Математические методы экономики

1

Математические методы экономики.

Моделирование сферы потребления. Потребительские предпочтения. Кривые безразличия. Предельная норма замещения благ. Функция полезности и её свойства. Бюджетное ограничение. Равновесие потребителя. Реакция потребителя на изменение цен и дохода. Уравнение Слуцкого. Эффекты дохода и замены. Классификация благ. Индивидуальный и рыночный спрос. Эластичность спроса по ценам и доходу потребителя. Построение функции спроса по опытным данным.

В условиях рыночной системы управления производст-венной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рын-ком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе основой предпринимательской дея-тельности становится изучение потребительского спроса.

Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и по-требления.

Уровень потребления об-щества можно выразить целевой функцией потребления U = U(Y), где Y О - вектор переменных разнообразных товаров и услуг. Ряд свойств этой функции удобно изучать, используя геометри-ческую интерпретацию уравнений U(Y) = С, где С - ме-няющийся параметр, характеризующий значение (уровень) целевой функции потребления (например, доход или уровень материального благосостояния).

В совокупности потребительских благ каждому уравнению U(Y) = С соответствует определенная поверхность равноцен-ных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегирован-ных групп товаров: продукты питания (y₁) и непродовольст-венные товары, включая услуги (у₂ ). Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в ви-де кривых безразличия, соответствующих различным значе-ниям С (рис. 8.1, где С₁ < С₂ < Сз).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8.1. График кривых безразличия

 Из основных свойств це-левой функции потребления можно отметит следующие:

1. функция U(Y) явля-ется возрастающей функ-цией всех своих аргументов, т.е. увеличение потребления любого блага при неизмен-ном уровне потребления всех других благ увеличивает зна-чение данной функции;

2. кривые безразличия не могут пересекаться, т.е. через одну точку совокупности благ (товаров, услуг) можно провести только одну поверхность безразличия;

3. кривые безразличия имеют отрицательный наклон к каждой оси координат, при этом абсолютный наклон кривых уменьшается при движении в положительном направ-лении по каждой оси, т.е. кривые безразличия являются выпуклыми кривыми.

Методы построения целевой функции потребления осно-ваны на обобщении опыта поведения потребителей и тен-денций покупательского спроса в зависимости от уровня благосостояния.

Рассмотрим моделирование поведения потреби-телей в условиях товарно-денежных отношений на базе це-левой функции потребления. В основе модели поведения потребителей лежит гипотеза, что потребители, осуществляя выбор товаров при установленных ценах и имеющемся доходе, стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей.

Пусть в совокупности п видов товаров исследуется пове-дение потребителей. Обозначим спрос потре-бителей через вектор Y = (y₁, у₂,...,y_n), а цены на различ-ные товары - через вектор Р = (р₁, р₂,…,p_п).  Пусть D - величина дохода. Тогда потребители могут выбирать только такие комби-нации товаров, которые удовлетворяют ограничению    , называемому бюджетным ограничением. 

Пусть U(Y) целевая функция потребления. Тогда простейшая модель по-ведения потребителей в векторной форме можно записать в виде:

                      (8.1)

Геометрическая интерпретация модели (8.1) для двух аг-регированных групп товаров представлена на рис. 8.2.

Линия АВ (в других вариантах А₁В₁, А₂В₂) соответствует бюджетному ограничению  и называется бюджетной линией. Выбор потребителей ограничен треугольником АОВ   (A₁OB₁, A₂OB₂).

 

 Рис. 8.2. График простейшей модели поведения потребителя

 Набор товаров М, соответствующий точке касания прямой АВ с наиболее отдаленной кривой безразличия, является оп-тимальным решением (в других вариантах это точки К и L). Легко заметить, что линии АВ и A₁B₁ соответствуют одному и тому же размеру дохода и разным ценам на товары y₁ и у₂;  линия A₂B₂ соответствует большему размеру дохода.

На основе теории нелинейного про-граммирования, можно определить математические условия оптимальности решений для модели (8.1). С задачей нели-нейного программирования связывается так называемая функция Лагранжа, которая для задачи (8.1) имеет вид

L(Y, l,) = U(Y) + l(D - PY),

где множитель Лагранжа l является оптимальной оценкой дохода.

Обозначим частные производные функции U(Y) через U_i:  

Они представляют собой предельные полезные эффекты (предельные полезности) соответствующих потребительских благ и показывает на сколько единиц увеличивается целевая функция потребления при  увеличении использования i-гоблага (товара) на некоторую условную «малую единицу».

Необходимыми условиями того что вектор Y⁰ будет оптимальным решением, является условия Куна-Таккера:

при этом

   (товар приобретается)

   (товар не приобретается)                  (8.2)

  Последнее из соотношений (8.2) соответствует полному использованию дохода, и для этого случая очевидно неравенство  .

Из условий оптимальности (8.2) следует, что

Это означает, что потребители должны выбрать товары таким образом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было одинаковым для всех приобретаемых товаров, т.е. в оптимальном наборе предельные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.

Функциями спроса называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуг от совокупности факторов, влияющих на него. Рассмотрим построение функций спроса в зависимости от двух факторов - дохода и цен.

