Моделювання екзотичних опціонів



Розділ 4. Процентні деривативи та опціони

4.1 Процентні деривативи: стандартні ринкові моделі

Процентні деривативи - це фінансові інструменти, розмір виплат за якими залежить від процентних ставок. У 1980-1990-х роках обсяг торгівлі процентними деривативами різко зріс як на біржовому, так і позабіржовому ринках. З'явилася велика кількість нових цінних паперів, що враховують специфічні запити споживачів. Таким чином, трейдери зіткнулися з серйозною проблемою - створити надійні процедури, що дозволяють оцінити і хеджувати ці фінансові інструменти.

Оцінювати процентні деривативи складніше, ніж фондові або валютні похідні цінні папери. Це пояснюється наступними причинами.

1. Поведінка конкретної процентної ставки складніша, ніж поведінка цін акцій або валютних курсів.

2. При оцінці багатьох процентних деривативів необхідно розробляти модель, що описує поведінку всієї кривої прибутковості нульового купона.

3. Волатильність кривої прибутковості в різних точках має різну величину.

4. Процентні ставки використовуються не тільки для дисконтування виплат, а й для визначення їх обсягу.

Модель Блека-Шоулза вперше була опублікована в 1973 році і з тих пір завоювала широку популярність. Згодом ця модель була вдосконалена і дозволила оцінювати валютні, індексні і ф'ючерсні опціони. Трейдерам стало дуже зручно користуватися припущенням про логнормальний розподіл, що лежить в основі цієї моделі, і мірами волатильності, що описують невизначеність. Таким чином, немає нічого дивного в тому, що дослідники спробували застосувати цю модель для оцінки процентних деривативів.

Розглядаються три найбільш популярних процентних деривативів (облігаційні опціони, процентні опціони "кеп" і "фло", а також свопціони) і обговорюються методи їх оцінки на основі припущення про логнормальність, прийнятого в моделі Блека-Шоулза. Модель, яку ми будемо використовувати, звичайно називається моделлю Блека, оскільки вона дуже нагадує формули, запропоновані Фішером Блеком для оцінки товарних ф'ючерсів. Якщо в рамках цієї моделі ф'ючерсний контракт і опціон мають однакові терміни дії, то ф'ючерсна ціна опціону дорівнює його ціні спот у момент погашення. Це означає, що модель Блека дозволяє оцінити не тільки ціну спот, а й ф'ючерсну ціну опціону.

4.1.1 Облігаційні опціони

Облігаційний опціон - це опціон на покупку або продаж облігації в певний день за встановленою ціною. Крім позабіржового ринку, облігаційні опціони часто супроводжують випуск облігацій, щоб підвищити їх привабливість для потенційних покупців (такі опціони називаються внутрішніми).

Внутрішні облігаційні опціони

Прикладом внутрішнього облігаційного опціону являється відклична облігація. Це - облігація, яка містить умови, що дозволяють емітенту в майбутньому викупити її назад заздалегідь встановленою ціною у визначений момент. Власник такої облігації продає емітенту опціон на її покупку. Ціна виконання цього опціону представляє собою заздалегідь встановлену ціну, за якою облігація повинна бути продана емітенту. Відкличні облігації, як правило, не можна викуповувати протягом перших кількох років після її випуску. (Цей інтервал часу називається періодом блокування.) Потім вартість опціону з часом зазвичай падає. Наприклад, при випуску 10-річної відкличної облігації протягом перших двох років емітент може не мати привілеїв. Після цього емітент може отримати право викупити облігацію: на третій і четвертий роки - за 110 дол., на п'ятий і шостий - за 107,5 дол., на сьомий і восьмий - за 106 дол., а на дев'ятий та десятий - за 103 дол. Вартість опціону на купівлю облігації відбивається на її купонній прибутковості. Облігації, що допускають достроковий викуп, звичайно мають більш високу прибутковість, ніж інші.

Ще одним прикладом внутрішнього опціону є облігація з правом дострокового погашення. Така облігація містить умови, які дозволяють власнику вимагати дострокового погашення облігації за заздалегідь встановленою ціною у визначені моменти часу. Власник такої облігації разом з нею купує опціон на її продаж. Оскільки опціон на продаж облігації підвищує її вартість, такі облігації мають більш низьку купонну прибутковість, ніж інші. Простим прикладом облігації з правом дострокового відкликання є 10-річна облігація, власник якої має право достроково погасити її в кінці п'ятого року. (Такі облігації іноді називаються стисливими.)

Позикові та депозитні інструменти також часто містять внутрішні облігаційні опціони. Наприклад, п'ятирічний депозит з фіксованою ставкою, який у будь-який момент можна закрити без штрафних санкцій, містить американський опціон на продаж облігації. (Депозит - це облігація, власник якої має право повернути її фінансовій організації в будь-який момент.) Авансові привілеї за звичайними та іпотечними позиками також еквівалентні опціонам на купівлю облігацій.

