Статистические расчеты общего индекса цен, себестоимости и коэффициента детерминации

Задача 1

Имеются данные 24 заводов одной из отраслей промышленности (табл.1.1).

Таблица 1.1

№ завода	Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн.	Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн.	№ завода	Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн.	Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн.
1	2	3	4	5	6
1	1,7	1,5	13	1,2	1,1
2	3,9	4,4	14	7	7,7
3	3,5	4,5	15	4,6	5,6
4	4,9	4,5	16	8,1	7,8
5	3,2	2	17	6,4	6
6	5,1	4,4	18	5,5	8,5
7	3,3	4	19	6,7	6,5
8	0,5	0,2	20	1	0,8
9	3,2	3,6	21	4,8	4,5
10	5,6	7,8	22	2,7	2,5
11	3,6	3	23	2,8	3,2
12	0,9	0,7	24	6,8	6,8

С целью изучения зависимости между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов и выпуском валовой продукции произведите группировку по среднегодовой стоимости основных фондов, образовав 4 группы заводов с равными интервалами. По каждой группе и совместимости заводов подсчитайте:

1) число заводов;

2) среднегодовую стоимость основных фондов - всего и в среднем на один завод;

3) стоимость валовой продукции - всего и в среднем на один завод;

4) уровень фондоотдачи по группам. Результаты представьте в виде групповой таблицы. Сделайте выводы.

Решение:

1. Определим величину интервала группировочного признака.

Среднегодовая стоимость основных фондов является группировочным признаком.

где x_max - максимальное значение;

x_min - минимальное значение группировочного признака;

- число образуемых групп.

2. Определим границы интервалов.

x_min 0,5 … 2,4

2,4 … 4,2

4,2 … 6,3

6,3 … 8,1 x_max

Составим вспомогательную таблицу.

Таблица 1.2 Вспомогательная таблица.

№ п/п	Группы по с/г стоимости ОФ	Номер завода	Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн.	Валовая продукция в сопост. ценах, грн.
1	0,5 - 2,4	1	1,7	1,5
		8	0,5	0,2
		12	0,9	0,7
		13	1,2	1,1
		20	1	0,8
	Итого	5	5,3	4,3
2	2,4 - 4,3	2	3,9	4,4
		3	3,5	4,5
		5	3,2	2
		7	3,3	4
		9	3,2	3,6
		11	3,6	3
		22	2,7	2,5
		23	2,8	3,2
	Итого	8	26,2	27,2
3	4,3 - 6,2	4	4,9	4,5
		6	5,1	4,4
		10	5,6	7,8
		15	4,6	5,6
		18	5,5	8,5
		21	4,8	4,5
	Итого	6	30,5	35,3
4	6,2 - 8,1	14	7	7,7
		16	8,1	7,8
		17	6,4	6
		19	6,7	6,5
		24	6,8	6,8
	Итого	5	35	34,8
	Всего	24	97	101,6

Групповые показатели рабочей таблицы и вычисленные на их основе средние показатели занесем в сводную аналитическую таблицу.

Таблица 1.3 Группировка заводов по среднегодовой стоимости ОФ.

Группы, № п\п	Группы по ср/г стоимости ОФ	Количество заводов, шт.	Средняя ср/год ст-ть ОФ, млн. грн.	Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн
				всего	на один завод
А	Б	1	2	3	4
1	0,5 - 2,4	5	1,06	4,3	0,86
2	2,4 - 4,3	8	3,275	27,2	3,4
3	4,3 - 6,2	6	5,08	35,3	5,88
4	6,2 - 8,1	5	7	34,8	6,96
	Итого	24	4,1	101,6	4,2

Среднегодовая стоимость ОФ: Стоимость валовой продукции:

5,3/5 = 1,064,3/5 = 0,86

26,2/8 = 3,27527,2/8 = 3,4

30,5/6 = 5,08 35,3/6 = 5,88

35/5 = 7 34,8/5 = 6,96

Итого: 97/24 = 4,1 Итого: 101,6/24 = 4,2

Вывод: с ростом среднегодовой стоимости основных фондов растет стоимость валовой продукции, следовательно, между изучаемыми показателями существует прямая зависимость.

