Уравнения линейной регрессии

По предприятиям легкой промышленности получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.) табл. 1.

Табл. 1.1.

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (б=0,05).

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (б=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости б=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения.

7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

гиперболической;

степенной;

показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

Решение

1. Линейная модель имеет вид:

Параметры уравнения линейной регрессии найдем по формулам

Расчет значения параметров представлен в табл. 2.

Табл. 1.2.

Определим параметры линейной модели

Линейная модель имеет вид

Коэффициент регрессии показывает, что выпуск продукции Y возрастает в среднем на 0,909 млн. руб. при увеличении объема капиталовложений Х на 1 млн. руб.

2. Вычислим остатки , остаточную сумму квадратов , найдем остаточную дисперсию по формуле:

Расчеты представлены в табл. 2.

Рис. 1. График остатков е.

3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе критерия Дарбина-Уотсона.

Табл. 1.3.

d1=0,88; d2=1,32 для б=0,05, n=10, k=1.

,

значит, ряд остатков не коррелирован.

4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения на основе t-критерия Стьюдента. (б=0,05).

для н=8; б=0,05.

Расчет значения произведен в табл. 2. Получим:

Так как , то можно сделать вывод, что коэффициенты регрессии a и b с вероятностью 0,95 значимы.

5. Найдем коэффициент корреляции по формуле

Расчеты произведем в табл. 2.

Значит,. Т.о. связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к. .

Коэффициент детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,4% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Fтаб=5,32, т.к. k1=1, k2=8, б=0,05

т.к. F значительно больше Fтабл, то можно сделать вывод, что уравнение регрессии с вероятностью 95% статистически значимо.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Расчеты произведены в табл. 2.

,

значит, линейную модель можно считать точной, т.к. Е<5%/

6. С помощью линейной модели осуществим прогноз Y при б=0,1 и х=0,8хmax

Определим границы прогноза. t0,1;8=1,86

Найдем границы интервала:

7. Представим графически фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

Рис. 2. Фактические данные, линейная модель и результаты прогнозирования.

8. а) Составим уравнение гиперболической модели. Гиперболическая модель имеет вид

;

Проведем линеаризацию переменной путем замены .

Расчеты произведем в табл. 3.

Модель имеет вид:

Табл.1.4.

Найдем индекс корреляции по формуле

,

значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y можно считать тесной, т.к. .

Индекс детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 57,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.

F>Fтабл (10,692>5,32),

значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

значит, расчетные значения y для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 14,45%.

8. б) Построим степенную модель, которая имеет вид

Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.

Расчет неизвестных параметров произведем в табл. 5.

Табл. 1.5.

Получим

Перейдем к исходным переменным путем потенцирования данного уравнения.

Найдем индекс корреляции.

,

значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к. .

Индекс детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 98,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.

F>Fтабл (436,448>5,32), значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

значит, расчетные значения y для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 3,46%. Модель точная.

8. в) Составим показательную модель, уравнение которой имеет вид:

Проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения.

Табл. 1.6.

Перейдем к исходным переменным, выполнив потенцирование уравнения.

Найдем индекс корреляции.

,

значит, связь между объемом капиталовложений Х и выпуском продукции Y тесная, т.к. .

Индекс детерминации найдем по формуле . Значит, вариация объема выпуска продукции Y на 96,2% объясняется вариацией объема капиталовложений X.

Проверим значимость уравнения на основе F-критерия Фишера.

F>Fтабл (202,528>5,32),

значит, уравнение статистически значимо.

Оценим точность модели на основе средней относительной ошибки аппроксимации.

,

значит, расчетные значения y для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 3,99%. Модель точная.

9. Сравним полученные модели.

Табл. 1.7.

Наилучшей моделью является линейная модель (по максимуму критерия корреляции, детерминации, F-критерия и минимальной средней ошибке аппроксимации).

Рис. 3. Построенные уравнения регрессии.

Задача 2 (а, б)

Для каждого варианта даны по две СФМ, которые записаны в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Табл. 2.1.

Решение

a) CФМ имеет вид:

Проверим систему на идентифицируемость. Для этого проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В 1-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х3, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации

Для проверки на достаточное условие идентификации составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

Составим матрицу из коэффициентов

Определитель матрицы не равен 0, ранг равен 2. достаточное условие идентификации выполняется и 1-е уравнение точно идентифицируемо.

2) Во 2-м уравнении 3 эндогенные переменные y1, y2, y3 (Н=3); отсутствуют экзогенные х2, х3 (D=2).

2+1=3 -- необходимое условие идентификации выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

Определитель не равен 0, ранг матрицы равен 2, достаточное условие идентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.

3) В 3-м уравнении 2 эндогенные переменные y2, y3 (Н=2); отсутствует 1 экзогенная х4 (D=1).

1+1=2 -- необходимое условие идентификации выполняется.

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

Определитель не равен 0, ранг матрицы равен 2-м, достаточное условие идентификации выполняется. 3-е уравнение точно идентифицируемо.

Т.о, если все 3 уравнения идентифицируемы, то и СФМ идентифицируема.

б) СФМ имеет вид:

Проверим систему на идентифицируемость, для этого проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

1) В 1-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3 (D=1).

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

Достаточное условие не выполнено, уравнение не идентифицируемо.

2) Во 2-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y2 (Н=2). Отсутствующая экзогенная переменная х2 (D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется.

Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

Необходимое условие идентификации выполняется. 2-е уравнение точно идентифицируемо.

3) В 3-м уравнении 2 эндогенных переменных y1, y3 (Н=2); отсутствующая экзогенная переменная х3 (D=1). Необходимое условие D+1=H выполняется. Составим матрицу из коэффициентов при отсутствующих переменных.

Достаточное условие не выполняется. 3-е уравнение не идентифицируемо.

Т.к. 1-е и 3-е уравнения не идентифицируемы, то и вся СФМ не является идентифицируемой.

Ответ: а) СФМ идентифицируема; б) СФМ не является идентифицируемой.

Задача 2 в