На закінчення відзначимо, що будь-яка угода про видачу грошової позики, яка укладена банком або іншою фінансовою організацією, представляє собою опціон на продаж облігації. Розглянемо, наприклад, ситуацію, в якій банк встановлює для своїх потенційних позичальників п'ятирічну процентну ставку на рівні 12% і стверджує, що ця ставка буде діяти на протязі наступних двох місяців. Фактично, клієнт банку отримує право в будь-який момент протягом найближчих двох місяців продати фінансовій організації п'ятирічну облігацію з 12%-ним купоном за її номінальною вартістю.

Європейські облігаційні опціони

Багато позабіржові облігаційні опціони і деякі опціони, які супроводжують випуск облігацій, є європейськими. Розглянемо тепер стандартні ринкові моделі, використовувані при оцінці європейських опціонів.

Як правило, в основі таких моделей лежить припущення про те, що ціна облігації в момент її погашення має логнормальний розподіл. Змінна вибирається так, щоб величина була стандартним відхиленням логарифма ціни облігації в момент завершення опціону. Таким чином, формули для обчислення європейського облігаційного опціону мають наступний вигляд.

Величину можна обчислити за формулою

де - ціна облігації в нульовий момент часу, a - поточна вартість купонів, що погашаються протягом усього терміну обігу облігації. У цій формулі як ціна спот, так і форвардна ціна облігації є готівковими цінами, а не котируваннями.

Ціна виконання у формулах (4.1) і (4.2) повинна бути готівковою. Таким чином, щоб вибрати правильне значення , необхідно точно врахувати умови опціону. Якщо ціна виконання являє собою грошову суму, на яку обмінюється облігація під час її погашення, то величину слід встановити рівною цій ціні виконання. Якщо ж ціна виконання являє собою котирування, що застосовується при виконанні опціону, величину слід встановити рівною сумі ціни виконання і доходу, накопиченого до моменту погашення. Трейдери називають котирувальну ціну облігації "чистою", а на особисту ціну - "брудною".

Як показано на рис. 4.1, стандартне відхилення логарифма ціни облігації з часом змінюється. У поточний момент стандартне відхилення дорівнює нулю, оскільки щодо сьогоднішньої ціни облігації немає ніякої невизначеності. У момент погашення облігації стандартне відхилення її ціни також дорівнює нулю, оскільки нам відомо, що в цей момент її ціна дорівнює номінальній вартості. Між теперішнім моментом і терміном погашення облігації стандартне відхилення спочатку зростає, а потім спадає. Волатильність , яка використовується при оцінці європейського опціону на купівлю або продаж облігації, обчислюється за наступною формулою.

Рис. 4.1. Стандартні відхилення логарифма ціни облігації як функція від часу.



Типова форма волатильності як функції від терміну дії опціону представлена на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Варіація волатильності ціни облігації в залежності від терміну дії опціону.

Волатильність прибутковості

Як волатильності, що характеризує мінливість облігаційного опціону, часто використовується волатильність прибутковості, а не ціни. Для перетворення волатильності котирувальної прибутковості в волатильність ціни використовується поняття дюрації. Припустимо, що - модифікована дюрація. Залежність між зміною форвардної ціни облігації та зміною її форвардної прибутковості має наступний вигляд.



Волатильність - це міра стандартного відхилення відносних змін величини змінної. Отже, це рівняння передбачає, що волатильність форвардної ціни облігації, використовувану в моделі Блека, можна пов'язати з волатильністю форвардної прибутковості облігації з допомогою наступного наближеного співвідношення.

Тут - початкове значення змінної . При виборі волатильності дохідності для облігаційного опціону, як правило, використовується неявне припущення, що її можна перетворити на волатильність ціни, використовуючи формулу (4.6), і що для обчислення ціни облігації цю волатильність можна використовувати спільно з формулами (4.1) і (4.2). Припустимо, що модифікована дюрація облігації, що лежить в основі опціону "колл", у момент його виконання дорівнює п'яти рокам, форвардна прибутковість дорівнює 8%, а волатильність форвардної прибутковості, встановлена брокером, дорівнює 20%. Це означає, що ринкова ціна опціону, відповідна котируванні брокера, дорівнює ціні, обчисленої за формулою (4.1), в якій волатильність а дорівнює

5 х 0,08 х 0,2 = 0,08,

тобто 8% річних. Як випливає з рис. 4.1, форвардна волатильність облігації залежить від розглянутого опціону. А також форвардна волатильність дохідності, розміщена вище, є постійною. З цієї причини трейдери вважають за краще працювати саме з нею.

4.1.2 Процентні опціони "кеп" і "фло"

Одним з найбільш популярних процентних опціонів, пропонованих фінансовими організаціями на позабіржовому ринку, є процентний опціон "кеп". Щоб краще зрозуміти його сутність, спочатку слідує розглянути вексель з плаваючою ставкою, періодично встановлюється на рівні ставки LIBOR. Інтервал часу між моментами установки процентної ставки називається розрахунковим. Припустимо, що розрахунковий інтервал дорівнює трьом місяцям. Процентна ставка за векселем на перші три місяці дорівнює початковій тримісячній ставці LIBOR, відсоткова ставка за векселем на наступні три місяці дорівнює тримісячній ставці LIBOR, що домінує на ринку, і т.д.

