скобку в первом уравнении х1, а во втором х2 и получим:

х1(с1-а12х2)=0

х2(-с2+а21х1)=0

Система уравнений (2) имеет две пары корней:

x1=0 и х2=0 1-я особая точка

х2=с2/а21 и х2=с1/a12 2-я особая точка

Если эти особые точки устойчивы, то величины х1 и х2 будут стремиться к этим точкам. Если особые точки не устойчивы, то численности популяций х1 и х2 будут удаляться от этих точек.

Система (1) представляет собой частный случай автономной динамической системы:

dx1/dt=P(х1,х2)

dx2/dt=Q(x1,x2)

Особая точка соответствует стационарному (равновесному) состоянию системы. Любая экосистема является открытой, т.е. всегда обменивается энергией, информацией, веществом с окружающей средой.

Любая точка на фазовой плоскости является точкой состояния системы в данный момент времени и называется изображающей точкой. Со временем изображающая точка движется по фазовой плоскости. Эта линия, которая описывает изменение численности видов со временем, называется фазовой траекторией.

2.3 Исследование особых точек на устойчивость

Исследуем найденные особые точки на устойчивость. Для этого производится линеаризация (замена на линейное выражение) системы (1) в малой окрестности каждой особой точки. Представим Х1Х2 в следующем виде:

Х1=х1+е

Х2=х2+з

Где е, з - относительные возмущения, соответственно от значений х1 и х2. Тогда линеаризуемая система в малой окрестности особой точки, соответствующая исходной системе (1) имеет следующий вид:

dе/dt=aе+bз

dз/dt=cе+cз (3)

Решение системы уравнений имеет линейный вид:

е(t)=C1eл1t, з(t)=C2eл2t, где С1, С2- константы.

Устойчивость особых точек определяется корнями характеризующего уравнения (квадратичное уравнение):

л2+(a+d)л+(ad-bc)=0 (4)

л 1,2=(a+d)/2±v(a + d)2/4+bc-ad (5)

где л 1,2 - корни характеризующие уравнения.

Найдём величины a, b, c, d:

a= dP/dx1=c1-a12x2,

b=dР/dх2=-а12х1

c=dQ/dx1=a21x2,

d=dQ/dx2=-c2+c21x1

Для каждой особой точки находим л l , л 2 по формуле (5):

1-я особая точка:

а=с1; b=0; d=-c2

Таким образом, корни характеристического уравнения для 1-ой особой точки являются действительными и противоположными по знаку числами, поэтому эта точка равновесия является седлом (две интегральные кривые проходят через эту точку, остальные представляют собой гиперболы). Эти особые точки неустойчивы. Характеристика седла: изображающая точка, двигаясь по интегральным кривым, удаляется от особой точки, т.е. одно из экспоненциальным кривым, удаляется от особой точки, т.е. одно из экспоненциальных решений со временем увеличивается, а другое падает.

2-я особая точка:

a=0;

b=-a12c2/c21;

c=c1a21/a12;

d=0;

Таким образом, корни характеризующего уравнения для 2-ой особой точки являются чисто мнимыми числами, следовательно, вторая особая точка. Представляет собой центр. В случае седла изображающая точка не проходит через особую точку.

2.4 Построение фазового портрета

Построение фазовых траекторий произведем методом изоклин. Определяем изоклины горизонтальных и вертикальных касательных. Приравняем правые части системы (1) к нулю и получим:

с1x1 + a12x1x2=0

с2х2 + a21x1x2=0

Изоклина вертикальных касательных х2=c1/a12 = L1(x1 x2)

Изоклина горизонтальных касательных х2=0=L2(x1 x2)

Изоклины вертикальных и горизонтальных касательных пересекаются между собой и с осями координат в особых точках. Начала фазовых траекторий - это начальные численности популяций. Фазовые кривые стремятся к точкам равновесия (устойчивым узлам).

Рис. 1

3. Численное моделирование задачи

хищник жертва моделирование экология

Двигаясь по фазовым траекториям, по их виду можно изобразить изменение численности со временем Х (t).

В приведённых диаграммах (рис. 1) X1о начальная численность популяции жертв равна 7; Х20 начальная численность популяции хищников равная 7; a1-коэффициент прироста жертв равный 1,2; а2-коэффициент смертности хищников равный 1; b1- вероятность жертвы быть съеденной равна 1; b2 - коэффициент хищничества (прирост хищников при поедании жертвы)-1.

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

По сравнению с предыдущими данными на (рис. 4) увеличили начальную популяцию жертв, произошло увеличение амплитуды колебаний, как числа жертв, так и числа хищников.

Рис. 5

Рис. 6

На (рис. 6) увеличили коэффициент смертности хищников, уменьшилась частота колебаний обеих популяций.

Рис. 7

Рис. 8

Увеличили прирост жертв (рис. 9), увеличилось амплитуда колебаний обеих популяций.

Рис. 9

Рис. 10

По сравнению с предыдущим графиком в данном (рис. 10) уменьшили коэффициент хищничества.

Рис. 11

Рис. 12

По сравнению с предыдущим графиком в данном (рис. 6) уменьшили коэффициент вероятности жертвы быть съеденной.

Заключение

Таким образом, основной задачей моделирования является экспериментальная проверка гипотез относительно структуры и функции биологических систем. Сущность этого метода заключается в том, что вместе с оригиналом, т.е. с какой-то реальной системой, изучается его искусственно созданное подобие - модель. В сравнении с оригиналом модель обычно упрощена, но свойства их сходны. Одно из достоинств метода моделирования состоит в возможности построения моделей с «удобной реализацией». Ибо удачный выбор реализации делает исследование модели несравненно более лёгким, чем исследование оригинала, и в то же время позволяет сохранить существенные черты его состава, структуры и функционирования.

Моделирование показывает, что в системе, описывающей взаимодействие живых организмов, существенное изменение численности живых организмов вызывает катастрофические изменения во всей системе. Кроме того, сильное уменьшение популяции определенного вида животных может привести к полному исчезновению этих животных.

Установлено, что факторы, обеспечивающие стабильность «хищник-жертва», следующие:

неэффективность хищника, бегство жертвы;

экологические ограничения, налагаемые внешней средой на численность популяции;

наличие у хищника альтернативных пищевых ресурсов.

Список использованной литературы

1. Горелов А.А. Экология - наука - моделирование. - М., 2007 г.

2. Криксунов Е.А., Пасечник В.В., Сидорин А.П. Экология.- М.: Издательский дом «Дрофа», 2010 г.

3. Марчук Т.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. - М.: Наука, 2008 г.

4. Медоуз Д.Х., Медоуз Д.Л., Рандерс Й. За пределами роста. - М., 2008 г.

5. Общая биология. Справочные материалы, Составитель В.В.Захаров. - М.: Издательский дом «Дрофа», 2010 г.

6. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. - М., 2006 г. Одум Ю., Экология, М., 2008 г.

7. Ризниченко Г.Ю. Экология математическая. М., 2009 г.

8. Родзин В.И., Семенцов Г.В. Основы экологического мониторинга. - Таганрог: ТРТИ, 2011 г.

9. Природа мыслей и модели природы. / Под ред. Д.М. Гвишиани, И.Б. Новика, С.А. Пегова. М.: Мысль, 2006 г.

10. Основы Турбо-Паскаля. - М.: Учебно-инженерный центр «МВТУ - Фестон-дидактик», 2012 г.

Размещено на Allbest.ru