Анализ динамических систем, описывающих взаимодействие компаний, в первом приближении и построение имитационной модели на их основе

На представленных далее рисунках можно наблюдать четыре равновесных состояния нулевой точки, описанных в предыдущем разделе для данной динамической системы. А также на рисунках устойчивое положение точки с одной ненулевой координатой.

Рисунок 2.7. Фазовый портрет для системы (2.5) с параметрами А-B

2.3 Интегральные траектории систем

Модель протокооперации с ограничением Ферхюльста

Как и в предыдущей главе решим каждое из дифференциальных уравнений по отдельности и явно выразим зависимость переменных от временного параметра.

 (2.8)

(2.9)

Из полученных уравнений видно, что значение каждой из переменных растет, что и демонстрируется на трехмерной модели ниже.

Рисунок 2.8. Трехмерная модель для уравнения (2.8)

Данный вид графика в начале чем-то напоминает трехмерное изображение мальтузианской модели без насыщения, рассматриваемую в главе 1, поскольку имеет аналогичный ей быстрый рост, но в дальнейшем можно заметить снижение скорости роста из-за достижения ограничения на объем продукции. Таким образом итоговый внешний вид интегральных кривых схож с графиком логистического уравнения, которое было использовано, чтобы ограничить одно из слагаемых.

Модель протокооперации с двумя ограничениями.

Решаем каждое из уравнений с помощью средств Wolfram Alpha. Таким образом, зависимость функции x(t) сводится к следующему виду:

 (2.10)

Для второй функции ситуация аналогична, поэтому опустим ее решение. Численные значения появились из-за замены параметров некими подходящими им значениями, что не влияет на качественное поведение интегральных кривых. На представленных ниже рисунках заметно использования ограничений на рост, поскольку со временем экспоненциальный рост переходит в логарифмический.

Рисунок 2.9. Трехмерная модель для уравнения (2.10)

Расширенная модель протокооперации

Практически аналогично моделям при мутуализме. Единственная разница в более быстром относительно тех моделей росте, что видно из представленных ниже уравнений (если посмотреть на степень экспоненты) и графиков. Интегральная кривая должна принимать вид экспоненты.

(2.11)

(2.12)

Расширенная модель протокооперации с логистическим ограничением

Зависимость x(t) выглядит следующим образом:

Без графика сложно оценить, поведение функции, поэтому воспользовавшись уже известными нам средствами, построим его.

Рисунок 2.10 Трехмерная модель для уравнения

Значение функции убывает при не малых значениях другой переменной, что связано с отсутствием ограничений на отрицательное билинейное слагаемое, и является очевидным итогом

2.4 Системная динамика взаимодействующих компаний

Модель протокооперации с ограничением Ферхюльста.

Построим систему (2.2). Используя уже известные нам инструменты строим имитационную модель. В этот раз в отличие от мутуалистических моделей, в модели будет присутствовать логистическое ограничение.

Рисунок 2.11. Модель системной динамики для системы (2.2)

Запустим модель. В этой модели стоит отметить тот факт, что рост от взаимосвязи ничем не ограничен, а рост продукции без влияния другого имеет специфическое ограничение. Если посмотреть на само выражение логистической функции, то можно заметить, что в случае, когда переменная (количество товаров) превышает максимально возможный объем хранения, слагаемое становится отрицательным. В случае, когда существует лишь логистическая функция, такое невозможно, но при дополнительном всегда положительном факторе роста, такое возможно. И сейчас важно понять, что логистическая функция справится с ситуацией не слишком быстрого роста количества продукции, к примеру, линейного. Обратим внимание на рисунки ниже.

Рисунок 2.12. Пример работы модели системной динамики для системы (2.2)

На левом рисунке продемонстрирован 5 шаг работы программы соответствующей предложенной модели. Но в данный момент стоит обратить внимание на правый рисунок.

Во-первых, для одного из входящих потоков для Y_stock удалена связь с х, выраженная в слагаемом . Это сделано для того, чтобы показать разницу в работе модели при линейном всегда положительном потоке, и билинейном росте, который представлен для X_stock. При линейных неограниченных потоках после превышения параметра К система в какой-то момент приходит к равновесию (в данной модели, равновесное состояние -- 200 тысяч единиц товара). Но намного раньше билинейный рост приводит к резкому роста количества товара, переходящем в бесконечность. Если же оставить и правый и левый постоянно положительные потоки билинейными, то уже приблизительно на 20-30 шаге, значение накопителя приходит к разности двух бесконечностей.