Мета процентного опціону "кеп" ("шапка") - застрахуватися від того, що прибутковість за плаваючою ставкою перевищить певний рівень. Цей рівень називається граничним. Припустимо, що основна сума дорівнює 10 млн. дол., розрахунковий інтервал векселя дорівнює трьом місяцям, тривалість опціону дорівнює п'яти рокам, а граничний рівень дорівнює 4%. (Оскільки виплати здійснюються поквартально, граничний рівень установлюється з урахуванням поквартального нарахування.) Опціон "кеп" представляє собою страховку від того, що плаваюча процентна ставка підніметься вище 4%.

Поки ми будемо ігнорувати календарні поправки і припустимо, що між моментами виплат проходить рівно 0,25 року. Припустимо також, що в момент встановлення процентної ставки тримісячна ставка LIBOR дорівнює 5%. Таким чином, через три місяці розмір виплати за векселем з плаваючою ставкою складе

0,25 х 0,05 х 10 мільйонів = 125 000 дол.

Якщо ставка LIBOR була рівною 4%, розмір виплати був би рівний

0,25 х 0,04 х 10 мільйонів = 100000 дол.

Таким чином, виграш по опціону "кеп" дорівнює 25 000 дол. Зверніть увагу, що виграш відбувається не в день установки нової відсоткової ставки, а на три місяці пізніше. Це відображає існування звичайного тимчасового лага між спостерігаючою процентною ставкою і відповідними виплатами.

У кожен момент встановлення нової відсоткової ставки протягом терміну дії опціону реєструється значення ставки LIBOR. Якщо ставка LIBOR менше 4%, то через три місяці опціон "кеп" не принесе ніякого виграшу. Якщо ж ставка LIBOR більше 4%, то через квартал виграш буде дорівнює сумі, отриманої шляхом застосування чверті надлишкової процентної ставки до основної суми. Зверніть увагу на те, що опціон "кеп", як правило, організовується так, щоб первісна ставка LIBOR, навіть якщо вона перевищує граничний рівень, не приносила негайного виграшу. У нашому прикладі опціон "кеп" триває п'ять років. Отже, протягом терміну його дії буде 19 моментів, в яких процентна ставка встановлюється заново (в моменти 0,25, 0,5, 0,75, ..., 4,75 років), і 19 потенційних виграшів (в моменти 0,50, 0,75, 1,00, ..., 5,00 років).

Опціон "кеп" як портфель, що складається з процентних опціонів

Розглянемо опціон "кеп", термін дії якого дорівнює , основна сума дорівнює , а граничний рівень дорівнює . Припустимо, що нові процентні ставки встановлюються в моменти , , ..., . Нехай . Позначимо черезпроцентну ставку, встановлену на проміжок часу між моментами і і спостережувану у момент . Виграш по опціону "кеп" у момент , , дорівнює

де . (Величини і встановлюються з урахуванням того, що частота нарахування дорівнює частоті зміни процентних ставок.)

Формула (4.7) описує виграш по опціону "колл", що виникає в момент при ставці LIBOR, яка спостерігається в момент Опціон "кеп" представляє собою портфель таких опціонів. Ставки LIBOR реєструються в моменти , , ..., , а відповідні виграші виникають в моменти , ..., . Компоненти опціону "кеп" називаються кеплетами.

Опціон "кеп" як портфель облігаційних опціонів

Процентний опціон "кеп" можна представити у вигляді портфеля опціонів на продажу облігацій з нульовим купоном, виграші за якими виникають безпосередньо в момент їх підрахунку. Виграш у формулі (4.7.) у момент еквівалентний величині, обчисленої в момент продисконтованій на проміжок ( ).

Простими алгебраїчними перетвореннями цей вираз можна звести до наступного.

являє собою зареєстровану в момент вартість облігації з нульовим купоном, виплата по якій у момент дорівнює Отже, вираз у формулі (4.8) представляє собою виграш по опціону на продаж облігації з нульовим купоном, термін обігу якої закінчується в момент , а номінальна вартість дорівнює , за умови що термін дії опціону минає в момент , а ціна виконання опціону дорівнює. Таким чином, процентний опціон "кеп" можна інтерпретувати як портфель європейських опціонів на продаж облігацій з нульовим купоном.

