Регрессионный анализ. Факторный эксперимент

Крутое восхождение может считаться эффективным, если хотя бы один из реализованных опытов даст лучший результат по сравнению с наилучшим опытом серии.

Остановимся на некоторых особенностях реализации опытов крутого восхождения.

Рассмотрим следующую ситуацию. При эффективном крутом нисхождении достигается граница области определения одного из факторов. По этому фактору дальше двигаться нельзя. Возможны два решения: зафиксировать значение этого фактора и дальше двигаться по остальным или остановиться и поставить новую серию опытов линейного приближения. На практике чаще предпочитают первое решение. В этом случае нужно продолжить расчет мысленных опытов и выбрать стратегию их реализации.

Особого рассмотрения заслуживает постановка повторных опытов. Чаще всего повторные опыты не ставятся, а дублируется только наилучший результат. Будет, конечно, не хуже, если ставить параллельные опыты во всех точках.

Иногда приходится считаться с возможностью временного дрейфа. Ведь между исходной серией опытов и движением по градиенту может пройти значительное время. Здесь можно рекомендовать систематическое повторение нулевых точек исходного плана, рандомизированных с точками крутого восхождения. Это дает возможность проверить гипотезу о наличии дрейфа.

В соответствии с шаговым принципом «ползания» по поверхности отклика крутое восхождение может осуществляться многократно, пока не будет достигнута почти стационарная область.

Идентификация объектов управления методом корреляционного анализа

Метод корреляционного анализа используется для идентификации объектов управления в том случае, если входные и выходные сигналы являются случайными величинами.

Схема исследования объекта корреляционным методом

При корреляционном анализе используются:

автокорреляционная функция (АКФ) и

взаимокорреляционная функция (ВКФ).

АКФ характеризует зависимость последующих значений случайной величины от предыдущих, находящихся на расстоянии Dt.

График изменения входной случайной величины - входного сигнала

АКФ: . При Dt ®0 - точнее.

Взаимокорреляционная функция связывает две величины, отстоящие друг от друга на Dt.

ВКФ: .

С АКФ и ВКФ связаны (через преобразование Фурье, когда входной-выходной сигнал раскладывается в ряд Фурье, состоящий из суммы синусоидальных колебаний с различной w - ряд гармоник) спектральные плотности случайных величин.

- для АКФ

- для ВКФ.

Физически показывает, какая доля мощности случайной величины приходится на данную частоту.

Через спектральную плотность находим АФЧХ объекта:

.

Коды Хэмминга

Коды Хэмминга являются самоконтролирующимися кодами, то есть кодами, позволяющими автоматически обнаруживать ошибки при передаче данных. Для их построения достаточно приписать к каждому слову один добавочный (контрольный) двоичный разряд и выбрать цифру этого разряда так, чтобы общее количество единиц в изображении любого числа было, например, четным. Одиночная ошибка в каком-либо разряде передаваемого слова (в том числе, может быть, и в контрольном разряде) изменит четность общего количества единиц. Счетчики по модулю 2, подсчитывающие количество единиц, которые содержатся среди двоичных цифр числа, могут давать сигнал о наличии ошибок.

При этом невозможно узнать, в каком именно разряде произошла ошибка, и, следовательно, нет возможности исправить её. Остаются незамеченными также ошибки, возникающие одновременно в двух, в четырёх или вообще в четном количестве разрядов. Впрочем, двойные, а тем более четырёхкратные ошибки полагаются маловероятными.

Коды, предложенные Р. Хэммингом, обладают способностью обнаружить и исправить одиночные ошибки.

Предположим, что имеется код, содержащий m информационных разрядов и k контрольных разрядов. Запись на k позиций определяеется при проверке на четность каждой из проверяемых k групп информационных символов. Пусть было проведено k проверок. Если результат проверки свидетельствует об отсутствии ошибок, запишем 0, если есть ошибка - 1. Запись полученной последовательности символов образует двоичное число.

Свойство кодов Хэмминга таково, что контрольное число указывает номер позиции, где произошла ошибка. При отсутствии ошибки в коде данная последовательность будет содержать только нули. Полученное число описывает таким образом n=(m+k+1) событий. Следовательно, справедливо неравенство

2k>=(m+k+1) (1)

Определить максимальное значение m для заданного n можно из следующего:

Определим теперь позиции, которые надлежит проверить в каждой из k проверок. Если в кодовой комбинации ошибок нет, контрольное число содержит только нули. Если в первом разряде контрольного числа стоит 1, это означает, что в результате первой проверки обнаружена ошибка. Первая проверка охватывает позиции 1, 3, 5, 7, 9,... (в двоичной записи этих чисел младший разряд равен 1). Вторая проверка - 2, 3, 6, 7, 10...

