Уравнения линейной регрессии
Нахождение уравнения линейной регрессии, парного коэффициента корреляции. Вычисление точечных оценок для математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения показателей x и y. Построение точечного прогноза для случая расходов на рекламу.
Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 12.05.2010 |
Размер файла | 216,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Федеральное агентство по образованию
Министерства образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Филиал Уральского государственного экономического университета
г.Березники
Кафедра "Математики и естественнонаучных дисциплин"
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
специальность: 080103.65 "Национальная экономика"
Выполнил (а)
Студент (ка) гр. ЭКФС - 071 Д.А.Вахрушева
Проверил
Профессор, д.т.н. Б.Н.Щеткин
Березники
2010 г
Задание 1.
1. В соответствии с МНК найти уравнение линейной регрессии
2. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения показателей x и y.
3. Найти парный коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятностью p=0,95 проверить его значимость
4. Сделать точечный и интервальный прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн.руб.
5. Построить график линии регрессии с нанесением на него опытных данных.
Для удобства вычислений параметров системы уравнений составим табл.1.
Таблица 1
t |
xi |
yi |
xy |
x2 |
y2 |
y-? |
(y-?)2 |
yi |
ei=yi- yx |
ei2 |
ei-ei-1 |
(ei-ei-1)2 |
||||
1 |
0 |
32,4 |
0 |
0 |
1049,76 |
-5,52 |
30,4704 |
32,18 |
0,22 |
0,05 |
- |
- |
-2,25 |
5,06 |
0,68 |
|
2 |
0,5 |
32,4 |
16,2 |
0,25 |
1049,76 |
-5,52 |
30,4704 |
33,46 |
-1,06 |
1,11 |
-1,28 |
1,63 |
-1,75 |
3,06 |
3,26 |
|
3 |
1 |
34,8 |
34,8 |
1 |
1211,04 |
-3,12 |
9,7344 |
34,73 |
0,07 |
0,00 |
1,13 |
1,27 |
-1,25 |
1,56 |
0,20 |
|
4 |
1,5 |
37,1 |
55,65 |
2,25 |
1376,41 |
-0,82 |
0,6724 |
36,01 |
1,10 |
1,20 |
1,03 |
1,05 |
-0,75 |
0,56 |
2,95 |
|
5 |
2 |
38 |
76 |
4 |
1444 |
0,08 |
0,0064 |
37,28 |
0,72 |
0,52 |
-0,38 |
0,14 |
-0,25 |
0,06 |
1,89 |
|
6 |
2,5 |
38,7 |
96,75 |
6,25 |
1497,69 |
0,78 |
0,6084 |
38,58 |
0,12 |
0,01 |
-0,60 |
0,36 |
0,25 |
0,06 |
0,31 |
|
7 |
3 |
38,6 |
115,8 |
9 |
1489,96 |
0,68 |
0,4624 |
39,83 |
-1,23 |
1,51 |
-1,35 |
1,82 |
0,75 |
0,56 |
3,19 |
|
8 |
3,5 |
39,9 |
139,65 |
12,25 |
1592,01 |
1,98 |
3,9204 |
41,11 |
-1,21 |
1,45 |
0,02 |
0,00 |
1,25 |
1,56 |
3,02 |
|
9 |
4 |
43,8 |
175,2 |
16 |
1918,44 |
5,88 |
34,5744 |
42,38 |
1,42 |
2,02 |
2,63 |
6,89 |
1,75 |
3,06 |
3,24 |
|
10 |
4,5 |
43,5 |
195,75 |
20,25 |
1892,25 |
5,58 |
31,1364 |
43,66 |
-0,16 |
0,02 |
-1,58 |
2,48 |
2,25 |
5,06 |
0,36 |
|
Итого |
22,5 |
379,2 |
905,8 |
71,25 |
14521,3 |
0 |
142,056 |
379,20 |
0,00 |
7,90 |
-0,38 |
15,64 |
20,63 |
19,1 |
||
среднее |
2,25 |
37,92 |
90,58 |
7,125 |
1452,13 |
14,2056 |
37,92 |
0,79 |
||||||||
? |
1,44 |
3,77 |
||||||||||||||
?2 |
2,06 |
14,20 |
||||||||||||||
yp |
5 |
44,93 |
1. Пример расчета среднего значения:
Построение уравнения регрессии сводятся к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических yx минимальна т.е
Для линейных уравнений, решается следующая система уравнений:
Исходя из таблицы 1, система уравнений с численными значениями параметров имеет вид:
Решим систему уравнения по правилу Крамера:
Определим коэффициенты регрессии a и b:
Также можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают системы:
Уравнение регрессии имеет следующий вид:
yi = 32,18+2,55x
2. Вычисление среднеквадратического отклонения:
3.Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Или
Значение коэффициентов парной корреляции лежит в интервале от -1 до +1. его положительное значение свидетельствует о прямой связи. Связь считается достаточно сильной, т.к. коэффициент корреляции по абсолютной величине превышает 0,7.