Пусть в модели (8.1) цены и доход рассматриваются как меняющиеся параметры. Переменную дохода будем обозначать Z. Тогда решением оптимизационной задачи (8.1) будет векторная функция  компонентами  которой являются функции спроса на определенный товар от цен и дохода:

Рассмотрим частный случай, когда вектор цен является неизменным, а доход изменяется. Для двух товаров этот случай представлен на рис. 8.3. Если по оси абсцисс отложить  количество единиц товара y₁, которое можно приобрести на имеющий доход Z (точка В), а по оси ординат - то же самое для товара y₂ (точка А), то прямая линия АВ, называемой бюджетной линией, показывает любую комбинацию количеств этих двух товаров, которую можно купить за сумму денег Z. При увеличении дохода бюджетные линии перемещаются параллельно самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе с ними перемещаются соответствующие кривые безразличия. Точками оптимума спроса потребителей для соответствующих размеров дохода будут в данном случае точки M_1, M₂, M₃. При нулевом доходе спрос на оба товара нулевой. Кривая, соединяющая точки 0, M₁, M₂, M₃, является графическим отображением векторной функции спроса и дохода при заданном векторе цен.

 

 Рис. 8.3. График функции спроса и дохода (для двух товаров у₁ и у₂)

 Однофакторные функции спроса от дохода широко при-меняются при анализе покупательского спроса. Соответст-вующие этим функциям кривые  называются кри-выми Энгеля (по имени немецкого экономиста). Формы этих кривых для различных товаров могут быть раз-личны. Если спрос на данный товар возрастает примерно пропорционально доходу, то функция будет линейной (рис. 8.4а). Если по мере роста дохода спрос на данную группу товаров возрастает все более высокими темпами, то кривая Энгеля будет выпуклой (рис. 8.4б).  Если рост значений спроса, начиная с определенного мо-мента, по мере насыщения спроса отстает от роста дохода, то кривая Энгеля имеет вид вогнутой кривой (рис. 8.4в).

предложил специальные виды функции спроса (функции Торнквиста) для трех групп то-варов: первой необходимости, второй необходимости, пред-метов роскоши.

Важным показателем функции спроса является коэффициент эластичности. Ко-эффициент эластичности спроса от дохода показывает на сколько процентов, изменится спрос, если доход увеличится на 1% (при про-чих не изменяющихся факторах), и вычисляется по формуле:

где  - коэффициент эластичности для i-го товара (группы товаров) по доходу Z;y_i - спрос на i-й товар, являющийся функцией дохода: .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                       Рис. 8.4. Кривые Энгеля

 Аналогичный принцип разграничения групп товаров по типам функций спроса от дохода использовал шведский эконо-мист Л. Торнквист, который

Коэффициенты эластичности спроса от дохода различны по величине для разных товаров, вплоть до отрицательных значений, когда с ростом доходов потребление уменьшается. Принято выделять четыре группы товаров в зависимости от коэффициента эластичности спроса на них от дохода:

· малоценные товары ();

· товары с малой эластичностью ();

· товары со средней эластичностью ( близки к единице);

· товары с высокой эластичностью ().

К малоценным товарам (с отрицательной эластичностью спроса от дохода) относятся хлеб, а также низкосортные товары. По результатам обследований, коэффи-циенты эластичности для основных продуктов питания нахо-дятся в интервале от 0,4 до 0,8, по одежде, тканям, обуви - в интервале от 1,1 до 1,3 и т.д. По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров первой и второй групп на това-ры третьей и четвертой групп, при этом потребление товаров первой группы по абсолютным размерам сокращается.

Перейдем к рассмотрению и анализу функций покупа-тельского спроса от цен на товары. Из модели поведения по-требителей (8.1) следует, что спрос на каждый товар в об-щем случае зависит от цен на все товары (вектора Р), одна-ко построить функции общего вида очень сложно. Поэтому в практических исследованиях ограничиваются по-строением и анализом функций спроса для отдельных товаров в зависимости от изменения цен на этот же товар или группу взаимозаменяемых товаров: .

Для большинства товаров действует зависимость: чем вы-ше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Относительное из-менение объема спроса при изменении цены данного товара или цен других связанных с ним товаров характеризует коэффициент эластич-ности спроса от цен.Этот коэффициент эла-стичности удобно трак-товать как величину изменения спроса в процентах при изменении цены на 1%.

Для спроса y_i на i-й товар относительно его собственной цены p_i коэффициент эластичности исчисляется по формуле:

                            (8.4)

Значения коэффициентов эластичности спроса от цен прак-тически всегда отрицательны. Однако по абсолютным значе-ниям этих коэффициентов товары могут существенно разли-чаться друг от друга. Их можно разделить на три группы:

- товары с неэластичным спросом в отношении цены ;

- товары со средней эластичностью спроса от цены (близки к -1);

- товар с высокой эластичностью спроса .

В товарах эластичного спроса повышение цены на 1% приводит к снижению спроса более чем на 1% и, наоборот, понижение цены на 1% приводит к росту покупок больше чем на 1%. Если повышение цены на 1% влечет за собой понижение спроса менее чем на 1%, то говорят, что этот товар неэластичного спроса.

