Определите по университету в целом:

1. С вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средний балл успеваемости;

2. С вероятностью 0,997 пределы, в которых находится доля студентов, получивших неудовлетворительную оценку.

Сделайте выводы.

Решение

Определим с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средний балл успеваемости.

Средний балл успеваемости найдем по формуле средней арифметической взвешенной:

(2*28+3*70+4*90+5*12) / 200 = 3,43 балла.

Зная численность выборки (n = 200 человек) и численность генеральной совокупности (N = 3333 чел., т.к. 200 человек - это единицы из 6%-ного обследования, то N=200*100/6), коэффициент доверия t=2 (при вероятности Р=0,954) вычислим предельную ошибку для среднего балла успеваемости по формуле:

(7)

Необходимо рассчитать среднее квадратическое отклонение (формулы в задаче №2).

Расчет дисперсии () проведем на основе данных таблицы 6. Промежуточные расчеты оформим в графах 4, 5, 6.

Таблица 6. Данные для расчета дисперсии среднего балла успеваемости

Находится дисперсия () по формуле:

= 129,02 / 200 = 0,64.

=2* балла.

Вычислим пределы среднего балла:

. (8)

3,43 - 0,11 ? 3,43 ? 3,43+0,11

3,32 ? 3,43 ? 3,54

При заданной вероятности коэффициент доверия t = 2. Из условия определим долю студентов, получивших неудовлетворительную оценку, в общем количестве (частость W):

W = m / n = 28 / 200 = 0,14, или 14%.

Зная численность выборки (n = 200 человек) и численность генеральной совокупности (N = 3333 человек, исходя из того, что это 6%-ная выборка), коэффициент доверия t = 2 (при вероятности Р=0,954), вычислим предельную ошибку выборки для генеральной доли студентов с неудовлетворительной оценкой () по формуле:

. (9)

или 4,8%.

Определим пределы удельного веса студентов с отметкой неудовлетворительно:

. (10)

0,14 - 0,048 ? р ? 0,14 + 0,048

0,092 ? р ? 0,188

9,2% ? р ? 18,8%.

Ответ: с вероятностью 0,954 (т.е. в 954 случаях из 1000) можно гарантировать, что доля студентов с оценкой неудовлетворительно будет находиться в пределах от 9,2% до 18,8%. С вероятностью 0,954 (т.е. в 954 случаях из 1000) можно утверждать, что средний размер балла колеблется от 3,32 до 3,54.

Задание №4

Имеются данные о численности (среднесписочной) работников предприятия за 2000-2005 гг.:

На основе этих данных:

1. Для анализа динамики численности работников предприятия за 2000-2005 гг. вычислите следующие показатели динамики:

1.1. абсолютный прирост (на цепной и базисной основе);

1.2. темпы роста и прироста (цепные и базисные);

1.3. Средний абсолютный прирост и средний темп прироста.

Интенсивность развития ряда динамики изобразите графически.

2. Произведите анализ общей тенденции развития численности работников:

2.1. фактические и теоретические уровня ряда динамики нанесите на график;

2.2. используя полученную модель, рассчитайте возможную численность работников в 2007 г.

Сделайте выводы.

Решение

Для анализа динамики используют абсолютное отклонение (абсолютный прирост), темпы роста и темпы прироста. Все эти показатели вычисляются двумя способами - цепным и базисным. При цепном способе каждый показатель сравнивается с показателем предыдущего периода, при базисном способе каждый показатель сравнивается с показателем самого первого периода. Абсолютное отклонение определяется вычитанием из величины отчетного периода величины прошлого периода. Темп роста определяется делением величины отчетного периода на величину прошлого периода и умножением на 100. Темп прироста определяется вычитанием из темпа роста 100%. Также рассчитывается абсолютное содержание 1% прироста делением цепного абсолютного прироста на цепной темп прироста.

Средний абсолютный прирост (?ср) находится по формуле:

?ср = ??ц.с. / m, (11)

где ??ц.с. - сумма абсолютных приростов, рассчитанных по цепному способу;

m - количество абсолютных приростов.

Найдем средний абсолютный прирост численности работников:

(-115+180+40+50+70)/5 = 45 чел.

Среднегодовой темп роста (Тр.ср) находится по формуле:

Тр.ср = Пn/П1 *100, (12)

где n - количество периодов;

Пn, П1 - соответственно показатели последнего и первого периодов.

Средний темп прироста определяется как разница между темпом роста и 100%.

Найдем средний темп роста:

.

Найдем средний темп прироста:

103,5 - 100 = 3,5%.

Интенсивность развития численности работников представим на рисунке 2.

Рис. 2. Интенсивность развития динамики численности работников

Как видно из рисунка 2, в 2001 году было снижение численности работников, а затем постепенно произошел рост показателя вплоть до 2005 года.

Аналитическое выравнивание - метод выявление тенденции, когда уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени: yt = f(t). Уравнение, которым выражается зависимость уровней динамического ряда от фактора времени t, называется уравнением тренда.

Выбор функции производится на основе анализа характера закономерностей динамики данного явления.

Построим уравнение тренда методом аналитического выравнивания. Для этого исходные данные представим в виде таблицы 8.

Таблица 8. Расчет уравнения тренда для динамики численности работников предприятия

Получаем уравнение типа:

yt = a0 + a1*t.