Рассчитаем коэффициент детерминации. Он показывает долю вариации результативного признака, находящего под воздействием изучаемых факторов.
Или
Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения yi. Найдем величину средней ошибки аппроксимации (расчеты представлены в таблице 1), которая показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических. Допустимый предел ее значений 8-10%.
Рассчитаем F-критерий Фишера, применяемый для оценки качества уравнения регрессии. Выполняется сравнение Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера.
Если табличное значение меньше расчетного, т.е. признается статистическая значимость и надежность характеристик, уравнение регрессии следует признать адекватным.
Рассчитаем стандартную ошибку:
Рассчитаем t-критерий Стьюдента, применяемый для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции.
Проверка статистической значимости коэффициентов:
Коэффициент корреляции существенно отличен от нуля - это значит, что значения коэффициентов сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Зависимость является значимой и достоверной.
Определим случайные ошибки:
тогда
Рассчитаем доверительный интервал для a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
Доверительные интервалы:
4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение фактора составит , тогда прогнозное значение результата будет
Ошибка прогноза составит:
Предельная ошибка прогноза:
Доверительный интервал прогноза:
5. Построим график линии регрессии с нанесением на него опытных данных
Рис. 1. График линии регрессии
Задание №2
Имеются данные о доли расходов на товары длительного пользования уi от среднемесячного дохода семьи xi. Предполагается, что эта зависимость носит нелинейный характер . Необходимо:
1. Найти уравнение нелинейной гиперболической регрессии .
2. Найти парный коэффициент корреляции и с доверительной вероятностью проверить его значимость.
Таблица 2
i |
xi |
yi |
Xi=1/xi |
Xi2 |
Xi yi |
?i |
ei=yi- ?i |
ei2 |
yi-? |
(yi-?)2 |
|
1 |
2 |
29,7 |
0,5000 |
0,25 |
14,85 |
29,11 |
0,59 |
0,35 |
6,49 |
42,12 |
|
2 |
2,5 |
26,3 |
0,4000 |
0,16 |
10,52 |
26,56 |
-0,26 |
0,07 |
3,09 |
9,55 |
|
3 |
3 |
24,8 |
0,3333 |
0,11 |
8,27 |
24,85 |
-0,05 |
0,00 |
1,59 |
2,53 |
|
4 |
3,5 |
23,5 |
0,2857 |
0,08 |
6,71 |
23,63 |
-0,13 |
0,02 |
0,29 |
0,08 |
|
5 |
4 |
22,3 |
0,2500 |
0,06 |
5,58 |
22,72 |
-0,41 |
0,17 |
-0,91 |
0,83 |
|
6 |
4,5 |
21,7 |
0,2222 |
0,05 |
4,82 |
22,00 |
-0,30 |
0,09 |
-1,51 |
2,28 |
|
7 |
5 |
21,5 |
0,2000 |
0,04 |
4,30 |
21,43 |
0,07 |
0,00 |
-1,71 |
2,92 |
|
8 |
5,5 |
19 |
0,1818 |
0,03 |
3,45 |
20,97 |
-1,97 |
3,87 |
-4,21 |
17,72 |
|
9 |
6 |
20,5 |
0,1667 |
0,03 |
3,42 |
20,58 |
-0,08 |
0,01 |
-2,71 |
7,34 |
|
10 |
6,5 |
22,8 |
0,1538 |
0,02 |
3,51 |
20,25 |
2,55 |
6,49 |
-0,41 |
0,17 |
|
итого |
42,5 |
232,1 |
2,6936 |
0,839131 |
65,4271 |
232,10 |
0,00 |
11,08 |
0 |
85,55 |
|
среднее |
4,25 |
23,21 |
0,27 |
0,083913 |
6,54 |
23,21 |
1,11 |
0,00 |
8,55 |
1. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид:
произведем линеаризацию модели путем замены X=1/x. В результате получим линейное уравнение . Рассчитаем его параметры по данным таблицы 2. Полученные результаты заносим в таблицу.