Рассмотрим влияние на спрос на какой-либо товар изме-нения цен на другие товары. Коэффициент, показывающий, на сколько процентов изменится спрос на данный товар при изменении на 1% цены на другой товар при условии, что другие цены и доходы покупателей остаются прежними, на-зывается перекрестным коэффициентом эластичности. Для спроса у_i на i-й товар относительно цены p_j на j-й то-вар () перекрестный коэффициент эластичности рассчи-тывается по формуле:

                            (8.5)

По знаку перекрестных коэффициентов эластичности то-вары можно разделить на взаимозаменяемые и взаимодопол-няемые. Если , это означает, что i-й товар заменяет в потреблении товар j, т.е. на товар i переключается спрос при увеличении цены на товар j. Примером взаимозаменяемых товаров могут служить многие продукты питания.

Если , это служит признаком того, что i-й товар в процессе потребления дополняет товар j, т.е. увеличение цены на товар j приводит к уменьшению спроса на товар i. В ка-честве примера можно привести такие взаимодополняемые товары, как автомобили и бензин, чай и сахар.

Спрос во многом определяет стратегию и тактику организации производства и сбыта товаров и услуг. Учет спроса, обоснованное прогнозирование его на кратко-срочную и долгосрочную перспективу - одна из важнейших задач различных организаций и фирм.

Состав и уровень спроса на тот или иной товар зависят от многих факторов, как экономических, так и естественных. К экономическим факторам относятся уровень производст-ва (предложения) товаров и услуг (обозначим этот фактор в общем виде П), уровень денежных доходов отдельных групп населения (D), уровень и соотношение цен (Р). К естествен-ным факторам относятся демографический состав населе-ния, в первую очередь размер и состав семьи (S), а также привычки и традиции, уровень культуры, природно-климатические условия и т.д.

Экономические факторы очень мобильны, особенно рас-пределение населения по уровню денежных доходов. Естест-венные же факторы меняются сравнительно медленно и в течение небольшого периода (до 3-5 лет) не оказывают за-метного влияния на спрос. Исключение составляет демогра-фический состав населения. Поэтому в текущих и перспек-тивных прогнозах спроса все естественные факторы, кроме демографических, целесообразно учитывать сообща, введя фактор времени (t).

Общем виде спрос определяется в виде функции перечисленных выше факторов:

у = f(П,D,P, S,t).                   (8.6)

Поскольку наибольшее влияние на спрос оказывает фак-тор дохода, многие расчеты спроса и потребления осуществляют-ся в виде функции от душевого денежного дохода: у = f(D).

Наиболее простой подход к прогнозированию спроса на небольшой период времени связан с использованием так называемых структурных моделей спроса. При построении модели исходят из того, что для каждой экономической группы населения по статистическим бюджетным данным может быть рассчитана присущая ей структура потребле-ния. При этом предполагается, что на изучаемом отрезке времени заметные изменения претерпевает лишь доход, а цены, размер семьи и прочие факторы принимаются неиз-менными. Изменение дохода, например его рост, можно рас-сматривать как перемещение определенного количества семей из низших доходных групп в высшие. Другими словами, из-меняются частоты в различных интервалах дохода: они уменьшаются в нижних и увеличиваются в верхних интер-валах. Семьи, которые попадают в новый интервал, будут иметь ту же структуру потребления и спроса, какая сложи-лась у семей с таким же доходом к настоящему времени.

Таким образом, структурные модели рассматривают спрос как функцию только распределения потребителей по уровню дохода. Имея соответствующие структуры спроса, рассчитанные по данным статистики бюджетов, и частоты распределения потребителей по уровню дохода, можно рас-считать общую структуру спроса. Если обозначить структу-ру спроса в группе семей со средним доходом D_i через r(D_i), а частоты семей с доходом D_i через , то общая структура спроса R может быть рассчитана по формуле:

                                    (8.7)

где п -  количество интервалов дохода семей.

Структурные модели спроса - один из основных видов экономико-математических моделей планирования и про-гнозирования спроса и потребления. В частности, широко распространены так называемые компаративные (сравни-тельные) структурные модели, в которых сопоставляются структуры спроса данного исследуемого объекта и некоторо-го аналогового объекта. Аналогом обычно считаются регион или группа населения с оптимальными потребительскими характеристиками.

Наряду со структурными моделями в планировании и прогнозировании спроса используются конструктивные мо-дели спроса. В основе их лежат уравнения бюджета населе-ния, т.е. такие уравнения, которые выражают очевидное равенство общего денежного расхода (другими словами, объ-ема потребления) и суммы произведений количества каждого потребленного товара на его цену. Если Z - объем потреб-ления, т - количество разных видов благ, q_i - размер по-требления i-го блага, p_i - цена i-го блага, то конструктивная модель спроса может быть записана следующим образом:

Эти модели, называемые также моделями бюджетов потре-бителей, играют важную роль в планировании потребления. Одной из таких моделей является, например, всем извест-ный прожиточный минимум. К таким моделям относятся также рациональные бюджеты, основанные на научных нор-мах потребления, прежде всего продуктов питания, перспек-тивные бюджеты (например, так называемый бюджет дос-татка) и др.

