Експоненціальне згладжування. Початкові умови експоненційного згладжування. Вибір постійної згладжування

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Економічний факультет

Кафедра економічної кібернетики

Доповідь на тему: «Експоненціальне згладжування. Початкові умови експоненційного згладжування. Вибір постійної згладжування»

Студента групи Екк-42с Марусова Т.О.

Перевірила: Камінська Н.І.

Львів - 2019

1. Експоненціальне згладжування

Ідея методу експоненціального згладжування полягає в згладжуванні часового ряду ковзкою середньою з експоненціальними вагами. Така середня більше характеризує значення процесу на кінці інтервалу згладжування, ніж на початку. Справді, здебільшого на прогнозні значення суттєво впливають останні рівні часового ряду, тому їм надається більша вага порівняно з початковими, які, однак, не виключають зовсім з аналізу, тому що вони також несуть певну інформацію про досліджуваний процес. Назва методу випливає з того, що дані згладжуються за допомогою зваженої середньої, у якій ваги змінюються згідно з експоненціальним законом.

Ряд спостережень можна згладжувати будь-яку кількість разів, наприклад, ряд, згладжений один раз, можна згладити ще один раз ковзкою середньою з експоненціальними вагами (так зване подвійне експоненціальне згладжування), отриманий ряд знову згладжуємо ковзкою середньою з експоненціальними вагами (потрійне експоненціальне згладжування) тощо.

Так, для спостережень , прогноз наступного значення має вигляд:

, ,(1)

де підсумок усіх ваг дорівнює 1, а -- параметр згладжування.

Практичний розрахунок експоненціальної середньої здійснюють за рекурентною формулою:

або ,(2)

тобто в розрахунку нової експоненціальної середньої беруть попередню експоненціальну середню та частку від різниці між попереднім спостереженням і його згладженим значенням, тобто похибки . Так, із надходженням нового спостереження розраховують прогноз як експоненціальну середню наступного значення ; параметр обирають при цьому з умови мінімуму похибки прогнозу.

Можна показати, що математичні сподівання часового ряду й експоненціально згладженого ряду однакові, а дисперсія згладжених рівнів стає меншою за дисперсію початкового ряду спостережень:

, ,(3)

тобто якщо наближається до одиниці, то різниця між дисперсіями невелика, однак зі зменшенням коливання експоненціальної середньої стають більш гладкими. Тим самим експоненціальна середня відіграє роль фільтру, що поглинає коливання часового ряду.

Процедура оцінювання стандартної похибки прогнозу може здійснюватися також за методом експоненціального згладжування. Якщо похибка прогнозу оцінюється як різниця між фактичним і прогнозовим значенням , то замість обчислення суми квадратів похибок і знаходження дисперсії застосуємо інший вимір розкиду, відомий під назвою середнє абсолютне відхилення похибки (MAD_t) . Одним із різновидів експоненціально зваженого середнього може бути експоненціально зважена середня абсолютних похибок прогнозу:

.(4)

Для досить великого класу статистичних розподілів значення середнього квадратичного відхилення дещо перевищує значення середнього абсолютного відхилення і строго пропорційне йому. Константа пропорційності для різних розподілів коливається між 1,2 та 1,3 (для нормального закону розподілу це значення дорівнює ), тому

.(5)

Використання методу експоненціального згладжування передбачає розв'язання трьох питань: вибір постійної згладжування , вибір початкового рівня згладжування ряду , вибір початкового моменту згладжування (довжини бази згладжування). Аналітичного розв'язку поставлених завдань наразі не існує, і він навряд чи можливий. Вибір характеристик згладжування має ґрунтуватися на експериментальних розрахунках і здійснюватися в кожному конкретному випадку по-різному.

2. Вибір оптимальних параметрів згладжування

Вибір параметра згладжування є основною та доволі складною проблемою. Для різних значень результати прогнозування відрізнятимуться. Якщо значення близьке до одиниці, то під час прогнозування зважають здебільшого на основному вплив останніх спостережень; якщо близьке до нуля то вплив рівнів ряду спадає повільно, що вможливлює врахування попередніх значень.

Для розв'язання практичних завдань часто використовують різноманітні емпіричні процедури. Наприклад, можна вибирати константу згладжування шляхом мінімізації похибок прогнозу, які оцінюють для останньої третини ряду, використовуючи таку ітеративну процедуру:

1. Обрати одну із характеристик оцінки якості прогнозу, наприклад: MSE (середньоквадратична помилка), МАЕ(середня абсолютна похибка), тощо.

2. Розділити множину визначення параметра на значення, які змінюються з певним кроком, наприклад, із кроком 0,1. Тоді маємо підмножину значень , яка дорівнює: [0; 0,1; 0,2; ...; 0,9; 1].

3. Обрати початкове наближення, наприклад

4. Для кожного значення із побудованої підмножини обчислити експоненціально згладжені середні.

5. Розрахувати значення обраної характеристики якості прогнозу.

6. Вибрати , для якого одержано найкращу характеристику якості прогнозу.

Аналогічно можна підібрати й довжину прогнозову бази, і початковий рівень згладжування .

3. Вибір початкового рівня згладжування ряду

Від вибору початкового рівня згладжування залежить поведінка наступної згладженої послідовності. Найчастіше він або дорівнює значенню першого рівня ряду , або береться на рівні середньої арифметичної ряду. Можна скористатися спеціальними формулами, розробленими Брауном (табл.1). експоненціальний згладжування браун

Зазначимо, що чим довший ряд, тим менший вплив на результат згладжування справляє вибір .

Таблиця 1

Размещено на Allbest.ru