Исходя из вышеперечисленного, можно с уверенностью утверждать, что в случае дальнейшего использования подобных моделей, необходимо ограничить любой положительный рост.

Модель протокооперации с двумя ограничениями.

Выяснив недочеты прошлой модели и введя ограничение на второе слагаемое фактором насыщения, построим и запустим новую модель.

Рисунок 2.13. Модель системной динамики и пример ее работы для системы (2.3)

Данная модель, в конечном итоге, приносит долгожданные результаты. Получилось ограничить рост значений накопителя. Как видно из правого рисунка для обоих предприятий равновесие достигается при небольшом превышении объема хранения.

Расширенная модель протокооперации.

При рассмотрении системной динамики данной модели будет продемонстрированы возможности программной среды AnyLogic для красочной визуализации моделей. Все предыдущие модели были построены с использованием лишь элементов системной динамики. Поэтому сами модели выглядели неброско, они не позволяли отследить динамику изменения количества продукции во времени и изменять параметры во время работы программы. При работе с этой и следующей моделями постараемся воспользоваться более широким спектром возможностей программы для изменения трех указанных выше недостатков.

Во-первых, в программе наряду с разделом «системная динамика» в программе также присутствуют разделы «картинки», «3D-объекты», позволяющие разнообразить модель, что полезно при дальнейшей ее презентации, поскольку делает вид модели «приятнее».

Во-вторых, для отслеживания динамики изменения значений модели, существует раздел «статистика», который позволяет добавлять диаграммы и различные инструменты сбора данных, связывая их с моделью.

В-третьих, для изменения параметров и других объектов во время выполнения модели, имеется раздел «элементы управления». Объекты данного раздела позволяют изменять параметры во время работы модели (пример, «бегунок»), выбирать различные состояния объекта (пример, «переключатель») и выполнять другие действия изменяющие изначально заданные данные во время работы.

Модель подходит для обучающего знакомства с динамикой изменения продукции предприятий, но отсутствие ограничений на рост не позволяют использовать ее на практике.

Расширенная модель протокооперации с логистическим ограничением.

Используя уже готовую предыдущую модель, добавим в нее параметры из логистического уравнения для ограничения роста.

Опустим построение модели, поскольку на предыдущих пяти моделях, представленных в работе, уже были продемонстрированы все необходимые инструменты и принципы работы с ними. Стоит лишь отметить, что ее поведение схоже с моделью протокооперации с ограничением Ферхюльста. Т.е. отсутствие насыщения мешает ее практическому применению.

После анализа моделей в условиях протокооперации определим несколько основных моментов:

1. Модели рассматриваемый в данной главе на практике подходят лучше мутуалистических, поскольку имеют ненулевые положения устойчивого равновесия даже при двух слагаемых. Напомню, в моделях мутуализма подобного мы смогли достичь лишь при добавлении третьего слагаемого.

2. Подходящие модели должны иметь ограничения на каждом из слагаемых, поскольку в противном случае, резкий рост билинейных множителей «рушит» всю имитационную модель.

3. Исходя из пункта 2, при добавлении в расширенную модель протокооперации с ферхюльстовским ограничением фактора насыщения, а также добавления нижнего критического количества продукции, модель должна стать максимально приближенной к реальному положению вещей. Но не стоит забывать, что такие манипулирования системой усложнят ее анализ.

Заключение

В результате проведенного исследования был проведен анализ шести систем, описывающих динамику производства продукции предприятиями, взаимно влияющими друг на друга. В итоге равновесные точки и типы их устойчивости были определены одним из следующих способов: аналитически, либо благодаря построенным фазовым портретам в случаях, когда аналитическое решение по каким-либо причинам не представляется возможным. Для каждой из систем были построены фазовые диаграммы, а также построены трехмерные модели, на которых при проецировании возможно получить интегральные кривые в плоскостях (x,t), (y,t). После с использованием среды моделирования AnyLogic были построены все модели и рассмотрены варианты их поведения при определенных параметрах.