В практике планирования и прогнозирования спроса кроме структурных и конструктивных моделей применяют-ся также аналитические модели спроса и потребления, ко-торые строятся в виде однофакторных и многофакторных уравнений, характеризующих зависи-мость потребления товаров и услуг от тех или иных факто-ров

Моделирование конфликтов в финансово-экономической сфере. Основные понятия и определения теории игр. Классификация игр. Решение матричных игр с седловой точкой. Решение матричных игр без седловой точки. Смешанные стратегии. Теорема Дж. фон Неймана о существовании решения в смешанных стратегиях.

При управлении производством принимать решения очень часто приходится не имея достаточной информа-ции, то есть в условиях неопределенности и риска.

Методами обоснования решений в условиях неопре-деленности и риска занимается математическая теория игр.

В теории игр рассматриваются такие ситуации, когда имеются два участника выполнения операции, каждый из которых преследует противоположные цели. В ка-честве участников могут выступать коллективы, кон-курирующие предприятия и т. д. Во всех случаях пред-полагается, что операция проводится против разумного противника (конкурента), преследующего свои собст-венные цели и сознательно противодействующего до-стижению цели другим участником.

Так как цели противоположны, а результат меро-приятия каждой из сторон зависит от действий кон-курента, то эти действия называют конфликтными ситуациями. В конфликтной ситуации сталкиваются про-тивоположные интересы двух участников. Формализо-ванная (схематизированная) модель конфликтной ситуации называется игрой. Результат игры - победа или поражение, которые не всегда имеют количествен-ное выражение, можно выразить (условно) числами (например, в шахматах: 1, 0, ¹/2).

Игра называется игрой с нулевой суммой, если один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проиг-рывает другой.

Развитие игры во времени представляется как ряд последовательных «ходов». Ходы могут быть сознатель-ные и случайные. Случайный ход - результат, полу-чаемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (покупательский спрос, задержка с поставкой материалов и т.п.). Сознательный ход - выбор игроком одного из возможных вариантов действия (стратегии) и принятие решения об его осуществлении.

Возможные варианты (исходы) игры сводятся в пря-моугольную таблицу (табл. 5.1.1) - платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы - стратегиям игрока . Для условности предположим, что игрок А - выигрывает, а игрок В - проигрывает.

В результате выбора игроками любой пары стратегий A_i и B_j (i =1,…, m      j = 1,…,n) однозначно определяется исход  игры q_ij.

Цель теории игр - выработка рекомендаций для различного поведения игроков в конфликтной ситуации, то есть выбор оптимальной стратегии для каждого из них.

Для нахождения оптимальной стратегии необходимо проанализировать все возможные стратегии и рассчи-тывать на то, что разумный противник на каждую из них будет отвечать такой, при которой выигрыш игрока А минимален. Обычно минимальные числа в каждой стро-ке обозначаются  и выписываются в виде добавочного столбца матрицы (табл. 5.1.2).

Они обозначают минимально-возможный выигрыш игрока А при соответствующей стратегии А_i. В каждой строке будет свое. Так как игрок А выигрывает, то предпочтительной для игрока А является стратегия, при которой  обращается в максимум, то есть     или ,

где - максиминный выигрыш (максимин), а соот-ветствующая ей стратегия - максиминная.

Таблица 5.1.1

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

 

Таблица 5.2.2

			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
			…

 

Если придерживаться максиминной стратегии, то при любом поведении стороны В (конкурента) гаран-тирован выигрыш, во всяком случае не меньше . Поэтому  называют также ценой игры - тот гаран-тированный минимум, который можно обеспечить при наиболее осторожной (перестраховочной) стратегии.

Очевидно, что аналогичные распределения можно провести и для конкурента В, который должен рас-смотреть все свои стратегии, выделяя для каждой из них максимальные значения проигрыша:      (последняя строка матрицы).

Из всех значений находят минимальное:

                        ,

которое дает минимаксный выигрыш или минимакс.

Такая -стратегия - минимаксная, придерживаясь которой сторона В гарантировано, что в любом случае проиграет не больше . Поэтому называют верхней ценой игры.

Если , то число С называют чистой ценой игры или седловой точкой.

Для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в выборе пары максиминной и минимаксной стратегий, которые являются оптимальными, так как любое отклонение от этих стратегий приводит к умень-шению выигрыша первого игрока и увеличению про-игрыша второго игрока по сравнению с ценой игры С.

Однако не все матрицы имеют седловую точку. Тогда решение находят, применяя смешанные стратегии, то есть чередуя случайным образом несколько чистых стра-тегий (гибкая тактика).

Вектор, каждая из компонент которого показывает относительную частоту использования игроком соответ-ствующей чистой стратегии, называют смешанной стра-тегией данного игрока.

Из этого определения следует, что сумма компонент этого вектора равна единице, а сами компоненты не отрицательны.

Обычно смешанную стратегию первого игрока обо-значают как вектор

, а второго игрока - как вектор , где .              (5.1.1).

Если u° - оптимальная стратегия первого игрока, z° - оптимальная стратегия второго игрока, то число     - называют ценой игры.