Задача 2

Имеются данные по двум заводам, вырабатывающим однородную продукцию (табл.2)

Таблица 2

Номер завода	1998 год	1999 год
	Затраты времени на единицу продукции, ч	Изготовление продукции, шт.	Затраты времени на единицу продукции, ч	Затраты времени на всю продукцию, ч
1	2,5	150	1,9	380
2	3,2	250	3,4	850

Вычислите средние затраты времени на изготовление единицы продукции по двум заводам с 1998 по 1999 годы.

Укажите, какой вид средней необходимо применить при вычислении этих показателей.

Решение:

Если в статистической совокупности дан признак x_i и f_i его частота, то расчет ведем по формуле средней арифметической взвешенной.

2,9 (ч)

Если дан признак x_i, нет его частоты f_i, а дан объем M = x_if_i распространения явления, тогда расчет ведем по формуле средней гармонической взвешенной:

2,7 (ч)

В среднем затраты времени на изготовление единицы продукции в 1998 году выше, чем в 1999 г.

Задача 3

Для определения средней суммы вклада в сберегательных кассах района, имеющего 9000 вкладчиков, проведена 10% -я механическая выборка, результаты которой представлены в табл.3.

Таблица 3.

Группы вкладов по размеру, грн. - xi	До 200	200-400	400-600	600-800	Св.800	Итого
Число вкладчиков - fi	85	110	220	350	135	900
	100	300	500	700	900
x - A	-600	-400	-200	0	200
	-3	-2	-1	0	1
	-255	-220	-220	0	135	-560
	-475	-275	-75	125	325
	225625	75625	5625	15625	105625
	19178125	8318750	1237500	5468750	14259375	48462500

По данным выборочного обследования вычислить:

применяя способ моментов:

а) среднюю сумму вкладов;

б) дисперсию и среднее квадратическое отклонение вклада;

коэффициент вариации;

с вероятностью 0,954 возможные границы, в которых находится средняя сумма вкладов в сберкассе района;

с вероятностью 0,954 возможные границы, в которых находится удельный вес вкладчиков, вклад которых не превышает 400 грн.

Решение:

Среднюю сумму вкладов способом моментов определим по формуле:

где А - постоянная величина, на которую уменьшаются все значения признака.

В вариационных рядах с равными интервалами в качестве такой величины принимается варианта ряда с наибольшей частотой.

i = величина интервала.

Находим середины интервалов:

200 + 400/2 = 300 - для закрытых интервалов;

Для открытых интервалов вторая граница достраивается:

0 + 200/2 = 100

Величина интервала i = 200.

Наибольшая частота равна 350, следовательно А = 700.

Вывод: в среднем сумма вкладов составляет 575 грн.

Дисперсия: ;

Коэффициент вариации:

Среднеквадратичное отклонение: ;

Задача 4

Имеются данные о младенческой смертности на Украине (табл.4.1).

Таблица 4.1

Год	1990	1995	1996	1997	1998	1999
Умерло детей в возрасте до 1 года (всего), тыс. чел.	12,5	11,7	11,9	10,6	9,4	9,2

Для анализа ряда динамики исчислите:

1) абсолютный прирост, темпы роста и прироста (по годам и к базисному 1995 г), абсолютное содержание 1% прироста (полученные показатели представьте в виде таблицы);

2) среднегодовой темп роста и прироста младенческой смертности: а) с 1990 по 1996 годы; б) с 1995 по 1999 годы; в) с 1990 по 1999 годы. Изобразите исходные данные графически. Сделайте выводы.

Решение:

1. Абсолютный прирост (Д_i) определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда и показывает, на сколько данный уровень ряда превышает уровень, принятый за базу сравнения Д_i=y_i-y_баз, где y_i - уровень сравниваемого периода; y_баз - базисный уровень.

При сравнении с переменной базой абсолютный прирост будет равен Д_i=y_i-y_i-1, где y_i - уровень сравниваемого периода; y_i-1 - предыдущий уровень.

Темпы роста определяются как процентное отношение двух сравниваемых уровней:

При сравнении с базисом:

.

По годам:

.

Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (или меньше) базисного уровня.

По отношению к базисному:

;

по годам:

или можно вычислять так:

Тп=Тр-100%.

Абсолютное содержание 1% прироста - сравнение темпа прироста с показателем абсолютного роста:

.

2. Среднегодовая младенческая смертность вычисляется по формуле:

.