Опціони "фло" і "коллар"

Процентні опціони "фло" і "коллар" (іноді їх також називають рамковими угодами) аналогічні опціону "кеп". Опціон "фло" приносить виграш, коли відсоткова ставка за відповідним векселем з плаваючою ставкою падає нижче встановленого рівня. Використовуючи введені раніше позначення, можна виграш по опціону "фло" у момент , де , обчислити за формулою

Аналогічно процентному опціоном "кеп", процентний опціон "фло" можна представити у вигляді портфеля опціонів на продаж процентних ставок або у вигляді портфеля, що містить опціони на купівлю облігацій з нульовим купоном. Компоненти опціону "фло" називаються флорлетами. Опціон "коллар" являє собою фінансовий інструмент, мета якого - гарантувати, що плаваюча процентна ставка за відповідним векселем завжди лежить в певному діапазоні. Опціон "коллар" є комбінацією довгої позиції по опціону "кеп" і короткої позиції по опціону "фло". Він часто конструюється так, щоб ціна опціону "кеп" в початковий момент часу дорівнювала ціні опціону "фло". Таким чином, вартість висновку опціону "коллар" дорівнює нулю.

4.1.3 Європейські свопціони

Ще одним різновидом процентних опціонів, популярність яких постійно зростає, є свопціони - опціони на свопи процентних ставок. Вони дають власникові право у визначений момент у майбутньому укласти угоду про обмін відсоткової ставки. (При цьому, розуміється, власник свопціона не зобов'язаний його виконувати.) Багато великих фінансових організацій, що пропонують своїм корпоративним клієнтам угоди про обмін процентних ставок, поряд з ними готові продавати і купувати свопціони. Як показано далі у прикладі з ділової практики, свопціон можна інтерпретувати як різновид облігаційного опціону. Для ілюстрації розглянемо ситуацію, в якій якась компанія планує через шість місяців укласти договір про позику за плаваючою ставкою і перетворити цей договір у позику за фіксованою ставкою. У такому випадку компанія могла б купити свопціон, що дає їй право протягом п'ятирічного періоду, що настає після закінчення шести місяців, отримувати шестимісячну ставку LIBOR і виплачувати певну фіксовану процентну ставку, скажімо 8% річних. Якщо фіксована ставка, яка в рамках звичайного п'ятирічного свопу обмінюється на плаваючу, через шість місяців виявиться менше 8% річних, компанія відмовиться виконувати свопціон і укладе звичайний своп. Однак якщо ця ставка перевищить 8% річних, компанія віддасть перевагу виконати свопціон і отримати своп на більш вигідних умовах.

Свопціони, використовувані так, як описано вище, надають компаніям гарантію, що фіксована процентна ставка, яку вони повинні виплатити в рамках позики у визначений момент у майбутньому, не перевищить визначений рівень. Свопціони представляють собою альтернативу форвардними свопами (які іноді називаються відстроченими свопами). З одного боку, форвардні свопи не вимагають авансових витрат, але, з іншого боку, вони зобов'язують компанію укласти своп. Свопціони, навпаки, дозволяють компанії отримати вигоду зі сприятливих коливань процентних ставок, страхуючи її від збитків. Різниця між свопціоном та форвардними свопом аналогічна різниці між валютним опціоном і форвардним контрактом на іноземну валюту.

Приклад з ділової практики. Свопціони та облігаційні опціони

Процентний своп можна інтерпретувати як узгодження, в рамках якого облігація з фіксованою ставкою обмінюється на облігацію з плаваючою ставкою. У початковий момент вартість облігації з плаваючою ставкою завжди дорівнює умовної основної суми кредитного зобов'язання у відсотковому свопі. Отже, свопціон можна розглядати як опціон, що дозволяє власникові обміняти облігації з фіксованою ставкою на основну суму по свопу, тобто як облігаційний опціон.

Якщо свопціон дає його власнику право на виплату фіксованого та одержання плаваючої ставки, то він являє собою опціон на продаж облігації з фіксованою ставкою за ціною виконання, рівній її номінальній вартості. Якщо свопціон дає його власнику право на виплату плаваючою і отримання фіксованої ставки, то він являє собою опціон на купівлю облігації з фіксованою ставкою за ціною виконання, рівній її номінальної вартості.

4.2 Оцінка премії європейських опціонів на індекси та ф'ючерсні контракти

Оцінка премії опціону на індекс

На фінансових ринках ведеться торгівля опціонами на фондові індекси. Індекси зазвичай нараховують велику кількість акцій. Тому їх виконання розуміється як не поставку паперів, а здійснення взаєморозрахунків у грошовій формі. При виконанні опціону колл позитивна різниця між котирувальною ціною індексу і ціною виконання, а для опціону пут - між ціною виконання і котирувальною ціною індексу - множаться на множник, який установлений для данного опціонного контракту. Обчислена таким чином сума сплачується покупцеві опціону і списується з рахунку продавця опціону.

При оцінці премії європейського опціону на індекс його можна представити як акцію, за якою виплачуються дивіденди. Тому премію опціону можна розрахувати за формулами Блека-Шоулза для акцій, по яких виплачуються дивіденди. При розрахунку враховуються тільки дивіденди, які виплачуються в період дії опціону. Якщо ми використовуємо формули зі ставкою дивіденду, то ставка дивіденду на індекс визначається як середня ставка дивіденду. Якщо інвестор має дані про абсолютне значення виплачуваних дивідендів, то в цьому випадку початкове значення індексу зменшують на величину наведеної вартості дивідендів.