Для того чтобы число - было ценой игры, а u° и z° -- оптимальными стратегиями, необходимо и до-статочно выполнение неравенств:

             ,                     (5.1.2)

             .                     (5.1.3)

Если один из игроков применяет оптимальную сме-шанную стратегию, то его выигрыш равен цене игры и вне зависимости от того, с какими частотами будет применять второй игрок стратегии, вошедшие в опти-мальную, в том числе и чистые стратегии

Внимание к седловым точкам в теории игр традиционно. Объясняется это недоверием к максимину, как к принципу оптимального выбора в том случае, когда нет седловой точки. Поэтому естественно стремление заполнить промежуток между максимином и минимаксом путем применения смешанных стратегий.

Однако, не следует забывать, что:

1) применение смешанных стратегий рисковано, когда игра не повторяется;
2) если игра повторяется, надо иметь уверенность, что у про-тивника нет информации о конкретных решениях другого игрока;
3) противник не обязан применять смешанные стратегии, равно как и стремиться к цели, противоположной цели другого игрока.

Обозначим смешанную стратегию первого игрока p = {p_i}, где p_i - вероятность применения i-й стратегии, , . Пусть смешан-ная стратегия второго игрока , , q_j - вероятность при-менения j-й стратегии, , . Р и Q определяют матема-тическое ожидание платежа:

.

Теорема фон Неймана. Любая матричная игра имеет седловую точ-ку в смешанных стратегиях.

Доказательство. Множества M и N ограничены и замкнуты, так как , , а функция W непрерывна по P и Q . W линейна по P при фиксированных Q, следовательно, вогнута по P при фиксированных Q. Аналогично W выпукла по Q при фиксированных P. M и N выпуклы.

Действительно, рассмотрим такие и , что , , тогда , .

Складывая, получим .

Кроме того, .

Следовательно, при и

тоже смешанная стратегия.

Применяя фундаментальную теорему, получим то, что требуется доказать:

.

Опираясь на доказанную теорему, можно быть уверенным, что ре-шение игры в смешанных стратегиях всегда существует (если только вообще их можно применять). В теории игр доказывается теорема, указывающая на эквивалентность решения матричной игры в смешанных стратегиях и двойственной задачи линейного программирования.

Пусть P^o и Q^o оптимальные смешанные стратегии, v - цена игры, тогда

.

Из теорема следует, что

	(4)

	(5)

.

Обозначим .

Поделим (4) на v , получим

.

Из этой задачи линейного программирования можно получить оптимальные стратегии первого игрока (оперирующей стороны).

Аналогично, если , получится задача линейного программирования для получения оптимальных стратегий второго игрока: .

Игры с природой. Оптимальная стратегия в игре с природой при известном распределении её состояний. Максиминный критерий Вальда выбора стратегии в игре с природой при неизвестном распределении её состояний. Критерий минимаксного риска Сэвиджа выбора стратегии в игре с природой при неизвестном распределении её состояний. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица выбора стратегии в игре с природой при неизвестном распределении её состояний.

В случае, когда между сторонами (участниками) от-сутствует «антагонизм» (например, в процессе работы предприятий и торговых посредников), такие ситуации называют «играми с природой».

Здесь первая сторона принимает решение, а вторая сторона -- «природа» не оказывает первой стороне со-знательного, агрессивного противодействия, но ее ре-альное поведение неизвестно.

Пусть торговое предприятие имеет т стратегий: и имеется n возможных состояний природы: . Так как природа не является заинте-ресованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить выигрышем  первой стороны для каждой пары стратегий  и . Все показатели игры заданы платежной матрицей .

По платежной матрице можно принять ряд решений. Например, оценить возможные исходы: минимальный выигрыш

                    

то есть наименьшая из величин в каждой i-й строке как пессимистическая оценка; максимальный выиг-рыш - то наилучшее, что дает выбор i-го варианта

                   

При анализе «игры с природой» вводится показатель, по которому оценивают, насколько то или иное состо-яние «природы» влияет на исход ситуации.  Этот по-казатель называют риском.

Риск  при пользовании стратегией  и состоянии «природы»  оценивается разностью между максималь-но возможным выигрышем при данном состоянии «при-роды»  и выигрышем  при выбранной стратегии .

.

Исходя из этого определения можно оценить мак-симальный риск каждого решения:

  .

Решения могут приниматься по результатам анализа ряда критериев.

Критерий, основанный на известных вероятност-ных состояниях «природы».

Если известны вероятности состояний «природы» (на-пример, спроса по данным анализа за прошлые годы):

                    

где ,

то в качестве показателя эффективности (рацио-нальности, обоснованности) стратегии  берется средний (математическое ожидание) - выигрыш применения этой стратегии:

               ,

а оптимальной считают стратегию, для которой этот показатель эффективности имеет максимальное значе-ние, то есть

               .

Если каждому решению  соответствует множество возможных результатов с вероятностями , то сред-нее значение выигрыша можно определить по формуле

               ,

а оптимальная стратегия выбирается по условию

              .

В этом случае можно воспользоваться и стратегией минимального среднего риска для каждого i-го состо-яния «природы»

               .

 Максиминный критерий Вальда предполагает выбор решения, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния «при-роды»):

              .

Согласно критерия  пессимизма-оптимизма Гурвица при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации (оптимум-пессимизм) придерживаются некоторого ком-промисса, учитывающего возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения «природы»:

          ,

где x - показатель пессимизма-оптимизма (чаще всего 0,5).