Применяя МНК к уравнению , получим систему нормальных уравнений:
Исходя из таблицы 1, система уравнений с численными значениями параметров имеет вид:
Решим систему уравнения по правилу Крамера:
Определим коэффициенты регрессии a и b:
Уравнение регрессии имеет следующий вид:
2.Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
Связь между показателем y и фактором x очень тесная.
Проверим значимость индекса корреляции с помощью F-критерия Фишера. Наблюдаемое значение статистики определяется по формуле:
По таблице критических точек F-распределения Фишера-Снедекора находим табличное значение Fтабл.
F > Fтабл = 5,32 для ?=0,05, k1=m=1, k2=n-m-1=8
51,22 > 5,32
Индекс корреляции значим, т.к. F > Fтабл.
Задание №3
Исследуется зависимость месячного расхода семьи на продукты питания zi. , тыс.р. от месячного дохода на одного члена семьи xi тыс.р. и от размера семью yi , чел. Необходимо:
1. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии .
2. Найти парные коэффициенты корреляции .
3. С доверительной вероятностью р=0,95 проверить коэффициенты корреляции на значимость.
4. Вычислить индекс множественной корреляции и проверить с доверительной вероятностью его статистическую значимость.
1. Согласно МНК параметры регрессии уравнения находятся по формуле
, где
матрица значений объясняющих переменных;
- матрица столбец значений зависимой переменной;
- матрица-столбец параметров линейного уравнения регрессии
В нашем случае
Матрица XTX представляет собой матрицу сумм первых степеней, квадратов и произведений n наблюдений объясняющих переменных:
Таблица 3
t |
x |
y |
z |
x2 |
y2 |
xy |
|
1 |
2 |
1 |
2,40 |
4 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
1 |
3,10 |
9 |
1 |
3 |
|
3 |
4 |
1 |
3,40 |
16 |
1 |
4 |
|
4 |
2 |
2 |
3,70 |
4 |
4 |
4 |
|
5 |
3 |
2 |
4,00 |
9 |
4 |
6 |
|
6 |
4 |
2 |
4,20 |
16 |
4 |
8 |
|
7 |
3 |
3 |
4,50 |
9 |
9 |
9 |
|
8 |
4 |
3 |
4,70 |
16 |
9 |
12 |
|
9 |
5 |
3 |
6,00 |
25 |
9 |
15 |
|
10 |
3 |
4 |
5,90 |
9 |
16 |
12 |
|
11 |
4 |
4 |
6,30 |
16 |
16 |
16 |
|
12 |
5 |
4 |
6,40 |
25 |
16 |
20 |
|
13 |
2 |
5 |
6,30 |
4 |
25 |
10 |
|
14 |
3 |
5 |
6,50 |
9 |
25 |
15 |
|
15 |
4 |
5 |
7,20 |
16 |
25 |
20 |
|
итого |
51 |
45 |
74,6 |
187 |
165 |
156 |
|
среднее |
3,40 |
3,00 |
4,97 |
Обозначим через B=XTX. Тогда матрица B-1 определяется по формуле
,
где - определитель матрицы B, - матрица составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы B. - транспонированная матрица к матрице .