После проведения анализа систем и построения их имитационных моделей становится очевидным, что данные модели могут рассматриваться лишь в качестве обучающих, либо же для описания макроскопических систем, но никак не в качестве системы поддержки принятия решений для отдельных компаний, из-за своей низкой точности и в некоторых местах не совсем достоверном представлении происходящих процессов. Но также не стоит забывать, что какой-бы верной ни была описывающая модель динамическая система у каждой компании/организации/отрасли свои собственные процессы и ограничения, таким образом создать и описать общую модель не представляется возможным. В каждом конкретном случае она будет видоизменяться: усложняться или наоборот упрощаться для дальнейшей работы.

Делая заключение из выводов к каждой главе, стоит заострить внимание на выявленном факте, что введение ограничений на каждое из слагаемых уравнения хоть и усложняет систему, но также позволяет обнаружить устойчивые положения системы, а также приблизить ее к происходящему в действительности. И стоит отметить, что модели протокооперации больше подходят для изучения, поскольку имеют ненулевые устойчивые положения в отличие от рассмотренных нами двух мутуалистических моделей.

Таким образом, цель данного исследования была достигнута, а задачи выполнены. В будущем в качестве продолжения данной работы будут рассмотрены расширенная модель взаимодействия вида протокооперации с тремя введенными на нее ограничениями: логистическим, фактором насыщения, нижней критической численностью, что должно позволить создать более точную модель для системы поддержки принятия решений, а также модель с тремя компаниями. В качестве расширения работы можно рассмотреть и два других типа взаимодействия помимо симбиоза, о которых упоминалось в работе.

Литература

1. Bhatia Nam Parshad; Szegх Giorgio P. (2002). Stability theory of dynamical systems. Springer.

2. Blanchard P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Differential Equations. London: Thompson. pp. 96-111.

3. Boeing, G. (2016). Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction. Systems. 4 (4): 37.

4. Campbell, David K. (2004). Nonlinear physics: Fresh breather. Nature. 432 (7016): 455-456.

5. Dmitriev V.A., Maltseva S.V., Dmitriev A.V. (2015). The Nonlinear Differential Dynamics of Interdependent Branches of Industry, in: Proceedings of 2nd International Conference on Advances in Management, Economics and Social Science. NY : Institute of Research engineers and Doctors. P. 34-38.

6. Elton C.S. (1968) reprint. Animal ecology. Great Britain: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). Industrial Dynamics. MIT Press.

8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Economic Dynamics (Third ed.). Berlin: Springer. pp. 407-428.

9. Gershenfeld Neil A. (1999). The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge, UK: Cambridge University Press.

10. Goodman M. (1989). Study Notes in System Dynamics. Pegasus.

11. Grebogi C, Ott E, and Yorke J. (1987). Chaos, Strange Attractors, and Fractal Basin Boundaries in Nonlinear Dynamics. Science 238 (4827), pp 632-638.

12. Hairer Ernst; Nшrsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York

13. Hanski I. (1999) Metapopulation Ecology. Oxford University Press, Oxford, pp. 43-46.

14. Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus: Single and Multivariable (6 ed.). John wiley.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Global analytic first integrals for the real planar Lotka-Volterra system, J. Math. Phys.

16. Jordan D.W.; Smith P. (2007). Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers (4th ed.). Oxford University Press.

17. Keen Peter, (1980).Decision support systems: a research perspective. Cambridge, Mass.

18. Khalil Hassan K. (2001). Nonlinear Systems. Prentice Hall.

19. Lamar University, Online Math Notes - Phase Plane, P. Dawkins.

20. Lamar University, Online Math Notes - Systems of Differential Equations, P. Dawkins.

21. Lang Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

22. Law Averill M. (2006). Simulation Modeling and Analysis with Expertfit Software. McGraw-Hill Science.

23. Lazard D. (2009). Thirty years of Polynomial System Solving, and now? Journal of Symbolic Computation. 44 (3): 222-231.

24. Lewis Mark D. (2000). The Promise of Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development. Child Development. 71 (1): 36-43.

25. Malthus T.R. (1798). An Essay on the Principle of Population, in Oxford World's Classics reprint. p 61, end of Chapter VII

26. Morecroft John (2007). Strategic Modelling and Business Dynamics: A Feedback Systems Approach. John Wiley & Sons.

27. Nolte D.D. (2015), Introduction to Modern Dynamics: Chaos, Networks, Space and Time, Oxford University Press.

Размещено на Allbest.ru