Если х = 1 критерий слишком пессимистичный, если х = 0 - слишком отптимистичный.

По критерию минимаксного риска Сэвиджа выбирают ту стратегию, при которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблаго-приятной ситуации:

                 

чтобы избежать слишком большого риска при выборе решения.

Комплексный анализ всех этих критериев позволяет в какой-то мере оценить возможные последствия при-нимаемых решений

Модели поведения фирмы в условиях конкуренции. Модель поведения фирмы в условиях совершенной конкуренции. Исследование модели в зависимости от показателя степени однородности производственной функции. Модели поведения фирмы в условиях несовершенной конкуренции. Монополия и монопсония. Конкуренция среди немногих. Олигополия. Модели дуополии.

Поведение фирмы в условиях совершенной конкуренции

Существуют модели:

· Описание общей модели Вальраса

· Модель Эрроу-Дебре. Существование конкурентного равновесия

· Модель регулирования цен и устойчивость конкурентного равновесия

Опишем общие понятия.

Обозначим через S множество потребителей и в пространстве товаров введем понятие коллективного предпочтения () с помощью следующих аксиом (некоторые из них соответствуют аксиомам индивидуального предпочтения (см. §3.1 )):
A₁) полнота: для любых либо , либо , либо ( - отношение безразличия);
A₂) транзитивность: для любых , таких, что , , справедливо ;
A₃) единогласие: если для всех , то ;
A₄) независимость: для любых из , ,, следует ( - любое отношение).

Обоснование неоспоримости этих аксиом можно найти, например, в книге [ 18 ].

Главный вопрос теперь заключается в том, существует ли отношение предпочтения, удовлетворяющее этим четырем аксиомам? К сожалению, в общем случае ответ будет отрицательным. Более или менее известные способы определения коллективного предпочтения, такие, как "правило большинства", "правило уравновешивания", "правило диктатора" (см. [ 18 ]), во-первых, более применимы в области политики, чем экономики, во-вторых, приводят к нарушению некоторых из аксиом A₁-A₄. Это вполне понятно. С одной стороны, легче согласовать идеи, чем потребности, с другой - участники экономики поступают главным образом эгоистически, и не существует единственного способа приспособления их потребностей друг к другу. Во избежание неправильных выводов здесь нужно пояснить: сказанное не означает, что в каждом отдельном случае коллектив не придет к соглашению. Речь идет лишь об отсутствии общих адекватных методов получения коллективного предпочтения.

Теперь проанализируем возможность построения коллективной функции полезности, исходя из индивидуальных функций полезности всех потребителей. Последние, как мы видели в §3.2 , вполне реально определяются и существуют. Искомую функцию для потребительского сектора S естественно определить как , где - функция полезности потребителя i . По определению 3.1 , с этой функцией должно быть связано некоторое отношение предпочтения : тогда и только тогда, когда . Оказывается, такое отношение предпочтения удовлетворяет аксиоме единогласия, но противоречит аксиоме независимости (установите это самостоятельно).

Для выявления еще более серьезного возражения против функции представим ее в виде , где , , s - число всех потребителей. Тогда по теореме 3.2 любая функция вида

где , является также функцией коллективной полезности. Положим . Легко видеть, что функция в этом случае порождает отношение предпочтения, дающее приоритетный вес только первому потребителю. Такое отношение предпочтения явно не совпадает с отношением предпочтения, порожденным исходной функцией . Можно доказать, что только в одном случае все функции вида (5.2.1) будут соответствовать одному и тому же отношению предпочтения, а именно, когда выполнено дополнительное условие . Каждому набору коэффициентов из этого условия будет соответствовать своя функция полезности . Возникает новая проблема: какую из этого бесконечно большого числа функций предпочтут потребители?

Резюмируя, можно говорить, что попытка определения коллективной функции полезности на основе индивидуальных функций полезности не решает проблему, так как вопрос существования коллективно предпочитаемых весов возвращает проблему к исходной точке. Вообще, задача коллективного предпочтения требует принципиально иных подходов, о которых речь пойдет в главе VII .

Напомним, что мы анализировали возможность построения коллективной функции полезности и пришли к отрицательному заключению: с одной стороны, ее нельзя построить непосредственно, так как нельзя определить строго понятие коллективного предпочтения; с другой - ее не удается построить, используя индивидуальные функции полезности, из-за проблемы неоднозначности.

Теперь проанализируем возможность определения рыночного спроса, исходя из решений индивидуальных оптимизационных задач вида (3.4.1)-(3.4.2) для всех потребителей. Такой анализ проведем нестрого, так, как это делают экономисты, на языке кривых спроса.

А именно, покажем, что кривую рыночного спроса () можно получить как сумму кривых индивидуального спроса () всех потребителей. На рис. 5.3 показаны линейные графики спроса для трех потребителей. Любая точка на кривой рыночного спроса получается для данной цены как сумма по горизонтальной оси координат соответствующих этой же цене точек всех индивидуальных кривых спроса. Аналитически это означает, что . При этом рыночная кривая спроса не обязательно имеет такой же вид, что и индивидуальные кривые. Как видно из рис. 5.3 , даже для линейных кривых индивидуального спроса рыночная кривая получается нелинейной (изгиб в точке ). Изменению подвергаются и другие свойства индивидуальных кривых, в частности, такие характеристики, как эластичность спроса, предельная норма замещения и др.

