Планирование эксперимента и статистическая обработка результатов измерений

Для удобства расчётов занесём в таблицу 13 значение Х2.

Таблица 13 - К расчёту корреляции и регрессии Y по X

Подставим полученные данные в выражение (46) и получим

Коэффициент регрессии определим по выражению

Уравнение регрессии в каноническом виде имеет вид

Отсюда

Стандартную ошибку коэффициента корреляции определяем по формуле:

Ошибку коэффициента регрессии найдём по выражению

Ошибка отклонения регрессии определяется по формуле

Критерий значимости рассчитывается по выражению

Количество степеней свободы составит

Критерий Стьюдента при 5 % -ном уровне значимости в этом случае составит t05=2,23.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

Доверительный интервал для коэффициента регрессии

Так как , то корреляционная связь существенна.

По уравнению регрессии (50) рассчитываем усреднённые теоретические значения (минимум и максимум), подставляя в уравнение координаты X=19,9 и Х=76,6.

График регрессии показывает, что увеличение влажности почвы на 1 % соответствует увеличению липкости в среднем на 0,13 г/см2 .

Коэффициент детерминации, равен квадрату коэффициента корреляции

.

Судя по коэффициенту детерминации, примерно 95 % изменений липкости обусловлено изменениями по влажности почвы и только 5% связано с другими факторами.

Чтобы ограничить доверительную зону необходимо вверх и вниз от теоретической линии регрессии отклонить величину одной (68%-ая зона) или (98%-ая зона) ошибок отклонений от регрессии Syx , то есть ± Syx или 2Syx и провести пунктирные линии.

Есть связь изучаемыми явлениями существенно отклоняется от линейной, что легко установить по виду корреляционной решётки или по точечному графику, то коэффициент корреляции непригоден в качестве меры связи. Он может указать на отсутствие сопряженности там, где на лицо сильная криволинейная зависимость. Поэтому необходим такой показатель, который измерял бы степень криволинейной зависимости. Таким показателем является корреляционное отношение, обозначенное греческой буквой (эта).

В таблице 14 приведены исходные данные для расчета разобьём на группы, чтобы в каждой группе независимого признака Х было не менее двух наблюдений. Также составим вспомогательную таблицу 15 и вычислим суммы квадратов отклонений и средние.

Таблица 14 - Потери аммиака от испарения в зависимости от концентрации его в поливной воде

Построим вспомогательную таблицу 15

Таблица 15 - Вспомогательная таблица к расчёту корреляционного отношения.

Определим квадрат корреляционного отношения

Корреляционное отношение найдём по выражению

Ошибку корреляционного отношения определим по формуле

Определяем критерий существенности корреляционного отношения

При числе степеней свободы табличное значение критерия Стьюдента составит 2,23

Так как , то нулевая гипотеза отклоняется и считается доказанным наличие криволинейной зависимости.

Доверительный интервал для корреляционного отношения

9. СПОСОБ ОБРАБОТКИ ЭМПИРИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Первоначально данные исследований представляют в виде таблиц. Однако табличные данные не имеют наглядности и не могут быть использованы в математических моделях, описывающих тот или иной процесс. Указанных недостатков лишены эмпирические формулы, отражающие с определённым уровнем достоверности зависимость между изучаемыми величинами. Этот процесс называется аппроксимацией. При аппроксимации опытных данных, прежде всего, наносят на координатную сетку опытные данные и затем через полученные точки проводят кривую таким образом, чтобы она по возможности близко проходила от всех экспериментальных точек. Таким образом, первый этап математической обработки данных состоит в выборе формулы, графическое изображение которой согласуется в общих чертах с размещением экспериментальных точек на координатной сетке. Задачей дальнейшей математической обработки является определение числовых значений, входящих в формулу параметров. В большинстве случаев зависимость между переменными можно задать множеством эмпирических формул, и только глубокое значение физической сущности изучаемого процесса позволяет остановиться на одной из них.

Метод подбора числовых значений, входящих в формулу параметров основан на принципе наименьших квадратов, суть которого состоит в том, что из множества возможных эмпирических зависимостей выбирается та, для которой сумма квадратов отклонений, замеряется по оси является наименьшей.

Впервые этот метод предложил Гаусс. Рассмотрим применение этого метода для эмпирических формул, описывающие различные формы зависимостей.

Исходные данные для расчётов приведены в таблице 16

Таблица 16 - исходные данные для исследования

Линейная функция.

Пусть дано n точек с координатами представляющих данные эксперимента - таблица 17.

Очевидно, что эмпирическую формулу нужно искать в виде линейной функции.

Причём коэффициенты a и b нужно подбирать так, чтобы суммарное отклонение принимало минимальное значение.

Таблица 17 - Износ коренных шеек коленчатого вала двигатель Д 240 от наработки.

Составим систему уравнений и найдём значения.

В формулу (59) подставим значения из таблицы 17 и получим

В результате расчётов имеем

Таким образом, эмпирическое уравнение линейной функции имеет вид

Квадратичная функция.

Эмпирическую формулу нужно искать в виде квадратичной функции

Составим таблицу 18 для упрощения расчётов.

Таблица 18 - Экспериментальные данные в общем виде

Составим систему уравнений

В систему (61) подставим, значения из таблицы 18 получим,

В результате решения данной системы найдём значения a,b,c.

Гиперболическая функция

Уравнение гиперболы функции выглядит так

Составим систему уравнений

При вычислении коэффициента данные удобно свести в таблицу 19.

Таблица 19 - Экспериментальные данные для обработки.

Подставим значения из таблицы 19, в формулу 63 получим

Численные значения параметров а и b найдём путём решения системы уравнения (64).

В результате решения системы получили

Подставив эти значения, в уравнение гиперболы получим

Показательная функция

Данные опыта могут быть апроксимированы показательной кривой

Для получения параметров прологарифмируем обе части функции. При этом учтём, что логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, а логарифм её степени равен произведению показателя на логарифм её основания. Затем следует найти величины

Получим систему логарифмических уравнений

Для решения системы удобно составить таблицу 20.

математическое планирование эксперимент дисперсия

В результате решения этой системы получили

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Подобие и моделирование

Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.-М.:Наука, 1981.-448 с.

Веников В.А., Веников Г.В. Теория подобия и моделирование/применительно к задачам электроэнергетики/.-М.:Наука,1984.-439 с.

2. Планирование эксперимента

Планированиеэксперимента в технике / В.И.Барабащук, Б.П.Креденцер, В.И.Мирошниченко; под. ред.. Б.П.Креденцера.-К.:Техніка 1984.-200с.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.-М.:Наука,1971.-283с.

Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии .-М.Высшая школа, 1985.-325 с.

3. Статистическая обработка результатов эксперимента

Вентцель Е.С. Теория вероятностей,-М.Наука,1969.-576 с.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения.-М.:Наука.-1988.- 480 с.

Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика.-М., Высшая школа, 1973.-368 с.

Базара М.,Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы.-М.,Мир.-1982.-583 с.

Колкер Я.Д. Математический анализ точности механической обработки деталей.-Киев, Техника.-1976.-200с.

Размещено на Allbest.ru