Практическая часть

1) Для исследования влияния некоторых факторов вакуумной сушки на усадку платы по площади y (% полученной площади образца после сушки от первоначальной) были поставлены эксперименты по плану ПФЭ 23. В качестве факторов, влияющих на эту величину, бы- ли выбраны следующие:

Требуется построить уравнение регрессии, учитывая взаимодействия факторов, проверить полученную модель на адекватность и произвести ее интерпретацию.

Исходная матрица планирования ПФЭ 23

Решение

Таблица 1. Исходная матрица планирования ПФЭ 23

1)Центр интервала варьирования факторов и зависимость кодированной переменной Хi от натуральной Zi найдем по формуле:

Хi = (Zi - Zi0) / лi, где:

Zi0 - центр плана;

лi - интервал варьирования.

Таблица 2. Кодирование (нормирование) факторов

2) Достроим матрицу планирования в кодированных переменных с учетом парных взаимодействий и дополним столбцом средних значений отклика:

m - число повторений опыта.

m = 3

Среднее значение отклика

Yсрi = ; j = 1..8.

Общий вид уравнения регрессии:

Таблица 3. Матрица планирования для обработки результатов

3) Вычислим коэффициенты уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов:

Рассчиатем коэффициенты уравнения регрессии:

i = 1..k, k = 3 - количество факторов

r < p, r = 1..k, p = 1..k

l = 1..k

Таблица 4. Коэффициенты уравнения регрессии

4) Проверяем эти коэффициенты на значимость, предварительно определив дисперсию воспроизведения, и получаем уравнение регрессии в кодированных переменных.

Дисперсия воспроизводимости:

Sj2 - выборочные дисперсии результатов опытов для j - го эксперимента.

Таблица 5. Выборочные дисперсии

Дисперсия воспроизводимости:

328,67*10-6/8 = 41,08*10-6

Среднеквадратичное отклонение коэффициентов:

Число степеней свободы:

n*(m-1) = 8*(3 -1) = 16

Уровень значимости примем:

б = 0.05

то есть событие с вероятностью 0.05 считается невозможным.

Из таблицы Стьюдента определяем коэффициент критических точек:

tкр = 2.12

Тогда критерий воспроизводимости:

Так как bi>, то все коэффициенты уравнения регрессии значимые.

Уравнение регрессии примет вид:

5) Проверим уравнение регрессии на адекватность по критерию Фишера:

Подставим в формулу полученные значения и сравним с экспериментальным значением .

Вычислим параметры остаточной дисперсии (дисперсии отклонения теоретических результатов от экспериментальных).

Остаточная дисперсия - общая сумма квадратных отклонений от фактических значений. Объем остаточных вариаций, деленный на число наблюдений.

Таблица 6

Тогда остаточная дисперсия:

Найдем расчетное значение критерия Фишера:

k1 = 1 - число отброшенных коэффициентов.

k2 = 16 - степень свободы.

Найдем по таблице соответствующий коэффициент Фишера:

Так как , следовательно, уравнение регрессии адекватно.

7) Выпишем уравнение регрессии в натуральных величинах:

Из таблицы 2

Получаем:

2) С помощью кода Хемминга проверить обнаружить и скорректировать одиночную ошибку в двоичном коде числа.

Количество информационных разрядов m=7, контролирующих кодов k=4.

Исходное слово: 00101102

Пусть был передан код с ошибкой в 3 разряде.

Для проверки используется также 1 контролирующий разряд, тогда количество разрядов (m+ k+1). Этот разряд считает количество единиц в отправленном слове. Если их четное количество, то он равен 0, если нечетное - то 1.

Решение:

Таблица 7

Получено слово: 10001000101(1)

По контрольным разрядам:

Очевидно, что ошибка произошла в 6-м разряде кодового слова (0110), который соответствует разряду с именем d3.

Выводы

В процессе выполнения курсовой работы были изучены особенности обработки данных полного факторного эксперимента, было построено уравнение регрессии, учитывающая взаимодействие всех трех факторов эксперимента, при том все значения коэффициентов удовлетворяли требованиям значимости, а само полученное уравнение регрессии успешно прошло проверку на адекватность по критерию Фишера.

Во второй части работы была произведена ручная проверка функционирования помехозащищенного кода Хемминга и доказана его эффективность в обнаружении и самостоятельном исправлении единичных ошибок в передаваемом слове.

Список литературы

1. Алексеев А.А. Идентификация и диагностика систем: учеб. для студ. высш. учеб. заведений / Алексеев А.А., Кораблев Ю.А., Шестопалов М.Ю. - М.: Издательский центр «Академия», 2009 - 352 с.

2. Дилигенская А.Н. Идентификация объектов управления: уч. пособие - Самара: Самарский государственный технический университет, 2009 - 136 с.

3. Монахов О.И. Идентификация и диагностика: Лекции - 178 с.

Размещено на Allbest.ru