Для теоретического обоснования приведенного выше "графического способа" определения рыночного спроса сформулируем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 5.1. Пусть области определения , , функций полезности индивидуальных потребителей есть конусы с вершинами в нуле пространства товаров. Пусть, далее, каждая индивидуальная функция полезности положительно однородна и принимает на хотя бы одно положительное значение. Тогда существует такая функция , что при любых ценах решение задачи , , совпадает с суммой решений s оптимизационных задач: .

Напомним, что множество называется конусом с вершиной в нуле пространства , если оно вместе с каждой точкой содержит луч .

По существу, в теореме 5.1 сформулированы те условия, при выполнении которых существует коллективная функция полезности () и с помощью которых всех потребителей можно представить как одно лицо.

Как и в случае с потребителями, путем суммирования кривых предложения отдельных фирм, полученных в результате решения их оптимизационных задач из главы IV , можно получить понятие кривой рыночного предложения.

Общий вывод такой, что можно найти, во всяком случае, приемлемые для экономической практики способы формализации понятий рыночного спроса и рыночного предложения. Последнее дает моральное право оперировать понятиями совокупного спроса и совокупного предложения.

Представляется необходимым обратить внимание читателя на следующий момент. Совокупный спрос (совокупное предложение) не является результатом кооперирования между потребителями (производителями). Более того, кооперация вообще исключена условиями совершенной конкуренции (см. ниже). Совокупный спрос характеризует суммарную потребность общества в товарах, а совокупное предложение - суммарные возможности производителей этих товаров.

Любая функция , ставящая в соответствие каждому вектору затрат x вектор максимального выпуска, который может быть получен при этих затратах, называется производственной функцией.

Монополия.

Так как монополист является единственным производителем товара, исходя из кривой спроса, он самостоятельно определяет объем продаж и цену товара (рис. 8.1). Предположим, что в условиях совершенной конкуренции равновесие достигается в точке , а доход данной фирмы, как участника рынка совершенной конкуренции, есть (). Будучи монополистом, при том же уровне спроса эта фирма добьется данного уровня дохода при меньшем выпуске () за счет более высокой цены (). Именно в этом заключается приоритетность положения монополиста.

До какого уровня монополист будет повышать цену товара и снижать объем продаж, чтобы получить максимальную прибыль с учетом издержек на производство товара?

Кривая спроса и оценка собственных издержек являются главными ориентирами для фирмы-монополиста при принятии экономического решения. Она принимает решение относительно объема выпуска (или продажи) товара, а его цена определяется с помощью кривой спроса (см. рис. 8.1). Следовательно, в условиях монополии цена () является функцией от выпуска (), т.е. , и, располагая информацией о спросе, фирма может добиться получения максимальной прибыли.

Монополист может увеличить прибыль двумя путями: либо за счет повышения цены на товар, не изменяя при этом объема выпуска, либо за счет сокращения объема выпуска (снизив тем самым издержки на производство), не изменяя цену товара. Каково же оптимальное действие монополиста?

Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся опять к конкурентному рынку и рассмотрим долгосрочную задачу фирмы (4.5.1). Так как мы хотим узнать именно об оптимальном объеме производства, переформулируем эту задачу на языке выпуска. Обозначим доход как функцию от выпуска:

Так как издержки фирмы зависят от объема производства, они также являются функциями от выпуска:

Теперь задачу (4.5.1) можно записать так:

Условие первого порядка для максимизации прибыли есть

Следовательно, чтобы максимизировать прибыль, фирма должна достичь такого объема выпуска, при котором предельный доход равен предельным издержкам. Далее, учитывая тот факт, что , получаем , т.е. равновесная цена, если она существует, должна равняться предельным издержкам:

Графическая иллюстрация этого равенства показана на рис. 8.2, где предельные издержки есть возрастающая функция от объема производства,

а предельный доход (цена) - убывающая функция того же аргумента.

Вернемся к монополии и проверим, будет ли цена, максимизирующая прибыль монополиста, подчиняться закону (8.1.2)?

В монополии , поэтому

Далее без потери общности будем считать .

Вычислим предельный доход

Заметим, что и в монополии цена убывает с ростом объема продаж, потому что фирма снижает цену, чтобы продать больше продукции. Поэтому и из (8.1.4) следует

Как видим, в случае монополии предельный доход меньше цены товара.

Проанализируем теперь издержки монополиста. Как и на конкурентном рынке, цены затрат являются функциями от объема затрат, т.е. , . Поэтому издержки на факторы производства выражаются как

Будем предполагать, что для всех .

Вычислим предельные издержки:

По рыночным законам фирма может покупать большее количество данного фактора производства, только предложив более высокую плату. Поэтому . Тогда из (8.1.6) следует

Таким образом, в случае монополии предельные издержки на факторы производства оказываются больше их цен.

Подставляя (8.1.3) и (8.1.5) в (8.1.1), получим оптимизационную задачу монополиста:

Подчеркнем еще раз, в отличие от задачи (8.1.1) фирмы на конкурентном рынке, в условиях задачи монополиста (8.1.7) все цены зависят от объемов продуктов.