Приклад.

Інвестор купує тримісячний європейський опціон колл на індекс з ціною виконання . В момент укладання контракту значення індексу дорівнює . Стандартне відхилення прибутковості індексу становить 20%. Очікується, що дивіденди будуть виплачуватися на ряд акцій в першому місяці, інших - в другому, і на залишені акції - в третьому. Для першого місяця безперервно нарахована ставка дивіденду дорівнює 1%, другого - 2%, третього - 3%. Ставка без ризику - 10%. Множник контракту дорівнює . Визначити вартість опціону.

Розв'язання.

Ставка середнього дивіденду в розрахунку на рік становить:

З таблиці значень функції Лапласа або за допомогою програми Excel знаходимо:

Контракт коштує:

Американські опціони на індекс коштують більше європейських, так як їх дострокове виконання може виявитися оптимальною стратегією.

Формули Блека оцінки премії опціону на ф'ючерсний контракт

Премії європейських опціонів колл і пут розраховуються за допомогою формул, запропонованих Ф. Блеком. Передбачається, що ф'ючерсна ціна також як і ціна акції має логнормальний розподіл. Для визначення премії опціону ф'ючерсний контракт розглядають як акцію, за якою виплачуються дивіденди. Ставка дивіденду приймається рівною ставкою без ризику . Таку аналогію можна провести, наприклад, якщо порівняти дифференціальні рівняння:

Рівняння (4.8) - це диференціальне рівняння для ціни похідного інструмента на акцію, за якою виплачується безперервно нарахований дивіденд.

Рівняння (4.9) - це диференціальне рівняння для похідного активу на ф'ючерсний контракт. Рівняння (4.8) набуде вигляду рівняння (4.9), якщо прийняти . Тому формулу оцінки премії опціонів на ф'ючерсний контракт отримують на основі формули для акцій, за якою виплачуються дивіденди, замінивши величину на величину :

- миттєве стандартне відхилення ф'ючерсної ціни.

Ф'ючерсна ціна дорівнює ціні спот на момент закінчення терміну дії контракту. Тому премії двох опціонів - опціону на ф'ючерс ¬ ний контракт і опціону на актив, що лежить в основі ф'ючерсного кон ¬ тракту, будуть однаковими, якщо ф'ючерсний і опціонний контракти мають одну і ту ж ціну виконання і дату закінчення.

Біноміальна модель оцінки премії опціону на ф'ючерсний контракт

У рамках біноміальної моделі за кожен даний відрізок часу курс ф'ючерсного контракту може з ймовірністю піти на відому величину вгору або з ймовірністю вниз, як зображено на рис. 4.1. У першому випадку в кінці періоду вартість ф'ючерсу складе величину , у другому - , де - курс ф'ючерсу на початку періоду; відсоток приросту ціни контракту; - відсоток падіння ціни контракту.

Рис. 4.1. Динаміка ціни ф'ючерсного контракту в рамках звичайної біноміальної моделі

Сформуємо портфель без ризику з опціону колл і ф'ючерсних контрактів: продамо один опціон колл і купимо одиниць ф'ючерсних контрактів. Вартість портфеля в початковий момент часу дорівнює:

де - премія опціону в момент його укладення;

- кількість ф'ючерсних контрактів;

- ф'ючерсна ціна при укладенні опціонного контракту.

Якщо знехтувати умовою внесення початкової маржі, то відкриття ф'ючерсної позиції нічого не коштує інвесторові. Тому вартість портфеля просто дорівнює ціні опціону, тобто .

В кінці періоду в разі зростання ф'ючерсної ціни вартість портфеля складе:

у випадку падіння ціни буде дорівнює:

де та - вартість опціону відповідно в разі зростання і падіння ф'ючерсної ціни; і - варіаційна маржа за ф'ючерсними контрактами відповідно в разі зростання і падіння ціни.

Сформований портфель є безризиковий, якщо до моменту закінчення терміну дії опціону вартість його однакова незалежно від значення ф'ючерсної ціни. Отже, в кінці періоду:

Звідси знаходимо значення :

В умовах рівноваги на ринку портфель без ризику повинен приносити інвестору ставку без ризику. Тому премію опціону знаходимо дисконтуванням під ставку без ризику вартості портфеля в кінці періоду:



Підставивши значення до з (4.12) в (4.13) або (4.14), отримаємо:

де ставка без ризику.

Будемо розглядати величини і як ризик-нейтральні ймовірноcті, позначивши їх відповідно через і . З урахуванням сказаного формула (4.15) набуває вигляду:

Ми отримали оцінку вартості європейського опціону на ф'ючерсний контракт в рамках одноперіодної біноміальної моделі.