Получаем:
= 15•(187•165-1562)-51•(51•165-45•156)+45•(51•156-45•187)=5985
Таким образом, матрица имеет вид:
а матрица примет вид:
Для матрицы B-1 получаем:
отсюда матрица
Окончательно для матрицы А получаем:
Следовательно:
c=0,81
a=0,41
b=0,923
Уравнение множественной регрессии имеет вид:
2. Рассчитаем парные коэффициенты корреляции
- "исправленные" среднеквадратические отклонения величин x,y и z
Таблица 4
t |
x |
y |
z |
x-? |
y-? |
z-? |
(x-?)2 |
(y-?)2 |
(z-?)2 |
(x-?)* (z-?) |
(y-?)* (z-?) |
(x-?)* (y-?) |
xz |
yz |
|
1 |
2 |
1 |
2,40 |
-1,40 |
-2,00 |
-2,57 |
1,96 |
4,00 |
6,62 |
3,60 |
5,15 |
2,8 |
4,8 |
2,4 |
|
2 |
3 |
1 |
3,10 |
-0,40 |
-2,00 |
-1,87 |
0,16 |
4,00 |
3,51 |
0,75 |
3,75 |
0,8 |
9,3 |
3,1 |
|
3 |
4 |
1 |
3,40 |
0,60 |
-2,00 |
-1,57 |
0,36 |
4,00 |
2,48 |
-0,94 |
3,15 |
-1,2 |
13,6 |
3,4 |
|
4 |
2 |
2 |
3,70 |
-1,40 |
-1,00 |
-1,27 |
1,96 |
1,00 |
1,62 |
1,78 |
1,27 |
1,4 |
7,4 |
7,4 |
|
5 |
3 |
2 |
4,00 |
-0,40 |
-1,00 |
-0,97 |
0,16 |
1,00 |
0,95 |
0,39 |
0,97 |
0,4 |
12 |
8 |
|
6 |
4 |
2 |
4,20 |
0,60 |
-1,00 |
-0,77 |
0,36 |
1,00 |
0,60 |
-0,46 |
0,77 |
-0,6 |
16,8 |
8,4 |
|
7 |
3 |
3 |
4,50 |
-0,40 |
0,00 |
-0,47 |
0,16 |
0,00 |
0,22 |
0,19 |
0,00 |
0 |
13,5 |
13,5 |
|
8 |
4 |
3 |
4,70 |
0,60 |
0,00 |
-0,27 |
0,36 |
0,00 |
0,07 |
-0,16 |
0,00 |
0 |
18,8 |
14,1 |
|
9 |
5 |
3 |
6,00 |
1,60 |
0,00 |
1,03 |
2,56 |
0,00 |
1,05 |
1,64 |
0,00 |
0 |
30 |
18 |
|
10 |
3 |
4 |
5,90 |
-0,40 |
1,00 |
0,93 |
0,16 |
1,00 |
0,86 |
-0,37 |
0,93 |
-0,4 |
17,7 |
23,6 |
|
11 |
4 |
4 |
6,30 |
0,60 |
1,00 |
1,33 |
0,36 |
1,00 |
1,76 |
0,80 |
1,33 |
0,6 |
25,2 |
25,2 |
|
12 |
5 |
4 |
6,40 |
1,60 |
1,00 |
1,43 |
2,56 |
1,00 |
2,04 |
2,28 |
1,43 |
1,6 |
32 |
25,6 |
|
13 |
2 |
5 |
6,30 |
-1,40 |
2,00 |
1,33 |
1,96 |
4,00 |
1,76 |
-1,86 |
2,65 |
-2,8 |
12,6 |
31,5 |
|
14 |
3 |
5 |
6,50 |
-0,40 |
2,00 |
1,53 |
0,16 |
4,00 |
2,33 |
-0,61 |
3,05 |
-0,8 |
19,5 |
32,5 |
|
15 |
4 |
5 |
7,20 |
0,60 |
2,00 |
2,23 |
0,36 |
4,00 |
4,96 |
1,34 |
4,45 |
1,2 |
28,8 |
36 |
|
Итого |
51 |
45 |
74,6 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
13,6 |
30 |
30,82933 |
8,36 |
28,9 |
3 |
262 |
252,7 |
|
среднее |
3,4 |
3 |
4,97 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,91 |
2,00 |
2,06 |
0,56 |
1,93 |
0,20 |
По данным таблицы 4 находим:
Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид:
3. Проверим коэффициенты корреляции на значимость с доверительной вероятностью p=0,95, т.е. на уровне значимость ?=1-p=0,05.
Определим случайные ошибки коэффициентов корреляции:
Определяем расчетные значения t-критерия Стьюдента:
По таблице распределения Стьюдента определяем критическое значение t-статистики при ?=1-p=0,05 и числе степеней свободы n-2=15-2=13: tкр=2,16.
Сравнивая расчетные значения t-критерия с критическим значением, делаем вывод, что значимым является только коэффициент парной корреляции ryz, т.к. для него
4. Вычислим индекс множественной корреляции R через стандартизированные ?-коэффициенты множественной регрессии и парные коэффициенты корреляции по формулам:
Индекс множественной корреляции:
Задание 4
Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев.