Максимум функции прибыли P в задаче (8.1.7) вычисляется по m+1 переменной . Поэтому составим функцию Лагранжа

где - множитель Лагранжа. Выпишем необходимые условия оптимальности точки :

Отсюда имеем, в частности,

Сумма, стоящая в правой части равенства (8.1.8), есть предельный доход (см. (8.1.4)), а сумма, стоящая в правой части (8.1.9), - предельные издержки по производственному фактору j-го вида (см. (8.1.6)). Поэтому величина, стоящая в левой части (8.1.9), представляет собой произведение предельного дохода () на предельный продукт j-го вида затрат (). Это произведение можно трактовать как предельный доход j-го вида затрат.

Исключая из системы необходимых условий множитель Лагранжа , получаем

Пользуясь равенствами (8.1.4) и (8.1.6), перепишем эту систему в виде

Оценим отношение предельной стоимости затрат на предельный продукт

Во-первых, как следует из (8.1.10), эта величина для всех j одна и та же. Во-вторых, издержки можно представить как функцию от выпуска, т.е. . Поэтому, пользуясь равенством (8.1.11), можно формально написать

Так как эта величина одна и та же для всех j, то, опуская индекс, из системы (8.1.10)-(8.1.11) получаем

Следовательно, чтобы максимизировать прибыль, монополист должен достичь такого уровня выпуска, при котором предельный доход равен предельным издержкам.

Для монополиста мы получили такое же правило оптимального поведения, что и любая фирма в условиях конкурентного рынка. Однако в случае монополии

и поэтому оптимальная цена товара отличается от выражения (8.1.2) в сторону повышения. А именно, через предельный доход она выражается как

а через предельные издержки -

Олигополия.

На практике рыночной властью, т.е. властью над ценообразованием, обладают не только фирмы, являющиеся чистыми монополистами. Во многих отраслях экономики конкурирует небольщое число фирм, каждая из которых обладает некоторой рыночной властью. Таковы, например, крупные металлургические комбинаты России (КМК, Запсиб, Магнитка и др.).

В этом и следующих параграфах мы изучим рыночные механизмы в условиях олигополии, т.е. когда на рынке товара конкурирует небольшое число фирм. Рыночная власть и прибыль олигополистов частично зависят от того, как они взаимодействуют между собой. В некоторых олигопольных отраслях фирмы агрессивно конкурируют, а в других сотрудничают. Естественно, конкуренция приводит к снижению цен, а имея тенденцию к сотрудничеству, фирмы могут назначить цены выше предельных издержек и получить большую прибыль.

Крайнюю форму сотрудничества представляет собой картель. На картельном рынке некоторые или все фирмы вступают в сговор по поводу захвата рынка. Определяя сообща цены товара и объемы продаж, они максимизируют свои прибыли. Картель отличается от монополии тем, что не может контролировать весь рынок товара по причине наличия фирм, не входящих в картель. Другая причина отличия - в нестабильности картеля как структуры, состоящей из фирм, преследующих каждая свои интересы.

Олигополия является преобладающей формой современной рыночной структуры. На олигопольных рынках несколько фирм производят всю или почти всю продукцию. Чем шире олигополия, тем сложнее принятие экономических решений для фирм. Поэтому они могут предпринять стратегические усилия, чтобы затруднить вступление на рынок новых фирм.

Олигополист принимает решение по установлению цены и объема выпускаемой им продукции. Экономическое решение олигополиста складывается сложнее, чем монополиста, так как имеет место конкуренция между несколькими фирмами. Поэтому фирма должна тщательно взвесить свои решения с точки зрения реакции соперников. Стратегические соображения должны быть глубокими и всесторонними. Каждая фирма учитывает реакцию конкурентов, зная, что те, в свою очередь, тоже будут взвешивать ее реакцию на их собственные решения. При этом фирма должна принимать во внимание возможность восстановления ее стратегических рассуждений конкурентами, и потому она должна поставить себя на место конкурентов и поразмыслить, какова бы была их реакция. Именно с позиций такой рекомендации разрабатываются принципы оптимального поведения олигополистов. Некоторые из них мы рассмотрим в следующих параграфах. Здесь мы займемся моделированием задачи олигополиста и олигопольного рынка в целом.

Определяющим свойством олигопольного рынка является то, что все конкурирующие фирмы могут влиять на цены продукции и затрат. Следовательно, прибыль каждой фирмы зависит и от экономических решений всех остальных фирм. Каково будет в этих условиях оптимальное решение олигополиста по объему выпуска и цене товара? Для получения ответа на этот вопрос необходимо построить математическую модель олигополиста и решить совместно систему, состоящую из задач всех конкурирующих между собой фирм.

Обозначим через n число олигополистов и предположим, что все они выпускают один и тот же товар, применяя m видов затрат. Заметим, что при этом продукции разных фирм могут отличаться рядом признаков (качеством, оформлением и т.д.).

Согласно описания олигополии, цена товара (p) определяется объемом всех выпусков , а цена затрат () - объемом затрат всех фирм :

При возрастании выпусков цены понизятся. Поэтому

Аналогично, если фирмы увеличат покупки производственных факторов, произойдет повышение их цен. Поэтому