Розглянемо випадок, коли до закінчення терміну дії опціону два періоди. Ф'ючерсна ціна в цьому випадку може прийняти в кінці другого періоду три значення: (див. рис. 4.2). Проаналізуємо спочатку другий період. Він складається з двох одноперіодних моделей. У першій з них ціна опціону на початку періоду дорівнює , а в кінці періоду приймає значення або . У другій з них ціна опціону на початку періоду дорівнює , а в кінці або . Значення і можна визначити таким же чином, як у випадку з одним тимчасовим періодом:



Рис. 4.2. Двохперіодна біноміальна модель

Підставивши значення і з формул (4.17) і (4.18) у формулу (4.16), отримаємо:

Формула (4.19) визначає ціну опціону для двoхперіодної моделі. Згідно цій формулі ймовірність того, що опціон на момент терміну його спливу буде коштувати дорівнює , - і =. Сума всіх ймовірностей дорівнює 1. Формула (4.19) знову показує, що ціна опціону дорівнює дисконтованій вартості суми його очікуваних значень до моменту закінчення контракту.

Міркування, які були використані при визначенні вартості опціону для двохперіодної моделі, можна використовувати і в разі поділу часу звернення опціону на будь-яке число періодів. Тоді біноміальна формула прийме наступний вигляд:

стохастичний ціноутворення дериватив опціон



де індекс показує кількість періодів, коли ціна ф'ючерсу зростала із загального числа періодів .

Формула (4.20) говорить про те, що ціна опціону дорівнює дисконтованій вартості суми очікуваних виплат за контрактом до моменту його закінчення. Весь термін обігу опціону розбитий на періодів. Відповідно в знаменнику - це коефіцієнт дисконтування, який враховує ставку без ризику і кількість періодів. Чисельник показує очікуване значення суми виплат за опціоном з урахуванням ймовірності кожного конкретного результату. Вираз показує ймовірність того, що ф'ючерсна ціна буде рости в у періодах з періодів і падати в періодах з урахуванням всіх можливих комбінацій її зростання і падіння.

Вираз дає виплату за опціоном до моменту закінчення контракту, якщо ф'ючерсна ціна росла в періодах на величину і падала в періодах на величину.

При розрахунку премії мають значення лише доданки, коли опціон виявляється виграшним до моменту закінчення контракту, оскільки інші складові звертаються в нуль. Тому, якщо через - позначити число підйомів ф'ючерсної ціни, щоб опціон опинився з виграшем, то формулу (4.20) можна переписати як:

У формулі (4.21) підсумовування значень в чисельнику починається з періоду . Опціон буде виграшним до моменту його закінчення, якщо:



Щоб визначити значення к, візьмемо натуральний логарифм від обох частин нерівності (4.23). Отримаємо:

З нерівності (4.24) випливає, що повинне бути цілим числом, більшим ніж:

Якщо більше , то , тому що ф'ючерсна ціна за всі періоди не перевищить ціну виконання .

Отриману модель можна застосувати і для визначення премії опціону пут. Вона має вигляд:

У порівнянні з формулою (4.21) тут враховано наступні зміни. Вартість опціону пут перед моментом закінчення дорівнює. Через позначена кількість рухів ф'ючерсної ціни вгору, в результаті яких опціон колл стає виграшним. Тому опціон пут буде виграшним, якщо кількість рухів ф'ючерсної ціни вгору не перевищить величину .

Щоб скористатися біноміальною моделлю для практичних цілей, необхідно визначити значення зростання і падіння ф'ючерсної ціни, тобто величини і . Процес, якому слідує динаміка ф'ючерсної ціни, є вінерівський. Біноміальний розподіл має бути побудований таким чином, щоб при розподілі періоду дії опціонного контракту на велику кількість періодів, біноміальний процес сходився до вінерівського. Ми отримаємо такий результат, якщо і будуть мати наступні значення:

де - стандартне відхилення прибутковості, розрахованої на основі ф'ючерсної ціни, тобто величини ;

- період часу, представлений в частках року. Біноміальну модель можна використовувати для оцінки премії американських опціонів на ф'ючерсні контракти.

4.3 Хеджингові процентні деривативи

Розглянемо "грецький" підхід до оцінки ризику, пов'язаного з процентними деривативами. У контексті процентних деривативів дельта-ризик являє собою ризик, пов'язаний зі зрушенням нульової кривої. Оскільки існує безліч можливих зсувів нульової кривої, виникає велика кількість різних варіантів обчислення альтернативних коефіцієнтів дельта. Перерахуємо деякі з них.

1. Оцінка впливу паралельного зсуву нульової кривої на один базисний пункт. Цю величину іноді позначають як DV01.

2. Оцінка впливу невеликих змін котирувань кожного фінансового інструмента, використовуваного при побудові нульової кривої.

3. Розділення нульової кривої (або форвардної кривої) на велику кількість сегментів з подальшою оцінкою впливу зрушень процентних ставок на кожному із сегментів на один базисний пункт, за умови що початкова тимчасова структура залишається незмінною.

