Основи математичної статистики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задано вибiрку, яка характеризує мiсячний прибуток пiдприємцiв (в тис. грн.)

· Скласти варiацiйний ряд та статистичний розподiл вибiрки, побудувати полiгон частот.

· Скласти iнтервальний статистичний розподiл вибiрки, розбивши промiжок (x min, x max) на 5 рiвних промiжкiв, та побудувати гiстограму частот.

· Обчислити вибiрковi характеристики: вибiркове середне, вибiркову дисперсiю, вибiркове середне квадратичне вiдхилення, моду та медiану, якщо вибiрка має такий вигляд:

37,33,33,32,37,30,40,34,35,34,36,35,41,32,40,34,31,39,38,35

Розв'язок

Запишемо елементи вибірки в порядку зростання, таким чином отримаємо варіаційний ряд:

37,33,33,32,37,30,40,34,35,34,36,35,41,32,40,34,31,39,38,35.

У вибірці маємо 12 різних значень, тобто варіант:

30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41.

Знайдемо їх частоти:

.

Запишемо шуканий статистичний розподіл вибірки:

Для того щоб побудувати полігон частот, відкладемо на осі абсцисс значення варіант x_i, а на осі ординат - значення відповідних їм частот n_i і послідовно з'єднаємо між собою точки x_i, n_i відрізками.

Складемо інтервальний статистичний розподіл вибірки. Для цього розіб'ємо інтервал [3_;--41]--на 5 рівних проміжків довжиною .

Для побудови гістограми обчислимо щільності частоти:

Побудуємо гістограму частот.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обчислимо вибіркові середнє, дисперсію, середнє квадратичне відхилення та медіану.

Вибіркове середнє:

Середній квадрат відхилення значень елементів вибірки від вибіркового середнього називається вибірковою дисперсією. Вибіркова дисперсія дорівнює різниці середнього квадрата елементів вибірки і квадрата вибіркового середнього:

Середнє квадратичне відхилення знаходимо як квадратний корінь з вибіркової дисперсії:

Медіаною Me називається значення середнього елемента варіаційного ряду. Якщо обсяг вибірки n= 2m парний (як, в нашому випадку), то медіаною буде середнє значення елементів варіаційного ряду з номерами m і m +1:

.

Модою (Mo) називається варіанта з найбільшою частотою:

.

статистичний вибірка дисперсія інтервал

2. Нехай генеральна сукупнiсть має нормальний роподiл. Знайти довiрчi iнтервали, якi покривають з надiйнiстю г=0,95 математичне сподiвання б та середнє квадратичне вiдхилення у генеральної сукупностi, якщо з неї одержано вибiрку:

Розв'язок

Обсяг вибірки: n = 7+15+28+45+78+50+30+17+8=278.

Для побудови довірчих інтервалів обчислимо вибіркове середнє і вибіркове середнє квадратичне відхилення за формулами:

Оскільки середнє квадратичне генеральної сукупності невідоме, то визначаємо довірчий інтервал для математичного сподівання. Знайдемо виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення:

Довірчий інтервал з надійністю г для математичного сподівання a нормально розподіленої генеральної сукупності при відомому середньому квадратичному відхиленні має вигляд:

, де - точність оцінки.

Величину t знайдемо за таблицею значень функції . При значеннях г =0,95 і n = 100 = 1,98.

Розраховуємо довірчий інтервал:

Отже, інтервал (10,45; 11,83) покриває параметр a з надійністю г = 0,95.

Визначимо тепер довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення у генеральної сукупності.

Величина є табличним значенням. При г =0,95 і n =100 =0,14.

Оскільки < 1, то довірчий інтервал нормально розподіленої генеральної сукупності визначається наступним чином:

Отже, інтервал (3,02; 4,00) покриває параметр у з надійністю г = 0 95.

3. За даними вибiрки, використовуючи критерiй Пiрсона при рiвнi значущостi б=0,05, перевiрити, чи справджується статистична гiпотеза про нормальний розподiл генеральноi сукупностi X:

Розв'язок

Визначимо обсяг вибірки: n = 5+9+11+14+18+15+12+10+6=100.

Обчислимо вибіркове середнє:

Визначимо вибіркове середнє квадратичне відхилення:

Визначимо теоретичні частоти. З цією метою використаємо формулу:

,

де n - обсяг вибірки; h - крок (різниця між двома сусідніми варіантами); - диференціальна функція Лапласа:

.

В нашому завдання значення при і = 1, 2,…, 9 будуть наступними:

Враховуючи, що різниця між двома сусідніми варіантами h = 2, а обсяг вибірки n = 100, визначимо теоретичні частоти. Для цього складемо розрахункову таблицю (значення диференціальної функції Лапласа представляють собою табличні величини):

Знайдемо спостережуване значення критерію Пірсона за формулою:

За таблицею критичних точок розподілу ч² при заданому рівні значущості б = 0 05, і кількості ступенів вільності k =s - 3 = 9 - 3 = 6 (s - кількість варіант вибірки) знайдемо критичну точку правосторонньої критичної області:

.

Оскільки < , то немає підстав відхиляти статистичну гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності: емпіричні і теоретичні частоти різняться несуттєво (випадково).

Размещено на Allbest.ru