1 Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1,2,3 и 4 месяца.
2. Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью .
3. Построить коррелограмму.
4. Построить аддитивную модель временного ряда.
Коэффициенты автокорреляции со смещением (лагом) на k периодов находятся по формуле:
1.1. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 1 месяц. Для этого составим расчетную таблицу 5
Таблица 5
месяц |
yt |
yt+1 |
yt2 |
y2t+1 |
yt •yt+1 |
|
1 |
74,4 |
73,2 |
5535,36 |
5358,24 |
5446,08 |
|
2 |
73,2 |
74,3 |
5358,24 |
5520,49 |
5438,76 |
|
3 |
74,3 |
79,9 |
5520,49 |
6384,01 |
5936,57 |
|
4 |
79,9 |
78,7 |
6384,01 |
6193,69 |
6288,13 |
|
5 |
78,7 |
79,7 |
6193,69 |
6352,09 |
6272,39 |
|
6 |
79,7 |
84,1 |
6352,09 |
7072,81 |
6702,77 |
|
7 |
84,1 |
84,3 |
7072,81 |
7106,49 |
7089,63 |
|
8 |
84,3 |
85,4 |
7106,49 |
7293,16 |
7199,22 |
|
9 |
85,4 |
89,3 |
7293,16 |
7974,49 |
7626,22 |
|
10 |
89,3 |
89,6 |
7974,49 |
8028,16 |
8001,28 |
|
11 |
89,6 |
91 |
8028,16 |
8281 |
8153,6 |
|
Итого |
892,9 |
909,5 |
72818,99 |
75564,63 |
74154,65 |
1.2. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещение на два месяца. Для этого составим таблицу 6
Таблица 6
месяц |
yt |
yt+2 |
yt2 |
y2t+2 |
yt •yt+2 |
|
1 |
74,4 |
74,3 |
5535,36 |
5520,49 |
5527,92 |
|
2 |
73,2 |
79,9 |
5358,24 |
6384,01 |
5848,68 |
|
3 |
74,3 |
78,7 |
5520,49 |
6193,69 |
5847,41 |
|
4 |
79,9 |
79,7 |
6384,01 |
6352,09 |
6368,03 |
|
5 |
78,7 |
84,1 |
6193,69 |
7072,81 |
6618,67 |
|
6 |
79,7 |
84,3 |
6352,09 |
7106,49 |
6718,71 |
|
7 |
84,1 |
85,4 |
7072,81 |
7293,16 |
7182,14 |
|
8 |
84,3 |
89,3 |
7106,49 |
7974,49 |
7527,99 |
|
9 |
85,4 |
89,6 |
7293,16 |
8028,16 |
7651,84 |
|
10 |
89,3 |
91 |
7974,49 |
8281 |
8126,3 |
|
Итого |
803,3 |
836,3 |
64790,83 |
70206,39 |
67417,69 |
1.3. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 3 месяца. Составим таблицу 7
Таблица 7
yt |
yt+3 |
yt2 |
y2t+3 |
yt •yt+3 |
|
74,4 |
79,9 |
5535,36 |
6384,01 |
5944,56 |
|
73,2 |
78,7 |
5358,24 |
6193,69 |
5760,84 |
|
74,3 |
79,7 |
5520,49 |
6352,09 |
5921,71 |
|
79,9 |
84,1 |
6384,01 |
7072,81 |
6719,59 |
|
78,7 |
84,3 |
6193,69 |
7106,49 |
6634,41 |
|
79,7 |
85,4 |
6352,09 |
7293,16 |
6806,38 |
|
84,1 |
89,3 |
7072,81 |
7974,49 |
7510,13 |
|
84,3 |
89,6 |
7106,49 |
8028,16 |
7553,28 |
|
85,4 |
91 |
7293,16 |
8281 |
7771,4 |
|
714 |
762 |
56816,34 |
64685,9 |
60622,3 |
=1.4. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 4 месяца. Составим таблицу 8.