4. Застосування методу головних компонентів. Обчислення коефіцієнтів дельта з урахуванням змін кожного з перших декількох факторів. Перший коефіцієнт дельта оцінює вплив невеликих, практично паралельних зрушень нульової кривої, другий коефіцієнт оцінює вплив невеликого кручення нульової кривої і т.д. На практиці трейдери віддають перевагу другому підходу. Вони пояснюють це тим, що нульова крива змінюється тільки тоді, коли змінюється котирування хоча б одного з фінансових інструментів, використаних при її побудові. З цієї причини трейдери вважають за доцільне зосередити увагу на ризиках, пов'язаних зі змінами цін цих фінансових інструментів.

Якщо обчислюється кілька коефіцієнтів дельта, то виникає кілька способів обчислення коефіцієнтів гамма. Припустимо, що нульова крива побудована на основі десяти фінансових інструментів, а коефіцієнт дельта обчислюється в залежності від змін цін кожної з цих цінних паперів. Коефіцієнт гамма представляє собою другу похідну , де - вартість портфеля. У такому випадку виникає 10 різних значень, 10 різних значень і 55 різних коефіцієнтів гамма. Це кількість набагато перевищує можливості трейдерів. В якості одного з варіантів рішення проблеми можна ігнорувати перехресні коефіцієнти гамма і зосередити увагу на коефіцієнтах при . Інший метод полягає в обчисленні єдиного коефіцієнта гамма, що представляє собою другу частинну похідну вартості портфеля за величиною паралельного зсуву нульової кривої. Третій варіант передбачає обчислення коефіцієнта гамма по перших двох факторів у методі головних компонентів.

Коефіцієнт вега, характеризує портфель, що складається з процентних деривативів, відображає вплив змін волатильності. Один з методів обчислення коефіцієнта вега передбачає оцінку впливу на вартість портфеля невеликих однакових змін волатильностей Блека по всіх опціонах "кеп" і європейським свопціонам. Отже, один фактор впливає на всі волатильності. Це дуже велике спрощення. Набагато більш точну оцінку можна отримати за допомогою методу головних компонентів, аналізуючи волатильності опціонів "кеп" і свопціонів і обчислюючи коефіцієнти вега за першими двома або трьома факторами.

4.4 Грецькі букви

Фінансові організації пропонують своїм клієнтам велику кількість різноманітних опціонів. Часто ці опціони не відповідають стандартам, встановленим біржами. У цьому випадку фінансові організації стикаються з проблемою хеджування ризиків. Непокриті і покриті позиції піддають їх занадто великому ризику. Для обмеження ризику можна скористатися стратегією обмеження збитків. У рамках цієї стратегії інвестор займає непокриту позицію за опціоном "з програшем" і конвертує її в покриту позицію, як тільки опціон починає приносити виграш. Незважаючи на зовнішню привабливість цієї стратегії, вона виявилася не дуже вдалою.

Для отримання похідної кумулятивного розподілу функції, яка буде використовуватися в подальшому для отримання виразів для грецьких букв:

що дає:

Де



Виведемо тепер різні результати для параметрів та , які з'являються в Блека-Шоулза рівнянні:

Маємо:

Зазначимо що:



Ця техніка буде використовуватися для обчислення греків.

Дельта опціону, , - це швидкість зміни його ціни по відношенню до ціни базового активу. Загальна формула для обчислення коефіцієнта має такий вигляд:

так само,

Підставляючи і отримуємо:

Подібним же чином ми маємо для європейських пут:

Підставляючи і отримуємо:



Тут індекс відноситься до європейськго колл, а індекс відноситься до європейського пут.

Дельта-хеджування - це створення позиції, коефіцієнт дельта якої дорівнює нулю (інколи таку позицію називають дельта-нейтральною). Оскільки дельта базового активу дорівнює одиниці, для здійснення хеджування необхідно, щоб кожній довгої позиції по хеджується опціоном відповідала позиція по базовому активу, коефіцієнт дельта якої рівний - . Дельта опціону з часом змінюється. Це означає, що позицію по базовому активу доведеться часто коректувати.

Як тільки позиція за опціоном стане дельта-нейтральною, необхідно оптимізувати коефіцієнт гамма, , - це швидкість зміни коефіцієнта дельта по відношенню до ціни базового активу. Інакше кажучи, він являється другою частинною похідною вартості портфеля по ціні активу.

Значення гамми для європейських опціонів колл:

де значення наведено вище

Значення гамми для європейських опціонів пут можна розрахувати аналогічно:



де значення наведено вище. Тому:

Отже, значення гамми для пут і колл теж саме.

Коефіцієнт гамма характеризує кривизну залежності ціни опціону від ціни активу. Вплив цього коефіцієнта на ефективність дельта-хеджування можна зменшити, зробивши опціонну позицію гамма-нейтральною. Припустимо, що коефіцієнт гамма хеджується дорівнює . Тоді зменшення його впливу на ефективність хеджування досягається за рахунок позиції по опціону, коефіцієнт якої дорівнює - .