Для расчета параметров a0 и a1 решается следующая система нормальных уравнений:

na0 + a1?t = ?y

a0?t + a1?t = ?yt, (13)

где n - число показателей ряда динамики (в нашем случае их 6);

t - условное обозначение фактора времени порядковыми номерами;

y - фактические значения показателей (в нашем случае - численность работников).

В качестве расчетных параметров добавим в таблицу 4 графы 3 и 4. В графе 3 значения t возводим в квадрат, в графе 4 находим произведение yt. В систему нормальных уравнений подставляем данные итоговой строки, в которой предварительно произведем суммирование:

6a0 + 21a1 = 7725 *3,5

21a0 + 91a1 = 28025

Умножим каждый член первого уравнения на 3,5, а затем вычтем из второго уравнения первое:

21a0 + 91a1 = 28025

21a0 + 73,5a1 = 27037,5.

0a0 + 17,5a1 = 987,5.

a1 = 56,429.

Подставим его значение в первое уравнение, чтобы рассчитать параметр a0:

6a0 +21*56,429 = 7725.

a0 = 1089,9985.

Уравнение тренда примет вид:

Yt = 1089,9985 + 56,429t

Подставляя в него значения t для каждого года, найдем выровненные (теоретические) значения и занесем их в графу 5 таблицы 4. Например, для 2000 года (1-й год) получим:

1089,9985+56,429*1 = 1146,4275 чел.;

для 2001 года (2-й год) получим:

1089,9985+56,429*2=1202,8565 чел. и т.д.

Если расчеты сделаны правильно, то итог колонки 5 должен совпасть с итогом колонки 1, в нашем случае так и получилось (разница в цифрах получилась из-за сокращений при расчетах).

Спрогнозируем объем поставок на 2007 год, он будет 8-м годом:

1089,9985 + 56,429*8 = 1541,4305 чел.

На рисунке 3 представим выровненные (теоретические) и фактические значения численности работников.

Рис. 3. Фактические и теоретические значения численности работников

Ответ: за 6 рассматриваемых месяцев численность работников в среднем возросла на 45 чел., или на 3,5%.

По годам наибольший прирост наблюдался в 2002 году по сравнению с 2001 годом в размере 16,4%, или 180 чел. В 2005 году за каждым процентом прироста «скрывалось» 13,7 чел., во всех остальных годах - меньше.

Была спрогнозирована численность работников на 2007 год с помощью аналитического выравнивания по прямой - 1541 чел.

Задание №5

Рассчитайте парный коэффициент корреляции между объемом товарооборота и размером издержек обращения для магазинов №№ 5..10 и 20…29.

Таблица с данными

Решение

Выразим линейную форму зависимости в виде уравнения регрессии:

(33)

Решить это уравнение можно при условии, что параметры и примут числовые значения. Их можно найти по следующей системе нормальных уравнений:

(34)

где х - значения факторного признака, в нашем примере суммы товарооборота;

y - значения результативного признака - издержек обращения;

n - число парных значений факторного и результативного признаков = 16. Приступая к расчетам , исходные данные предварительно ранжируем (располагаем по возрастанию значений факторного признака - издержек обращения).

Таблица 10. Данные для составления уравнения регрессии

Итоговые данные граф 2-5 подставляем в систему нормальных уравнений (2):

16 *190,6875

Каждый член первого уравнения умножаем на 190,6875, и из второго вычитаем первое:

3051

121649,4375= 14101,10625

Подставим значение в первое уравнение и найдем параметр :

Уравнение регрессии примет вид:

Подставляя в него значения х, найдем выровненные значения . Так, при товарообороте 235 () выровненное значение издержек обращения составит:

И так далее подставляем все значения товарооборота.

Выровненные значения помещены в таблицу 1 в графу 6. Нужно, чтобы сумма выровненных значений была приблизительно равна сумме фактических значений результативного признака, в нашем случае так и есть.

Приступая ко второму этапу корреляционного анализа, определим коэффициент корреляции по формуле:

. (35)

Ведя расчеты по ней, пользуемся данными итоговой строки таблицы 10 и определяем:

;

Средние квадратические отклонения по признакам х и y найдем по формулам:

(36)

где и - средние значение по x и y мы уже нашли.

Среднюю величину из квадратов переменных х рассчитываем по формуле:

Также найдем среднюю величину из квадратов переменных y:

Следовательно, средние квадратические отклонения будут равны:

Коэффициент корреляции составит:

Для качественной оценки тесноты связи можно воспользоваться таблицей (по шкале Чеддока):

Как видно из расчетов, полученный нами коэффициент корреляции, равный 0,939, говорит о сильной связи между товарооборотом и издержками обращения. Следовательно, спрогнозировав товарооборот, можно будет получить и прогнозную сумму издержек обращения.

Ответ: полученный нами коэффициент корреляции, равный 0,939, говорит о сильной связи между товарооборотом и издержками обращения.

Список литературы

1. Башина О.Э. Общая теория статистики: Учебник - 5-е изд. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 440 с. 2. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2006. -656 с.

3. Ефимова М.Р. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 368 с.

4. Минашкин В.Г., Козарезова Л.О. Основы теории статистики: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 144 с.

5. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики: учебник для вузов. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 408 с.

6. Статистика: Учебник / под ред. В.С. Мхитаряна. - М.: Экономистъ, 2006. - 671с.

Размещено на Allbest.ru