Таблица 8
месяц |
yt |
yt+4 |
yt2 |
y2t+4 |
yt •yt+4 |
|
1 |
74,4 |
78,7 |
5535,36 |
6193,69 |
5855,28 |
|
2 |
73,2 |
79,7 |
5358,24 |
6352,09 |
5834,04 |
|
3 |
74,3 |
84,1 |
5520,49 |
7072,81 |
6248,63 |
|
4 |
79,9 |
84,3 |
6384,01 |
7106,49 |
6735,57 |
|
5 |
78,7 |
85,4 |
6193,69 |
7293,16 |
6720,98 |
|
6 |
79,7 |
89,3 |
6352,09 |
7974,49 |
7117,21 |
|
7 |
84,1 |
89,6 |
7072,81 |
8028,16 |
7535,36 |
|
8 |
84,3 |
91 |
7106,49 |
8281 |
7671,3 |
|
Итого |
628,6 |
682,1 |
49523,18 |
58301,89 |
53718,37 |
Проверим значимость всех коэффициентов автокорреляции. Значимость коэффициентов автокорреляции принято проверять с помощью двух критериев: критерия стандартной ошибки и Q-критерия Бокса-Пирса.
Построим доверительный интервал коэффициента автокорреляции по формуле:
, где n - число пар наблюдений временного ряда
для r1 (объем выборки составляет: n-1=12-1=11)
для r2 (объем выборки составляет: n-2=12-2=10)
для r3 (объем выборки составляет: n-3=12-3=9)
для r4 (объем выборки составляет: n-4=12-4=8)
Рассчитанные значения коэффициентов автокорреляции:
r1=0,93
r2=0,90
r3=0,995
r4=0,89
не попадают в рассчитанные доверительные интервалы. Тогда делаем вывод, что данные наблюдения показывают наличие автокорреляции 1,2,3,4 порядков.
Проверим значимость всей группы коэффициентов автокорреляции с помощью Q-критерия Бокса-Пирса.
Для уровня значимости ?=0,05 и числа степеней свободы k=4 находим по таблице критических точек распределения ?2, ?2кр=(?=0,05;k=4)=9,5
Так как Qн> ?2кр, то в целом, вся группа коэффициентов для лагов, не превосходящих m=4, считается значимой.
3. Построим коррелограмму для исходного временного ряда.
Рис. 2. График автокорреляционной функции r(k)
По коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции.
Рис. 3. График наблюдаемых значений исходного временного ряда
На рисунке 3 по графику наблюдаемых значений временного ряда наглядно видно наличие возрастающей тенденции. Поэтому во временном ряду возможно существование линейного тренда.
Высокие значения коэффициентов автокорреляции 1,2,3 порядков, а также значимость всей группы коэффициентов автокорреляции, свидетельствуют, о том, что ряд содержит линейную тенденцию. Высокое значение коэффициента автокорреляции 3 порядка свидетельствуют о том, что ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодичностью в 3 месяца.
Поскольку амплитуда колебаний приблизительно постоянна, выбираем аддитивную модель временного ряда.
Рассчитаем компоненты выбранной модели:
1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней
2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и уровнями скользящей средней. Используем эти значения для оценки сезонной компоненты S (табл. 10). Для этого найдем средние за каждый месяц по всем кварталам оценки сезонной компоненты S1.
Таблица 9
t |
yt |
|||
месяц |
стоимость акций (руб.) |
простая 3-х членная скользящая средняя |
оценка сезонной компоненты |
|
1 |
74,4 |
- |
- |
|
2 |
73,2 |
73,97 |
-0,77 |
|
3 |
74,3 |
75,80 |
-1,50 |
|
4 |
79,9 |
77,63 |
2,27 |
|
5 |
78,7 |
79,43 |
-0,73 |
|
6 |
79,7 |
80,83 |
-1,13 |
|
7 |
84,1 |
82,70 |
1,40 |
|
8 |
84,3 |
84,60 |
-0,30 |
|
9 |
85,4 |
86,33 |
-0,93 |
|
10 |
89,3 |
88,10 |
1,20 |
|
11 |
89,6 |
89,97 |
-0,37 |
|
12 |
91 |
- |
- |
Таблица 10
Показатель |
номер месяца |
||||
квартал |
1 |
- |
-0,77 |
-1,5 |
|
2 |
2,27 |
-0,73 |
-1,13 |
||
3 |
1,4 |
-0,3 |
-0,93 |
||
4 |
1,2 |
-0,37 |
- |
||
итого за i-тый месяц/за весь год |
4,87 |
-2,17 |
-3,56 |
||
средняя оценка сезонной компоненты для i-того месяца |
1,62333 |
-0,72333 |
-1,18667 |
||
Скорректированная сезонная компонента |
1,71889 |
-0,62777 |
-1,09112 |
Для данной модели получаем 1,62333-0,72333-1,18667=-0,28667
Корректирующий коэффициент определится по формуле
?== -0,28667/3= -0,09556
Скорректированные значения сезонной компоненты определяются как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом ?:
? , i=1,2,3.
