На первом этапе построим линейную модель зависимости показателей вида (1.1). Для оценки параметров b₀, b₁ линейной зависимости используется метод наименьших квадратов (МНК). В соответствии с МНК параметры однофакторной линейной модели можно рассчитать по формулам [1]:

; (2.2)

. (2.3)

При этом все величины, входящие в формулы (2.2) и (2.3) уже вычислены (раздел 2.1 и 2.2).

Подставляя рассчитанные данные, получаем:

;

.

Таким образом, линейная модель зависимости денежной массы в иностранной валюте (Y) от экспорта товаров (Х) имеет вид:

.

Значение коэффициента регрессии модели b₁ = 0,016 говорит о том, что при увеличении экспорта товаров 1 млн. долл. США объем денежной массы в иностранной валюте возрастает на 0,016 трлн. руб. (или на 16 млрд. руб.).

Оценим статистическую значимость параметров модели, используя критерий Стьюдента. Для этого вычислим стандартную ошибку регрессии и стандартные ошибки параметров уравнения регрессии.

Составим расчетную таблицу 2.3, в которой рассчитаем теоретические значения , отклонения фактических значений от теоретических (остатки от регрессии), а также квадраты этих отклонений . Теоретические значения определяем, подставляя фактические значения х_i в полученную модель линейной зависимости.

Таблица 0.1 Промежуточные расчеты для вычисления стандартных ошибок линейной модели

Стандартная ошибка линейной модели регрессии:

=

Стандартные ошибки параметров b₀, b₁ уравнения регрессии:

.

Используя вычисленные стандартные ошибки параметров уравнения регрессии, проверим значимость каждого коэффициента линейной модели путем расчета t-статистик и их сравнения с критическим значением при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы n - 2 = 39 - 2 = 37.

; .

Критическое значение критерия Стьюдента при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы n - 2 = 37: t_кр = t_{0,025; 37} = 2,026.

Рассчитанные t-статистики обоих коэффициентов регрессии (b₁ и b₀) превышает критическое значение (8,078 > 2,026 и 2,429 > 2,026). Это говорит о том, что оба коэффициента модели статистически значимы.

Оценим общее качество модели с помощью критерия Фишера.

Вычислим коэффициент детерминации:

.

Наблюдаемое значение F-критерия:

.

По таблице распределения Фишера определяем критическое значение критерия для уровня значимости = 0,05:

.

Так как наблюдаемое значение F-критерия значительно превосходит критическое (65,246 > 4,105), то полученная линейная модель регрессии адекватна исходным данным (качество модели хорошее).

Таким образом, полученная линейная модель регрессии

хорошо объясняет зависимость объема денежной массы в иностранной валюте (Y) от объема экспорта товаров (Х).

При этом, вычисленное значение коэффициента детерминации свидетельствует, что построенное линейное уравнение регрессии объясняет 63,8 % разброса зависимой переменной Y разбросом факторной переменной Х.

Аналогичным образом построим и проанализируем показательную (экспоненциальную) модель зависимости между исследуемыми показателями.

Рассчитаем параметры b₀, b₁ предполагаемой показательной модели вида (2.1). Чтобы воспользоваться методом наименьших квадратов, приведем модель к линейному виду. Для этого прологарифмируем левую и правую часть уравнения (2.1). Получим:

. (2.4)

Теперь обозначим y^* = ln y и составляем расчетную таблицу 2.4, где в качестве значений y_i^* проставляем значения ln y_i (значения ln y_i найдены в программе Excel).

Таблица 0. 2 - Расчет параметров показательной модели

Определяем параметры модели в соответствии с методом наименьших квадратов:

= ;

.

Уравнение показательной модели зависимости имеет вид:

.

Так как е^1,9058 = 6,725, то получаем уравнение:

.

Произведем оценку параметров и оценку общего качества полученной модели (аналогично линейной модели). Составляем таблицу 2.5, в которой по полученной показательной модели рассчитаем теоретические значения , отклонения фактических значений от теоретических , а также квадраты этих отклонений . Теоретические значения определяем, подставляя фактические значения х_i в полученную модель показательной зависимости.

Таблица 0. 3 Промежуточные расчеты для вычисления стандартных ошибок показательной модели

Стандартная ошибка модели и стандартные ошибки параметров b₁, b₀ показательной модели:

= ;

.

Рассчитываем наблюдаемые значения t-статистик модели:

; .

При = 0,05 t_кр = t_{0,025; 37} = 2,026.

Рассчитанные значения t-статистик превышают критическое значение. Следовательно, коэффициенты показательной модели статистически значимы.

Оценим общее качество модели с помощью критерия Фишера.

Рассчитываем коэффициент детерминации по показательной модели:

Наблюдаемое значение F-критерия:

.

Так как наблюдаемое значение F-критерия больше критического (119,701 > 4,105), то полученная показательная модель регрессии адекватна исходным данным на уровне значимости 0,05.

Таким образом, полученная показательная модель

хорошо объясняет зависимость объема денежной массы в иностранной валюте (Y) от объема экспорта товаров (Х).

Полученное по данной модели значение коэффициента детерминации говорит о том, что она объясняет 76,4 % разброса результативного признака Y разбросом фактора Х.

Проведенное исследование показало, что обе апробированные модели адекватны экспериментальным данным и могут быть использованы для прогнозирования денежной массы в иностранной валюте в зависимости от объема экспорта товаров.

Из двух адекватных моделей выберем лучшую.

Для выбора лучшей модели обычно используют такие результаты расчетов как:

1. Коэффициент детерминации (чем выше коэффициент детерминации, тем лучше модель);

2. Расчетное значение F-статистики (чем больше F расчетное, тем лучше модель);

3. Сумму квадратов отклонений фактических значений от теоретических (чем меньше эта сумма, тем лучше модель).

Сравнивая построенные модели зависимости по перечисленным трем параметрам приходим к выводу, что лучшей моделью является показательная.

Таким образом, для практического использования целесообразно выбрать показательную модель

.

Заключение