3. Среднегодовой абсолютный прирост вычисляется по формуле:

.

4. Базисный темп роста с помощью взаимосвязи цепных темпов роста вычисляется по формуле:

.

5. Среднегодовой темп роста вычисляется по формуле:

.

Среднегодовой темп прироста вычисляется по формуле:

.

Рассчитанные данные представим в таблице 4.2

Таблица 4.2

Год	Умерло, тыс. чел.	Абсол. прирост	Ср. год. темп роста	Ср. год. темп прироста	Аі
		цепн.	базисн.	цепн.	базисн.	цепн.	базисн.
1990	12,3	-	0,7		102,973		2,973046
1995	11,6	0,7	0	98,83	100	-1,16504	0	0,123
1996	11,1	0,5	0,5	97,82	97,82109	-2,17891	-2,17891	0,116
1997	10,6	0,5	0	97,72	95,59253	-2,2782	-4,40747	0,111
1998	9	1,6	1,6	92,14	88,08303	-7,85573	-11,917	0,106
1999	9,3	-0,3	-1,9	101,65	89,53905	1,653005	-10,461	0,09

В качестве базисного берем 1995 г.

Среднегодовой темп роста
с 1990 по 1996	98,30
с 1995 по 1999	94,63
с 1990 по 1999	96,94
Среднегодовой темп прироста
с 1990 по 1996	-1,70
с 1995 по 1999	-5,37
с 1990 по 1999	-3,06

Задача 5

Реализация товаров на колхозном рынке характеризуется данными представленными в табл.5.

Таблица 5.

Наименование товара	Базисный период	Отчетный период
	Количество, тыс. кг.	Цена 1 кг., грн	Количество, тыс. грн.	Цена 1 кг., грн
Картофель	15,5	0,4	21	0,6
Мясо	3,5	5,5	4	8

Определите:

1) общий индекс физического объема продукции;

2) общий индекс цен и абсолютный размер экономии (перерасхода) от изменения цен;

3) на основании исчисленных индексов определить индекс товарооборота.

Решение.

Индекс представляет собой относительную величину, получаемую в результате сопоставления уровней сложных социально-экономических показателей во времени, в пространстве или с планом.

Индивидуальными называются индексы, характеризующие изменения только одного элемента совокупности.

Общий индекс отражает изменение по всей совокупности элементов сложного явления.

Стоимость - это качественный показатель.

Физический объем продукции - количественный показатель.

Общий индекс физического объема продукции вычисляется по формуле:

,

где p₀ и р₁ - цена единицы товара соответственно в базисном и отчетном периодах; q₀ и q_{1 -} количество (физический объем) товара соответственно в базисном и отчетном периодах. Количество проданных товаров увеличилось на 19,4%.

Или в деньгах: 30,4 - 25,45 = 4,95 тыс. грн.

Общий индекс стоимости вычисляется по формуле:

Следовательно, цены на данные товары в среднем увеличились на 46,7%.

Сумма сэкономленных или перерасходованных денег:

сумма возросла на 46,7%, следовательно, население в отчетном периоде на покупку данных товаров дополнительно израсходует: 44,6 - 30,4 = 14,2 тыс. грн.

Общий индекс товарооборота вычисляется по формуле:

Товарооборот в среднем возрос на 75,2%.

Взаимосвязь индексов:

1,467 * 1, 194 = 1,752

Задача 6

Имеются данные о выпуске одноименной продукции и её себестоимости по двум заводам (табл.6).

Таблица 6.

Завод	Производство продукции, тыс. шт.	Себестоимость 1 шт., грн.
	I квартал	II квартал	I квартал	II квартал
I	120	180	100	96
II	60	80	90	100

Вычислите индексы:

1) себестоимости переменного состава;

2) себестоимости постоянного состава;

3) структурных сдвигов. Поясните полученные результаты.

Решение.

Индекс себестоимости переменного состава вычисляется по формуле:

где z₀ и z_{1 -} себестоимость единицы продукции соответственно базисного и отчетного периодов;

q₀ и q_{1 -} количество (физический объем) продукции соответственно в базисном и отчетном периодах.

Индекс показывает, что средняя себестоимость по двум заводам повысилась на 0,6%, это повышение обусловлено изменением себестоимости продукции по каждому заводу и изменением структуры продукции (увеличением объема выпуска).