Проверяем условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты S1+S2+S3=0
1,71889-0,62777-1,09112=0
Окончательно для сезонной компоненты получены следующие значения:
за 1 месяц S1=1,71889;
за 2 месяц S2=-0,62777;
за 3 месяц S3=1,09112;
Полученные данные заносим в таблицу 11 для соответствующих месяцев года.
3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного ряда:
T+E=Y-S
Таблица 11
t |
yt |
Si |
T+E= yt-Si |
T |
T+S |
E= yt- -(T+ Si) |
E2 |
yt-?t |
(yt-?t)2 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
74,4 |
1,71889 |
72,68111 |
72,25 |
73,96889 |
0,43111 |
0,185856 |
-7,5917 |
57,6334 |
|
2 |
73,2 |
-0,62777 |
73,82777 |
74,02 |
73,39223 |
-0,19223 |
0,036952 |
-8,7917 |
77,2934 |
|
3 |
74,3 |
-1,09112 |
75,39112 |
75,79 |
74,69888 |
-0,39888 |
0,159105 |
-7,6917 |
59,1617 |
|
4 |
79,9 |
1,71889 |
78,18111 |
77,57 |
79,28889 |
0,61111 |
0,373455 |
-2,0917 |
4,3751 |
|
5 |
78,7 |
-0,62777 |
79,32777 |
79,34 |
78,71223 |
-0,01223 |
0,00015 |
-3,2917 |
10,8351 |
|
6 |
79,7 |
-1,09112 |
80,79112 |
81,11 |
80,01888 |
-0,31888 |
0,101684 |
-2,2917 |
5,2517 |
|
7 |
84,1 |
1,71889 |
82,38111 |
82,88 |
84,59889 |
-0,49889 |
0,248891 |
2,1083 |
4,4451 |
|
8 |
84,3 |
-0,62777 |
84,92777 |
84,65 |
84,02223 |
0,27777 |
0,077156 |
2,3083 |
5,3284 |
|
9 |
85,4 |
-1,09112 |
86,49112 |
86,42 |
85,32888 |
0,07112 |
0,005058 |
3,4083 |
11,6167 |
|
10 |
89,3 |
1,71889 |
87,58111 |
88,19 |
89,90889 |
-0,60889 |
0,370747 |
7,3083 |
53,4117 |
|
11 |
89,6 |
-0,62777 |
90,22777 |
89,96 |
89,33223 |
0,26777 |
0,071701 |
7,6083 |
57,8867 |
|
12 |
91 |
-1,09112 |
92,09112 |
91,72 |
90,62888 |
0,37112 |
0,13773 |
9,0083 |
81,1501 |
|
Итого |
983,9 |
983,9 |
0,00 |
1,768486 |
0,0000 |
428,3892 |
||||
ср.знач |
81,9917 |
4. Определим трендовую компоненту T данной модели. Проведем аналитическое выравнивание ряда (T+E) (гр.4 табл.11) с помощью линейного тренда.
Для удобства обозначим ряд (T+E) как W:
W=T+E
Линейная модель тенденции временного ряда W имеет вид
Согласно МНК параметры модели линейного тренда определяются из системы нормальных уравнений:
Вычислим в таблице 12 необходимые данные:
Таблица 12
t |
wt |
t2 |
twt |
||
1 |
72,681 |
1 |
72,681 |
72,25 |
|
2 |
73,828 |
4 |
147,656 |
74,02 |
|
3 |
75,391 |
9 |
226,173 |
75,79 |
|
4 |
78,181 |
16 |
312,724 |
77,57 |
|
5 |
79,328 |
25 |
396,64 |
79,34 |
|
6 |
80,791 |
36 |
484,746 |
81,11 |
|
7 |
82,381 |
49 |
576,667 |
82,88 |
|
8 |
84,928 |
64 |
679,424 |
84,65 |
|
9 |
86,491 |
81 |
778,419 |
86,42 |
|
10 |
87,581 |
100 |
875,81 |
88,19 |
|
11 |
90,228 |
121 |
992,508 |
89,96 |
|
12 |
92,091 |
144 |
1105,092 |
91,72 |
|
Итого 78 |
983,9 |
650 |
6648,54 |
983,9 |
Система нормальных уравнений имеет вид:
Решим систему уравнения по правилу Крамера:
Определим коэффициенты регрессии a и b:
Линейная модель тенденции временного ряда имеет вид:
Подставив в это уравнение значения t=1,2,3,…,12, получим выровненные для каждого момента времени (табл.12) или в старых обозначениях, уровни (T+E) (гр.5 табл.11).