Дельта-і гамма-хеджування засновані на припущенні, що волатильність базового активу є постійною. Коефіцієнт Вега, , який характеризує опціон або портфель опціонів, вимірює швидкість зміни їх вартості по відношенню до волатильності.

Підставляючи і отримуємо



Тому:

Для європейського пут опціону ми маємо:

Підставляючи і отримуємо:

який рівний опціону колл.

Якщо абсолютне значення коефіцієнта вега велике, вартість портфеля стає дуже чутливою до малих змін волатильності. Якщо абсолютне значення коефіцієнта вега мале, зміни волатильності мало впливають на вартість портфеля. Трейдер, який бажає хеджувати свою позицію від змін волатильності, може зайняти Вега-нейтральну позицію. Як і при гамма-хеджуванні, це пов'язано з компенсованою позицією по опціону, яка являє собою предмет купівлі-продажу. Для одночасного забезпечення гама- і вега-нейтральності, як правило, використовують два різних опціона.

З рештою параметрами, що характеризують ризик, пов'язаний з опціонною позицією, є коефіцієнти тета і ро. Коефіцієнт тета, , - це швідкість зміни вартості позиції в часі за умови, що всі інші параметри залишаються незмінними. Загальна формула дорівнює



Для європейського опціону колл маємо:

Підставляючи і отримуємо:

Звідси значення тета дорівнює:

За такою самою схемою маємо тета для опціону пут:



Коефіцієнт ро, , - це швидкість зміни вартості опціонної позиції по відношенню до короткострокової процентної ставки за умови, що всі інші параметри залишаються постійними.

Підставляючи і отримуємо:

Для опціону пут маємо:

Цей коефіцієнт вимірює чутливість вартості портфеля до зміни процентної ставки. На практиці для забезпечення дельта-нейтральності торговці опціонами звичайно балансують свої портфелі, як мінімум, раз на день. Домогтися одночасної та регулярної гамма-і вега-нейтральності практично неможливо. Зазвичай трейдери просто стежать за змінами цих коефіцієнтів. Якщо вони беруть дуже великі значення, трейдери роблять заходи або припиняють торги.



Висновок

У роботі досліджено екзотичні цінні папери, які представляють великий інтерес для інвестиційних банків, оскільки їх прибутковість набагато вище, ніж у звичайних опціонів.

Описано багато різних моделей що виникають на практиці для опису "усмішок волатильності". Модель дисперсії з постійною еластичністю призводить до "усмішки волатильності", яка нагадує "усмішку волатильності" звичайних акцій. Модель стрибкоподібної дифузії призводить до "усмішки волатильності", характерної для валютних опціонів. Модель стохастичної волатильності являється більш гнучкою і може породжувати як "усмішку волатильності", характерну для звичайних акцій, так і "усмішку волатильності", що спостерігається у валютних опціонів. Модель передбачуваної волатильності забезпечує ще більшу ступінь гнучкості. Вона розроблена для того, щоб апроксимувати будь-яку траєкторію цін європейських опціонів, що спостерігається на ринку.

Наведено метод Монте-Карло, який не призначений для безпосередньої оцінки американських опціонів, проте його можна адаптувати, використовуючи два методи. Перший метод передбачає проведення аналізу залежності між вартістю відмови від дострокового виконання опціону і значеннями відповідних змінних за методом найменших квадратів. Другий метод використовує параметризацію границі дострокового виконання і її ітераційне уточнення на основі зворотного обходу дерева.

Розглянуто модель Блека - Шоулза, що представляє собою широко поширений підхід до оцінки європейських процентних опціонів. Модель Блека заснована на припущенні, що змінна, що лежить в основі опціону, в момент завершення опціону має логнормальний розподіл. У разі європейських облігаційних опціонів модель Блека припускає, що ціна базової облігації в момент завершення опціону має логнормальний розподіл. Для опціону "кеп" модель припускає, що процентна ставка кожного, що становить куплет, має логнормальний розподіл. Для свопціона модель використовує припущення, що відповідна ставка свопу має логнормальний розподіл. Кожна з цих моделей є внутрішньо несуперечливою, але вони суперечать один одному.

Модель Блека пов'язана з обчисленням розміру очікуваної виплати в припущенні, що очікувана вартість змінної дорівнює її форвардній ціні, з подальшим дисконтуванням очікуваної виплати за нульовою ставкою, що спостерігається на ринку в поточний момент. Якщо розмір виплати не враховує природнє запізнювання, необхідно обчислювати поправки на опуклість і тимчасові поправки форвардної вартості.



Список використаної літератури

1. Джон К. Халл, Опционы,фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. - Москва-Санкт-Петербург-Киев: Издательский дом "Вильямс", 2008.-

2. Б.В. Бондарев, И.Л. Шурко. Финансовая математика : учеб.пособие. - Донецк : КАССИОПЕЯ, 1998. - 164 с.

3. В. Капитоненко. Финансовая математика и ее приложения. М.: Приор, 1999. -- 144 с.

Размещено на Allbest.ru