Выявим влияние каждого из этих факторов.

Индекс себестоимости постоянного состава вычисляется по формуле:

То есть себестоимость продукции по двум заводам в среднем возросла на 0,3%.

Индекс себестоимости структурных сдвигов вычисляется по формуле:

или

Взаимосвязь индексов:

1,003 * 1,003 = 1,006

Вывод:

Индекс себестоимости переменного состава зависит от изменения уровня себестоимости и от изменения объема производства, т.е. средний прирост себестоимости составил 0,6%.

Индекс себестоимости постоянного состава показывает изменение себестоимости при фиксированном объеме производства, т.е. в среднем по заводам себестоимость повысилась на 0,3%. Индекс себестоимости переменного состава выше, чем индекс себестоимости постоянного состава, это свидетельствует о том, что произошли благоприятные структурные сдвиги. Индекс структурных сдвигов равен 1,003%, т.е. за счет изменения объемов производства по заводам средняя себестоимость повысилась на 0,3%.

Задача 7

Для изучения тесноты связи между выпуском валовой продукции на один завод (результативный признак Y) и оснащенностью заводов основными производственными фондами (факторный признак X) по данным задачи 1 вычислить коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Решение: показателем тесноты связи между факторами, является линейный коэффициент корреляции. Линейный коэффициент корреляции вычислим по формуле:

.

Линейное уравнение регрессии имеет вид: y=bx-а.

Коэффициент детерминации показывает насколько вариация признака зависит от фактора, положенного в основу группировки и вычисляется по формуле:

где ² - внутригрупповая дисперсия; ² - общая дисперсия.

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, который зависит от всех условий в данной совокупности. Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием фактора, положенного в основу группировки и рассчитывается по формуле:

где среднее значение по отдельным группам; f_i - частота каждой группы.

Средняя из внутригрупповых дисперсия:

где - дисперсия каждой группы.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле:

Все расчетные данные приведены в таблице 7.

Таблица 7

№ завода	Среднегодовая стоимость ОФ, млн. грн. (X)	Валовая продукция в сопоставимых ценах, грн. (Y)	X^2	Y^2	XY
1	1,6	1,5	2,56	2,25	2,55
2	3,9	4,2	15,21	17,64	17,16
3	3,3	4,5	10,89	20,25	15,75
4	4,9	4,4	24,01	19,36	22,05
5	3,0	2,0	9	4	6,4
6	5,1	4,2	26,01	17,64	22,44
7	3,1	4,0	9,61	16	13,2
8	0,5	0,4	0,25	0,16	0,1
9	3,1	3,6	9,61	12,96	11,52
10	5,6	7,9	31,36	62,41	43,68
11	3,5	3,0	12,25	9	10,8
12	0,9	0,6	0,81	0,36	0,63
13	1,0	1,1	1	1,21	1,32
14	7,0	7,5	49	56,25	53,9
15	4,5	5,6	20,25	31,36	25,76
16	8,1	7,6	65,61	57,76	63,18
17	6,3	6,0	39,69	36	38,4
18	5,5	8,4	30,25	70,56	46,75
19	6,6	6,5	43,56	42,25	43,55
20	1,0	0,9	1	0,81	0,8
21	4,7	4,5	22,09	20,25	21,6
22	2,7	2,3	7,29	5,29	6,75
23	2,9	3,2	8,41	10,24	8,96
24	6,8	6,9	46,24	47,61	46,24
Итого	95,6	100,8	485,96	561,62	523,49
Среднее	3,824	4,032	19,4384	22,4648	21,81



Подставив вычисленные значения в формулу, получим:

Коэффициент детерминации ² = 0,87.

Эмпирическое корреляционное отношение имеет вид: у = 1,0873х - 0,161.

Линейный коэффициент корреляции r = 0,93.

a=0,161b=1,0873

Так как значение коэффициента корреляции близко к единице, то между выпуском валовой продукции и оснащенностью заводов основными производственными фондами есть тесная зависимость.

b - коэффициент регрессии, т.к b > 0, то связь прямая.

Список использованной литературы

1. Адамов В.Е. Факторный индексный анализ. - М.: Статистика, 1997.

2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2004.

3. Ефимова М.Р., Рябцев В.Ф. Общая теория статистики: Учебник. М.: Финансы и статистика, 1999.