5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавляем к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев (гр.6 табл.11)
6. Расчет ошибки производится по формуле
Значения абсолютных ошибок приведены в гр.7 табл.11.
Для выбора лучшей модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок, которая в нашем случае равна 1,768 (гр.8 табл.11).
Средний уровень исходного временного ряда подсчитывается по гр.2 табл.11:
Рассчитаем отклонения уровней исходного ряда от его среднего для каждого месяца (гр.9 табл.11).
Рассчитаем сумму квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня (гр.10 табл.11), которая равна 428,389.
По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построенной модели составляем величину
1-(1,768486/428,3892)=0,9959 или 99,59%
Следовательно, можно утверждать, что аддитивная модель объясняется 99,59% общей вариации уровней временного ряда стоимости акции за последние 12 месяцев.
Подобные документы
Определение параметров уравнения линейной регрессии. Экономическая интерпретация коэффициента регрессии. Вычисление остатков, расчет остаточной суммы квадратов. Оценка дисперсии остатков и построение графика остатков. Проверка выполнения предпосылок МНК.
контрольная работа [1,4 M], добавлен 25.06.2010Расчет параметров уравнения линейной регрессии, экономическая интерпретация ее коэффициента. Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю. Построение степенной модели парной регрессии. Вариация объема выпуска продукции.
контрольная работа [771,6 K], добавлен 28.04.2016Параметры уравнения линейной регрессии. Вычисление остаточной суммы квадратов, оценка дисперсии остатков. Осуществление проверки значимости параметров уравнения регрессии с помощью критерия Стьюдента. Расчет коэффициентов детерминации и эластичности.
контрольная работа [248,4 K], добавлен 26.12.2010Расчет параметров A и B уравнения линейной регрессии. Оценка полученной точности аппроксимации. Построение однофакторной регрессии. Дисперсия математического ожидания прогнозируемой величины. Тестирование ошибок уравнения множественной регрессии.
контрольная работа [63,3 K], добавлен 19.04.2013Исследование зависимости часового заработка одного рабочего от общего стажа работы после окончания учебы с помощью построения уравнения парной линейной регрессии. Вычисление описательных статистик. Построение поля корреляции и гипотезы о форме связи.
контрольная работа [226,6 K], добавлен 11.08.2015Основные параметры уравнения регрессии, оценка их параметров и значимость. Интервальная оценка для коэффициента корреляции. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии. Показатели качества уравнения регрессии, прогнозирование данных.
контрольная работа [222,5 K], добавлен 08.05.2014Параметры уравнения и экономическое толкование коэффициента линейной регрессии. Расчет коэффициентов детерминации и средних относительных ошибок аппроксимации. Построение структурной формы модели с использованием косвенного метода наименьших квадратов.
контрольная работа [99,2 K], добавлен 27.04.2011Поиск несмещенных оценок математического ожидания и для дисперсии X и Y. Расчет выборочного коэффициента корреляции, анализ степени тесноты связи между X и Y. Проверка гипотезы о силе линейной связи между X и Y, о значении параметров линейной регрессии.
контрольная работа [19,2 K], добавлен 25.12.2010Определение параметров линейной регрессии и корреляции с использованием формул и табличного процессора MS Excel. Методика расчета показателей парной нелинейной регрессии и корреляции. Вычисление значений линейных коэффициентов множественной детерминации.
контрольная работа [110,4 K], добавлен 28.07.2012Построение линейной модели и уравнения регрессии зависимости цены на квартиры на вторичном рынке жилья в Москве в 2006 г. от влияющих факторов. Методика составления матрицы парных коэффициентов корреляции. Экономическая интерпретация модели регрессии.
лабораторная работа [1,8 M], добавлен 25.05.2009